MATEMATYKA poziom podstawowy Zbiór opracowali Irena O³tuszyk Witold Stachnik

Transkrypt

1 Zbiór zadañ maturalych MATEMATYKA poziom podstawowy Zbiór opracowali Irea O³tuszyk Witold Stachik Wydawictwo Szkole OMEGA Kraków 018

2 Copyright 018 by Wydawictwo Szkole OMEGA Projekt ok³adki: Jacek Kawa Opracowaie graficze, sk³ad i ³amaie: Marzea Paleczy ISBN: ISBN: ca³oœæ Wydawictwo Szkole OMEGA, 30 Kraków, ul. Wielicka 44 C tel , biuro@ws-omega.com.pl Druk: Zak³ad Graficzy COLONEL, Kraków, ul. D¹browskiego 16

3 SPIS TREŒCI WSTÊP...7 ZADANIA...9 LICZBY RZECZYWISTE...9 WYRA ENIA ALGEBRAICZNE...3 RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI...30 FUNKCJE...49 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE...80 CI GI...91 GEOMETRIA ANALITYCZNA PLANIMETRIA...17 STEREOMETRIA...1 STATYSTYKA I ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEÑSTWA KARTA WYBRANYCH WZORÓW ODPOWIEDZI...09 LICZBY RZECZYWISTE...09 WYRA ENIA ALGEBRAICZNE...10 RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI...11 FUNKCJE...13 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE...16 CI GI...18 GEOMETRIA ANALITYCZNA...1 PLANIMETRIA...4 STEREOMETRIA...6 STATYSTYKA I ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEÑSTWA...8

4 WSTÊP Zbiór przezaczoy jest dla osób przygotowuj¹cych siê do pisemego egzamiu dojrza³oœci z matematyki a poziomie podstawowym. Staowi ajbardziej aktualy przegl¹d wymagañ stawiaych ucziowi podczas egzamiu maturalego. Egzami maturaly z matematyki sprawdza, w jakim stopiu absolwet spe³ia wymagaia z zakresu matematyki okreœloe w podstawie programowej kszta³ceia ogólego. Zakres wiadomoœci i umiejêtoœci sprawdzaych a egzamiie oraz ogóle zasady obowi¹zuj¹ce a egzamiie od roku szkolego 014/01 opisuj¹ dwa podstawowe dokumety, zatwierdzoe przez MEN i iezbêde w przygotowaiu do egzamiu: podstawa programowa kszta³ceia ogólego dla III i IV etapu kszta³ceia 1, iformator o egzamiie maturalym z matematyki. Dokumety te dostêpe s¹ a stroie iteretowej Cetralej Komisji Egzamiacyjej [ oraz a stroach iteretowych okrêgowych komisji egzamiacyjych. Publikacja ta powia pomóc w dobrym przygotowaiu siê do egzamiu przede wszystkim przysz³oroczym maturzystom oraz staowiæ wsparcie dla auczycieli, którzy bêd¹ ich do tego egzamiu przygotowywaæ. Zbiór sk³ada siê z dwóch czêœci: I. Zadaia wraz z odpowiedzimi i kart¹ wybraych wzorów matematyczych 1. Zadaia 9 zadañ u³o oych tematyczie wed³ug dzia³ów matematyki. Zadaia zebrae w zbiorze pojawi³y siê a egzamiach maturalych lub próbych egzamiach maturalych w latach Zosta³y uzupe³ioe zadaiami z Iformatora maturalego oraz zadaiami autorskimi. Dla orietacji przy ka dym zadaiu podao iformacjê, w którym roku dae zadaie pojawi³o siê a egzamiie oraz jego puktacjê. Zadaia w ka dym dziale s¹ ró orode od zadañ 1 Rozporz¹dzeie MEN z dia 3 grudia 008 r. w sprawie podstawy programowej wychowaia przedszkolego oraz kszta³ceia ogólego w poszczególych typach szkó³ (Dz.U. 009 r 4 poz. 17). 7

5 zamkiêtych (ABCD), poprzez zadaia otwarte krótkiej odpowiedzi ( ), po zadaia otwarte rozszerzoej odpowiedzi ( ). Obejmuj¹ oe ca³y zakres materia³u matematyki a poziomie podstawowym, co sprawia, e doskoale sprawdz¹ siê w czasie powtórek i przygotowaia siê do matury. Dla ucziów zaiteresowaych matematyk¹ umieszczoo w zbiorze kilkaaœcie zadañ wykraczaj¹cych poza podstawê programow¹ s¹ oe ozaczoe gwiazdk¹. W zbiorze wprowadzoo astêpuj¹cy podzia³ zgodie z podstaw¹ programow¹: Liczby rzeczywiste; Wyra eia algebraicze; Rówaia i ierówoœci; Fukcje; Ci¹gi; Trygoometria; Plaimetria; Geometria a p³aszczyÿie kartezjañskiej; Stereometria; Elemety statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieñstwa i kombiatoryki.. Karta z wybraymi wzorami Obowi¹zuj¹ca Karta wybraych wzorów matematyczych opublikowaa przez Cetral¹ Komisjê Egzamiacyj¹. 3. Odpowiedzi do zadañ Krótka odpowiedÿ do ka dego zadaia. II. Szkice rozwi¹zañ Szkice rozwi¹zañ do wszystkich zadañ wraz z pe³¹ odpowiedzi¹ i rysukami. 8

6 MATEMATYKA. POZIOM PODSTAWOWY. MATURA 019 Zadaie 48. Matura próba, III 008, 4 p. Na rysuku ozaczoo k¹ty oraz podao d³ugoœci boków trójk¹ta prostok¹tego. Oblicz, które z wyra eñ ma wiêksz¹ wartoœæ: tg cos si czy tg cos si Zadaie 49. Oblicz z dok³adoœci¹ do 1 miarê k¹ta ostrego, jaki tworzy z osi¹ odciêtych prosta o rówaiu 7x y 1 0. Zadaie 430. Adam widzi samolot pod k¹tem 40 w chwili, gdy zajduje siê o ad puktem odleg³ym od ch³opca o km. Na jakiej wysokoœci i w jakiej odleg³oœci (w liii prostej) od Adama zajduje siê samolot? Wyiki podaj w przybli eiu do 0,1 km. Zadaie 431. Bartek widzi ajwy szy pukt 140-metrowej wie y pod k¹tem 36. W jakiej odleg³oœci od wie y zajduje siê ch³opiec? Wyik podaj w zaokr¹gleiu do1m. Zadaie 43. Oblicz z dok³adoœci¹ do 1 miarê jedego z k¹tów miêdzy przek¹tymi czworok¹ta zawieraj¹cymi siê w prostych o rówaiach 3x 4y 0 oraz 3 x y Zadaie 433. Darek, maj¹c do dyspozycji cyrkiel i liijkê, musi zbudowaæ trójk¹t prostok¹ty ABC o k¹cie A, którego sius jest rówy 3. Podpowiedz ch³opcu, 4 jak ma wykoaæ zadaie. 90

7 CI GI CI GI Zadaia zamkiête ABCD Zadaie 434. Matura, VI 013, 1 p. Ci¹g (a ) okreœloy jest wzorem 1 a dla 1. Rówoœæ a 4 zachodzi dla A. B. 3 C. 4 D. ABCD Zadaie 43. Matura, VIII 013, 1 p. Ci¹g ( a ) jest okreœloy wzorem a, dla 1. Który wyraz tego ci¹gu jest rówy 6? A. drugi B. trzeci C. szósty D. trzydziesty ABCD Zadaie 436. Matura próba, XI 009, 1 p. Dla 1,, 3,...ci¹g ( a ) jest okreœloy wzorem a ( 1) ( 3 ). Wtedy A. a 3 0 B. a 3 0 C. a 3 1 D. a 3 1 ABCD Zadaie 437. Matura, VIII 01, 1 p. Day jest ci¹g ( a ) okreœloy wzorem a dla 1. ( ) Wówczas A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a ABCD Zadaie 438. Iformator maturaly, 1 p. Ci¹g (a ) jest okreœloy wzorem a ( 3) ( 9 ) dla 1. Wyika st¹d, e A. a 3 81 B. a 3 7 C. a 3 0 D. a

8 ODPOWIEDZI Zadaie 4. tg CAB. Zadaie 46. Obw Zadaie 47. tg si ctg 1 cos Zadaie , wartoœæ wyra eia tg cos si jest wiêksza od wartoœci wyra eia tg cos si. Zadaie Zadaie 430. y 4, (km). Zadaie m. Zadaie 43. Miara k¹ta miêdzy przek¹tymi jest rówa 8 lub 9 (z dok³adoœci¹ do 1 ). 17

9 MATEMATYKA. POZIOM PODSTAWOWY. MATURA 019 CI GI Nr zad. OdpowiedŸ Nr zad. OdpowiedŸ 434. A 468. C 43. C 469. B 436. B 470. A 437. D 471. C 438. C 47. C 439. A 473. B 440. B 474. C 441. B 47. D 44. C 476. B 443. D 477. D 444. B 478. D 44. B 479. B 446. A 480. A 447. B 481. C 448. A 48. B 449. C 483. A 40. C 484. C 41. B 48. C 4. B 486. D 43. A 487. A 44. D 488. D 4. A 489. A 46. B 490. D 47. C 491. B 48. C 49. C 49. A 493. C 460. C 494. C 461. A 49. B 46. D 496. B 463. B 497. B 464. C 498. B 46. C 499. B 466. A 00. D 467. D 01. C Zadaie S 1. 8 Zadaie a 1, a. 4 7 Zadaie 06. Trzy wyrazy. Zadaie 07. Liczba 100 ie jest wyrazem tego ci¹gu. Zadaie 08. a 1 0, a 3, a 36, a Zadaie 09. Liczba 1 jest czwartym oraz jedeastym wyrazem tego ci¹gu. Zadaie wyrazy ujeme: S 0. Zadaie 11. Trzy wyrazy dodatie. Najwiêksz¹ wartoœæ ma wyraz pierwszy. Zadaie 1. Liczba 016 jest 666-tym wyrazem ci¹gu (a ). Zadaie 13. a 4. Zadaie 14. S Zadaie 1. a) 39 wyrazów tego ci¹gu to liczby miejsze od 1,97. b) x Zadaie 17. a) Ci¹g (a ) ie jest ci¹giem arytmetyczym. 1 3 b) b 4 4. Zadaie 18. x 0. Zadaie 19. r 14. Zadaie 0. x 1, y 9. 18

10 Zbiór zadañ maturalych MATEMATYKA poziom podstawowy SZKICE ROZWI ZAÑ Wydawictwo Szkole OMEGA Kraków 018

11 SPIS TREŒCI LICZBY RZECZYWISTE...3 WYRA ENIA ALGEBRAICZNE...1 RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI...19 FUNKCJE...33 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE...3 CI GI...64 GEOMETRIA ANALITYCZNA...80 PLANIMETRIA...10 STEREOMETRIA...17 STATYSTYKA I ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEÑSTWA...14 Copyright 018 by Wydawictwo Szkole OMEGA ISBN: ISBN: ca³oœæ

12 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Zadaie 46. AC 3 3 cos30, st¹d AB. AB AB Z twierdzeia Pitagorasa BC 4 3, st¹d BC 1. Obw Zadaie 47. AB cos 4, ctg 4 3, si 4, tg 4 3. tg 4 ctg si cos Zadaie 48. si, cos , tg, si , cos 13, tg tg cos si tg cos si , wartoœæ wyra eia tg cos si jest wiêksza od wartoœci wyra eia tg cos si. Zadaie 49. tg 7 wspó³czyik kierukowy prostej y 7 x 1, wiêc 3. Zadaie 430. cos 40 y 6, (km). y 077, x tg 40 y 084, 4, (km). y S x A 40 km P 61

13 MATEMATYKA. POZIOM PODSTAWOWY. MATURA 019 Zadaie x tg x tg , 19. W 140 m x 36 B Zadaie y x 4 y x 3 x + y Rówaia kierukowe prostych maj¹ postaæ: y x 4 4 oraz y 9 10 x 1, wiêc tg 3, czyli 3 4 ; tg 9, st¹d 138, poiewa : 10 tg(180 1) tg 1, 9 tg 1 1 4, czyli Miara k¹ta miêdzy przek¹tymi jest rówa lub (z dok³adoœci¹ do 1 ). 6

14 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Zadaie ) Narysuj dwie proste prostopad³e przeciaj¹ce siê w pukcie C. ) Na jedej z pó³prostych o pocz¹tku C odmierz 3 odciki jedakowej d³ugoœci a, koiec ostatiego odcika wyzaczy pukt B. 3) Z puktu B zakreœl ³uk o promieiu 4a tak, by przeci¹æ drug¹ z prostych prostopad³ych. Otrzymasz pukty A i A', wyzaczaj¹ce szukay ABC oraz drugie rozwi¹zaie A'BC, takie esia 3 4 i si A' 3 4. B 3a 4a A' C A 63

15 MATEMATYKA. POZIOM PODSTAWOWY. MATURA 019 CI GI Zadaie , zatem 1 6, st¹d. Zadaie 43. 6, zatem i 3, st¹d 3, bo ie spe³ia waruku zadaia. Zadaie a 3 ( 1) ( 3 3) 0. Zadaie a 3. 3 ( ) 8 Zadaie a 3 ( 3) ( 9 9) 0. Zadaie 439. a Zadaie a Zadaie a ( 1 ) 1 ( ). Zadaie 44. Zapisujemy waruki i 1, st¹d 6. Zadaie , 9 wyrazów, poiewa 1. Zadaie ( 1) a 1. ( 1) 1 64