STEROWANIE NIELINIOWE BACKSTEPPING WAHADŁA ODWRÓCONEGO Z NAPĘDEM INERCYJNYM

Transkrypt

1 Adam OWCZARKOWSKI Paweł BACHMAN Jarosław GOŚLIŃSKI Piotr OWCZAREK Roman REGULSKI STEROWANIE NIELINIOWE BACKSTEPPING WAHADŁA ODWRÓCONEGO Z NAPĘDEM INERCYJNYM STRESZCZENIE W artyule przedstawiono działanie nieliniowego algorytmu sterowania bacstepping użytego do stabilizacji wahadła odwróconego IWP (Inertia Wheel Pendulum). Analizowanym obietem jest onstrucja umocowana na dwóch ołach i posiadająca silni napędzający oło zamachowe. To czyni z niej nieliniowy uład o dwóch stopniach swobody (ąt odchylenia od pionu i ąt obrotu oła) i jednym wymuszeniu (moment siły na wale silnia). Jao punt pracy obrano niestabilną pozycję pionową. W oparciu o teorię stabilności Lapunowa, analitycznie wyznaczono prawo sterowania. Dla porównania wyznaczono również sterowanie liniowo-wadratowe LQR (Linear Quadratic Regulator). Wyonano testy symulacyjne obu algorytmów wyazując, że w wielu sytuacjach sterowanie bacstepping pozwala uzysać lepsze rezultaty niż sterowanie LQR. Słowa luczowe: sterowanie nieliniowe, bacstepping, LQR, IWP mgr inż. Adam OWCZARKOWSKI, mgr inż. Jarosław GOŚLINSKI mgr inż. Roman REGULSKI [Adam.J.Owczarowsi, Jarosław.A.Goslinsi, Roman.Regulsi]@doctorate.put.poznan.pl mgr inż. Piotr OWCZAREK Piotr.Owczare@put.poznan.pl Politechnia Poznańsa pl. Marii Słodowsiej-Curie 5, Poznań dr inż. Paweł BACHMAN P.Bachman@eti.uz.zgora.pl Uniwersytet Zielonogórsi ul. Licealna 9, Zielona Góra PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt, 64, 04

2 5 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi. WSTĘP Rys.. Wahadło odwrócone z napędem inercyjnym obiet laboratoryjny Istnieje wiele metod sterowania nieliniowego. Są to między innymi: sliding mode control, Lyapunov redesign, nonlinear damping czy bacstepping. Niniejszy artyuł uazuje zalety i wady nieliniowego sterowania typu bacstepping. W rou 990 metodę tę przedstawił Petar V. Kootovic [3]. Jao testowany obiet wybrano wahadło odwrócone z napędem inercyjnym (IWP Inertia Wheel Pendulum). Zadaniem systemu sterującego jest stabilizowanie uładu w pozycji pionowej. Wielością sterującą jest prąd w uzwojeniu silnia prądu stałego przeładający się bezpośrednio na przyspieszenie wirującej masy umieszczonej w niezerowej odległości od podłoża. Regulator dwupołożeniowy z histerezą zapewnia poprawne działanie uładu nadążnego prądu. Uład ma dwa stopnie swobody: ąt odchylenia onstrucji od pionu oraz ąt obrotu wału silnia. Stosune liczby stopni swobody (dwa) do liczby wymuszeń (jedno) sprawia, iż uład ten jest z rodzaju underactuated. Do celów badawczych zbudowano tai uład poazany na rysunu. Celem artyułu było uazanie zalet i wad sterowania bacstepping. Dodatowo porównano je z sterowaniem liniowo wadratowym LQR (Linear Quadratic Ragulator) i uazano ila aspetów stanowiących wyższość metody pozbawionej linearyzacji równań różniczowych. Badania zostały zrealizowane w postaci symulacyjnej.. MODEL MATEMATYCZNY Równania () i () stanowią różniczowy model matematyczny IWP []. α α = ψ +ψα+ψ 3sin, () si b =, () I gdzie: α ąt odchylenia onstrucji od pionu, ąt obrotu wału silnia,

3 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 53 s stała silnia, b współczynni tarcia na wale silnia, i prąd płynący przez uzwojenia silnia, I moment bezwładności oła zamachowego, ψ, ψ i ψ 3 stałe współczynnii. Współczynnii te przyjmują następującą postać: I ψ =, (3) I + I r I ψ =, (4) I + I r gl m p c ψ 3 =, (5) I + Ir gdzie I r jest momentem bezwładności całej onstrucji, b α oreśla współczynni tarcia wahadła względem podłoża, g oznacza przyspieszenie ziemsie, l p jest wysoością wahadła, zaś m c oreśla masę wahadła. Wielości te przyjmują następujące wartości: I r = 0,036 g m, b α = 0,00 N m s, g=9,8 m s l p = 0,4 m, m= 3,96 g, c I = 0,0094 g m, Nm s = 0,4 A,, b=0,00n m s. 3. STEROWANIE BACKSTEPPING Sterowanie bacstepping zrealizowano zgodnie z schematem bloowym przedstawionym na rysunu. Rys.. Schemat bloowy uładu sterowania opartego o regulację bacstepping

4 54 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi Przyjęto następujące zmienne stanu: x = α, (6) x = α. (7) W tracie wyznaczania sterowania bacstepping wzięto po uwagę jedynie podsystem scharateryzowany równaniem () i jao sterowanie potratowano przyspieszenie ątowe oła zamachowego : u. (8) Pochodne zmiennych stanu wyglądają następująco: x = x, (9) x =ψ +ψ α+ψ α, (0) sin 3 Dzięi temu możliwe było zapisanie równań różniczowych podsystemu, orzystając ze zmiennych stanu: x x x x u x. () 3 sin 0 Na począte należy rozważyć podsystem z, gdzie można wyróżnić ila etapów. Sterowanie bacstepping można wyznaczyć, postępując zgodnie z poniższymi roami. ) Podstawienie z i z : z = x, () z = x. (3) ) Konstruowanie funcji Lapunowa: a więc: z = z V, (4) z = z V. (5) z 3) Wprowadzenie : x = ρ, (6) z

5 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 55 > 0, (7) gdzie i są stałymi onfiguracyjnymi. 4) Przedstawienie z : a więc: = x ρ x z, (8) z = z + z. (9) 5) Przedstawienie rozwiniętej funcji Lapunowa: z = z z = z z + z = z + z z. (0) V Jeśli z 0, wtedy: z = z 0 V. () Tym samym podsystem z jest ustabilizowany. Teraz można zapisać równanie w postaci:. () z = ψx +ψ3sinx +ψu + x 6) Konstruowanie funcji Lapunowa: V z,z = z + z (3) i jej pochodnej: z,z = z z + z z = z + z z +ψ x +ψ x +ψ u+ V 3sin x 7) Wyznaczenie prawa sterowania: z +ψ x +ψ3sinx +ψu+x = z. (4), (5) z,z = z z 0, (6) V dla > 0. Na podstawie równania (6) uzysano sterowanie: u = ψ 3 z ψ x ψ sinx x z. (7)

6 56 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi Wyznaczone sterowanie zapewnia stabilność z i z z puntu widzenia Lapunowa, czyli sprawia, że: z 0 i z 0. System () stabilizowany jest dzięi sterowaniu (7). Teraz należy wyeliminować zmienne pomocnicze z i z podstawiając odpowiednio: oraz z = x (8) x = x + z = x ρ x (30) do równania (7), w wyniu czego uzysano sterowanie: u = x +x x ψx ψ3sinx x. (30) ψ Parametry i przyjęto na podstawie wzoru zaczerpniętego z [4]: i przyjęto je następująco: + =00 (3) = 50, (3) = 50. (33) 4. STEROWANIE LQR Działanie algorytmu bacstepping porównano z algorytmem LQR (Linear Quadratic Regulator) []. Metoda LQR była stworzona do stabilizowania uładów liniowych, jedna dzięi linearyzacji w zadanym puncie można ją stosować do uładów nieliniowych. W przypadu rozważanego obietu przybliżenie linearyzujące uład w położeniu pionowym jest dosyć orzystne, ponieważ dotyczy ono linearyzacji funcji sinus dla argumentów zbliżonych do zera. Załada się, że wahadło głównie ma przebywać w pozycji pionowej lub masymalne odchylenie od tej pozycji jest mniejsze od dwudziestu stopni. Na rysunu 3 uazano schemat bloowy regulacji LQR. Rys. 3. Schemat bloowy uładu sterowania opartego o regulację LQR

7 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 57 Ja widać, sprzężenie zwrotne zostało zrealizowane, orzystając z α, ja w przypadu przedstawionego sterowania bacstepping, ale również z. Prawo sterowania LQR wyraża się wzorem: ulqr = Kx LQR, (34) gdzie K jest wetorem wzmocnień, zaś x LQR jest stanem uładu. Celem sterowania jest minimalizacja funcji osztu: J = n i= 0 x T LQR Qx LQR + Ru LQR (35) gdzie Q to macierz wag stanu, R to waga sygnału sterującego. Dla modelu zlinearyzowanego na potrzeby sterowania za stan przyjęto: x LQR (36) Chcąc otrzymać sterowanie optymalne należy wyznaczyć równanie Riccatiego: P T T T = Q+ Ad P P Bd R+ Bd P Bd Bd P A d, (37) gdzie A d i B d są macierzami dysretnego równania stanu. Zastosowano równanie iteracyjne i stąd numer iteracji. Wzór do obliczenia wetora wzmocnień wygląda następująco: K = T T R+ Bd P Bd B P Ad Po obliczeniach wyniósł on wartość:. (38) K= 43,04 6,0 0,3. (39) Jao wagi przyjęto następujące wartości []: R =00, (40) 0 0 Q 0 0. (4) 0 0

8 58 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi 5. WYNIKI SYMULACYJNE Przed wyonaniem esperymentu symulacyjnego ustalono oreślony stan początowy uładu x 0. Przyjął on następującą postać: 0 x 0 0. (4) s 0 s Jao wartość startową przyjęto odchylenie wahadła od pionu o dwadzieścia stopni, a wszystie pozostałe zmienne stanu wyzerowano. W tracie symulacji omputerowych do obliczeń równań różniczowych zastosowano numeryczną metodę całowania Eulera w przód. W niniejszym artyule głównym ryterium jaości regulacji przyjęto czas regulacji. Dodatowo oceniano stabilność uładu na podstawie wyniów esperymentu. Na rysunu 4 przedstawiono rezultat symulacji zachowania się IWP ze sterowaniem bacstepping. Rys. 4. Wyres zmian ąta α i prądu i w czasie dla sterowania typu bacstepping dla różnych ograniczeń

9 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 59 Sprawdzono i porównano działanie metody dla różnych ograniczeń, a były to: ograniczenie sygnału sterującego do 5 A, ograniczenie sygnału sterującego do 8 A, ograniczenie częstotliwości atualizacji sterowania do 00 Hz. Nałożono taie ograniczenia, ponieważ brano pod uwagę realną apliację urządzenia. W rzeczywistych urządzeniach zawsze występują graniczne prądy w uzwojeniu silnia, a co za tym idzie, generowane momenty. To samo dotyczy częstotliwości zamyania pętli regulacji, tóra jest determinowana albo możliwościami obliczeniowymi jednosti omputerowej, albo masymalną częstotliwością odczytu z IMU (Inertial Measurement Unit). Żadne z tych ograniczeń nie wprowadziło niestabilności. Przy zmniejszeniu ograniczenia prądu silnia czas regulacji uległ wydłużeniu. Nałożenie ograniczenia częstotliwości wywoływania regulatora do 00 Hz spowodowało powstanie małych, ledwo zauważalnych oscylacji w oolicach puntu równowagi. Jeśli chodzi o wielość sterującą (prąd), można wyraźnie dostrzec pracę regulatora w nasyceniu w znaczących odcinach czasowych. Jedynie dla zmniejszonej częstotliwości do 00 Hz sutuje częstymi i gwałtownymi zmianami sygnału wyjściowego. W realnych apliacjach jest to sytuacja niedopuszczalna, tóra mogłaby doprowadzić do zniszczenia jednosti wyonawczej. Rys. 5. Wyres zmian ąta α i prądu i w czasie dla sterowania typu LQR dla różnych ograniczeń

10 60 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi Na rysunu 5 przedstawiono analogiczny esperyment do tego wcześniej opisanego z rysunu 4, lecz tym razem dotyczącego sterowania LQR. Można stwierdzić, że ta metoda jest onurencyjna do metody bacstepping. Również żadne z nałożonych ograniczeń nie wprowadziło niestabilności. Widać też, że dla zmniejszonej częstotliwości atualizacji sygnału sterującego nadal się on zmienia łagodnie, co przemawia za wyższością LQR nad bacstepping w tym aspecie. Na rysunu 6 przedstawiono wynii działania obu metod dla tego samego ograniczenia ograniczenie sygnału sterującego do 5 A. Rys. 6. Wyres zmian ąta α i prądu i w czasie dla sterowania typu bacstepping i LQR porównanie obu metod Widać dosonale, iż bacstepping gwarantuje rótszy czas regulacji. Dodatowo widać, że metoda ta jest bardziej agresywna, pojawia się praca w nasyceniu, iedy w przypadu LQR tego typu sytuacja nie wystąpiła. Z pewnością różnice jaości regulacji byłyby jeszcze wyraźniej widoczne, iedy punt pracy zostałby przesunięty dalej od puntu linearyzacji równań obietu, sterując regulatorem LQR.

11 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 6 6. PODSUMOWANIE W artyule przedstawiono i porównano dwie metody sterowania wahadła odwróconego z napędem inercyjnym. Pierwsza z nich to sterowanie nieliniowe bacstepping, a druga to sterowanie LQR. Wniosi oparto o wynii symulacyjne. Algorytm bacstepping oparty o funcję Lapunowa daje obiecujące możliwości implementacyjne. Po wyonaniu testów z nałożeniem różnych ograniczeń, metoda zapewnia stabilność IWP w niesończonym horyzoncie czasowym. Zaletą bacstepping nad LQR jest rótszy czas regulacji. Wadą zaś są niebezpiecznie gwałtowne zmiany sygnału sterującego dla małych częstotliwości zamyania pętli sprzężenia zwrotnego. Ta uwaga jest istotna przy projetowaniu rzeczywistych systemów sterowania. Warto przeanalizować działanie algorytmu, iedy ograniczenia zostałyby zaimplementowane jeszcze w fazie projetowania regulatora. Można by sprawdzić taie rozwiązanie, gdyż daje to szanse na poprawne działanie systemu. LITERATURA. Drapiowsi P., Goślińsi J., Owczarowsi A.: Control and model parameters identification of inertia wheel pendulum. ICINCO 9th International Conference on Informatics in Control, Rome, 0.. Goślińsi J., Owczarowsi A.: Stabilizacja wahadła odwróconego z napędem inercyjnym przy pomocy regulatora LQR. Informatya Automatya Pomiary w Gospodarce i Ochronie Środowisa, 4a, 0/0, s Kanellaopoulos I., Krstic M., Kootović P.: Non-linear and Adaptive Control Design. John Wiley & Sons, New Yor, Lixia D., Shengxiang G.: The Design For The Controller of The Linear Inverted Pendulum Based On Bacstepping. IEEE International Conference on Electronic & Mechanical Engineering and Information Technology, 0. Ręopis dostarczono dnia r. NON-LINEAR BACKSTEPPING CONTROL FOR AN INERTIA WHEEL PENDULUM Adam OWCZARKOWSKI Paweł BACHMAN, Jarosław GOŚLIŃSKI Piotr OWCZAREK, Roman REGULSKI ABSTRACT This article describes the non-linear bacstepping control algorithm used to stabilize the inverted pendulum IWP (Inertia Wheel Pendulum). The analysed object is a construction mounted on two wheels

12 6 A. Owczarowsi, P. Bachman, J. Goślińsi, P. Owczare, R. Regulsi with an electric motor accelerating the flywheel. This is the non-linear system with two degrees of freedom (the angle of inclination and rotation of the wheel) and one actuator (torque on the motor shaft). The vertical position is the unstable operating point. The Lyapunov stability theory allowed to formulate the control law analyticity. The result is compared with the linear-quadratic control LQR (Linear Quadratic Regulator). The simulation tests showed differences of both algorithms and benefits of using bacstepping. Keywords: nonlinear control, bacstepping, LQR, IWP Mgr inż. Adam OWCZARKOWSKI w 0 rou uończył studia o ierunu Automatya i Robotya na Wydziale Eletrycznym Politechnii Poznańsiej. Od tego czasu jest studentem studiów dotorancich na tej samej uczelni. Jego praca głównie supia się na teorii sterowania nieliniowego i implementacji jej w rzeczywistych uładach robotycznych. Dr inż. Paweł BACHMAN adiunt na Wydziale Mechanicznym Uniwersytetu Zielonogórsiego. Zainteresowania: mechatronia i sterowanie napędami za pomocą interfejsów haptic. Mgr inż. Jarosław GOŚLIŃSKI w 0 rou uończył studia na ierunu Automatya i Robotya. Podjął pracę w orporacji, gdzie zajmował się wdrażaniem systemów pomiarowych, uzysał certyfiat CLAD (Certified LabVIEW Associate Developer). Powrócił na Politechnię Poznańsą, gdzie zaczął studia dotorancie. Zajmuje się estymacją stanu przy wyorzystaniu bezśladowych filtrów Kalmana. Pracuje nad robotami latającymi, modelowaniem dynamii oraz identyfiacją parametrów modeli matematycznych.

13 Sterowanie nieliniowe bacstepping wahadła odwróconego z napędem inercyjnym 63 Mgr inż. Piotr OWCZAREK dotorant i asystent na Wydziale Budowy Maszyn i Zarządzania w Załadzie Urządzeń Mechatronicznych Politechnii Poznańsiej. W 0 rou uończył Automatyę i Robotyę na Wydziale Eletrycznym Politechnii Poznańsiej. Jego zainteresowania supiają się woół przetwarzania obrazów, sztucznej inteligencji, projetowania urządzeń eletronicznych i mechatronicznych oraz na robotach mobilnych, ja i sterowniach przemysłowych. Mgr inż. Roman REGULSKI dotorant w Załadzie Urządzeń Mechatronicznych Wydziału Budowy Maszyn i Zarządzania Politechnii Poznańsiej. Zainteresowania nauowe: mechatronia, sterownii miroprocesorowe, automatyczne systemy rozpoznawania mowy, sterowanie głosowe.

14