RÓWNANIE RICHARDSA Z LOSOWYM WARUNKIEM POCZĄTKOWYM 1

Transkrypt

1 ZESZYTY PROBLEMOWE POSTĘPÓW NAUK ROLNICZYCH 2007 z. 519: Grzegorz Janik RÓWNANIE RICHARDSA Z LOSOWYM WARUNKIEM POCZĄTKOWYM 1 Instytut Kształtowania i Ochrony Środowiska, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wstęp Równania róŝniczkowe stanowią podstawę modelowania zjawisk przyrodniczych - w tym opisu ruchu wody w ośrodkach porowatych. Do prognozowania warunków powietrzno-wodnych w czynnej warstwie gleby stosuje się najczęściej równanie Richardsa, które w większości przypadków rozwiązuje się metodami przybliŝonymi - metodą róŝnic skończonych bądź metodą elementów skończonych [ZARADNY 1990; REINHARD 2001]. Wystarczające rozpoznanie stosowanego w tym celu aparatu matematycznego oraz wykorzystanie technik komputerowych pozwala na uzyskanie efektywnych rozwiązań, przy załoŝeniu poprawności wyznaczenia warunków początkowych, brzegowych oraz dokładnej parametryzacji obszaru objętego modelowaniem. Warunki te oraz parametry wejściowe w praktyce nie są określone jednoznacznie. To teŝ modelowanie powinno uwzględniać losowy charakter danych wejściowych [BRANDYK i in. 1993; MACIEJEWSKI i in. 1994; SOBCZYK 1996; JANIK 2005a, b]. Równanie Richardsa będzie lepiej opisywało ruch wody w glebie jeŝeli zostanie potraktowane jako stochastyczne równanie róŝniczkowe. Pierwsze próby praktycznych zastosowań stochastycznych równań rózniczkowych związane są z wykorzystaniem ich do opisu róŝnych zjawisk fizycznych - np.: równanie Langevina dla ruchu Browna cząstki zawieszonej w cieczy a takŝe do opisu zagadnień technicznych np.: do wyznaczenia reakcji pojazdu na losowe nierówności drogi lub teŝ reakcji konstrukcji na wymuszenia sejsmiczne [ROZMARYNOWSKI, JESIEŃ 1984; SOBCZYK 1996]. Podejmowane są równieŝ próby stochastycznego opisu przepływu wody i zanieczyszczeń w glebach i gruntach [MACIEJEWSKI i in. 1994; MACIEJEWSKI 1998]. RóŜniczkowe równania stochastyczne podzielone są na trzy klasy w zaleŝności od tego, który z członów równania róŝniczkowego ma charakter losowy. RozróŜniamy: równania z losowymi warunkami początkowymi, równania z losowym członem niejednorodnym, równania z losowymi współczynnikami. W niniejszej pracy podjęta zostanie próba uwzględnienia stochastycznego charakteru równania Richardsa poprzez wprowadzenie losowego warunku początkowego. 1 Eksperyment polowy przeprowadzono przy udziele studentów ze SKN Meliorantów im. prof. S. Baca UP we Wrocławiu.

2

3

4 rozwiązania równań dla kolejnych chwil czasowych we wszystkich punktach naleŝy podać warunki początkowe oraz warunki brzegowe. Jako warunek początkowy przyjęto rozkład wilgotności w chwili t 0 = 0 dla punktów na głębokości z 1 = 5, 15, 25 i 35 cm. W tym celu wykorzystano bazę danych uzyskaną na podstawie badań polowych. Na poletku doświadczalnym przeprowadzono pomiary wilgotności w 40 losowo wybranych punktach na głębokości z 1 = 5 cm. Następnie w innych 40 punktach na głębokości z 2 = 15 cm. Analogicznie pomiary przeprowadzono na głębokościach z 3 = 25 cm, z 4 = 35 cm. Do pomiarów wilgotności zastosowano technikę TDR [MALICKI 1999]. Zaprezentowany materiał pomiarowy nie stanowi podstawy do weryfikacji stochastycznego modelu. UmoŜliwia jedynie podanie warunku początkowego w postaci zmiennej losowej. Jako parametry wejściowe do formuł 3 i 4 przyjęto następujące wartości parametrów: θ r = 0,041 m 3 m -3 ; θ s = 0,58 m 3 m -3 ; α = 6, m -1 ; n = 1,322; K s = m min -1 [GENUCHTEN VAN 1980]. Wyniki i dyskusja Histogramy wilgotności w chwili t 0 dla głębokości od z 1 do z 4 przedstawiono na rys. 1. Na jego podstawie moŝna stwierdzić, Ŝe wilgotności na poszczególnych głębokościach są zróŝnicowane, pomimo przyjętych wcześ-

5 Rys. 1. Histogram wilgotności w chwili początkowej dla z = 5, 15, 25 oraz 35 cm; J - częstotliwość, θ - wilgotność, z - połoŝenie punktu Fig. 1. Moisture content histogram at the initial moment, z = 5, 15, 25 and 35 cm; J - frequency, θ - moisture content, z - location of point niej załoŝeń. ZróŜnicowanie to moŝe wynikać z lokalnych niejednorodności gleby. W związku z powyŝszym jako warunek początkowy w poszczególnych punktach rozpatrywanego obszaru, naleŝy przyjąć zmieniające się wartości wilgotności. Przykładowo wilgotność w chwili t 0 w warstwie z 1 = 5 cm moŝe zmieniać się w granicach od 0,28 do 0,5 m 3 m -3, a np. w warstwie 3 od 0,37 do 0,5 m 3 m -3. Jako górny warunek brzegowy przyjęto rozkład wilgotności w przypowierzchniowej warstwie gleby dla z 1 = 5 cm. Na dolnym brzegu rozpatrywanego obszaru przyjęto brak przepływu. Warunek ten zapewniono poprzez przyjęcie w punkcie z 4 = 35 cm i dodatkowym punkcie z 5 = 45 cm jednakowych wartości potencjału Φ.

6 Rys. 2. Fig. 2. Histogramy wilgotności dla warstwy z = 15 cm dla rosnącej liczby symulacji; J - częstotliwośćn, n L - liczba symulacji, θ - wilgotność Moisture content histograms for layer z = 15 cm for increasing number of simulations; J - frequency; n L - number of simulations, θ - moisture content PoniewaŜ wilgotność na kaŝdej głębokości określona jest w 40-stu powtórzeniach, to warunek początkowy określony dla 4 rozpatrywanych punktów moŝe przyjąć 40 4 = kombinacji. Chcąc przeanalizować wszystkie moŝliwe rozwiązania naleŝałoby przeprowadzić symulację komputerową razy. W związku z powyŝszym w pierwszej kolejności wylosowano 5 zestawów warunków początkowych. Losowanie przeprowadzono wykorzystując procedury losujące napisane w programie MATLAB (nr licencji: ) [KOSTRZEWA, BALBUS 2005]. Dla kaŝdego zestawu warunków początkowych rozwiązano róŝnicową postać równania Richardsa (1). Symulację przeprowadzono dla okresu 12-godzinnego z krokiem czasowym t = 1 minuta. Następnie przeprowadzono analogiczne symulacje losując za kaŝdym razem większą liczbę zestawów (n L = 5, 10, 20, 100, 300, 700 oraz 1000). Na rys. 2 przedstawiono wybrane histogramy wilgotności dla warstwy na głębokości z 2 =

7 15 cm po 12 godzinach, zbudowane na podstawie rozwiązań równania Richardsa dla 5, 20, 100 i 1000 wylosowanych zestawów. PobieŜna ocena przedstawionych histogramów wskazuje, Ŝe gęstość rozkładu wilgotności dąŝy do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem liczby n L. W dalszej części pracy przeprowadzono analizę ilościową stabilności histogramów, uzyskanych na podstawie rozwiązań równania Richardsa po 12 godzinach w zaleŝności od ilości wylosowanych zestawów (n L ). Jako kryterium stabilności przyjęto wielkość E nl, którą wyznaczono ze wzoru: E 0,6 = f ( θ ) fnl ( θ ) dθ gdzie: f(θ) gęstość rozkładu wilgotności (n L = 1000), f nl (θ) estymator funkcji f(θ) dla n L losowań, θ wilgotność objętościowa. nl (5) 0,2 Przyjęto, Ŝe histogram otrzymany dla 1000 losowań, przy podziale odcinka [0,2; 0,6] na 20 równych części jest wystarczająco dokładny. Następnie wyznaczono histogramy dla róŝnych liczb losowań przy tym samym podziale. Ostatecznie E nl wyraŝa się wzorem: 20 0,02 E nl = NinL N (6) i n gdzie: N inl liczba obserwacji w i-tym przedziale dla n L losowań, N i liczba obserwacji w i-tym przedziale dla dokładnej gęstości, błąd dla n L losowań. E nl Z rys. 3 moŝna odczytać wartości błędu E nl w czterech warstwach (z 1 = 5, z 2 = 15, z 3 = 25, oraz z 4 = 35) wyznaczonego z zaleŝności 5 i obliczonego dla rosnącej liczby losowań (n L ). Rysunek ten pozwala odczytać taką graniczną liczbę n LG, której zwiększenie nie spowoduje znaczącego wzrostu dokładności wyznaczenia gęstości prawdopodobieństwa w poszczególnych warstwach. Liczba n LG 150 w warstwach na głębokości z 1 = 5 cm i z 2 = 15 cm oraz n LG 100 w warstwach z 3 = 25 cm i z 4 = 35 cm. Zatem dla n L > 150 histogramy wilgotności będą wyznaczane z zadowalającą dokładnością. Graniczna liczba n LG stanowi jedynie 0,006% wszystkich moŝliwych kombinacji. Przeprowadzono równieŝ analizę histogramów uzyskanych rozwiązań w zaleŝności od czasu objętego modelowaniem. Rysunek 4 przedstawia histogramy wilgotności w wybranej warstwie dla T = 2, 6, 12 i 24 godziny. Kształt przedstawionych histogramów jest zmienny w czasie. Dla T = 2 i 6 histogramy wykazują asymetrię lewostronną - rozkład ma dłuŝszy lewy ogon, L i= 1

8 dla T = 12 godzin rozkład jest symetryczny, natomiast dla T = 24 godziny rozkład wykazuje asymetrię prawostronną - rozkład ma dłuŝszy prawy ogon.

9

10

11 Rys. 5. Fig. 5. Histogramy wilgotności dla całego modelowanego obszaru po 12 godzinach dla 1000 symulacji; z - połoŝenie punktu, J - częstotliwość Moisture content histograms for modelled area after 12 hours for 1000 simulations; z - location of point, J - frequency W ostatniej części pracy ocenie poddano histogramy zbudowane po 12 godzinach dla n L = 1000, ale dla róŝnych głębokości (rys. 5). Stwierdzono, Ŝe dla z = 15, 25, i 35 cm rozkład jest normalny, ale koncentracja wilgotności wokół średniej jest zróŝnicowana. Podsumowanie i wnioski W pracy zaprezentowano sposób rozwiązania równania Richardsa dla przypadku, gdy warunek początkowy podany jest w postaci zmiennej losowej. Warunek początkowy wyznaczono na podstawie badań terenowych

12 przeprowadzonych na poletku stanowiącym uŝytek łąkowy, który jednocześnie stanowił przestrzeń objętą modelowaniem. Przeprowadzone symulacje komputerowe, wykorzystujące procedury losujące napisane w programie MATLAB, pozwoliły na wyznaczenie dowolnej liczby moŝliwych zestawów warunków początkowych. Program ten wykorzystano ostatecznie do rozwiązania schematu jawnego róŝnicowej postaci równania Richardsa dla wylosowanych warunków początkowych. Pozwoliło to na sformułowanie następujących wniosków: 1. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa wilgotności uzyskanych na podstawie symulacji komputerowych dąŝy do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem liczby rozwiązań równania Richardsa. 2. Histogramy wilgotności wyznaczane są z zadowalającą dokładnością wtedy, gdy liczba przeanalizowanych przypadków wynosi jedynie 0,006% wszystkich moŝliwych kombinacji. 3. Kształt histogramów stanowiących rozwiązanie równania Richardsa przy losowym warunku początkowym ulega zmianom w zaleŝności od czasu (T), dla którego przeprowadzono symulację. Dla przypadku rozpatrywanego w pracy dla T < 6 h występuje asymetria lewostronna, dla T 12 h rozkład symetryczny, a dla T = 24 h symetria prawostronna. 4. Zaprezentowany w pracy sposób wprowadzenia elementów o charakterze losowym do równania Richardsa uwzględnia jedynie jeden typ losowości (warunek początkowy). Pełna analiza stochastycznego równania Richardsa powinna uwzględniać równieŝ losowy charakter warunków brzegowych oraz losowy charakter parametrów opisujących modelowaną przestrzeń. Literatura BRANDYK T., SKĄPSKI K., SZATYŁOWICZ J Zmienność przestrzenna właściwości fizycznych gleby. Współczesne Problemy Melioracji, red. Somorowski Cz. Wyd. SGGW, Warszawa: GENUCHTEN VAN M. TH A closed form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Sci. Soc. Am. J. 44: JANIK G 2005a. Spatial variability of soil moisture in grassland. Int. Agrophysics 19: JANIK G. 2005b. Dokładność wyznaczania rozkładu wilgotności wierzchniej warstwy gleby w zaleŝności od liczby obserwacji. Zesz Nauk AR w Krakowie 420: KOSTRZEWA E., BALBUS Ł Analiza rozkładu wilgotności gleby przy róŝnej

13 ilości obserwacji. XXXIII Międzynarodowe seminarium Kół Naukowych (opiekun naukowy Janik G.). Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie: MACIEJEWSKI S Procesy przepływu rozpuszczonych w wodzie substancji w gruncie nienasyconym. Wydawnictwo IBW PAN, Gdańsk: 367 ss. MACIEJEWSKI S., ZARADNY H., KLOTZ D Zastosowanie stochastycznego opisu przepływu wody dla interpretacji zjawiska makrodyspersji w nienasyconych gruntach. Rozprawy Hydrotechn. 58: MALICKI M.A Metodyczne zagadnienia monitoringu statusu wody w wybranych materiałach biologicznych. Acta Agrophysica 19: 108 ss. REINHARD A Regulacja i matematyczne modelowanie ruchu wody w glebie. Wyd. AR we Wrocławiu, Skrypty nr 462: 118 ss. REINHARD A Estimating time steps for the metod of finite differences based on verification of the water balance. J. Water Land Dev. 8: ROZMARYNOWSKI B., JESIEŃ W Numeryczne modele statycznych i dynamicznych obliczeń platform przybrzeŝnych. Rozprawy Hydrotechn. 31(1-2): SOBCZYK K Stochastyczne równania róŝniczkowe, teoria i zastosowania. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne. Warszawa: 404 ss. ZARADNY H Matematyczne metody opisu i rozwiązań zagadnień przepływu wody w nienasyconych gruntach i glebach. Prace IBW PAN 23: 367 ss. Słowa kluczowe: równanie Richardsa, losowy warunek początkowy Streszczenie W pracy podjęto próbę stochastycznego ujęcia równania Richardsa poprzez wprowadzenie losowego warunku początkowego. Przeprowadzone badania polowe oraz zastosowane procedury losujące napisane w programie MATLAB pozwoliły na wybór dowolnej liczby zestawów warunków początkowych. Następnie program wykorzystano do rozwiązania schematu jawnego róŝnicowej postaci równania Richardsa, dla kaŝdego wylosowanego zestawu. Na podstawie otrzymanych rozwiązań zbudowano histogramy wilgotności. Stwierdzono, Ŝe rozkład gęstości prawdopodobieństwa uzyskanych rozwiązań w poszczególnych punktach obszaru dąŝy do rozkładu normalnego, pomimo Ŝe w chwili początkowej rozkład w tych punktach nie ma takiego charakteru. Wykazano ponadto, Ŝe kształt histogramów wilgotności stanowiących rozwiązanie równania Richardsa z losowym warunkiem początkowym ulega stabilizacji juŝ po przeanalizowaniu 0,006% wszystkich

14 moŝliwych kombinacji. RICHARDS EQUATION WITH RANDOM INITIAL CONDITION Grzegorz Janik Institute of Environmental Development and Protection, University of Environmental and Life Sciences, Wrocław Key words: Richards equation, random initial condition Summary An attempt was mode to stochastic approach to Richards equation in addition to random initial condition. Site surveys and sampling procedure, written using the MATLAB programme, allowed unrestricted choice of sets of initial conditions. Next, the programme was used to solve an open schema of the differential form of Richards equation for each randomly selected set. On the basis of obtained results, moisture content histograms were constructed. It was established that the distribution of probability density of obtained results approaches the normal distribution in particular points of the area, even though at the initial moment the character of distribution in those points is different. Furthermore, it was shown, that the shape of moisture content histograms which are the results of Richards equation solution with random initial condition, stabilized after analysing just 0.006% of all possible combinations. Dr inŝ. Grzegorz Janik Instytut Kształtowania i Ochrony środowiska Uniwersytet Przyrodniczy Pl. Grunwaldzki WROCŁAW janik@miks.ar.wroc.pl