Andrzej Borkowski MODELOWANIE POWIERZCHNI TERENU ZAWIERAJĄCEJ LINIE NIECIĄGŁOŚCI NA PODSTAWIE DANYCH SKANINGU LASEROWEGO 1

Transkrypt

1 Archwum Fotogrametr, Kartograf Teledetekc Materały Ogólnopolskego Sympozum Geonformac Geonformaca zntegrowanym narzędzem badań przestrzennych Wrocław Polanca Zdró, wrześna 003 r. 003 Vol. 13 B str ISBN Andrze Borkowsk MODELOWANIE POWIERZCHNI TERENU ZAWIERAJĄCEJ LINIE NIECIĄGŁOŚCI NA PODSTAWIE DANYCH SKANINGU LASEROWEGO 1 MODELLING OF TERRAIN SURFACE INVOLVING DISCONTINUITIES FROM LASER SCANNER DATA Katedra Geodez Fotogrametr Akadem Rolncze we Wrocławu, e-mal:borkowsk@ar.wroc.pl Department of Geodesy and Photogrammetry, Agrcultural Unversty of Wrocław STRESZCZENIE. Wzrost rozdzelczośc technk skanngu laserowego w ostatnch latach pozwala na modelowane ln necągłośc powerzchn terenu na podstawe nformac punktowe. W pracy przedstawono metodę aproksymac powerzchn będącą rozwązanem zadana waracynego (uogólnene technk snake), w którym mnmalzowana est energa wewnętrzna powerzchn zewnętrzna opsuąca defekt danych. Energa wewnętrzna opsue nachylene naprężene powerzchn est sumą składowych gradentu krzywzny powerzchn. Poszczególne składnk energ wewnętrzne są wzaemne ważone za pomocą swobodnych parametrów, poprzez które możlwe est lokalne modelowane właścwośc geometrycznych powerzchn. Zadane waracyne rozwązano metoda Rtza z funkcą bazową typu Gaussa. Parametry modelowane powerzchn otrzymue sę z rozwązana układu równań lnowych. Podano przykład modelowana danych skanngu laserowego. SŁOWA KLUCZOWE: zadane waracyne, necągłośc powerzchn, snakes, skanng laserowy 1. WPROWADZENIE Technka skanngu laserowego zrewoluconzowała w klku ostatnch latach pozyskwane nformac o topograf powerzchn terenowe. Metoda ta est bezkonkurencyna, zwłaszcza na obszarach zalesonych slne zurbanzowanych, w zakrese budowy aktualnych numerycznych model terenu o wysoke akośc dokładnośc. Oprócz daleko posunęte automatyzac w zakrese pozyskwana opracowana danych nastąpł równeż wyraźny wzrost rozdzelczośc. Osągalne zagęszczene na pozome ednego punktu na 1 Praca zrealzowana w ramach grantu KBN nr 5T1E057 Modelowane powerzchn terenu na podstawe danych skanngu laserowego.

2 308 Andrze Borkowsk metr kwadratowy wększe, pozwala realne myśleć o modelowanu, na podstawe nformac punktowe, ln necągłośc terenu. Lne necągłośc to, z matematycznego punktu wdzena lne wzdłuż, których powerzchna ne est różnczkowalna, z morfologcznego natomast to wszelke lne krawędzowe na skarpach, uskokach tp. lne szkeletowe. Znaomość przestrzennego rozmeszczena tych ln est nezbędna do budowy dokładnych NMT wykorzystywanych mędzy nnym dla potrzeb modelowana hydrologcznego czy zarządzana antykryzysowego. Tradycyne metody modelowana, daące poprawne wynk w przypadku powerzchn gładkch, prowadzą tuta, mne lub bardze, do zafałszowana nformac o przestrzennym rozmeszczenu ln necągłośc. Efekt ten można zmnmalzować stosuąc model aktywnych powerzchn, będący uogólnenem funkc typu snake.. AKTYWNY MODEL POWIERZCHNI Model aktywnych powerzchn est uogólnenem znanego z cyfrowego przetwarzana obrazów modelu snake (Kass et.al. 1987, Borkowsk 1997). Model ten otrzymue sę z rozwązana zadana waracynego, w którym mnmalzowana est energa całkowta układu będąca sumą energ wewnętrzne modelowane powerzchn energ zewnętrzne, Energę zewnętrzną z = z( x, y) E ext E E mn. (1) nt ext defnuemy w ten sposób aby modelowana powerzchna przebegała ak nablże danych pomarowych h z ednoczesnym wygładzenem błędów pomaru. Energa wewnętrzna E nt opsue nachylene krzywznę elastyczne powłok est sumą tzw. membrany (membrane kernel) cenke elastyczne płyty (thn plate kernel). Zadane waracyne (1) możemy zapsać w postac: ( x y ) ( xx xy yy ) h z dxdy α z z β z z z dxdy mn Perwsza część wyrażena po lewe strone odpowada energ zewnętrzne, mnmalzuące odległość h z, druga energ wewnętrzne, która est sumą kwadratów gradentu hesanu powerzchn ważonych względem sebe poprzez swobodne parametry α β. zx : = z/ x, z xx := z/ x td. oznaczaą odpowedne pochodne cząstkowe. Parametry α β pozwalaą na dowolne modelowane właścwośc geometrycznych powerzchn. W szczególnośc na lokalne modelowane ln necągłośc powerzchn. 3. ZARYS ALGORYTMU Zadane waracyne () można rozwązać na co namne dwa sposoby. Naprostszym podeścem est sformułowane ekwwalentnego do () równana różnczkowego, tak zwanego równana Eulera. Rozwązane numeryczne równana Eulera polega naczęśce na zastąpenu pochodnych odpowednm różncam skończonym co prowadz do ()

3 Modelowane powerzchn terenu zaweraące lne necągłośc 309 układu równań lnowych, z których wyznacza sę modelowaną powerzchnę punktowo. Rozwązane take ma tę wadę, że może być stosowane tylko do danych o regularne strukturze dane pomarowe muszą być podane na regularne satce lub poddane regularyzac. Alternatywnym podeścem est zastosowane metody Rtza, która polega na bezpośrednm rozwązanu zadana warancynego. W metodze te neznaną funkcę zxy (, ) aproksymue sę sumą odpowedno skalowanych funkc bazowych, zxy (, ) cϕ ( xy, ), (3) z neznanym współczynnkam c. Zastąpene zxy (, ) w zadanu mnmalzac funkconału () wyrażenem (3) prowadz, po odpowednch przekształcenach, do zadana mnmalzac funkc względem parametrów c. Istotnym momentem est teraz wybór odpowedne funkc bazowe. W pracy (Borkowsk Keller, 003) podano rozwązane zadana dla funkc bazowych typu Gaussa, ( x x) ( y y) σ ϕ ( xy, ) = e (4) z σ ako dodatkowym parametrem steruącym doberanym naczęśce w zależnośc od odległośc pomędzy punktam. Rozwązane, którego szczegóły podano w cytowane pracy prowadz do układu równań lnowych postac: Odpowedne macerze zdefnowane są następuąco: ( Aαβ, L L) c = L h. (5) A αβ, := ( α( a b ) β( c e d )), (6) L := ( ϕ ( x, y )), (7) = 1,,..., n ; = 1,,..., n; a wektory c h zaweraą odpowedno neznane parametry wysokośc modelowane powerzchn w punktach pomarowych. Przez a, b,..., e oznaczono odpowedne loczyny funkc bazowe ϕ e pochodnych, które powstaą po przekształcenu zadana waracynego () w zadana mnmalzac funkc względem parametrów c. Po scałkowanu tych loczynów otrzymue sę elementy macerzy A w postac następuących zależnośc (Borkowsk Keller, 003) : a ε x x x, (8) b x bx := x a a a b b ε y y y, (9) y y := y a a a b

4 310 Andrze Borkowsk ε c m x x m x x := 4x ( ) 3x ( 4 x x a) m ( x x x x b ) m x x c x x 1x x, (10) ε d m y y m y y := 4y ( ) 3y ( 4 yy am ) ( yy y y b) m y y c y y 1y y, (11) ε e := m m m m ( y y ) x y x 1y m1xmy( x x) yy mx m1x( x x) x x m m ( y y ) m m ( x x )( y y ) x x y y y 1y x1 1y, (1) w których przyęto następuące oznaczena: π b ( ) x by a cx cy ε = exp a a a = σ σ b = σ y σ y b = σ x σ x y x c = σ y σ y c = σ x σ x y x b by m1 = x x m1y= a a 3 m( x, y) = m1( x, y) m3( x, y) = m1( x, y) 3 m1( x, y) a a m4( xy, ) = m1( xy, ) 6 m1( xy, ) 3 a a Macerz A est symetryczną macerzą pełną. Je elementy oblcza sę na podstawe parametrów funkc bazowych w punkce Px (, y), = 1,,..., n w punkce Px (, y ), = 1,,...,n oraz współrzędnych tych punktów. 4. PRZYKŁAD TESTOWY Prezentowaną metodę aproksymac pokażemy na przykładze danych skanngu laserowego zaczerpnętym z pracy (Borkowsk Keller, 003). Rysunek 1 przedstawa fragment kopaln odkrywkowe węgla brunatnego. Dane wyścowe stanowł zbór

5 Modelowane powerzchn terenu zaweraące lne necągłośc 311 neregularne ale równomerne w płaszczyźne xy rozrzuconych punktów o gęstośc około 1 punkt na metr kwadratowy. Dane te aproksymowano aktywnym modelem zakładaąc take same właścwośc fltracyne na całym obszarze. Wybrano następuące wartośc parametrów steruących aproksymacą: α = β = 1/50 σ = 10. Parametry te mały taką samą wartość w każdym punkce danych. Wybór konkretnych wartośc parametrów wynka z oczekwane (pożądane) dokładnośc aproksymac. Poneważ ne może być podany bezpośredn zwązek pomędzy tym parametram a dokładnoścą aproksymac, ustala sę e eksperymentalne. Efekt aproksymac wygodne est analzować na przykładze resduów przedstawonych na rysunku. Podobny rezultat można osągnąć nnym metodam aproksymac. Te same dane poddano aproksymac w ten sposób aby lne krawędzowe uległy możlwe mnmalnemu wygładzenu. Orentacyny przebeg tych ln określono metodam cyfrowego przetwarzana obrazów w ten sposób zdentyfkowano punkty pomarowe leżące w bezpośrednm sąsedztwe ln krawędzowych. W punktach tych zmenono wartośc parametrów na następuące: α = β = 0 σ = 0.1; wymuszaąc modelowane ln necągłośc powerzchn. Efekt aproksymac z zachowanem ln necągłośc pokazuą resdua na rysunku 3. Wyraźne wdoczne są pasy wzdłuż ln krawędzowych, gdze wartośc resduów oscyluą wokół zera podczas gdy na pozostałym obszarze wartośc te są porównywalne z aproksymacą bez zachowana ln necągłośc. Marą tego podobeństwa może być wartośc odchylena standardowego σ, która wynos w obydwu przypadkach około 0.10 m. r Rys. 1 Dane testowe (Borkowsk Keller, 003) Fg. 1 Test data (Borkowsk and Keller, 003)

6 31 Andrze Borkowsk Rys.. Resdua aproksymaca bez zachowana ln necągłośc Fg.. Resduals approxmaton wthout preservaton of dscontnuty lne Rys. 3. Resdua aproksymaca z zachowanem ln necągłośc Fg. 3. Resduals approxmaton wth preservaton of dscontnuty lne

7 Modelowane powerzchn terenu zaweraące lne necągłośc ZAKOŃCZENIE Przedstawoną w nnesze pracy metodę aproksymac otrzymue sę w wynku rozwązana zadana waracynego, w którym mnmalzowane są określone właścwośc geometryczne powerzchn wyrażone za pomocą gradentu (nachylena) krzywzny powerzchn. Właścwośc te mogą być prawe dowolne modyfkowane; aktywne w procese modelowana za pomocą dodatkowych parametrów. Odpowedn dobór tych parametrów pozwala modelować mne lub bardze wyraźne lne krawędzowe powerzchn. Zaletą metody est fakt, że może ona być stosowana do danych o dowolne, neregularne strukturze. Parametry modeluące powerzchnę otrzymue sę z rozwązana układu lnowego, w którym lczba równań est równa lczne danych punktów pomarowych. Wynkaą stąd trudnośc ze stosowanem te metody w odnesenu do danych skanngu laserowego, gdze welkość zborów danych est na pozome 6 10 węce. Nezbędna est wtedy odpowedna segmentaca danych stosowane aproksymac lokalne. Problem ten dotyczy równeż nnych metod opracowana danych skanngu laserowego. Za pomocą prezentowane metody można modelować wygładzone powerzchne z zachowanem wyraźnego przebegu ln krawędzowych. Przebeg tych ln ne est ednak określony, np. w postac wektorowe. W welu zastosowanach pożądana est ednak tego typu nformaca. Dotychczasowe próby dentyfkac ln krawędzowych terenu na podstawe danych skanngu laserowego sprowadzaą sę do nterpolac wysokośc na regularne satce utworzena następne "obrazu cyfrowego". Lne necągłośc mogą być dentyfkowane na podstawe takego obrazu z wykorzystanem standardowych metod przetwarzana obrazów. Take podeśce obarczone est ednak oczywstym ułomnoścam. Lne necągłośc pownny być modelowane bezpośredno z danych orygnalnych. Rozwązane dące w tym kerunku zaproponowane zostało w pracy (Brese et. al. 00). Dalsze prace zwązane z przedstawoną metodą zmerzaą do trówymarowego modelowana ln szkeletowych w postac wektorowe. LITERATURA Borkowsk A., 1997: Aktywne funkce skleane. Zeszyty Naukowe AR Wrocław nr 34, Geodeza Urządzena Rolne XIV, s Borkowsk A., Keller W., 003: Modellng of rregulary sampled surfaces by two-dmensonal snakes. Journal of Geodesy, Vol. 77, pp Kass M., Wtkn A., Terzopoulos D., 1987: Snakes: Actve contour models. Proceedngs of the Frst Internatonal Conference on Computer Vson, IEEE Comput. Soc. Press, Brese C., Kraus K., Pfefer N., 00: Modellerung von dredmensonalen Geländekanten n Laser-Scanner-Daten. Festschrft zum 65. Geburtstag von Prof. Dr.-Ing. habl. Segfred Meer. Technsche Unverstät Dresden, S

8 314 Andrze Borkowsk MODELLING OF TERRAIN SURFACE INVOLVING DISCONTINUITIES FROM LASER SCANNER DATA S u m m a r y The resoluton ncrease of the laser-scannng technque wthn the last few years enables on modelng of terran dscontnutes consderng only dscrete nformaton. In the paper there has been presented the method of surface approxmaton whch was a soluton of varatonal prncple (generalzaton of the snakes technque) where the nternal and external energy of surface descrbng the data defect are mnmzed. The nternal energy descrbes an nclnaton and tenson of surface and presents a sum of gradent and curvature components. Partcular components of nternal energy have been weghted by the use of free parameters enablng a modelng of geometrcal propertes of surface. The varatonal problem has been solved by the use of the Rtz method wth the base Gaussan-type functon. Parameters of modeled surface are obtaned by solvng the lnear equatons system. Furthermore, a modelng example of laser-scannng data has been presented. KEY WORDS: varatonal prncple, surface dscontnutes, snakes, laser scannng Recenzent: prof. dr hab. Józef Jachmsk, AGH, Kraków