E4: Wyznaczanie staªej C 2 we wzorze Plancka i sprawdzanie prawa Stefana-Boltzmanna

Transkrypt

1 E4: Wyznaczanie staªej C 2 we wzorze Plancka i sprawdzanie prawa Stefana-Boltzmanna Jacek Grela 27 kwietnia 2011 Streszczenie Potwierdzono posta prawa Stefana-Boltzmanna dla»arówki, uzyskano wynik α = ± [ ]. Dokonano kalibracji monochromatora i zapoznano si z dziaªaniem pirometru. Zbadano za ich pomoc ksztaªt krzywej Plancka metod izochromat i uzyskano warto± staªej Plancka h. Wyniki cz ±ciowo zgodziªy si z warto±ciami tablicowymi i wyniosªy h 1 = (6.69 ± 0.29) [Js] oraz h 23 = (6.15 ± 0.13) [Js]. 1

2 1 Wst p teoretyczny 1.1 Ciaªo doskonale czarne Ciaªa doskonale czarne to obiekty, których wspóªczynnik absorpcji jest równy 1. Widmo emisyjne takiego ciaªa mo»na rozwa»a na bazie ogólnych argumentów termodynamicznych, nie wchodz c w szczegóªy budowy emitera. Do opisu emisji promieniowania ciaªa doskonale czarnego u»ywa si poj cia spektralnej g sto±ci energii ρ T oraz spektralnej g sto±ci strumienia energii R T. Oba poj cia ró»ni si tylko wspóªczynnikiem geometrycznym. ρ T = dρ dν, (1) R T = c 4 ρ T, (2) gdzie ρ - g sto± energii, c - pr dko± ±wiatªa. ρ T jest wielko±ci, któr mo»na obliczy teoretycznie w modelu ciaªa zªo»onego z elementarnych niezale»nych oscylatorów zanurzonych w ±rodowisku o temperaturze T : ρ T = N(ν) < ϵ >, (3) V gdzie N(ν) - g sto± stanów, <ϵ> - ±rednia energia elementarnego oscylatora, V - obj to± ciaªa. Dla promieniowania elektromagnetycznego N(ν) = 8ΠV ν 2. Odpowiedni formuª na ±redni c 3 energi <ϵ> otrzymaª Planck zakªadaj c ówcze±nie kontrowersyjn hipotez o skwantowanej energii elementarnych oscylatorów E = nhν. Otrzymaª na tej podstawie prawo Plancka: hν < ϵ >= ( ), (4) exp 1 gdzie h - staªa Plancka, ν - cz sto± promieniowania, k B - staªa Boltzmanna, T - temperatura ciaªa. Staªa C 2, o której mowa w wiczeniu jest w tym wzorze: 1.2 Prawo Stefana-Boltzmanna hν k B T C 2 = hν k B. (5) Bezpo±rednim wnioskiem z teorii zaproponowanej przez Plancka jest prawo Stefana-Boltzmanna mówi ce o caªkowitej zdolno±ci emisyjnej R w temperaturze T : R = 1.3 Inne zagadnienia teoretyczne w wiczeniu Temperatura a opór na»arówce 0 R T dν = σt 4. (6) W wiczeniu b dziemy bada widmo emisyjne»arówki. Traktujemy j jako ciaªo doskonale czarne poniewa» emitowane promieniowanie znacznie przewy»sza promieniowanie odbite. B dziemy bada obwód z»arówk zakªadaj c,»e opór i temperatura jest do siebie wprost proporcjonalna: W wiczeniu b dziemy mierzy opór zamiast temperatury. R = αt. (7) 2

3 1.3.2 Dopasowanie wykresu z niepewno±ciami Punkty pomiarowe dopasowujemy do teoretycznej krzywej metod zaimplementowan w programie sªu» cym do obróbki danych. W wiczeniu korzystamy z OriginPro 8.5, program ten posiada (jak wi kszo± dost pnych) dopasowywanie z uwzgl dnieniem jednej wagi dla punktu. Zwykle mamy do czynienia z punktami pomiarowymi P (x, y) których niepewno±ci ró»ni si znacznie u(x) >> u(y) dla ka»dego x i y. W takim wypadku wybieramy niepewno± dominuj c u(x) zaniedbuj c u(y) i to wzgl dem niej wa»ymy punkty. Takie uproszczenie nie zadziaªa w naszym wiczeniu poniewa» pomiary w obu kierunkach s podobnego rz du. Aby uwzgl dni niepewno±ci z obu kierunków wprowadzamy nast puj c procedur przybli»aj c : Na Wyk. 1 przedstawiono przykªadowy fragment pomiaru z zaznaczonymi niepewno±ciami y u(y) y`(x) u R (y) u(x) x Rysunek 1: Wykres z niepewno±ciami u(x) oraz u(y) u(x) oraz u(y). Z takich punktów P (x, y) mo»emy sporz dzi wykres pochodnej y (x). Sk din d wiemy,»e y (x) = dy co jest miar przyrostu warto±ci funkcji przy wzro±cie argumentu. dx Mo»emy wi c wyrzutowa bª dy u(x) na bª dy u(y) wedle wzoru u R (y) = y (x)u(x) a potem doda je liniowo b d¹ kwadratowo. W wiczeniu u»yli±my przepisu kwadratowego: u c (y) = u(y) 2 + (y (x)u(x)) 2 (8) 3

4 2 Przebieg do±wiadczenia wiczenie polega na sprawdzeniu prawa Stefana-Boltzmanna (6) oraz wyznaczeniu staªej we wzorze Plancka (4). Pierwszy etap to zªo»enie odpowiedniego obwodu elektrycznego w którym mierzono pr d i napi cie na»arówce w funkcji temperatury. Uzyskano w ten sposób wydzielan moc co umo»liªo werykacj prawa Stefana-Boltzmanna. W drugiej cz ±ci posªu»ono si monochromatorem i dokonano pomiaru temperatury»arówki oraz sygnaªu z fotopowielacza poª czonego z monochromatorem. Te wielko±ci pozwalaj wyznaczy posta wzoru Plancka i staªej C 2. Eksperyment opisany zostaª szczegóªowo w Zaª czniku z zeszytu laboratoryjnego, poni»ej przedstawiamy uzupeªnienie tamtych rozwa»a«. 2.1 Aparatura Urz dzenia i obwód sªu» cy do werykacji prawa Stefana Boltzmanna zostaªy przedstawione na Rys. 2. Opór wzorcowy RN-2 miaª warto± R 0 = ± [Ω]. W drugiej cz ±ci źródło I żarówka V V zar opór wzorcowy R 0 V V opr Rysunek 2: Obwód elektryczny dla pierwszej cz ±ci wiczenia wiczenia, oprócz obwodu z Rys. 2, u»yto dodatkowo monochromatora SPM-2 z pryzmatem oraz fotopowielaczem K1. Do pomiaru temperatury posªu»yª pirometr DFP-2000, schemat tego wariantu przedstawiono na Rys. 3. Kalibracj monochromatora przeprowadzono za pomoc Rysunek 3: Schemat dla drugiej cz ±ci wiczenia standardowej lampy Hg-Cd-Zn przy takim samym torze pomiarowym. 4

5 2.2 Sprawdzenie prawa Stefana-Boltzmanna Wykonanie wykresu P (R zar ) W tym wariancie (patrz Rys. 2) zebrano dane z woltomierzy V opr i V zar manipuluj c pr dem ze ¹ródªa I. Rozwa»ono bilans energetyczny na»arówce: P = P przew + P emit, (9) gdzie P - moc podawana na»arówk, P przew - moc tracona na przewodnictwo cieplne, P emit - moc emitowanego ±wiatªa widzialnego. Za pomoc V opr i V zar mo»na wyliczy moc: P = V zar I zar = V zarv opr R 0. (10) Moc tracona na utrzymanie ró»nicy temperatur mi dzy»arówk i otoczeniem jest równa: P prz = B(T T 0 ). (11) Na podstawie (6) spodziewano si postaci mocy emitowanego ±wiatªa widzialnego jako: P emit = A(T α T α 0 ). (12) Zale»no± od temperatury otoczenia T 0 mo»na wyeliminowa poniewa» werykacja dotyczy tylko wykªadnika α. Zgodnie z zaªo»eniem (7) mo»emy wyznaczy bilans (9) w funkcji oporu na»arówce R zar : P = A R α zar + B R zar + C. (13) Tak funkcj b dziemy dopasowywa do punktów pomiarowych Pomiary Wykonano trzy serie pomiarowe: boltzmann.txt, boltzmann2.txt oraz boltzmann3.txt. Na Wyk.4 zostaªy przedstawione punkty pomiarowe z serii boltzmann.txt wraz z dopasowaniem (13). Niepewno±ci na wykresie zostaªy wyznaczone konsekwentnie przenosz c bª dy z pomiaru napi u(v zar ) = [V ], u(v opr ) = [V ] oraz u(r 0 ) = [Ω]. Do niepewno±ci wyznaczenia R zar zastosowano równie» wzór (8) opisany we wst pie teoretycznym. Najbardziej interesuj cy nas wykªadnik: α = ± [ ]. Pozostaªe serie boltzmann2.txt oraz boltzmann3.txt zostaªy przeanalizowane tak samo, uzyskuj c warto±ci α: 1. boltzmann2.txt: α = ± [ ] 2. boltzmann3.txt: α = ± [ ] Serie pomiarowe ró»niªy si jedynie ilo±ci zebranych punktów. Z ostatniego pomiaru usuni to par pocz tkowych punktów poniewa» ich niepewno± byªa tak du»a,»e zaburzaªa caªe dopasowanie. Ten wzrost niepewno±ci mo»na tak»e zaobserwowa na pocz tku zakresu na Wyk.4). Przy analizie próbowano zastosowa ró»ne metody z gorszymi rezultatami, ich dyskusj przedstawiono w Rozdziale 3. 5

6 Model boltz (User) Equation A*x^B + C*x + E Reduced 0,10464 Chi-Sqr Adj. R-Square 0,99971 Pzar Value Standard Error A 9,8639 0,07314 B 3, ,04448 C 5, ,06208 E -0,551 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R zar [ ] P [W] Rysunek 4: Pomiary z serii boltzmann.txt 6

7 eq: y = a + b*x Direct Weight Weighting Value Standard Er a 15,515 6, b 0,9600 0,01369 [nm] s [-] Rysunek 5: Pomiary z serii boltzmann.txt 2.3 Wyznaczanie staªej C 2 we wzorze Plancka W drugiej cz ±ci wiczenia badali±my wzór Plancka (4). W tej cz ±ci wiczenia u»ywali±my dwóch dodatkowych urz dze«: pirometru oraz monochromatora (patrz Rys.3) Kalibracja monochromatora Pierwszym etapem jest skalibrowanie monochromatora za pomoc lampy Hg-Cd-Zn przedstawione na Wyk.5. Informacje dotycz ce parametrów pracy monochromatora s dost pne w zaª czniku z zeszytu laboratoryjnego. Informacje nt. pików w widmie lampy dostarczyªa tablica dost pna na pracowni, pomocna byªa tak»e wiedza nabyta we wcze±niejszych wiczeniach. Uzyskali±my krzyw kalibracyjn : λ = (0.960 ± 0.014)s + (15.5 ± 6.1), (14) gdzie λ [nm] - dªugo± fali z tablic, s [ ] - miejsce na skali monochromatora Pomiary sªu» ce do wyznaczenia krzywej Plancka Do wyznaczenia staªej C 2 u»yto tzw. metody izochromat. Jest to metoda u»ywana gdy interesuje nas krzywa spektralnej g sto±ci strumienia energii R T ani spektralnej g sto±ci energii ρ T w funkcji temperatury T zamiast cz sto±ci ν. Tak wi c, naturalny argument funkcji ρ T (cz sto± ν) staje si parametrem i jest trzymana staªa podczas pomiaru. Argumentem za± uczynimy temperatur T i ni b dziemy manipulowa. Z takiej zmiany interpretacji otrzymamy funkcj : ρ T (T ; ν) = C 1 exp ( C 2 T ) 1. (15) Interesuje nas tylko wyznaczenie staªej C 2 = hν k B, nie zwracamy uwagi na dokªadn warto± C 1. 7

8 6 Model Equation planck (User) A/(exp(B/x)-1) + C Reduced Chi-Sqr 7,92792 Adj. R-Squar 0,99932 Value Standard Err A 3685, ,15448 U B 14901, ,26241 C 1, ,00742 U [V] T [ o C] Rysunek 6: Pomiary z serii planck1.txt Ogóªem dokonali±my trzech pomiarów: planck1.txt (28 punktów), planck2.txt (19 punktów) oraz planck3.txt (27 punktów) dla optymalnej (dyskusja w zaª czniku) dªugo±ci s 0 = 1000 [ ]. Seria pomiarowa planck1.txt to pierwszy pomiar o charakterze próbnym. Dopiero w pozostaªych dwóch zastosowano (po zauwa»eniu niestabilno±ci w odczytach napi ) metod serii dla ka»dej temperatury (zaª cznik). Dokonywali±my przeniesie«niepewno±ci wedªug metody (8) ze wst pu teoretycznego. Seria planck1.txt zostaªa przedstawiona na Wyk. 6. Z parametru B dostali±my warto± staªej Plancka h. Przy obliczeniach przenie±li±my niepewno±ci z kalibracji (14). Zaniedbali±my niepewno± staªej Boltzmanna k B oraz pr dko±ci ±wiatªa c. Otrzymali±my,»e: h = (6.69 ± 0.29) [Js] (16) 8

9 U [V] Model Equation planck (User) A/(exp(B/x)-1) +C Reduced Chi-Sqr 1,19284 Adj. R-Square 0,84985 Value Standard Erro A 2210, ,4054 U B 13694, ,12858 C 1, , T [ o C] Rysunek 7: Pomiary z serii planck2.txt i planck3.txt Dwa pozostaªe pomiary byªy wykonywane podobnie (wst pna analiza pokazaªa te»,»e otrzymywane z dopasowania parametry s bardzo zbli»one do siebie) wi c potraktowano je jako jeden w celu zwi kszenia dokªadno±ci. Wyniki s pokazane na Wyk. 7. Wykres jest mniej przejrzysty ni» wcze±niejszy poniewa» na ka»dy pomiar temperatury przypada pi punktów pomiarowych (wspomniane ±redniowanie). Z tych pomiarów znów wyznaczyli±my staª h: h = (6.15 ± 0.13) [Js] (17) 9

10 3 Dyskusja wyników oraz wnioski 1. Pomiary w cz ±ci wiczenia dotycz cej prawa Stefana-Boltzmanna wykazaªy zgodno± teorii z do±wiadczeniem. Wszystkie trzy serie zgodziªy si, w ramach niepewno±ci, z predykcj α = 4. Niepewno± wzgl dna wyniosªa odpowiednio 1.1%, 1.1% i 0.9% wi c dokªadno± eksperymentu te» jest zadowalaj ca. Niskie warto±ci testu χ 2 sugeruj, co wida równie» na Wyk. 4,»e oszacowane niepewno±ci mogªy by za du»e. Jest to mo»liwe poniewa» niepewno± zarówno oporu wzorcowego R 0 jak i napi cia V zar i V opr zostaªa przyj ta arbitralnie bez wi kszej analizy. Drugim ¹ródªem mo»e by zastosowana metoda skªadania bª dów (8). 2. Podczas analizy pomiarów z pierwszej cz ±ci dokonali±my tak»e paru podej± do metody sugerowanej w instrukcji do wiczenia. Sposób ten sprowadzaª si do separacji we wzorze (13) cz ±ci liniowej od nieliniowej. Plusem takiego post powania jest dopasowywanie w programie funkcji relatywnie prostszej, daj c maszynie mniejsze pole do popisu i ewentualnych wypacze«. Zasadniczym minusem, który zadecydowaª w tym przypadku o zaniechaniu metody byªa arbitralno± wyboru miejsca na wykresie, w którym przyczynek nieliniowy zaczyna by znacz cy. Nie znale¹li±my metody pozwalaj cej w zadowalaj cy sposób na uzyskanie miejsca, w którym owa nieliniowo± dochodzi do gªosu i zaczyna dominowa. Dodatkowo, bardzo dobre wyniki metody prostej daªy motywacj do porzucenia tego sposobu post powania. 3. W drugiej cz ±ci wyznaczali±my staª Plancka h, przy trzech seriach pomiarowych uzyskali±my dwa wyniki: h 1 = (6.69 ± 0.29) [Js] h 23 = (6.15 ± 0.13) [Js] Tablicowa warto± staªej Plancka wynosi h 0 = [Js]. Pierwszym wnioskiem z uzyskanych rezulatów jest nadspodziewanie dobry wynik pomiaru próbnego planck1.txt. Na Wyk. 6 wida chaotycznie rozªo»one punkty, metoda przenoszenia u»ywaj ca pochodnej tak»e daªa niestabilne niepewno±ci. Mimo to, jest to pomiar zgodny z warto±ci tablicow w ramach niepewno±ci. Z drugiej strony, pomiary które byªy wykonywane dla wi kszej dokªadno±ci zani»yªy uzyskan warto± staªej tak,»e nie zgadzaj si z tablicowymi. Co gorsza, Wyk. 7 na którym wida serie planck2.txt oraz planck3.txt jest zdecydowanie lepiej przeprowadzony - punkty s poªo»one w sposób bardziej odpowiadaj cy krzywej teoretycznej, niepewno±ci s przewidywalne. 4. Spróbujemy zastanowi si nad tym, jakie s ¹ródª tych nieoczekiwanych wyników. Pomiary planck2.txt oraz planck3.txt ró»ni sie od pierwszego jedynie sposobem akwizycji danych. Zastosowano w nich sposób na radzenie sobie z niestabilno±ci jednorazowego pomiaru. Dokonywano tego poprzez pobór pi ciu punktów pomiarowych w staªym odst pie czasu. Te punkty zwykle byªy poªo»one blisko siebie jednak czasem jeden z nich odstawaª od reszty wi c byª odrzucany. Wi cej na temat tej procedury jest dost pne w zaª czniku z zeszytu pomiarowego. Poniewa» taka sama procedura (tylko znacznie szybsza i bez odrzucania) wykonywana byªa w programie zbieraj cym dane, nie wydaje si aby to powodowaªo obserwowane ró»nice. Osobna analiza pomiarów planck2.txt i planck3.txt wykazaªa,»e parametry uzyskane s bardzo podobne, nale»y wi c zaªo»y»e pomiary z takim wynikiem s powtarzalne i ich scalenie do jednej analizy nie ma wpªywu na wynik. 5. W ±wietle przedstawionych faktów mo»na wysnu wniosek,»e pomiar h 23 byª przeprowadzony odpowiednio za± przy eksperymencie planck1.txt doszªo do fortunnego dopasowania 10

11 z tablicami. Nale»y jedynie wyja±ni zani»enie wyniku dla h 23. Najbardziej przekonywuj c rozwa»an hipotez jest przesuni cie skali temperatury. Otó», je±li dodamy staª warto± T do punktów pomiarowych u»ytych do wyznaczenia h 23 to nowa warto± C 2 wzro±nie. Na podstawie tej obserwacji mo»emy powiedzie,»e z jakiego± powodu mogªo doj± do przesuni cia skali temperatury (np. w trakcie dªu»szej pracy pirometru i wªókna w nim zawartego) lub te» zm czenie i czynnik ludzki odegraª tutaj rol bª du systematycznego (mniej prawdopodobne). Taki bª d systematyczny narastaj cy z czasem trwania eksperymentu mógªby nawet wyja±ni pocz tkowo dobre wyniki z serii planck1.txt. 11