2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l

Transkrypt

1 Przykład 10.. Obiczenie obciażenia granicznego Obiczyć obciążenie graniczne P gr da poniższej beki. Przekrój poprzeczny i granica pastyczności są stałe. Graniczny moment pastyczny, przy którym następuje upastycznienie całego przekroju poprzecznego wynosi. Rozwiazanie Obciążenie graniczne jest to obciążenie wywołujące powstanie w konstrukcji odkształceń pastycznych, które powodują zamianę konstrukcji w mechanizm. Stan naprężenia w konstrukcji poddanej obciążeniu granicznemu spełnia warunki równowagi i warunki pastyczności, a stan przemieszczenia jest kinematycznie dopuszczany, czyi zgodny z więzami. Do okreśenia obciążenia granicznego używane są dwa podejścia: statyczne i kinematyczne. Rozważane zadanie rozwiążemy za pomocą podejścia kinematycznego. W tym podejściu wyznaczania obciążenia granicznego agorytm jest następujący: 1. ustaa się iczbę upastycznianych przekrojów (w przypadku zginanej beki przegubów pastycznych) rozpatrywana beka jest -krotnie statycznie niewyznaczana, w związku z tym naeży wprowadzić co najwyżej trzy przeguby pastyczne, aby powstał mechanizm o jednym stopniu swobody;. zakłada się kinematycznie dopuszczany schemat zniszczenia, to znaczy zgodny z więzami, o jednym stopniu swobody. Kierunek przemieszczeń ustaa się tak, aby praca obciążeń zewnętrznych była dodatnia; 3. kierunki sił przekrojowych w upastycznionych przekrojach (kierunki momentów pastycznych w przegubach pastycznych w przypadku zginania beki) ustaa się tak, aby były przeciwne do kierunku przemieszczeń (obrotów w przypadku zginania); 4. z warunku równowagi ub równania pracy wirtuanej obicza się obciążenie niszczące odpowiadające rozpatrywanemu schematowi zniszczenia; 5. najmniejsze obciążenie, ze zbioru wartości obciążeń obiczonych da poszczegónych schematów zniszczenia, jest obciążeniem granicznym. Przeguby pastyczne naeży umieszczać w tych przekrojach, w których mogą wystąpić ekstrema okane momentu zginającego, tj. w rozpatrywanym przypadku w przekrojach podporowych oraz w przekrojach obciążonych siłami skupionymi. Uzewnętrzniając momenty pastyczne naeży pamiętać, że praca tych momentów musi być ujemna, tzn. kierunek momentu pastycznego musi być taki, aby przeciwdziałać założonemu obrotowi pręta.

2 W rozpatrywanym przypadku naeży rozpatrzyć mechanizmy zniszczenia przedstawione na rysunkach na następnej stronie. Da wszystkich schematów zniszczenia układamy równania pracy wirtuanej i wyiczamy wartości obciążenia P odpowiadające danemu schematowi. Schemat I. = 0 P = 5 4

3 Schemat II. = 0 = 5 P = 5 4 Schemat III. + 1 = 0 5 P = P = 4 5 Schemat IV.

4 = 0 15 P = 3 P = 5 Schemat V. = 0 P = 3 Schemat VI. + 11P = 5 = 0 P = 5 11

5 Schemat VII. = 0 P = 3 Schemat VIII. + = 10 P = 5 11 = 0 Schemat IX.

6 = 0 P = 5 Najmniejsza wartość obciążenia powodującego powstanie schematu zniszczenia jest obciążeniem granicznym wyznaczonym metodą kinematyczną. ( 5 Pgr k = min 4, 5 4, 4 5, 5, 3, 5 11, 3, 5 11, ) = 5 5 Oznacza to, że przekształcenie konstrukcji w mechanizm następuje według schematu IV. ub IX. bądź wg schematu będącego kombinacją tych dwóch schematów. ożna udowodnić, że rzeczywiste obciążenie graniczne zawarte jest w przedziae P s gr P gr P k gr gdzie Pgr s oznacza obciążenie graniczne wyznaczone metodą statyczną. W przypadku, gdy P s gr = P gr = P k gr mamy do czynienia z rozwiązaniem zupełnym, zwanym również kompetnym ub ścisłym. Oznacza to, że mechanizm zniszczenia wyznaczony metodą rozwiązania kinematycznego jest stowarzyszony z rozwiązaniem statycznym. Sprawdźmy, czy da wyznaczonego obciążenia granicznego spełnione są wymagania podejścia statycznego. W tym ceu naeży narysować wykres momentów zginających odpowiadający schematowi zniszczenia. Rozpatrzmy schemat IX. Interesować nas będą wartości momentów zginających w punktach, w których wykres momentu może osiągać ekstrema okane, tj. w punktach B, C, D i E A B C F D E G H R A R C R F R H

7 p G = 0 R H + + = 0 R H = p D = 0 R H R F = 0 ( R F = 5 ) p 6 R F = 8 5 p A = 0 R H R C = ( R F R C ) ( R C = R C = 3 10 = 0 ( 8 5 ) ) R C = 30 R C = D = 0 R A R A = R A = 35 Dodatkowo sprawdźmy warunek 3 + R C 1 R C = = R A = 1 Py = R A = R C R F R H = = = 0 T A 0.5 (-) (+) 0.6 (+) B C D E F (-) G. H

8 Stowarzyszony wykres momentów zginających ma więc postać 0.7 A B C D E F G H 0.7. Ponieważ spełniony jest warunek pastyczności otrzymane rozwiązanie jest zupełne. Warto zapamiętać, że w przypadku beek wieoprzęsłowych, na które działa obciążenie zewnętrzne o różnych znakach, obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia w których powstają przemieszczenia w większej iczbie przęseł są mniejsze niż obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia pojedynczych przęseł. Inaczej jest, gdy obciążenia zewnętrzne mają jednakowe znaki w takich przypadkach mniejsze wartości obciążenia otrzymujemy da schematów zniszczenia pojedynczych przęseł.