n := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "n := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy."

Marian Jabłoński
5 lat temu
Przeglądów:

1 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru ustego, Aksjomat ary nieuorządkowanej oraz Aksjomat sumy. Przykład 2 0 = { } = { } 2 = {} = { } {{ }} = {, { }} 3 2 = 2 {2} = {, { }} {{, { }}} = {, { }, {, { }}} Uwaga n n oraz n n. Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór X (tzw. zbiór induktywny) taki, że:. X, 2. y (y X y {y} X). Aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru N wszystkich liczb naturalnych. Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym (ze względu na inkluzję) zbiorem induktywnym. Fakt 3 x x N (x = y (y N y = x)). Twierdzenie 4 (O indukcji matematycznej.) Dla dowolnego zbioru P, jeśli P N P n n P n P to P = N. Fakt 5 Dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnego zbioru Y : Y n Y n. Własności liczb naturalnych. Niech n, m N. Wtedy. m = n m = n 2. m n m n m n 3. m n n m

2 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe 4. m n albo m = n albo n m Porządek w zbiorze liczb naturalnych. Niech k, n, m N. Wtedy m n def m n m < n def m n. Własności relacji oraz <. Niech k, n, m N. Wtedy. m < n m n 2. (m n m n) m < n 3. m n n m 4. m < n albo m = n albo n < m 5. m = n (m n n m) 6. (n < n) 7. k m m n k n 8. k < m m n k < n 9. k m m < n k < n 0. k < m m < n k < n Działania w zbiorze liczb naturalnych. Definicja 6 Funkcję + : N N N zdefiniowaną nastęująco nazywamy dodawaniem liczb naturalnych. +(0, m) ozn = 0 + m m +(n, m) ozn = n + m (n + m) Definicja 7 Funkcję : N N N zdefiniowaną nastęująco nazywamy mnożeniem liczb naturalnych. (0, m) ozn = 0 m 0 (n, m) ozn = n m (n m) + m 2

3 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech k, n, m N. Wtedy. k + (m + n) = (k + m) + n 2. n + 0 = n 3. k + m = k + m 4. k + m = m + k 5. k = k 6. k (m + n) = k m + k n 7. k (m n) = (k m) n 8. k 0 = 0 9. k m = m k 0. k + n = k + m n = m Konstrukcja zbioru liczb całkowitych. Niech N N będzie relacją określoną nastęująco: (, q) (k, l) + l = q + k. jest relacją równoważności. Definicja 8 Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór ilorazowy relacji : Z N N/. Przykład 9 Niech n N. [(0, 0)] = {(x, y) N N x + 0 = y + 0} = {(x, x) x N} [(n, 0)] = {(x, y) N N x + 0 = y + n} = {(y + n, y) y N} [(0, n)] = {(x, y) N N x + n = y + 0} = {(x, x + n) x N} Działania w zbiorze liczb całkowitych. Niech (, q), (k, l) N N. Dodawanie : Mnożenie : Odejmowanie : [(, q)] [(k, l)] [( + k, q + l)] [(, q)] [(k, l)] [(k + ql, qk + l)] [(, q)] [(k, l)] [( + l, q + k)] Twierdzenie 0 Działania dodawania, mnożenia oraz odejmowania zdefiniowane w zbiorze liczb całkowitych są dobrze określone (tzn. klasy będące wynikiem działań nie zależą od wyboru rerezentantów). 3

4 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Dowód (dla działania dodawania i mnożenia): Dowód orawności definicji olega na wykazaniu, że wynik działania nie zależy od wyboru rerezentantów klas na których wykonujemy działanie. Dla dodawania oznacza to, że jeśli [(, q)] = [(s, t)] i [(k, l)] = [(a, b)] to [(, q)] [(k, l)] = [(s, t)] [(a, b)]. Równoważnie, jeśli (, q) (s, t) i (k, l) (a, b) to ( + k, q + l) (s + a, t + b). Z definicji relacji założenie jest równoważne warunkowi: + t = s + q i k + b = a + l. Dodając stronami otrzymujemy + k + t + b = q + l + s + a, co oznacza, że ( + k, q + l) (s + a, t + b). Podobnie, aby udowodnić orawność definicji mnożenia wystarczy wykazać, że jeśli (, q) (s, t) i (k, l) (a, b) to (k + ql, qk + l) (sa + tb, sb + at). Z definicji relacji założenie jest równoważne warunkowi: + t = s + q i k + b = a + l. Mnożymy ierwsze równanie rzez k, drugie rzez s, nastęnie ierwsze zaisane w odwrotnej kolejności mnożymy rzez l a drugie (również w odwróconej kolejności) rzez t. Dodając wszystkie cztery równania stronami otrzymujemy: k + tk + sk + sb + ta + tl + sl + ql = sk + kq + sa + sl + tk + tb + l + lt. Po zredukowaniu mamy k + ql + sb + at = sa + tb + qk + l, co o skorzystaniu z definicji relacji kończy dowód. Uwaga 2 Dla dowolnych, q N, [(, q)] [(q, )] = [( + q, q + )] = [(0, 0)]. W szczególności, [(, 0)] [(0, )] = [(0, 0)]. Własności działań w zbiorze liczb całkowitych. Niech x, y, z Z. Wtedy. x (y z) = (x y) z 2. x (y z) = (x y) z 3. x y = y x 4. x y = y x 5. x (y z) = (x y) (x z) Porządek w zbiorze liczb całkowitych. Niech k, n,, q N. Wtedy [(, q)] [(k, n)] + n q + k. Uwaga 3 Zbiór (Z, ) jest uorządkowany liniowo. Ponadto, dla n N [(0, 0)] [(n, 0)] [(0, n)] [(0, 0)] Funkcja i : N Z, n [(n, 0)] jest naturalnym włożeniem zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb całkowitych. Dla n, m N i(n + m) = i(n) i(m) i(n m) = i(n) i(m) i(n) i(m) n m 4

5 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Dzięki temu możemy utożsamiać liczbę całkowitą [(n, 0)] naturalną n oraz liczbę n [(0, n)] z liczbą rzeciwną do [(n, 0)]. Przy takich oznaczeniach Konstrukcja zbioru liczb wymiernych. Z N { n n N}. Niech Z Z \ {0} i niech ϱ Z Z będzie relacją określoną nastęująco: ϱ jest relacją równoważności. (, q)ϱ(k, l) l = qk. Definicja Zbiorem liczb wymiernych nazywamy zbiór ilorazowy relacji ϱ: Q Z Z /ϱ. Klasę ary (, q) Z Z będziemy oznaczać jako ułamek q [(, q)] ϱ. Przykład 2 Niech Z. 0 = [(0, )] ϱ = {(k, l) Z Z k = l 0} = {(0, l) l Z } = [(, )] ϱ = {(k, l) Z Z k = l } = {(k, k) k Z } = [(, )] ϱ = {(k, l) Z Z k = l} = {(l, l) l Z } Działania w zbiorze liczb wymiernych. Niech, k Z, q, l Z : Dodawanie : Odejmowanie : Mnożenie : Dzielenie : q k l q k l q k l q k l l + kq ql l kq ql k ql l kq, dla k l 0 = i(n) z odowiadającą jej liczbą Twierdzenie 3 Działania dodawania, mnożenia, odejmowania oraz dzielenia zdefiniowane w zbiorze liczb wymiernych są dobrze określone (tzn. klasy będące wynikiem działań nie zależą od wyboru rerezentantów). Uwaga 4 Dla Z i q Z q = q = q = q = q. Porządek w zbiorze liczb wymiernych. Niech, k Z, q, l Z. Wtedy q k l l kq q, l > 0. 5

6 Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Funkcja j : Z Q, k [(k, )] ϱ = k jest naturalnym włożeniem zbioru liczb całkowitych w zbiór liczb wymiernych. Dla k, l Z j(k + l) = j(k) j(l) j(k l) = j(k) j(l) k l j(k) j(l) Dzięki temu możemy utożsamiać liczbę wymierną k = [(k, )] ϱ = j(k) z odowiadającą jej liczbą całkowitą k oraz liczbę l, dla l l Z, z liczbą odwrotną do l. Przy takich oznaczeniach Q {q Z, q Z }. Twierdzenie 4 Relacja jest gęstym orządkiem liniowym zbioru Q. 6

Podobne dokumenty

Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 := - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to następną po niej jest liczba

Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie