E k o n o m e t r i a S t r o n a 1

Transkrypt

1 E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x α x + ε, t =,,..., n. (3) t 0 t t j jt t Model ten wiąże za pomocą funkcji liniowej wartości zmiennej objaśnianej Y z wartościami zmiennych objaśniających X, X,..., X j i wartościami składnika losowego ε. Jeśli spełnione są założenia: Z. Zmienne objaśniające X, X,...,X j mają ustalone wartości x t, x t,..., x jt dla t =,, n, (to znaczy, że zmienne te nie są zmiennymi losowymi), Z. Wśród zmiennych X, X,..., X j nie ma zmiennych współliniowych, Z3. Informacje zawarte w bazie danych statystycznych y t, x t, x t,..., x jt dla t =,,..., n, są jedynymi, na podstawie, których szacujemy parametry modelu (3), to parametry α 0, α, α,..., α j modelu (3) można oszacować metodą najmniejszych kwadratów (MNK). Przyjmijmy oznaczenia: y x x. x j ε α 0 y x x. x j ε α. y =., X =..... ε =., α = y n x k x. x jn ε n α j Równanie regresji liniowej (3) możemy zapisać w postaci: y = X α + ε Przy powyższych oznaczeniach założenie Z przyjmuje postać: Z. Rząd macierzy X jest równy k = j+ (gdzie k = j + to liczba parametrów modelu) lub inaczej det X T X 0. Wektor aˆ 0 aˆ a ˆ =. =(X T X) - X T y. a ˆ j nazywamy MNK estymatorem wektora α parametrów modelu (3). Teoretyczny model możemy, + więc zapisać + w +... postaci: + ŷ = aˆ aˆ x aˆ x a x, t =,,..., n (4) t ˆ 0 t t j Przykład. W tabeli podano wartości kosztów produkcji z ostatnich dziesięciu lat w zakładzie MOJA BELECZKA, produkującego pręty stalowe: y t - roczna wartość kosztów produkcji (tys. zł) w roku t, x t wielkość produkcji w tys. ton w roku t, x t - liczba pracowników produkcyjnych w roku t. jt

2 E k o n o m e t r i a S t r o n a Wykorzystując zbudowany model ekonometryczny Y= f( X, X, ε ) wyznaczyć prognozę wielkości kosztów na kolejny rok, wiedząc, że na podstawie analiz rynku przedsiębiorstwo ustaliło na ten rok wielkość produkcji na poziomie 4 tys. ton a wielkość zatrudnienia na poziomie 33 osoby.. Ustalenie postaci modelu Y= f( X, X, ε ) Dla ustalenia postaci modelu utworzymy wykresy zależności Y od X oraz Y od X.

3 E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 A następnie dobierzemy linię trendu (ustawiając kursor w jednym z punktów wykresu i klikając prawym klawiszem myszy). Wybieramy Dodaj linię trendu i otrzymujemy tabelę, z której dobieramy najlepiej dopasowaną linię trendu.

4 E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 Najlepiej dopasowanym do danych w obu przypadkach jest trend liniowy. Dodatkowo obliczymy współczynniki korelacji liniowej r YX oraz r YX. W arkuszu kalkulacyjnym Excel funkcja WSP.KORELACJI znajduje się w funkcjach statystycznych.

5 E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Wybieramy WSP.KORELACJI, Akceptujemy wybór OK. Wynikiem naszego działania jest tabelka argumenty funkcji. W Tablicy zaznaczamy kolumnę z wartościami y ( naszym przykładzie B:B), w Tablicy zaznaczamy kolumnę z wartosciami x.( w naszym przykładzie C:C) Naciskamy klawisz OK. i otrzymujemy wynik działania funkcji.

6 E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 W analogiczny sposób wyznaczamy wartość r YX. I otrzymujemy: Współczynniki korelacji r Y X = 0,9, r Y X = 0,93 są wysokie a więc do prognozowania kosztów produkcji zaproponujemy liniowy model ekonometryczny w postaci: y = α + α x + α x + ε, t =,,..., 0. t 0 t t t Na zadanie domowe wykonać testy istotności współczynników korelacji r Y X, r Y X.

7 E k o n o m e t r i a S t r o n a 7. Szacowanie parametrów modelu Parametry α 0, α, α modelu yt = α 0 + αx t + α xt + ε t, można oszacować metodą najmniejszych kwadratów jeśli wśród zmiennych objaśniających nie ma zmiennych współliniowych (założenie Z). Gdy dwie zmienne X i X są współliniowe to współczynnik korelacji r X X =. Jeśli r X X = należy z modelu wyeliminować jedną ze zmiennych X lub X. Wyznaczmy zatem r XX. Współczynnik korelacji r X X = 0,88 zatem zmienne X i X nie są współliniowe i parametry modelu liniowego możemy oszacować metodą najmniejszych kwadratów. Można do tego wykorzystać Analizę danych, która znajduje się w Dane (w wersjach EXCELA od 007) lub Narzędzia ( w wersjach wcześniejszych). A więc kolejno wchodzimy do Dane ( Narzędzia) i wybieramy Analiza danych i w Narzędziach analizy wybieramy Regresja.

8 E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Otrzymujemy wtedy okno w postaci W zakres wejściowy Y- wpisujemy adresy wartości Y (zmiennej objaśnianej) w naszym przypadku będzie to B:B. W zakres wejściowy X- wpisujemy adresy wartości X wszystkich zmiennych objaśniających w naszym przypadku będzie to C:D(wartości zmiennych X, X). Zaznaczamy Nowy arkusz, Składniki resztowe.

9 E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 W nowym arkuszu otrzymujemy kilka tabel, które po kolei poniżej zostaną opisane. et t= Współczynnik determinacji R = = 0, 9357, n ( Y Y ) t= Współczynnik korelacji wielorakiej R = R = 0,9673, Odchylenie standardowe reszt S n n et t= e = = t 300,09tys. zł n k gdzie: e t = y t -Yˆ t to reszty modelu, n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych (w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów (w naszym przykładzie k = 3 gdyż mamy trzy szacowane parametry) Tabela ANALIZA WARIANCJI. statystyka t przedziały ufności dla parametrów Z tabeli tej możemy odczytać kolejno: oszacowanie parametru α0 to a 0 = 3077,44, oszacowanie parametru α to a = 309,3846, oszacowanie parametru α to a = 5,5946. W drugiej kolumnie tej tabeli znajdują się błędy oszacowań parametrów: S a0 = 859,35, S a = 5,34, S a = 7, Parametr α [ 845, 466 ; 309, 4] z prawdopodobieństwem 0,95, 0 Parametr α [ 36, 6448 ; 58, 495] z prawdopodobieństwem 0,95, Parametr α [ 7, ; 4, 7805] z prawdopodobieństwem 0,95,

10 E k o n o m e t r i a S t r o n a 0 Model kosztów produkcji dla zakładu MOJA BELECZKA po oszacowaniu ma zatem postać: ˆ + (859,35) (5,34) (7,409885) (7) Yt = 30,77, ,3846 X t 5, 5946 X t Interpretacja oszacowania a = 309,3846 parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość produkcji zostanie zwiększona o tysiąc ton ceteris paribus (przy niezmienionej wielkości zatrudnienia X ) to wielkość kosztów wzrośnie o około 309,38 tysięcy złotych. Interpretacja oszacowania a =5,5946 parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość zatrudnienia zostanie zwiększona o jedną osobę ceteris paribus (przy niezmienionej wielkości produkcji X ) to wielkość kosztów wzrośnie o około 5,6 tysięcy złotych. Interpretacja współczynnika determinacji R = 0,94: Oszacowany model ˆ t = 3077, , 3846 x + t 5, 5946 w 94% wyjaśnia zmienność zmiennej objaśnianej Y. Y xt Interpretacja odchylenia standardowego reszt S e = 300,09 tys. zł.: Wartości teoretyczne Yˆ t kosztów produkcji wyznaczone z modelu Y ˆ t = 3077, , 3846 x + t 5, 5946 xt średnio różnią się od rzeczywistych wartości tych kosztów z bazy danych statystycznych o 300,03 tys. zł. W tabeli SKŁADNIKI RESZTOWE WYJSCIE znajdują się: - w kolumnie Przewidywane Y - wartości teoretyczne Yˆ t modelu wyznaczone ze wzoru (7). - w kolumnie Składniki resztowe - reszty modelu wyznaczone ze wzoru e t = y t -Yˆ t.

11 E k o n o m e t r i a S t r o n a Dla stwierdzenia czy zbudowany model może zostać użyty do prognozowania należy zbadać jego własności. 3. Weryfikacja modelu Weryfikację statystycznych własności modelu przeprowadzimy na poziomie istotności α = 0,05. Test istotności współczynnika korelacji wielorakiej R. Współczynnik korelacji wielorakiej wyznacza się ze wzoru R = R. Zapiszmy hipotezy: H o : R = 0, H : R 0. Do weryfikacji hipotezy H o służy statystyka: R n k F = R k (9) gdzie: n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3). Wartość statystyki F znajduje się w tabeli ANALIZA WARIANCJI Zatem F = 50,9. Jeśli spełniona jest nierówność α > Istotność F to hipotezę H o odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. W naszym przykładzie Istotność F = 0, , zatem α > Istotność F i hipotezę H o odrzucamy a jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Testy istotności parametrów strukturalnych α α,..., α Test istotności parametruα i, j Zapiszmy hipotezy: H o : α i = 0, H : α 0. i

12 E k o n o m e t r i a S t r o n a Do weryfikacji hipotezy H 0 używa się statystyki ai t a =. (0) i Sa i gdzie a i to oszacowanie parametru α i. ai Wartość statystyki t a = można wyznaczyć ręcznie lub odczytać z tabeli ANALIZA i Sai WARIANCJI z kolumny t Stat. Jeśli spełniona jest nierówność α> Wartość-p to hipotezę H o odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. Obliczmy wartość statystyki ta =,68. Ponieważ Wartość-p =0, 03 zatem α > prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. Obliczmy wartość statystyki ta = 3,4. Ponieważ Wartość-p =0, 0 zatem α > Wartość-p i hipotezę H o odrzucamy a jako Wartość-p i hipotezę H o odrzucamy a jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Możemy zatem przyjąć, że oba parametry strukturalne są statystycznie istotne i obie zmienne X, X mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą Y. Obliczymy teraz wartość współczynnika zmienności resztowej ze wzoru S e 00%. Y W tym celu wyznaczymy wartość średnią zmiennej Y. Powyższe testy mogą zostać także wykonane bez korzystania z analizy danych. Procedury zamieszczono na koniec ćwiczenia i oznaczono.

13 E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Możemy zatem stwierdzić, że średnie roczne koszty produkcji z ostatnich dziesięciu lat wynoszą 3639 tys. zł. Stąd S 300,09 e 00 % = 00 % =0,88%. Y 3639 Oznacza to, że odchylenie standardowe reszt stanowi 0,8% średnich kosztów produkcji w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA. Możemy więc przyjąć, że odchylenie standardowe reszt jest niewielkie. Na podstawie przeprowadzonych badań możemy podjąć decyzję o przyjęciu modelu do prognozowania lub podejmowania decyzji. Dla liniowego modelu ekonometrycznego zaleca się przeprowadzenie dodatkowych testów: - Testu losowości reszt (test serii), - Testu normalności rozkładu reszt, - Testu braku autokorelacji reszt, - Testu stałości wariancji. Test losowości reszt (składnika losowego)-test serii Hipotezy dla testu serii mają postać: H o : reszty wykazują losowość, H : reszty nie wykazują losowości. Procedura weryfikacji hipotezy H o jest następująca:. Wykreślić reszty zerowe.. Obliczyć liczbę reszt dodatnich n Obliczyć liczbę reszt ujemnych n Obliczyć liczbę serii s. 5. Obliczyć γ = α (gdzie α to poziom istotności testu), 6. Odczytać z tablicy wartość krytyczną s ( α ;n+ ;n ), 7. Jeśli wartość krytyczna nie istnieje, to test nie rozstrzyga.

14 E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 8. Jeśli s s ( α ;n+ ;n ), to należy hipotezę H o odrzucić. α 9. Obliczyć γ = Odczytać z tablicy wartość krytyczną s (- α ;n+ ;n ).. Jeśli s s (- α ;n+ ;n ), to należy hipotezę H o odrzucić.. Jeśli s < s < s, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o. Aby wykonać ten test przekopiowano wartości teoretyczne Yˆ t oraz reszty et z tabeli Składniki resztkowe Wyjście (Analiza danych) odpowiednio do kolumn Q oraz R, a następnie wyznaczono serie reszt.. Brak reszt zerowych ( nic nie wykreślamy),. Liczba reszt dodatnich n + = 4, 3. Liczba reszt ujemnych n_ = 6, 4. Liczba serii s = 6, α 0,05 5. Przyjmiemy poziom istotności testu α = 0,05 stąd γ = = = 0, Z tablicy A odczytujemy wartość krytyczną s ( α ;n+ ;n ) = s (0,05; 4; 6) =. 7. Wartość krytyczna istnieje i jest równa s (0,05; 4; 6) =. 8. Spełniona jest nierówność s > s ( α ;n+ ;n ), α 9. Wartość γ = - = 0, Z tablicy A3 odczytujemy wartość krytyczną s (- α ;n+ ;n ) = s (0,975; 4; 6) = 8.. Spełniona jest nierówność s < s < s, nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H o.

15 E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Wynika stąd, że reszty wykazują losowość a zatem postać liniowa modelu została poprawnie dobrana. Test normalności rozkładu reszt (składnika losowego) Hipotezy dla testu normalności rozkładu reszt mają postać: H o : reszty wykazują rozkład normalny, H : reszty nie wykazują rozkładu normalnego. Do badania normalności rozkład reszt użyjemy testu Jarqua-Bera. Do weryfikacji hipotezy H o używana jest statystyka w postaci: n JB = ( ( G3 0) + ( G4 3) ), () 6 4 gdzie: n to liczba badanych reszt, n 3 ( et ) G 3 = (wartość estymatora wskaźnika asymetrii), 3 n S G 4 = t= ( e ) n 4 t 4 n t= S (wartość estymatora kurtozy), n S = ( e t ). n t= Statystyka JB ma rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody. Na poziomie istotności α weryfikujemy hipotezę H 0. Z tablicy wartości krytycznych rozkładu chi-kwadrat odczytujemy wartość krytyczną χ ( α; ). Jeśli spełniona jest nierówność JB < χ ( α; ) to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o normalności rozkładu reszt. W naszym przykładzie kolejno wyznaczymy wartości G 3, G 4. Na początek wyznaczymy wartość S za pomocą funkcji statystycznej ODCH.STANDARD.POPUL ( w naszym przykładzie w komórce R4). Mamy S = 5,04. Obliczymy teraz wartość G 3.

16 E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 Obliczymy teraz wartość G 4.

17 E k o n o m e t r i a S t r o n a 7 Wyznaczymy teraz wartość statystyki JB na podstawie wzoru (). JB = 0,64. Przyjmijmy poziom istotności α = 0,05. Wartości krytyczną rozkładu chi-kwadrat wyznaczymy za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD. CHI. ODW.

18 E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Mamy więc χ (0,05; ) = 5,99. Spełniona jest nierówność JB < χ (0,05; ), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o normalności rozkładu reszt. Test braku autokorelacji reszt (składnika losowego) Do badania braku autokorelacji reszt rzędu pierwszego użyjemy testu istotności współczynnika autokorelacji. Stawiane są następujące hipotezy: H : r = 0 0 H : r e, e e, e t t t t 0 Sprawdzianem hipotezy H 0 jest następująca statystyka: re, 3 t e n t t = () ( r ) e, e t t Z tablic wartości krytycznych rozkładu t-studenta dla ustalonego poziomu istotności α oraz m = n 3 stopni swobody odczytywana jest wartość krytyczna t ( α; m). Jeśli t < t ( α; m), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 ( brak autokorelacji rzędu pierwszego). Jeśli t t ( α; m), to hipotezę H 0 należy odrzucić i przyjąć alternatywną oznaczającą, że istnieje zjawisko autokorelacji reszt rzędu pierwszego. Wyznaczymy więc na początek reszty e t-.

19 E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 A następnie wyliczymy wartość współczynnika korelacji r, e t e t Mamy więc r e t, e t = -0,43. Obliczymy teraz wartość statystyki t ze wzoru ().

20 E k o n o m e t r i a S t r o n a 0 Zatem t = -,68. Przyjmijmy poziom istotności testu α = 0,05. Z funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW. wyznaczymy wartość krytyczną t ( 0,05;0 3). Wartość krytyczna statystyki t( 0,05;7) =,3646. Mamy zatem t =,68 =, 68 < t (0,05;7). Wynika stąd, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o, a więc reszty modelu nie wykazują autokorelacji rzędu pierwszego.

21 E k o n o m e t r i a S t r o n a Test stałości wariancji reszt (składnika losowego) Ponieważ nasza baza danych statystycznych jest w postaci szeregu czasowego, wykonamy test stałości wariancji reszt w czasie. Hipotezy dla testu stałości wariancji reszt w czasie mają postać: : r 0, gdzie e t t H 0 =, t e t H : r, t e t r, jest współczynnikiem korelacji pomiędzy wartościami bezwzględnymi reszt modelu e t a zmienną czasową t Sprawdzianem hipotezy H 0 jest statystyka: et, t 0 r n et, t T =, (3) r która ma rozkład t-studenta o n- stopniach swobody. Z tablicy wartości krytycznych rozkładu t-studenta dla przyjętego poziomu istotności α oraz n- stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną t ( α; n ). Jeśli spełniony jest warunek: T < t ( α ; n ), wtedy nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy testowanej H 0 można przyjąć, że wariancja składnika losowego jest stała w czasie. Wyznaczymy więc na początek wartości bezwzględne reszt. Skorzystamy w tym celu z funkcji matematycznej MODUŁ.LICZBY. Następnie wyznaczymy współczynnik korelacji r, t e t

22 E k o n o m e t r i a S t r o n a Stąd wartość r, = 0,37. Wartość statystyki T wyznaczymy ze wzoru (3). e t t Wartość statystyki T = 0,979. Przyjmijmy poziom istotności α =0,05. Za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW. wyznaczymy wartość krytyczną t ( 0,05;0 ).

23 E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Wartość krytyczna t ( 0,05;0 ) =,306. Spełniona jest nierówność T< t ( 0,05;0 ) =,306. Wynika stąd, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o co oznacza, że możemy przyjąć, że reszty mają stałą w czasie wariancję. Podsumowanie. Do opisu rocznej wartości kosztów produkcji prętów stalowych w zakładzie MOJA BELECZKA zaproponowano liniowy model ekonometryczny w postaci: y = α + α x + α x + ε, t =,,..., n. t 0 t t t gdzie: y t - roczna wartość kosztów produkcji (tys. zł) w roku t, x t wielkość produkcji w tys. ton w roku t, x t - liczba pracowników produkcyjnych w roku t, n = 0 to liczba lat w których badane były koszty produkcji. Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano α 0, α, α (trzy parametry modelu), otrzymując model teoretyczny w postaci: Y ˆ t = 3077, ,3846 x + t 5, 5946 xt gdzie Yˆ t to wartości teoretyczne kosztów produkcji prętów stalowych w zakładzie MOJA BELECZKA. Dodatkowo wyznaczono: - współczynnik determinacji - odchylenie standardowe reszt et t= R = = 0,9357, 0 ( Y Y ) t= 0 t

24 E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 S 0 e t t= e = = ,09 gdzie e t = y t -Yˆ t (t =,, 3,, 0) to reszty modelu. Interpretacja współczynnika determinacji R = 0,94: Zbudowany model teoretyczny ˆ t = 3077, ,3846 x + t 5, 5946 w 94% wyjaśnia zmienność zmiennej objaśnianej Y. Y xt Interpretacja odchylenia standardowego reszt S e = 300,09 tys. zł.: Wartości teoretyczne Yˆ t kosztów produkcji wyznaczone z modelu Y ˆ t = 3077, ,3846 x + t 5, 5946 xt średnio różnią się od rzeczywistych wartości tych kosztów z bazy danych statystycznych o 300,03 tys. zł. Interpretacja oszacowania a parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość produkcji zostanie zwiększona o tysiąc ton przy niezmienionej wielkości zatrudnienia X to wielkość kosztów wzrośnie o około 309,38 tysięcy złotych. Interpretacja oszacowania a parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość zatrudnienia zostanie zwiększona o jedną osobę przy niezmienionej wielkości produkcji X to wielkość kosztów wzrośnie o około 5,6 tysięcy złotych. Na podstawie zbudowanego modelu można przyjąć, że koszty stałe produkcji (niezależne od wielkości produkcji i wielkości zatrudnienia) wynoszą około 3077,44 tys. zł. Dodatkowo wyznaczono współczynnik zmienności resztowej S e 00 % =0,88% Y i stwierdzono, że jest on niewielki (odchylenie standardowe reszt stanowi około 0,8% średnich kosztów produkcji z dziesięciu lat w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA). Na poziomie istotności α =0,05 przeprowadzono statystyczną weryfikację modelu i stwierdzono: - parametry α,α są statystycznie istotne, - współczynnik korelacji wielorakiej R jest statystycznie istotny, - składnik losowy ( reszty modelu) wykazuje losowość, - składnik losowy ma rozkład normalny, - składnik losowy nie wykazuje autokorelacji rzędu pierwszego, - składnik losowy ma stałą w czasie wariancję, Na tej podstawie przyjęto, że zbudowany model może być użyty do analiz kosztów produkcji w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA i prognozowania tych kosztów na przyszłe lata. 4. Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

25 E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Ponieważ w roku. przedsiębiorstwo ustaliło wielkość produkcji na poziomie 4 tys. ton a wielkość zatrudnienia na poziomie 33 osób. Zatem X ( prognoza zmiennej X na rok) X ( prognoza zmiennej X na rok) są odpowiednio równe: X = 4, X = 33. Na podstawie modelu możemy wyznaczyć prognozę Y zmiennej objaśnianej Y na rok. Y = 3077, ,3846 X + 5,5946 X, zatem Y = 3077, , , = 37868,33. Prognoza kosztów produkcji na rok jedenasty w zakładzie MOJA BELECZKA to 37868,33 tysiące złotych. Dla modeli liniowych, których parametry oszacowano metodą najmniejszych kwadratów można ocenić dopuszczalność wyznaczonej prognozy na okres T > n za pomocą błędu ex ante. Błąd ex ante wyznacza się ze wzoru: T T V = S ( X ) ( X X ) X + (4) T e T T XT gdzie X = T X T natomiast Xj T (i =,,,j). XiT to prognoza na okres T zmiennej objaśniającej Xi Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy błąd ex ante prognozy na okres T =, Y = 37868,33 i ocenimy jej dopuszczalność. Aby wyznaczyć błąd ex ante prognozy zapiszmy macierz X:

26 E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 oraz macierz transponowaną X T. W tym celu kopiujemy macierz X, a następnie w okienku Wklej użyjemy polecenia TRANSPOZYCJA. Wynikiem będzie macierz X T.

27 E k o n o m e t r i a S t r o n a 7 Wyznaczymy teraz iloczyn macierzy X T X, korzystając z funkcji matematycznej MACIERZ.ILOCZYN. W tym celu rezerwujemy na tę macierz miejsce w arkuszu (w naszym przykładzie będzie to macierz kwadratowa 3x3 i zarezerwujemy na nią obszar J4:L6) Wybieramy funkcję MACIERZ.ILOCZYN i akceptujemy wybór OK.

28 E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Do otrzymanej tabeli wprowadzamy : w Tablicy adresy macierzy X T (w naszym przykładzie C0:L), w Tablicy adresy macierzy X ( w naszym przykładzie F:H). Następnie naciskamy jednocześnie klawisze

29 E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 i naciskamy OK. Ctrl Shift Wynikiem naszego działania będzie macierz X T X. Zapiszemy teraz wektory: X = = X 4 X 33 [ X ] [ 4 33] X T. = X = Aby obliczyć macierz ( X T X ) odwrotną do X T X zaznaczymy w tym celu obszar w którym ma zostać wyliczona macierz odwrotna (w naszym przykładzie I3:K5), a następnie zastosujemy funkcję

30 E k o n o m e t r i a S t r o n a 30 matematyczną MACIERZ.ODW. Jako argument funkcji należy podać adres obszaru w którym znajduje się macierz X T X ( naszym przykładzie J4:l6). Naciskamy jednocześnie klawisze Ctrl Shift i OK. Wyznaczymy teraz macierz ( X T T ) ( X T X ). W tym celu należy zaznaczyć obszar w którym ma się pojawić ta macierz i zastosować funkcje matematyczną MACIERZ.ILOCZYN.

31 E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Po wpisaniu argumentów funkcji naciskamy jednocześnie klawisze Ctrl Shift i OK. Aby wyznaczyć wartość MACIERZ.ILOCZYN. T T ( X T ) ( X X ) X T korzystamy z funkcji matematycznej Błąd ex ante prognozy na. rok wynosi V =354,4 tys. złotych. Aby ocenić wielkość tego błędu 8 V wyznaczymy błąd względny ex ante W = 00. Mamy W 8 = 0,94%, co oznacza, że błąd ex ante Y

32 E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 stanowi niecały jeden procent wartości prognozy Y = 37868,33. Błąd ex ante jest niewielki a więc prognozę możemy uznać za dopuszczalną. Testy istotności współczynnika korelacji wielorakiej i parametrów strukturalnych można wykonać bez stosowania Analizy danych. Procedura będzie wtedy następująca: Test istotności współczynnika korelacji wielorakiej R. R = R. Współczynnik korelacji wielorakiej wyznacza się ze wzoru H o : R = 0, H : R 0. Do weryfikacji hipotezy H o służy statystyka: R n k F = (9) R k gdzie: n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3). Jeśli spełniona jest nierówność gdzie: F α m m F < ; ; ) ( n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3), α to poziom istotności testu, F α ; m ; m ) to wartość krytyczna rozkładu F (Fishera-Snedecora) z m = k- ( oraz m = n- k stopniami swobody, to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy H o. Oznacza to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o braku zależności liniowej pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi X, X. Obliczymy teraz wartość statystyki (9) R = R n k 0,94 = k (0,94) 0 3 = F 50,9. F Wartość krytyczną (0,05; ; 0 3) wyznaczymy korzystając z funkcji statystycznej ROZKŁAD.F.ODW lub tablic statystycznych (zamieszczono je na końcu i na żółto zaznaczono odczytane wartości).

33 E k o n o m e t r i a S t r o n a 33 Wybieramy funkcje ROZKŁAD.F.ODW i akceptujemy wybór OK. W tabelce Argumenty funkcji wpisujemy kolejno: - Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym przykładzie α = 0,05), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m = k ( w naszym przykładzie ), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m = n k (w naszym przykładzie 7). Po wprowadzeniu argumentów funkcji akceptujemy OK, jako wynik otrzymujemy F (0,05; ; 7) = 4,737. Spełniona jest nierówność F > F ( α ; m; m ) Zatem hipotezę H 0 odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej (a zatem też i współczynnik determinacji) jest statystycznie istotny., Testy istotności parametrów strukturalnych α α,..., Zapiszmy hipotezy: H o : α i = 0, α 0. H : i Do weryfikacji hipotezy H 0 używa się statystyki ai t a = i Sai. (0) gdzie a i to oszacowanie parametru α i. Jeśli spełniona jest nierówność: t a i t ( α; m) <, gdzie t ( α ; m) jest wartością krytyczną rozkładu t (Studenta) dla prawdopodobieństwa α oraz m= n k stopni swobody to ( m=0 to liczba obserwacji, k=3 to liczba szacowanych parametrów) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: α j

34 E k o n o m e t r i a S t r o n a 34 H o : α = 0, H : α ,3846 Obliczmy wartość statystyki ta = =,68. 5,34 Wartość krytyczną t (0,05; 7) wyznaczymy za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW lub odczytujemy z tablic statystycznych, które zamieszczono na końcu (na żółto oznaczono odczytane wartości). Po wybraniu funkcji ROZKŁAD.T.ODW akceptujemy wybór OK i otrzymujemy okienko argumentów funkcji w postaci: W polach: - Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym przykładzie α = 0,05), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m= n k (w naszym przykładzie 7).

35 E k o n o m e t r i a S t r o n a 35 Wynik formuły to t (0,05; 7) =,365. Ponieważ spełniona jest nierówność t a > t (0,05; 7) odrzucamy hipotezę H o i jako prawdziwą przyjmujemy H. Oznacza to, że parametr α jest statystycznie istotny, a więc zmienna X ma istotny wpływ na zmienną Y. Przeprowadzimy test istotności parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. a 5,5946 Obliczmy wartość statystyki ta = = = 3,409, stąd Sa 7, Ponieważ spełniona jest nierówność t a =3,409. t a > t (0,05; 7) Odrzucamy więc hipotezę H 0 i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Oznacza to, że parametr α jest statystycznie istotny, a więc zmienna X ma istotny wpływ na zmienną Y. Zadania do samodzielnego wykonania.. W przedsiębiorstwie SERTOP produkującym sery topione w kolejnych tygodniach badano wartość sprzedaży nowego wyrobu Anielski smak oraz ponoszone wydatki na reklamę tego sera. Wyniki zapisano w tabeli: t - nr tygodnia Y- wartość sprzedaży (tys. zł) X- koszty reklamy (tys. zł.) 0,8, , 6 3,5 7 4, 8 4,5,3 9 5,35 0 7,5 Zbudować model zależności wartości sprzedaży od wydatków firmy na reklamę sera Anielski smak. Podać prognozę wielkości sprzedaży, jeśli firma w następnym tygodniu ma zamiar przeznaczyć na reklamę sera,8 tys. zł. Ocenić za pomocą błędu ex ante dopuszczalność wyznaczonej prognozy.

36 E k o n o m e t r i a S t r o n a 36. W agencji sprzedaży nieruchomości Gniazko w ciągu ostatniego roku zbadano ceny sprzedanych 3 mieszkań. Na podstawie tych badań zbudowano model ekonometryczny, którego parametry oszacowano metodą najmniejszych kwadratów ˆ = +, (9,3) (,34) (0,4) (,3) Yt 3, 4 + 8, 3 X t +, 9 X t, 5X 3t R = 0,87 gdzie: Y cena mieszkania w tys zł., X liczba pokoi, X metraż mieszkania, X 3 zmienna, która przyjmuje wartość gdy mieszkanie znajdowało się w centrum miasta, 0 w przeciwnym wypadku. Na podstawie modelu wyznaczono reszty: kolejny numer sprzedanego mieszkania reszty modelu e t 3,56 38,4 3-56, 4 -,48 5 -,3 6 5,8 7 5,3 8-0,36 9 3,56 0,35-3,9,3 3-6,7 Czy powyższy model może być użyty do wyznaczania cen mieszkań? 3 Jeśli tak to wyznaczyć przybliżoną cenę mieszkania w centrum o powierzchni 60 m i trzech pokojach. 3 Baza danych jest w tym zadaniu baza przekrojową, a więc do badania stałości wariancji należy użyć testu Goldfelda Quandta, a do badania braku autokorelacji testu Durbina-Watsona.

37 E k o n o m e t r i a S t r o n a 37 Tablica A.. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,05; n +,- =, 3,, 0 n n Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943) Tablica A.3. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,975; n +,- =, 3,, 0 n n Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943)

38 E k o n o m e t r i a S t r o n a 38 Tablica A.4. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,05; n +,- =, 3,, 0 n n Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943) Tablica A.5. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,95; n +,- =, 3,, 0 n n Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943)

39 E k o n o m e t r i a S t r o n a 39 Wartości krytyczne F α; m ; m ) rozkładu F-Snedecora dla α = 0,05 ( m m ,5 99,5 5,7 4,6 30, 33,9 36,6 38,9 40,5 4,9 48, 50, 5, 5,7 53 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 9,40 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,66 8,6 8,59 8,58 8,55 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5,96 5,80 5,75 5,7 5,70 5,66 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,56 4,50 4,46 4,44 4,4 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 4,06 3,87 3,8 3,77 3,75 3,7 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,44 3,38 3,34 3,3 3,7 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,5 3,08 3,04 3,0,97 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4,94,86,83,80,76 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0,98,77,70,66,64,59 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90,85,65,57,53,5,46 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80,75,54,47,43,40,35 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7,67,46,38,34,3,6 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65,60,39,3,7,4,9 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59,54,33,5,0,8, 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54,49,8,9,5,,07 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49,45,3,5,0,08,0 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,9,,06,04,98 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4,38,6,07,03,00,94 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39,35,,04,99,97,9 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3,0,0,96,94,88 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30,07,98,94,9,85 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7,05,96,9,88,8 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30,5,03,94,89,86,80 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4,0,9,87,84,78 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,99,90,85,8,76 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,0,97,88,84,8,74 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,96,87,8,79,73 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,,8,94,85,8,77,7 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,93,84,79,76,70 3 4,6 3,30,9,68,5,4,3,5,0,5,9,83,78,75,68 3 4,5 3,9,90,67,5,40,3,4,9,4,9,8,77,74, ,4 3,8,89,66,50,39,30,3,8,3,90,8,76,7, ,3 3,8,88,65,49,38,9,3,7,,89,80,75,7, , 3,7,87,64,49,37,9,,6,,88,79,74,70, , 3,6,87,63,48,36,8,,5,,87,78,73,69,6 37 4, 3,5,86,63,47,36,7,0,4,0,86,77,7,68,6 38 4,0 3,4,85,6,46,35,6,9,4,09,85,76,7,68,6 39 4,09 3,4,85,6,46,34,6,9,3,08,85,75,70,67, ,08 3,3,84,6,45,34,5,8,,08,84,74,69,66,59 4 4,08 3,3,83,60,44,33,4,7,,07,83,74,69,65,58 4 4,07 3,,83,59,44,3,4,7,,06,83,73,68,65, ,06 3,,8,58,43,3,3,6,0,05,8,7,67,63, ,05 3,0,8,57,4,30,,5,09,04,80,7,65,6, ,04 3,9,80,57,4,9,,4,08,03,79,70,64,6, ,03 3,8,79,56,40,9,0,3,07,03,78,69,63,60,5 5 4,03 3,8,78,55,39,8,9,,07,0,78,68,6,59,5 54 4,0 3,7,78,54,39,7,8,,06,0,77,67,6,58,5 56 4,0 3,6,77,54,38,7,8,,05,00,76,66,6,57, ,0 3,6,76,53,37,6,7,0,05,00,75,66,60,57, ,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04,99,75,65,59,56, ,98 3,3,74,50,35,3,4,07,0,97,7,6,57,53, ,96 3,,7,49,33,,3,06,00,95,70,60,54,5, ,95 3,0,7,47,3,0,,04,99,94,69,59,53,49,4 00 3,94 3,09,70,46,3,9,0,03,97,93,68,57,5,48,39

40 E k o n o m e t r i a S t r o n a 40 Wartości krytyczne t( α ; m) rozkładu t Studenta m α 0,5 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0,05 0,0 0,005,0000,44 3,0777 4,653 6,337,706 5,459 3,80 7,3 0,865,6036,8856,89,900 4,307 6,054 6,9645 4, ,7649,46,6377,943,3534 3,84 4,765 4,5407 7, ,7407,3444,533,778,38,7765 3,4954 3,7469 5, ,767,3009,4759,6994,050,5706 3,634 3,3649 4, ,776,733,4398,650,943,4469,9687 3,47 4, ,7,543,449,666,8946,3646,84,9979 4, ,7064,403,3968,59,8595,3060,755,8965 3, ,707,97,3830,5737,833,6,6850,84 3, ,6998,3,37,559,85,8,6338,7638 3,584 0,6974,45,3634,5476,7959,00,593,78 3,4966 0,6955,089,356,5380,783,788,5600,680 3, ,6938,04,350,599,7709,604,536,6503 3, ,694,00,3450,53,763,448,5096,645 3, ,69,967,3406,57,753,35,4899,605 3, ,690,937,3368,5,7459,99,479,5835 3,50 7 0,689,90,3334,5077,7396,098,458,5669 3,4 8 0,6884,887,3304,5037,734,009,4450,554 3, ,6876,866,377,500,79,0930,4334,5395 3, ,6870,848,353,4970,747,0860,43,580 3,534 0,6864,83,33,494,707,0796,438,576 3,35 0,6858,85,3,496,77,0739,4055,5083 3,88 3 0,6853,80,395,4893,739,0687,3979,4999 3, ,6848,789,378,487,709,0639,390,49 3, ,6844,777,363,485,708,0595,3846,485 3, ,6840,766,350,4834,7056,0555,3788,4786 3, ,6837,756,337,487,7033,058,3734,477 3, ,6834,747,35,480,70,0484,3685,467 3, ,6830,739,34,4787,699,045,3638,460 3, ,688,73,304,4774,6973,043,3596,4573 3, ,68,76,3086,4749,6939,0369,358,4487 3, ,688,703,3070,478,6909,03,345,44 3, ,684,69,3055,4709,6883,08,339,4345, ,680,68,304,469,6860,044,3337,486, ,6807,673,303,4677,6839,0,389,433,97 4 0,6804,665,300,4664,680,08,346,485, ,680,657,30,465,680,054,307,44, ,6799,65,300,4640,6787,09,37,40, ,6796,644,994,469,677,006,339,4066, ,6794,639,987,460,6759,0086,309,4033, ,6790,66,97,4599,6730,0040,3044,396, ,6786,66,958,458,6706,0003,990,390, ,6783,607,947,4567,6686,997,945,385, ,6780,600,938,4555,6669,9944,906,3808, ,6776,588,9,4535,664,990,844,3739, ,677,578,90,459,660,9867,795,3685, ,6770,57,90,4507,660,9840,757,364, ,6757,537,858,445,655,979,584,345, ,6753,56,844,443,6499,9679,57,3388,879

41 E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 Literatura. Ekonometria. Metody, przykłady, zadania. Pod red. J. Dziechciarza, Wydawnictwo AE im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 00.. Wybór testów do weryfikacji liniowych modeli ekonometrycznych. Pod red. K. Jakowskiej- Suwalskiej, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 0.