Ćwiczenie nr 4 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WALCA Instrukcja dla studenta (wersja z dnia 8 X 2016) A. Majhofer i R. Nowak

Transkrypt

1 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI Ćwczene nr 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI WALCA (wersja z dna 8 X 6) A. Majhofer R. owak WYMAGAIA TEORETYCZE ewtona równana ruchu bryły sztywnej. Średna ważona, nepewność zewnętrzna wewnętrzna, spójność danych. Defncja zmennej χ. Sformułowane metody najmnejszych kwadratów w przypadku znanych odchyleń standardowych oraz w przypadku neznanych, ale dentycznych. Wartość oczekwana warancja kombnacj lnowej statystyczne nezależnych zmennych losowych. Pearsona test χ stotnośc zgodnośc modelowej zależnośc matematycznej modelowego rozkładu z danym dośwadczalnym. WSTĘP Celem ćwczena jest wyznaczene momentu bezwładnośc bryły o kształce zblżonym do walca (pełnego lub wydrążonego). Pomary pozwalają na wyznaczene momentu bezwładnośc walca na dwa sposoby. Perwszy sposób opera sę o pomary zależnośc położena walca od czasu podczas staczana go z równ pochyłej o znanym kące nachylena wyznaczene jego przyspeszena a stąd momentu bezwładnośc. Drug natomast polega na zmerzenu wymarów walca skorzystanu z teoretycznej zależnośc określającej moment bezwładnośc. Jak zwykle, poza samą wartoścą badanej welkośc, będzemy też staral sę ustalć, jak dokładne tę wartość zmerzylśmy. Układ dośwadczalny wykorzystywany w ćwczenu prezentuj fotografa na Rys.. Rys.. Wdok układu pomarowego (fot. T. owak) Pomary wykonują dwe osoby, wykorzystując do tego celu jedną równę, ale każda z osób wyznacza moment bezwładnośc przydzelonego jej walca. Przyspeszena a walca, o momence bezwładnośc I (względem os symetr) zewnętrznym promenu R, podczas staczana sę bez poślzgu z równ pochyłej o kące nachylena α wynos mgr snα a =, () mr + I gdze m jest masą walca, a g przyspeszenem zemskm. adając wyrażenu na moment bezwładnośc postać I = β mr, uzyskujemy g snα a =. + β W tym ćwczenu, w zakrese analzy danych, poznamy metodę najmnejszych kwadratów w zastosowanu do wyznaczane ocen parametrów zależnośc lnowej nepewnośc tych ocen. Poznamy także test χ stotnośc dopasowana w odnesenu do postulowanej zależnośc funkcyjnej lub kształtu rozkładu prawdopodobeństwa.

2 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI Zadane (do domu do wykonana przed przystąpenem do pomarów) a) Wyprowadź równane (). b) Wyprowadź wzór na współczynnk β zdefnowany zwązkem I = β mr dla jednorodnej powłok walcowej o mase m, promenu zewnętrznym R wewnętrznym r. Ile ten współczynnk wynos dla walca pełnego? POMIARY Masz do dyspozycj walec z metalu; suwmarkę pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do, mm; taśmę mernczą pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do mm; równę pochyłą o regulowanym (w newelkm zakrese) kące nachylena; do równ przymocowane są dwe fotokomórk, które można wzdłuż nej przesuwać; walec, staczając sę z równ przysłanając perwszą z nch powoduje uruchomene pomaru czasu, a gdy dotrze do drugej ją przysłon, stosowany układ elektronczny zatrzymuje zegar wyśwetla, z dokładnoścą do, s, czas ruchu walca mędzy tym dwema fotokomórkam. Wykonane pomarów Podczas wykonywana pomarów pamętaj o szczegółowej dokumentacj, tj. o notowanu wszystkch nformacj mogących meć znaczene podczas analzowana uzyskanych wynków. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym powerzchnę równ. Wypozomuj podstawę równ. Zmerz wszystke nezbędne wymary walca. Przy każdym z nachyleń równ do pozomu zmerz wszystke nezbędne welkośc, które pozwolą C wyznaczyć kąt nachylena równ lub wybraną funkcję tego kąta. Oceń dokładność pomaru odległośc mędzy fotokomórkam borąc pod uwagę ch rozmary, luzy umocowań dokładność taśmy mernczej. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym walec jak równeż równę powtarzaj tę czynność za każdym razem przed rozpoczęcem ser pomarów przy nowej odległośc medzy fotokomórkam. Przy ustalonej odległośc mędzy fotokomórkam, wykonaj pomarów czasu t staczana walca mędzy nm. Powtarzaj pomar dla różnych, łączne przynajmnej sedmu, odległośc x mędzy fotokomórkam. Zacznj od odległośc ne wększej od cm. Fotokomórkę rozpoczynającą pomar czasu ustaw w odległośc ne wększej nż cm od początku równ zmenaj jedyne położene fotokomórk kończącej czas pomaru. Pomary wykonaj dla dwóch różnych nachyleń równ. ezwykle stotnym jest, aby w momence, kedy uwalnamy walec pozwalamy mu na staczane sę, przylegał on całą swoją długoścą do lstwy blokującej na szczyce równ. Gdy o to ne zadbamy, walec będze staczał sę pod katem do kerunku w dół wzdłuż równ wkrótce, natrafwszy w swym ruch na boczne krawędze równ, będze sę o ne objał. Spowoln to jego ruch doprowadz, w oczywsty sposób, do błędnej wartośc oceny momentu bezwładnośc. Aby tego unknąć, należy stanąć na przedłużenu równ, twarzą do jej szczytu. Walec należy docskać w połowe jego długośc do blokady jednym palcem gdy jesteśmy gotow do pomaru, usunąć go zdecydowanym ruchem, bez poślzgu wzdłuż walca. Każdy pomar, w którym dostrzeżemy uderzene walca w boczną krawędź równ nm mne on dolną fotokomórkę, należy powtórzyć. W celu zmnmalzowana groźby takch błędów, dolną fotokomórkę ne należy ustawać dalej nż m od szczytu równ. Gdy pomar wykonywany jest w parach, to jedna osoba uruchama walec, a druga obsługuje zegar zapsuje zmerzony czas. Tak zebrane dane należą do osoby, która uruchama walec. AALIZA DAYCH

3 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI a strone, z której pobrałaś/pobrałeś nnejszą Instrukcję, znajduje sę arkusz kalkulacyjny do programu Calc paketu Lbre Offce/Open Offce przygotowany do wykonana oblczeń będących przedmotem ponższych zadań. Arkusz ten lub równoważny będze nezbędny podczas ćwczeń rachunkowych może być pomocny podczas przygotowywana raportu końcowego. Jeśl masz własny komputer, możesz z nm przyjść na ćwczena rachunkowe, w przecwnym przypadku będze można skorzystać z jednego z komputerów na Pracown. Pamętaj jednak, że na Pracown ne ma dostępu do nternetu, węc arkusz kalkulacyjny mussz przyneść na zajęca na urządzenu pamęc zewnętrznej (typu pen-drve, do wypożyczena w sekretarace Pracown). Zadane (obowązkowe do domu do wykonanu przed ćwczenam rachunkowym) Uzupełnj w arkuszu wszystke brakujące dane. Jeśl uznasz to wygodnym, przepsz je do nstrukcj. Wykonaj punkt a) w Zadanu 5. Wykonaj punkt c) oraz d) w Zadanu 6. W nnejszym ćwczenu zajmujemy sę zagadnenam, których wspólnym manownkem jest suma kwadratów reszt zastosowanu tego podejśca do oceny welkośc fzycznej metodą średnej ważonej, ocen parametrów ln prostej metodą najmnejszych kwadratów zagadnenem testów statystycznych operających sę na rozkładze χ. Głównym celem zadań rachunkowych rozważanych ponżej jest opanowane zwązanych z tym technk rachunkowych. Głębszy wgląd w teoretyczne aspekty metody najmnejszych kwadratów pojaw sę w następnym ćwczenu. Przykłady lczbowe berzemy z Ćwczeń. Celowo ne odwołujemy sę do danych uzyskanych w częśc pomarowej obecnego ćwczena, gdyż w obecnym ćwczenu wybór właścwej metody analzy danych pozostawamy Tobe, a ćwczena rachunkowe mają C w tym wyborze dopomóc. Trafność tego wyboru będze ocenaną częścą raportu końcowego. ŚREDIA WAŻOA Zadane 3 (na ćwczenach) Tabela podaje wynk pomaru gęstośc (Ćwczene ) uzyskane przez autorów nstrukcj. Posługując sę średną ważoną, wyznacz najlepszą ocenę gęstośc nepewność tej oceny. Skąd borą sę te wzory? Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel. metoda ρ [g/cm 3 ] u [g/cm 3 ] Tabela. Wyznaczane średnej ważonej u [cm 6 /g ] 3 ρ u [cm 3 /g] ρ ρw [g/cm 3 ] ( ρ ρ ) w [g /cm 6 ] A,6776, , ,78 B,6966,6 66,993 79,97 C,68667,4 54, , suma = 5848, ,75 suma = χ = u nt = = ρ u ext = w ( ρ ρ ) w u Przypomnamy nezbędne wzory. Jeżel ta sama welkość została zmerzona nezależnym metodam otrzymano wartośc x wraz z nepewnoścam u, to najlepszą oceną poszukwanej welkośc jest x w, a za oceny nepewnośc przyjmujemy wększą z wartośc u nt u ext, gdze: x u nt x x w xw = unt, u nt =, uext = χ, χ = = u. = u = u Dyskusja wyboru nepewnośc zostane przeprowadzona na wykładze. Zadane 4 (do domu dla trenngu) Pewen teoretyczny model głos, że dwa parametry: a oraz b uważane dotychczas za nezależne służące do opsu klasy zjawsk, których tenże model ma jakoby dotyczyć, mają tą samą

4 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI wartość. W celu sprawdzena modelu wykonano eksperyment w dwu nezależnych pomarach znalezono wartośc parametrów: a =, ±,4 oraz b =,3 ±,3. Co możesz powedzeć na temat słusznośc modelu, przyjmując, że każdy z pomarów opsany jest rozkładem normalnym? Jeśl uznasz słuszność modelu, jak wyznaczysz najlepszą eksperymentalną wartość postulowanego parametru jego nepewność? METODA AJMIEJSZYCH KWADRATÓW I TEST χ ISTOTOŚCI DOPASOWAIA Jeden z przykładów zastosowana metody najmnejszych kwadratów napotykamy, gdy wyznaczamy krzywą kalbrującą układu pomarowego, kedy to wzorcujemy nasz układ, badając jego odpowedź na dokładne znany bodzec. Odpowada to sytuacj, w której dla dokładne znanej wartośc zmennej nezależnej x, wykonywany jest pomar zmennej zależnej η = ax + b, w którego wynku otrzymujemy wartość y z nepewnoścą u (Zadane 5). W praktyce najczęścej spotykamy jednak problemy, w których obe wartośc: x oraz y są wyznaczane z nepewnoścam. Aby wtedy zastosować omawany w nnejszym ćwczenu warant metody najmnejszych kwadratów, za zmenną nezależną przyjmujemy welkość znaną dokładnej (Zadane 6). Zadane 5 (na ćwczenach) W Tabel podane są wynk pomarów wydłużena sprężyny pod wpływem zaweszanych na nej cężarków. Masy cężarków znane są bardzo dokładne, a wydłużene merzone było taśmą stalową z podzałką mlmetrową. Prawo Hooke a przewduje, że wydłużene sprężyny jest proporcjonalne do dzałającej sły, a węc w naszym przypadku do masy zaweszonych cężarków. Tabela. Wynk pomarów wydłużena sprężyny masa m [g] 65, 8,47 7,59 4,75 78,7 wydłużene L [mm] Uwaga: Informacja o dokładnośc pomaru L (taśma z podzałką mlmetrową) tej samej dla wszystkch punktów, wyznacza ocenę wkładu dokładnośc przyrządu do nepewnośc pomaru. W ponższej analze ocenmy nepewnośc standardowej pomaru wydłużena na podstawe rozrzutu s (patrz nżej) punktów wokół dopasowywanej zależnośc funkcyjnej, której postać (lnowy charakter) uznajemy za ścsłą. Uzyskaną wartość nepewnośc należy porównać z wkładem od dokładnośc przyrządu. a) arysuj na paperze mlmetrowym wykres danych z Tabel na paperze. Sprawdź, za pomocą lnjk, czy dane układają sę na ln prostej, a jeśl tak, to wyznacz oceny parametrów tej prostej z wykresu. b) Poneważ ne wadomo na le ścśle podane wydłużena odnoszą sę do pomarów od długośc swobodnej sprężyny, przyjmj, że poszukwana zależność mędzy długoścą sprężyny a zaweszoną na nej masą ma postać L = am + b. Załóż też, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym σ. Sformułuj zagadnene wyznaczena ocen neznanych współczynnków a b metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane. c) Wyznacz oceny â ˆb parametrów a b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 3. Dla przypomnena podajemy stosowne wzory: aˆ = = ( L L)( m m) = ( m m) ( ˆ ) ˆ, s = L am b =, bˆ = L am ˆ, 4 m = m, L = L, = = s s s m s m m a b a =, =, = = ( m m ) = Zdefnowana powyżej welkość s jest odchylenem standardowym eksperymentalnym wydłużena,

5 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI m [g] Tabela 3. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc lnowej L = am + b L [mm] δ m = m m [g] aˆ ± sa = bˆ ± s b = s = ocena ona neznane odchylene standardowe σ w pomarze wydłużena sprężyny. Welkość s uzyskujemy ze średnego rozrzutu punków wokół założonej zależnośc funkcyjnej, zawerającej dwa swobodne parametry stąd czynnk w manownku. UWAGA. Podejśce to zakłada, że badana zależność ma faktyczne postać L = am + b. d) a podstawe wynków oblczeń rozstrzygnj, stosując test 3σ, czy wydłużene merzono od długośc swobodnej sprężyny. e) Jeśl uznałaś/uznałeś, że wyraz wolny dopasowanej zależnośc lnowej jest zgodny z zerem, to sformułuj problem wyznaczena oceny neznanego współczynnka A w zależnośc L = Am metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma być mnmalzowane wyjaśnj względem jakch welkośc. Przyjmj, jak poprzedno, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym σ. f) Wyznacz ocenę Â neznanego parametru A nepewność tej oceny. Skorzystaj ze wzorów: δ L = L L [mm] δm δl [g mm] (δm ) [g ] ml ˆ s A= s = s = L Am ( ˆ ) =,, A = m m = = Welkość s nterpretujemy analogczne jak w punkce c). W oblczenach wzoruj sę na Tabel 4. Zadane 6 (na ćwczenach) W Ćwczenu, badając drgana wahadła, wyznaczyłaś/wyznaczyłeś pęcokrotne czas trwana okresów dla klku różnych jego długośc. Dane te wykorzystamy teraz, aby za pomocą metody najmnejszych kwadratów wyznaczyć wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą. Jak wadomo, dla małych wychyleń, okres drgań T wahadła o długośc L wynos m [g ] 65, 38 45,34 8, ,48,4 5973,838 84, ,4 7,59 365,8,4,,8 9443,3 4, ,3 3,6 635,795 83,94 55,56 78,7 59 6,45 6,6 4,3 33,83 773,9 858,9 87 suma suma 75566,9 7,68 365,4 średna m = 353, Tabela 4. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc proporcjonalnej L = am m [g] L [mm] m L [g mm] m [g ] ( ˆ ) 65, ,98 45,34 8, ,9 435,4 7, , ,3 4, ,5 55,56 78, ,44 773,9 sumy , , Aˆ ± s A = s = L. Am [mm ] ( L ˆ ˆ) am b na stopeń swobody [mm ] na stopeń swobody 5

6 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI L T = π, g gdze g to przyspeszene zemske. Jeśl wprowadzmy welkośc: H wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą, h wysokość środka cężkośc wahadła na podłogą, kedy to L = H h, a także zdefnujemy, dla uproszczena notacj, welkość η = T, to znajdzemy, że: 4π 4π H 4π T = ( H h) η = ah+ b, b=, a =. g g g Wdzmy, że wprowadzene welkośc zadanej kwadratem okresu pozwolło zapsać relację mędzy okresem a wysokoścą wahadła nad podłogą w prostszej postac. W naszym dośwadczenu zarówno welkość h jak η pochodzą z pomaru, węc równe dobrze możemy rozważać zależność: g g h = H T h cη d, d H, a 4π = + = = 4π. Decyzja o wyborze dopasowywanej formy zależnośc wymaga stwerdzena, czy merzony był dokładnej kwadrat okresu czy wysokość. W tym celu: a) wyznacz nepewnośc u (T) pomaru okresu dla każdej z wysokośc kul wahadła nad podłogą; b) wyznacz wynkające z nch nepewnośc u (T) kwadratów okresów; c) skorzystaj z Tabel 5 wykonaj na paperze mlmetrowym wykres zależnośc T od h; Tabela 5. Wyznaczane domnującej nepewnośc wysokość h kul wahadła nad podłogą [m],4,69,4,7 numer pomaru czas t dzesęcu kolejnych okresów [s] 34,8 3, 5,3,34 34,35 3,9 4,97, ,3 3,9 4,97,3 4 34,8 3,5 4,9, ,5 3,3 5,3,5 średna t okresów [s] 34,94 3,76 4,98,3 nepewność st średnej t [s],6,4,3 dopuszczalny błąd granczny Δ t [s],,,, nepewność u = +Δ [s],97,67,34 t st t 3 okres T = t/ [s] 3,76,498,3 nepewność u (T) = u t / [s],97,67,34 η = T [s ] 9,59 6,4 4,987 nepewność T : u (T) = Tu (T) [s ],9,334,44 Δ h =,3 m, a stąd u h [m],73,73,73,73 nepewność a u h z przenesena [s ] d) oszacuj wartość a współczynnka a zależnośc lnowej η = ah + b na podstawe wykresu; e) porównaj przenesone wartośc a u h nepewnośc u h z wartoścą u (T). Jeśl a u h << u (T), to za zmenną nezależną możemy przyjąć h. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, uzupełnj odwzorowaną tam Tabelę 5 podejmj decyzję (tabela zawera dane uzyskane przez autorów nstrukcj). Uwaga: W tabel przyjęlśmy dopuszczalny błąd granczny wskazań stopera Δ t =, s (jak nektórzy z Państwa zaobserwowal, stoper ne wyśwetlał wszystkch możlwych wartośc). Zauważmy, że w wynku takej analzy może sę zdarzyć, że np. wyznaczając współczynnk lnowej rozszerzalnośc ceplnej próbk metalu w kształce odcnka drutu analzując relację mędzy temperaturą a długoścą tego odcnka umeszczonego w kąpel z regulowaną 6

7 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI temperaturą, będzemy musel przyjąć temperaturę jako zmenną zależną, a długość odcnka drutu jako zmenną nezależną, choć, jako żywo, nkt z nas ne powe, że długość drutu decyduje o temperaturze kąpel, w jakej jest on utrzymywany. Jak wdzmy, podejśce to gnoruje relację przyczynowośc mędzy zmennym bynajmnej ne śwadczy to przecw metodze. Jest to mmanentna cecha statystyk matematycznej ne wnka ona w relacje determnstyczne mędzy badanym welkoścam ona tylko opsuje obserwowany obraz, a decyzja o stnenu lub braku zwązków przyczynowych pozostawona jest w ręku badacza. f) Przyjmj, że dana jest sera zadanych dokładne znanych wartośc x zmennej nezależnej oraz zmerzonych, w punktach x, wartośc y zmennej zależnej η. W swym modelowym podejścu metoda najmnejszych kwadratów wymaga znajomośc odchyleń standardowych σ welkośc y (w praktyce zastępowane nepewnoścam standardowym u ). Sformułuj problem wyznaczena ocen neznanych współczynnków a b pełnej ln prostej η = ax + b metodą najmnejszych kwadratów (podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość Tabela 6. Schemat oblczeń dla zależnośc T = ah + b z uwzględnenem nepewnośc welkośc T welkość numer pomaru wysokośc h 3 4 suma średna x [m] (x = h),4,69,4,7 y [s ] (y = T ) 9,59 6,4 4,987 u [s ],9,334,44 /u 75,7 566,46 966,89 = S x /u 4865, ,4 5767,5 = xw y /u 64, , , = yw δx = (x x w )/u δy = (y y w )/u δx δy (δx ) x /u 3357,3 8,6 79,3 = x w wynk: aˆ ± ua = bˆ ± u b = ( ˆ) y ˆ ax b u χ = = P ( χ > χ ) wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane). W zadanu rolę zmennej nezależnej x odgrywa wysokość h kul wahadła nad podłogą. g) Oblcz metodą najmnejszych kwadratów oceny parametrów a oraz b ln prostej η = ah + b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 6. Dla kompletu nformacj podajemy stosowane wzory: aˆ ( x xw)( y yw) = σ, ˆ ˆ a = b= y w axw, ua =, u, b = xwσ a u x x w = u x y x xw =, y,,. w = x w = S = S u S u S u u = = = = h) Przeprowadź Pearsona test χ stotnośc dopasowana ln prostej do danych. ) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to wykorzystując wartość przyspeszena zemskego w Warszawe, wyznacz ocenę wysokośc H 7

8 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI punktu zaczepena kul nad podłogą wraz z nepewnoścą tej oceny. j) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to skorzystaj z ocen wartośc parametrów ln prostej podaj swoją ocenę wartośc przyspeszena zemskego w Warszawe oraz nepewność tej oceny, wynkającą z przeprowadzonego eksperymentu. k) Załóżmy, że dopasowywana zależność lnowa mędzy kwadratem okresu a wysokoścą kul wahadła nad powerzchną podłog jest poprawna, ne jesteśmy jednak przekonan co do poprawność naszych nepewnośc standardowych pomaru czasu. Sądzmy jedyne, że właścwe odzwercedlone są ch wzajemne stosunk, ale ne jest nam znany wspólny czynnk multplkatywny. Oznacza to, że faktyczne nepewnośc pomaru kwadratu okresu to ne u lecz welkośc w = zu, gdze z jest neznanym współczynnkem. Wyznacz ocenę współczynnka z. Przedstawone w tym punkce zagadnene może wydawać sę sztuczne w kontekśce nnejszego zadana. Bywa ono jednak często wykorzystywane w analze danych natknemy sę na przykład jego zastosowana w następnym ćwczenu. Zwracamy uwagę, że jest ono neco rozwnętą formą analzy przeprowadzonej w Zadanu 5, gdze nepewnośc pomaru długośc sprężyny były dentyczne w całośc neznane. Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu Pearsona testu χ stotnośc modelu wyrażonego zależnoścą matematyczną f(x;θ), gdze θ to zbór parametrów, do danych zadanych w postac zestawu wartośc (x, y ± σ ) zmennej nezależnej x zmennej zależnej η wraz z wartoścam σ odchyleń standardowych welkośc y : ustalamy dopuszczalne prawdopodobeństwo α odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem stotnośc testu); mnmalzując ważoną sumę kwadratów reszt ( y ( )) f x; θ R ( θ ) = σ = względem parametrów θ, wyznaczamy oceny ˆk θ tych parametrów zależnośc matematycznej, które ne są częścą testowanej hpotezy; ustalamy lczbę ν = m stopn swobody, gdze m jest lczbą parametrów w zależnośc matematycznej, których wartośc zostały wyznaczone w poprzednm kroku; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną χkr ( αν, ) dla zadanego prawdopodobeństwa α lczby ν stopn swobody; wykorzystując wcześnej wyznaczone oceny ˆk θ parametrów, oblczamy wartość χ ważonej sumy kwadratów reszt w mnmum: ( ˆ ( )) y f x; θ χ = ; = σ porównujemy uzyskaną wartość χ αν, jeśl spełnony jest warunek: ( ) kr, χ z wartoścą ( ) χ > χ αν, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy słuszność hpotezy, lecz jedyne godzmy sę z ną, jako nesprzeczną z obserwowanym danym. UWAGA. Stosując metodę najmnejszych kwadratów wykorzystującą odchylene standardowe σ, jak wykonując Pearsona test χ, na ogół ne znamy jej wartośc dlatego w praktyce w ch mejsce stosujemy oszacowana u, czyl nepewnośc standardowe wynków pomaru. Wprowadza to dodatkową neoptymalność otrzymanych ocen parametrów ocen ch nepewnośc, a w odnesenu do testu osłaba kategoryczność jego konkluzj. UWAGA. Można by sądzć, że m mnejszą wartość 8 kr χ otrzymamy, tym bardzej warogodną jest testowana hpoteza, jako że dopasowywana zależność wydają sę dobrze odtwarzać dane dośwadczalne. e jest to jednak prawda, bo mała wartość χ podpowada nam, że dane ne

9 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI fluktuują wokół wyznaczanej zależnośc w skrajnym przypadku, gdy dopasowana zależność przechodz dokładne przez punkty pomarowe, welkość χ przyjmuje wartość zero. Mała wartość sumy kwadratów reszt w mnmum jest mało prawdopodobna, a węc wnna wzbudzć naszą czujność. Typowo, wartość χ pownna być zblżona do lczby ν stopn swobody, gdyż każdy z nezależnych składnków sumy defnującej welkość χ ma wartość oczekwaną równą jednośc, a węc wartość χ ν pownna być zblżona do jednośc. Oczywśce, przy wyborze wartośc krytycznej dopuszczamy dużą, znaczne wększą od jedność wartość χ kr (α,ν)/ν, jako że chcemy zmnmalzować ryzyko odrzucena hpotezy prawdzwej. Ale, jeśl chcemy sę ustrzec przed sytuacją, w której wyznaczana krzywa zbyt dobrze podąża za punktam, pownnśmy z podejrzlwoścą odnosć sę do wartośc χ kr (α,ν)/ν <<. Przyczyn takej relacj może być klka. W modelowym podejścu formuła na sumę kwadratów reszt używa warancj welkośc merzonych y w praktyce wykorzystujemy oceny tych warancj, dlatego prawdopodobne najczęścej spotykaną przyczyną małej wartośc χ są przeszacowane wartośc nepewnośc. Możlwe jest także, że zmerzone wartośc y ne są nezależne, a to oznacza, że formuła wyznaczająca welkość R(θ) ne jest poprawne skonstruowana, co może prowadzć do zanżena wartośc χ. W końcu pownnśmy także zawsze rozważyć możlwość zmanpulowana danych. Zadane 7 (do domu dla trenngu) W Tabel 7 podane są odległośc L (w tzw. jednostkach astronomcznych) kolejnych planet od Słońca. Odkryj regułę Ttusa Bodego, robąc wykres zależnośc: lnl = a + bn, gdze n jest kolejną lczbą naturalną. Znajdź oceny parametrów a oraz b. aneś na wykres dane dopasowaną zależność. Ścśle rzecz borąc, reguła Ttusa Bodego stanow, że: L =,4 +,3n, gdze n =,,,4,8,6,.... Tabela 7. Odległośc planet od Słońca w jednostkach astronomcznych Merkury Wenus Zema Mars Jupter Saturn Uran eptun Pluton,387,73,54 5,4 9,58 9,4 3,98 39,439 Zadane 8 (do domu dla trenngu) Pokaż, że przy dopasowanu zależnośc proporcjonalnej η = Ax, gdy uzyskane w punktach x wartośc y, =,,...,, określone odchylenam standardowym σ, wzory pozwalające ocenć neznany współczynnk A odchylene standardowe σ A tej oceny, mają postać: ˆ xy A = σ A, σ A =. = σ x = σ Zadane 9 (do domu dla trenngu) Pokaż, że podane we wcześnejszych zadanach wzory na oceny ch warancje neznanych współczynnków a oraz b zależnośc η = ax + b można przedstawć w równoważnej postac aˆ = ( SS ), ˆ xy SxSy b= ( SxxSy SxSxy), σa = S, σb = Sxx, Δ Δ Δ Δ gdze: n n x n n n, x, x, y y, S = Sx = Sxx = Sxy = Sy =, Δ = SSxx Sx, = σ = σ = σ = σ = σ jeśl wynk y pomarów welkośc η charakteryzują sę odchylenam standardowym σ. Jeśl odchylena te są take same w każdy punkce pomarowym, wnoszą σ, ale są neznane, to wyrażena na oceny parametrów pozostają bez zmany, przy czym n n n n x xx xy y xx x = = = =, S =, S = x, S = x, S = x y, S = y, Δ = SS S a wyrażena na kwadraty nepewnośc tych ocen przyjmują postać: 9

10 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI u u ua = S, ub = Sxx, Δ Δ gdze welkość u to wyznaczona z rozrzutu ocena odchylene standardowe σ każdego z wynków y : u = ( y ˆ ˆ) ax b. = PEARSOA TEST χ ISTOOŚCI MODELOWEGO ROZKŁADU W Ćwczenu 3 dowedzelśmy sę, jak należy porównywać grafczne (jakoścowo) rozkład modelowy z rozkładem dośwadczalnym. Teraz poszerzymy tę wedzę o przykład metody (testu) loścowego sprawdzana zgodnośc obu rozkładów. Wykorzystamy, najczęścej stosowany, Pearsona test χ stotnośc modelowego rozkład. W rozważanach naszych odwołujemy sę do tych samych danych, które wykorzystalśmy przy porównanu grafcznym, tzn. porównamy modelowy rozkład Gaussa z rozkładem zebranych danych dośwadczalnych. Zadane (na ćwczenach) Przyjmując, że wynk T pomaru okresu drgań wahadła podlegają rozkładow Gaussa z wartoścą oczekwaną μ = 3,448 s dyspersją σ =,456 s, przeprowadź test χ Pearsona zgodnośc tego modelu z danym dośwadczalnym. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 8 oraz DODATKU B, gdze podane są wartośc całek rozkładu Gaussa. Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu testu χ Pearsona stotnośc modelowego rozkładu prawdopodobeństwa f(x;θ), określonego zestawem neznanych parametrów θ = (θ, θ,, θ m ) ne będących częścą hpotezy, z rozkładem dośwadczalnym: ustalamy dopuszczane prawdopodobeństwo α odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem stotnośc testu); dzelmy cały teoretyczny zakres wartośc zmennej losowej na n przedzałów [x k, x k + Δ k ], k =,,, n, (nekoneczne tej samej długośc) tak, aby lczba k oczekwanych wynków w każdym z przedzałów była ne mnejsza nż 5 w praktyce zadowalamy sę zaobserwowaną lczbą n k danych w przedzale ne mnejszą nż 5; konstruujemy ważoną sumę kwadratów reszt gdze Tabela 8. Test stotnośc χ Pearsona krawędź dolna T k [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 krawędź górna T k + Δ [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 suma obserwowana lczba n k danych zmenna standaryzowana z k = (T k μ)/σ,99,8947,8 dystrybuanta F(z k ) rozkładu Gaussa,33,855,5799 z k + = (T k + μ)/σ,8947,8,98 F(z k + ),855,5799,99 p k = P(z k < z < z k + ) = F(z k + ) F(z k ),6,3945,33 oczekwana lczba ˆ = pˆ danych 35,4 85, 69,76 ( n pˆ ) ( pˆ ) k k,87,394,655 k k k R ( θ ) n = k = ( nk pk ( θ )) p ( θ ) k,

11 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI ( θ) ( ; θ ) xk+δk pk = f x dx to prawdopodobeństwo znalezena wynku x pomaru w przedzale [x k, x k + Δ k ], a jest całkowtą lczbą danych; mnmalzujemy tę sumę względem neznanych parametrów θ, wyznaczając w ten sposób poszukwane oceny ˆ θ tych parametrów rozkładu, które ne są częścą testowanej hpotezy; oblczamy lczbę stopn swobody ν = n m, gdze n jest lczbą przedzałów, zaś m lczbą parametrów, których wartośc zostały wyznaczone zgodne z zarysowana wyżej procedurą; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną χkr ( αν, ) odpowadającą zadanemu prawdopodobeństwu α lczbe ν stopn swobody; na podstawe modelu wyznaczonych bądź zadanych wartośc parametrów oblczamy ocenę pˆ ( ˆ k = p k θ ) prawdopodobeństwa p k znalezena wartośc zmennej losowej w przedzale o numerze k; oblczamy ocenę oczekwanej lczby ˆ ˆ k = pkdanych w przedzale o numerze k; oblczamy wartość ważonej sumy kwadratów w mnmum; n ( ˆ ) nk pk χ = ; pˆ porównujemy uzyskaną wartość ( ) kr, k = xk χ z wartoścą χ (, ) kr k αν jeśl spełnony jest warunek χ > χ αν, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy, ż dane stotne pochodzą z rozważanego rozkładu modelowego, a jedyne, że ne mamy podstaw do do odrzucena takego stwerdzena jako sprzecznego z danym dośwadczalnym. Oczywśce, tu także ma zastosowane UWAGA umeszczona w częśc odnoszącej sę do testu χ stotnośc dopasowana o małej wartośc χ. Zadane (do domu dla trenngu) Zgromadzono dane (B. G. Mason, D. M. Pyle, W. B. Dade, and T. Jupp, Seasonalty of volcanc eruptons, J. Geophys. Res., 9, (4), B46) dotyczące czasu wystąpena każdej z 338 erupcj wulkanu, jake pojawły sę w latach Wydarzena te, zgodne z datam ch wystąpena, rozłożono mędzy mesęcy roku, przy czym słowo mesąc oznacza tu dokładne dwunastą część roku. Lczby erupcj w każdym mesącu przedstawa Tabela 9. Przyjmując wartość błędu perwszego rodzaju α = %, zweryfkuj hpotezę o tym, że wulkany wybuchając, ne preferują żadnego z mesęcy. Tabela 9. Lczba erupcj wulkanów w mesącu mesąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII lczba k erupcj RAPORT KOŃCOWY Wynk pomarów, w postac plku tekstowego, plku do programu Excel paketu MS Offce lub plku do programu Calc paketu Lbre/Open Offce proszę przesłać e-malem prowadzącemu zajęca nezwłoczne po złożenu raportu. Raport będze czekał na sprawdzene, aż to uczynsz.. Przedyskutuj dokładność pomarów drog czasu. W szczególnośc porównaj udzał dokładnośc odczytu rozrzutu statystycznego w pełnej nepewnośc pomaru czasu. Zwróć uwagę na realstyczny dobór nepewnośc pomaru drog.. Wykonaj wykres zależnośc x(t) oraz welkośc w(t) = x(t)/t dla każdego z kątów nachylena równ. Co sugerują C te wykresy? Jak charakter ruchu jaka postać zależnośc matematycznej

12 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI drog od czasu wynka z przyjętego modelu teoretycznego? 3. Aby zastosować metodę najmnejszych kwadratów w celu wyznaczena neznanych parametrów wybranego modelu teoretycznego, ustal, którą ze zmennych należy wybrać jako zmenną nezależną (odwołaj sę do wynków uzyskanych w punktach..). 4. Zdecyduj, którą wersję metody najmnejszych kwadratów wykorzystasz, aby ocenć te neznane parametry podaj postać welkośc mnmalzowanej. Pamętaj, że metoda ta ma ne tylko umożlwć C wyznaczene ocen tych parametrów, ale jednocześne posłużyć C w przeprowadzenu testu χ Pearsona. 5. Stosując wybraną metodę wyznacz, dla każdego z kątów nachylena równ, oceny neznanych parametrów nepewnośc tych ocen, a także zweryfkuj, metodą testu χ Pearsona, stotność wybranego modelu ruchu (zgodność modelu z danym). 6. Dla jednego z kątów nachylena równ narysuj, jako funkcję welkośc x, wykres reszt ε = y ax ˆ + bˆ, czyl różnc wartośc zmerzonych wartośc oblczonych na podstawe ( ) dopasowana. 7. Wyznacz ocenę wartośc przyspeszena w badanym ruchu wraz z jej nepewnoścą dla obu kątów nachylena równ. Dla każdej z wartośc przyspeszena podaj odpowadającą jej ocenę parametru β nepewność tej oceny. 8. Czy uzyskane oceny parametru β są zgodne z tym czego oczekujesz (porównaj z wartoścą jaka wynka ze wzoru wyprowadzonego w Zadanu, punkt b))? Jeśl ne, wskaż przyczynę (lub przyczyny) rozbeżnośc. Dla każdej z wymenonych przez Cebe przyczyn spróbuj oszacować (co do rzędu welkośc) jej wkład w obserwowaną rozbeżność. 9. Gdy uzyskane oceny parametru β są zgodne ze sobą, wyznacz jego najlepszą ocenę.. Czy ocena ta jest zgodna z tym, czego oczekujesz? Jeśl tak, to wyznacz najlepszą ocenę parametru β nepewność tej oceny (o le take postepowane ma sens). Raport końcowy pownen zawerać wszystke surowe wynk pomarów, aby można było, bez odwoływan sę do zapsków sporządzonych w trakce wykonywan dośwadczena, powtórzyć wszystke oblczena sprawdzć ch poprawność. Raport należy oddać, wraz z ostemplowanym arkuszem otrzymanym przy przystępowanu do częśc pomarowej, w Sekretarace Pracown na następnych zajęcach, po zakończenu ćwczeń rachunkowych do nnejszego dośwadczena. W raporce możesz wykorzystać jedyne własne dane. Raport ne może uzyskać pozytywnej oceny końcowej, jeśl choć jedna z wartośc lczbowych jest błędna z powodu błędów rachunkowych bądź wyboru błędnej metody analzy!

13 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI DODATEK A WARTOŚCI KRYTYCZE ROZKŁADU χ Tabela ponżej podaje wartośc krytyczne χ (, ) kr αν zmennej χ dla nektórych wartośc ryzyka α błędu perwszego rodzaju oraz lczb ν stopn swobody. Prawdopodobeństwo α błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne χ (, ) 3 kr αν dla podanych lczb ν stopn swobody ν = ν = ν = 3 ν = 4 ν = 5 ν = 6 ν = 7 ν = 8 ν = 9 ν =,,83 3,8 6,7 8,47,5,46 4,3 6, 7,88 9,59,3 9,,83 4,6 6,5 8,,6,85 3,57 5,6 6,9,5 7,88,6,84 4,86 6,75 8,55,8,95 3,59 5,9, 6,63 9,,35 3,8 5,8 6,8 8,47,9,67 3,,5 3,84 5,99 7,8 9,49,7,59 4,7 5,5 6,9 8,3,,7 4,6 6,5 7,78 9,4,64, 3,36 4,68 5,99 Prawdopodobeństwo α błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne χ (, ) kr αν dla podanych lczb ν stopn swobody ν = ν = ν = 3 ν = 4 ν = 5 ν = 6 ν = 7 ν = 8 ν = 9 ν =, 3,6 3,9 34,53 36, 37,7 39,5 4,79 4,3 43,8 45,3,3 8,5 3, 3,66 33, 34,7 36, 37,7 39,7 4,63 4,8,5 6,76 8,3 9,8 3,3 3,8 34,7 35,7 37,6 38,58 4,, 4,73 6, 7,69 9,4 3,58 3, 33,4 34,8 36,9 37,57,5 9,68,3,36 3,68 5, 6,3 7,59 8,87 3,4 3,4, 7,8 8,55 9,8,6,3 3,54 4,77 5,99 7, 8,4 Prawdopodobeństwo Wartośc krytyczne χkr ( αν, ) dla podanych lczb ν stopn swobody α błędu perwszego rodzaju ν = ν = ν = 3 ν = 4 ν = 5 ν = 6 ν = 7 ν = 8 ν = 9 ν = 3, 46,8 48,7 49,73 5,8 5,6 54,5 55,48 56,89 58,3 59,7,3 43,5 44,94 46,36 47,76 49,6 5,55 5,93 53,3 54,68 56,4,5 4,4 4,8 44,8 45,56 46,93 48,9 49,65 5,99 5,34 53,67, 38,93 4,9 4,64 4,98 44,3 45,64 46,96 48,8 49,59 5,89,5 3,67 33,9 35,7 36,4 37,65 38,89 4, 4,34 4,56 43,77, 9,6 3,8 3, 33, 34,38 35,56 36,74 37,9 39,9 4,6 Uwaga: jeśl dysponujemy oprogramowanem, który umożlwa wyznaczane całek rozkładów prawdopodobeństwa, lepej jest, w mejsce wartośc krytycznej, podawać tzw. wartość p testu, czyl prawdopodobeństwo p, że zmenna u = χ przyjme wartość wększą nż wartość χ uzyskana z danych: gdze ( χ ) ν ( ) p : = P u = f u du, v u fv ( u) u = exp Γ v v ( ) to rozkład zmennej χ o ν stopnach swobody. Podejśce to ne zwalna Cę z obowązku podjęca decyzj co do zgodnośc wybranego modelu z danym, a dostarcza wększej lośc nformacj czytelnkow, umożlwając mu, nekedy, wyrażene własnej opn (jak równeż pozwala mu zorentować sę w jakośc rygoryzme Twych decyzj). Symbol Γ powyżej oznacza funkcję gamma Eulera Γ(z), zdefnowaną za pomocą całk z ( ) χ x z x e dx Γ =.

14 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI Wykres prawdopodobeństwa p jako funkcj obserwowanej wartośc lczby ν stopn swobody 4 χ dla nektórych wartośc

15 Ćwczene 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI DODATEK B CAŁKI ROZKŁADU ORMALEGO (GAUSSA). Tabela ponżej podaje wartość całk standaryzowanego rozkładu normalnego z x F( z) : = P( < x z) = + exp dx, z π >. Z uwag na symetrę rozkładu, wartość całk dla ujemnych wartośc argumentu można wyznaczyć ze zwązku F( z) = F(z). Tabela 5. Wartośc całek rozkładu Gaussa z,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86,833,9,859,886,8,838,864,889,835,834,8365,8389,,843,8438,846,8485,858,853,8554,8577,8599,86,,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,88,883,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,95,3,93,949,966,98,999,95,93,947,96,977,4,99,97,9,936,95,965,979,99,936,939,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,948,949,944,6,945,9463,9474,9484,9495,955,955,955,9535,9545,7,9554,9564,9573,958,959,9599,968,966,965,9633,8,964,9649,9656,9664,967,9678,9686,9693,9699,976,9,973,979,976,973,9738,9744,975,9756,976,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,98,987,,98,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,986,9864,9868,987,9875,9878,988,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,99,994,996,999,99,993,996,4,998,99,99,995,997,999,993,993,9934,9936,5,9938,994,994,9943,9945,9946,9948,9949,995,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,996,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,997,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,998,9,998,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 3,,999,999,999,999,999,999,999,999,9993,9993 3,,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998 3,5,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998 3,6,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,7,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,9,,,,,,,,,, Aby odczytać wartość całk dla np. z =,3 wyberz wersz odpowadający lczbe, kolumnę odpowadającą wartośc,3, a na ch przecęcu znajdzesz wartość F(z) =,897. 5

16