Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/"

Transkrypt

1 Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra

2 Metody DIRK Jeśli spodziewamy się problemów ze stabilnościa, w szczególności jeśli rozwiazujemy problemy sztywne, powinniśmy stosować metody niejawne. Sa one jednak bardzo kosztowne obliczeniowo: jeżeli przy użyciu metody s-etapowej rozwiazkujemy problem m-wymiarowy, w każdym kroku musimy rozwiazywać s m wymiarowy układ równań algebraicznych, w ogólności nieliniowych. Aby zmniejszyć ten koszt nie tracac stabilności metod niejawnych, stosuje się metody DIRK (ang. Diagonally Implicit Runge-Kutta), zwane też metodami półniejawnymi (ang. semi-implicit). W metodach tych macierz B ma niezerowe elementy diagonalne i poddiagonalne elementy ponaddiago- Copyright c 9- P. F. Góra 5

3 nalne sa zerowe: α β α β β..... α s β s β s β s3 β ss w w w w s Dzięki temu, stosujac s-etapowa metodę do problemu m-wymiarowego, zamiast rozwiazywać jeden układ równań algebraicznych o wymiarze s m, należy rozwiazać s układów o wymiarze m po jednym układzie na każdy etap. Jest to numerycznie prostsze. () Jeżeli dodatkowo β = β = = β ss = γ, taka metodę nazywa się metoda SDIRK (Singly Diagonally Implicit Runge-Kutta). Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

4 Przykład γ γ γ γ γ, γ = Sprawdzamy rzad metody. Nietrywialnymi wyrażeniami, które trzeba sprawdzić, sa: γ + ( γ) = metoda jest rzędu drugiego. γ + ( γ) = γ γ+ = 3, γ γ+ (( γ) γ+γ ( γ)) = γ +γ = 6 metoda jest rzędu trzeciego. γ3 + ( γ)3 = 3γ 3γ+ = 6 4, γ γ γ+ ( γ) (( γ) γ + γ ( γ)) = 4γ 3 5γ +γ = 6+ 3 metoda nie jest rzędu czwartego () Copyright c 9- P. F. Góra 5 4

5 Obszar stabilności tej metody dany jest przez {z C: G(z) < }, gdzie G(z) = 6 (+ 3)z + 3z 6 [(3+ 3)z 6] Obszar niezacieniony jest obszarem niestabilności. Copyright c 9- P. F. Góra 5 5

6 Przykład Ciagle publikuje się i bada nowe metody RK. W pracy G. Yu. Kulikov, S. K. Shindin, Appl. Num. Math. 59, 77 (9), dyskutowane sa, między innymi, własności metody c 6(c +θ) 5 θ θ 6(c +θ) 5 c 7 6(c +θ) θ θ 5 6(c +θ) c = 3 3, θ = Copyright c 9- P. F. Góra 5 6

7 Adaptacyjne podwajanie/połowienie kroku Całkowanie ze stałym krokiem to numeryczne samobójstwo. Dobre algorytmy numerycznego całkowania ODE powinny, w miarę możności, same ustalać krok, z jakim przechodza zadany przedział. W tym celu algorytm musi znać oszacowanie błędu popełnionego w ciagu jednego kroku. Dla metod Rungego-Kutty najprostszym tego typu algorytmem jest algorytm adaptacyjnego podwajania/połowienia kroku. Przypuśćmy, że żadam, aby bład na jeden krok nie przekraczał max. Niech aktualny krok całkowania wynosi h. Przechodzę przedział [x n, x n + h] dwa razy: raz dwoma krokami o długości h i raz krokiem o długości h. Copyright c 9- P. F. Góra 5 7

8 y n y () n+ x n x n + h x n + h dwa razy z małym krokiem } {{ }} {{ } h h y n y () n+ x n x n + h raz z dużym krokiem } {{ } h Copyright c 9- P. F. Góra 5 8

9 W ten sposób otrzymuję dwa oszacowania wartości y n+. Dla metody rzędu p spełniaja one Różnica y(x n + h) = y () n+ + hp+ φ + O(h p+ ), (3a) y(x n + h) = y () n+ + (h)p+ φ + O(h p+ ). (3b) = y () n+ y() n+ (4) stanowi oszacowanie błędu. Zachodza dwa przypadki:. max : Wówczas przechodzę do punktu x n+ = x n + h, jako rozwiazanie przyjmuję y(x n + h) = y () n+, zwiększam krok Copyright c 9- P. F. Góra 5 9

10 h h i próbuję przejść następny przedział z dwa razy większym krokiem.. > max : Wówczas cofam się do punktu x n, zmniejszam krok h h/ i ponawiam cała procedurę. W tym wypadku należy się zabezpieczyć przed zmniejszeniem się kroku poniżej pewnego h min. Istotne może być jaka normę weźmiemy. Dla klasycznej metody czteroetapowej wymaga to = obliczeń prawej strony. Metoda adaptacyjnego podwajania/połowienia kroku może być stosowana także przy obliczeniach za pomoca metod niejawnych. Copyright c 9- P. F. Góra 5

11 Przykład oscylator Duffinga i podwajanie/połowienie kroku x(t) ẍ + x 3 5x = x() = 3., ẋ() = x (t) h t Mały rysunek pokazuje potencjał Duffinga. Copyright c 9- P. F. Góra 5

12 Lokalna ekstrapolacja Jeśli popełniany bład nie przekracza maksymalnego błędu dopuszczalnego, można jeszcze poprawić rozwiazanie za pomoca tak zwanej lokalnej ekstrapolacji: Przyjmijmy, że lewe strony obu równań (3) sa sobie równe. Wówczas eliminujac h p+ φ otrzymujemy y(x n + h) = y () n+ + p + O(hp+ ). (5) Może to poprawić numeryczne własności rozwiazania, ale tak naprawdę zysk na rzędzie metody jest pozorny. Copyright c 9- P. F. Góra 5

13 Zagnieżdżone (embedded) metody Rungego-Kutty Rozważmy dwie jawne s-etapowe metody Rungego-Kutty: y () n+ = y n + h y () n+ = y n + h k i = y n + hf s i= s i= w () i k i + O(h p+ ), (6a) w () i k i + O(h p+ ), (6b) x n + α i h, y n + h i j= β ij k j (6c) Metody te sa tak skonstruowane, że różnia się jedynie wagami, maja takie same punkty pośrednie, a więc taki sam zestaw wektorów {k i }, a ich rzędy różnia się o jeden. Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

14 Obliczajac jeden zestaw pochodnych w punktach pośrednich, mamy oszacowanie błędu: = y () s ( n+ y() n+ = h w () i w () ) i k i, h p+. (7) i= Skoro h p+, to max h p+ max. Mam więc oszacowanie h max = h ( max ) /(p+). (8) Jeśli > max, zmniejszam krok h h max i powtarzam bieżacy krok. Jeśli < max, zwiększam krok h h max i z powiększonym krokiem próbuję iść dalej. Metody zagnieżdżone pozwalaja zatem na bardziej precyzyjna kontrolę kroku od podwajania/połowienia, wymagaja także mniej obliczeń (s obliczeń funkcji f). Copyright c 9- P. F. Góra 5 4

15 Przykład: Metoda Bogackiego-Shampine a 3() Puste miejsca oznaczaja zera. Uwaga: Dwa zestawy wag! Metoda typu FSAL (First Same As Last). Copyright c 9- P. F. Góra 5 5

16 Sprawdzamy rzędy tych metod: pierwszy zestaw wag drugi zestaw wag = = ; = = ; = jest rzędu drugiego ( ) ( ) + (... ) = ( 3 4 ) + = = jest rzędu drugiego ( ) + 3 ( 3 4 ( ) + 8 = ) = + 4 = 3 ; = = 6 jest rzędu trzeciego ( ) + = nie jest rzędu trzeciego Copyright c 9- P. F. Góra 5 6

17 Obszary stabilności metody Bogackiego-Shampine a dane sa przez następujace wyrażenia: Dla metody rzędu trzeciego, służacej do obliczania następnych wartości poszukiwanej funkcji: ( z 3 + 3z + 6z + 6 ) < (9a) 6 Dla metody rzędu drugiego, służacej do kontroli błędu: 48 ( z 4 + 9z 3 + 4z + 48z + 48 ) < (9b) Krok powinien być tak dobrany, aby nie wyjść poza obszar stabilności żadnej z metod. Copyright c 9- P. F. Góra 5 7

18 Obszary stabilności metody Bogackiego-Shampine a nd order 3 rd order Copyright c 9- P. F. Góra 5 8

19 Jawnie rozpisana metoda Bogackiego-Shampine a: k = f(x n, y n ) (a) k = f ( x n + h, y n + hk k 3 = f ( x n h, y n hk ) ) (b) (c) y n+ = y n + h ( 9 k + 3 k k 3 (d) k 4 = f(x n + h, y n+ ) (e) z = y n + h ( 7 4 k + 4 k + 3 k k ) 4 (f) k = k 4 (g) Wektor (e) staje się wektorem (a) w następnym kroku całkowania, a więc oblicza się go tylko raz. Wektor z bierze udział tylko w szacowaniu błędów. ) Copyright c 9- P. F. Góra 5 9

20 Metoda Fehlberga 4(5) Pierwszy zestaw wag daje rozwiazanie rzędu czwartego, drugi rzędu piatego. 55 Copyright c 9- P. F. Góra 5

21 Metoda Casha-Karpa 5(4) Pierwszy zestaw wag daje rozwiazanie rzędu piatego, drugi rzędu czwartego. Mniejsze błędy, niż Fehlberg. 4 Copyright c 9- P. F. Góra 5

22 Metoda Dormanda-Prince a 5(4), FSAL Pierwszy zestaw wag daje rozwiazanie rzędu czwartego, drugi rzędu piatego. Taka sama złożoność, jak Cash-Karp (sześć obliczeń funkcji na krok), ale mniejsze błędy. Copyright c 9- P. F. Góra 5

23 State of the art Zagnieżdżone metody Rungego-Kutty wysokiego rzędu, typu metoda Dormanda-Prince a, pozwalajace na adaptacyjna zmianę kroku, kontrolujace stabilność i wyprowadzajace wyniki ze stałym krokiem, stanowia obecnie state of the art w numerycznym rozwiazywaniu zagadnień poczatkowych dla równań nie-sztywnych. Sprawdzanie stabilności na ogół odbywa się automatycznie narastajacy bład jest oznaka niestabilności, a metoda i tak zmniejsza krok, gdy bład jest za duży. Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

24 Pewien wariant metody punktu środkowego Przypuśćmy, iż rozwiazuj ac pewien problem Cauchy ego decydujemy się wyprowadzać wyniki z krokiem H, krok ten jednak jest za duży do obliczeń (powodowałby zbyt duży bład). Wykonujemy więc m małych kroków o długości h = H/m. () Copyright c 9- P. F. Góra 5 4

25 Stosujemy metodę z y n, (a) z = z + hf(x n, z ) (Euler) (b) dla j =, 3,..., m z j = z j + hf(x n + (j )h, z j ) (c) (pochodna w punkcie środkowym) y(x n + H) y n+ = ( zm + z m + hf(x n + H, z m ) ) (d) Copyright c 9- P. F. Góra 5 5

26 Metoda ta wymaga m + obliczeń prawej strony równania na kroku o długości H. Można pokazać, iż bład tej metody zawiera tylko parzyste potęgi h: y(x n + H) y n+ = j= a j h j. (3) W szczególności, jeśli m jest parzyste i zastosujemy metodę () dwa razy, z m i m/ kroków, dostaniemy y(x n + H) 4y m y m/ + O(h 5 ) (4) 3 a więc jest to metoda rzędu czwartego. (y m/ oznacza końcowy wynik po zastosowaniu m/ kroków o długości H/m, nie zaś połowę kroków o długości H/m.) Wyrażenia (3) i (4) bardzo przypominaja analogiczne wyrażenia dla całkowania metodami ekstrapolacji Richardsona i Romberga, a skoro tak, narzuca się zastosowanie jakiegoś ekstrapolacyjnego algorytmu całkowania ODE. Copyright c 9- P. F. Góra 5 6

27 Metoda Bulirscha-Stoera Przypuśmy, iż przechodzimy przedział [x n, x n + H] przy użyciu metody () kolejno z krokami h m = H/m dla m =, 4, 8,.... Otrzymujemy w ten sposób ciag kolejnych przybliżeń wartości y(x n + H). Jeśli tak otrzymany ciag ekstrapolujemy do nieskończonej liczby kroków pośrednich lub też, w innym sformułowaniu, do h m oszacujemy jak powinno wygladać numeryczne rozwiazanie badanego ODE w granicy infinitezymalnie małych kroków. Możemy użyć ekstrapolacji wielomianowej lub poprzez funkcje wymierne. Cała ta procedura jest dość (ale nie przesadnie) kosztowna i warto ja stosować, gdy zależy nam na szczególnie dokładnych rozwiazaniach, prawa strona równania zmienia się powoli. Copyright c 9- P. F. Góra 5 7

28 Podobnie jak w ekstrapolacji Richardsona, w zasadzie podejście to można stosować tylko gdy ciag kolejnych przybliżeń jest monotoniczny. Proces dzielenia odcinka kończymy gdy bład ekstrapolacji jest mniejszy od zadanej tolerancji. m= m=4 m=8 m= y x n x x n+ Copyright c 9- P. F. Góra 5 8

29 log m obliczenie ekstrapolacja Copyright c 9- P. F. Góra 5 9

30 .638 Graficzna ilustracja powyższych danych: obliczone ekstrapolowane h Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

31 Zbyt duży stopień wielomianu ekstrapolacyjnego: obliczone ekstrapolowane oscylacje Rungego h Ekstrapolacja funkcjami wymiernymi byłaby lepsza. Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

32 Przykład zastosowania metody Bulirscha-Stoera:.6.5 Bulirsch-Stoer, H=/8 rozw. biblioteczne x d y dx + xdy dx + (x )y = x Copyright c 9- P. F. Góra 5 3

33 Odpowiednik metody Bulirscha-Stoera dla układów sztywnych Jeśli spodziewamy się problemów ze stabilnościa, używamy metod niejawnych, czasami jednak dokonujemy pseudolinearyzacji celem uproszczenia obliczeń. Punktem wyjścia jest następujaca metoda niejawna: y n+ y n = hf = hf ( x n, y n+ + y n ) x n, y n + y n+ + y n y n. (5) } {{ } poprawka Copyright c 9- P. F. Góra 5 33

34 Rozwijam prawa stronę (5) wokół (x n, y n ) i porzadkuję wyrazy: I h f y xn,y n y n+ = I + h f y y n xn,y n + h f(x n, y n ) h f y y n xn,y n.(6) Powyższe wyrażenie jest liniowym (w odróżnieniu od nieliniowego wyrażenia (5)) równaniem na nieznana wielkość y n+. Opierajac się na (6), można skonstruować odpowiednik metody (). Będa w nim występowały Jakobiany f/ y obliczane w kolejnych punktach pośrednich. Dokonuję następnego uproszczenia: wszystkie Jakobiany wyliczam w lewym krańcu dużego przedziału. Ostatecznie dostaję (h = H/m): Dziękuję panu Piotrowi Kiełkowiczowi za wskazanie błędu. Copyright c 9- P. F. Góra 5 34

35 H = [ I h f y xn,y n ], (7a) z = y n, (7b) = H hf(x n, z ), (7c) z = z +, (7d) j = j + H [hf(x n + jh, z j ) j ], (7e) z j+ = z j + j, (7f) dla j =,,..., m m = H [hf(x n + H, z m ) m ], (7g) y(x n + H) z m + m. (7h) Równania H = można rozwiazać na przykład metoda rozkładu LU. Ponieważ zgodnie z przyjętym uproszczeniem macierz H jest taka sama we wszystkich krokach iteracji (7), rozkładu tego można dokonać tylko raz. Dalej postępuję tak, jak poprzednio: h. Zagęszczam podział i stosuję ekstrapolację do Copyright c 9- P. F. Góra 5 35

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Motywacja Metody wielokrokowe sa

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych

Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012/13 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Metoda diagramowa Ręczne wyprowadzanie równan wiaż acych współczynniki

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 9 maja 2015 M. Jenczmyk XXX Sesja KNM Metody numeryczne R.R.Z. 1 / 18 Omawiany problem dotyczyć będzie numerycznego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej

Bardziej szczegółowo

u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy

u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy u(t) t Dt RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy u(t+dt)=u(t)+f(t,u(t),dt) klasyczna formuła RK4: u(t) k 1 u k 2 k 3 k 4 4 wywołania f na krok, błąd lokalny O(Dt 5 ) gdy f tylko funkcja czasu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Motywacja Metody wielokrokowe

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Liniowe metody wielokrokowe Często przywoływana wada metod Rungego-Kutty jest konieczność

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych. Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Interpolacja. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Interpolacja. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Interpolacja P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Interpolacja Dana jest funkcja w postaci stabelaryzowanej x i x 1 x 2 x 3... x n f i = f(x i ) f 1 f 2 f 3...

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D

Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Metody iteracyjne Rozwiazanie układu równań liniowych, uzyskane

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( ) Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera jawna metoda Eulera niejawna metoda Eulera jawna metoda Eulera (funkcjonuje jak podstawienie) funkcjonuje

Bardziej szczegółowo

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla

Bardziej szczegółowo

Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku

Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku Cel: Dla zadanej tolerancji e wybrać minimalną liczbę węzłów, wystarczającą do utrzymania globalnego błedu w ramach tolerancji. Błąd globalny trudny

Bardziej szczegółowo

Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Skrypt do ćwiczeń

Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Skrypt do ćwiczeń PJWSTK/KMKT-07082006 Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Katedra Metod Komputerowych Techniki Polsko Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych I. KINETYKA Kinetyka zajmuje się ruchem ciał

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) f(t,u) u(t) [t+ Δt,u(t+Δt)]

Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) f(t,u) u(t) [t+ Δt,u(t+Δt)] jawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) [t,u(t)] )]dokładne d u(t) () f(t,u) [t+ Δt,u(t+Δt)] [t+ Δt,u(t+Δt)] Δt)] Δt t Δt t u(t) [t,u(t)] dokładne

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 7. Interpolacja. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 7. Interpolacja. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 7. Interpolacja P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Interpolacja Dana jest funkcja w postaci stabelaryzowanej x i x 1 x 2 x 3... x n f i = f(x i ) f 1 f 2 f

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Metody iteracyjne W metodach dokładnych otrzymane rozwiazanie jest dokładne

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych P n (z) = a n z n + a n

Bardziej szczegółowo

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 2

Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej Twierdzenie 1. Niech

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Metoda Różnic Skończonych (MRS) Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone. Algorytm Kung a. Algorytm Kung a. Programowanie Równoległe i Rozproszone Wykład 8. Przygotował: Lucjan Stapp

Programowanie Równoległe i Rozproszone. Algorytm Kung a. Algorytm Kung a. Programowanie Równoległe i Rozproszone Wykład 8. Przygotował: Lucjan Stapp Programowanie Równoległe i Rozproszone Lucjan Stapp Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska (l.stapp@mini.pw.edu.pl) 1/34 PRiR Algorytm Kunga Dany jest odcinek [a,b] i ciągła funkcja

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 8

Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Faktoryzacja Cholesky ego Niech A R N N będzie symetryczna, A T = A, i dodatnio określona:

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo