pok. 364 Konsultacje: piątek Literatura:

Transkrypt

1 rof. dr hab. inż. JROSŁW RZEWŁÓCKI pok. 364 Konsutacje: piątek Literatura: Bieewicz E.: Wtrzmałość materiałów. Dąg Z., Jakubowicz., Orłoś Z.: Wtrzmałość materiałów. Koendowicz T.: echanika budowi da architektów. rzewłócki J., Górski J.: odstaw mechaniki budowi. rak S., Szuborski K.: echanika konstrukcji. Szmczak Cz., Skowronek., Witkowski W., Kujawa.: Wtrzmałość materiałów. Zadania. WRUNKI ZLICZENI SEESTR III W zajęciach mogą uczestniczć jednie Osob znajdujące się na Listach Studenckich. Obecność na wszstkich wkładach i ćwiczeniach jest obowiązkowa i będzie sprawdzana. Zaiczenie przedmiotu uzskuje się na podstawie wników dwóch kookwiów pisemnch i egzaminu. Kookwia oceniane są w skai punktowej 0-50 p. W sumie z kookwiów tch można uzskać 0 00 p. rzewiduje się możiwość popraw każdego kookwium w czasie sesji podstawowej ub poprawkowej (do uzgodnienia ze starostą roku). Wnik tego kookwium jest wiążąc i ostateczn. Egzamin (pisemn) obejmuje całość materiału (sem. II i sem. III) i przeprowadzan jest w formie testu otwartego. ożna z niego uzskać 0 00 p. Osob, które uzskają z kookwiów z semestrów II i III sumę 50 punktów mogą bć zwonione z egzaminu, otrzmując ocenę dobr. Końcową ocenę przedmiotu otrzmuje się zgodnie z tabeą, na podstawie sum punktów uzskanch z kookwiów zwkłch (ub z kookwium poprawkowego) w sem. III oraz z egzaminu. Suma punktów z zaiczeń i z egzaminu ocena ożiwe jest uzskanie dodatkowch punktów za aktwność na zajęciach.

2 ROGR WYKŁDÓW: SE. III 5 GODZ. -. Wprowadzenie. Stan naprężenia, ekstremane wartości naprężeń, koło ohra. 3. Związki międz naprężeniami i siłami wewnętrznmi. Stan odkształcenia. 4. Związki międz naprężeniami i odkształceniami. 5. Wmiarowanie konstrukcji: warunki wmiarowania, metod projektowania konstrukcji. Rozciąganie i ściskanie osiowe. 6. ołączenia eementów konstrukcjnch, ścinanie techniczne. 7. Charakterstki geometrczne figur płaskich: moment statczne i środek ciężkości, moment bezwładności figur płaskich, główne osie i moment bezwładności. 8. Zginanie proste, ukośne, zginanie ze ścinaniem, beki złożone. 9. Skręcanie swobodne. Ściskanie - rozciąganie mimośrodowe, rdzeń przekroju. 0. Linia ugięcia beek zginanch - równanie Euera. Stateczność układów prętowch.. Nośność graniczna układów prętowch (osiowe rozciąganieściskanie prętów, pręt zginane).. naiza statczna i kinematczna układów prętowch. 3. Zasada prac wirtuanch. rzemieszczenia układów prętowch. 4. Układ prętowe statcznie niewznaczane - metoda sił. 5. Układ prętowe o smetrcznej budowie: obciążenie smetrczne i asmetrczne. LN ĆWICZEŃ W SEESTRZE III 30 GODZ. Rozciąganie, ściskanie osiowe godz. ołączenia eementów konstrukcjnch. Ścinanie techniczne godz. oment statczne i bezwładności, wskaźnik wtrzmałości 3 godz. Zginanie proste godz. Zginanie ukośne godz. Zginanie ze ścinaniem godz. Kookwium nr godz. Ściskanie mimośrodowe godz. Rdzeń przekroju godz. etoda Euera godz.

3 rzemieszczenia (zasada prac wirtuanch) 3 godz. etoda sił w prostch układach statcznie niewznaczanch 4 godz. Nośność graniczna godz. Kookwium nr godz. ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE OŁĄCZENI ELEENTÓW KONSTRUKCYJNYCH. ŚCINNIE TECHNICZNE ZGINNIE CZYSTE 0, V=0, N=0 ZGINNIE ROSTE 0, =0 c ZGINNIE ZE ŚCINNIE 0, V 0 ZGINNIE UKOŚNE 0, 0 łatew 3

4 SKRĘCNIE SWOBODNE e s =e ŚCISKNIE - ROZCIĄGNIE IOŚRODOWE z e Zginanie i ściskanie zginanie LINI UGIĘCI BELEK ZGINNYCH - RÓWNNIE EULER STTECZNOŚĆ RĘTÓW NOŚNOŚĆ GRNICZN RĘTÓW σ σ B B C ε ε ode iniowo-sprężst ode sprężsto-pastczn UKŁDY RĘTOWE STTYCZNIE NIEWYZNCZLNE OBLICZNIE RZEIESZCZEŃ UKŁDÓW RĘTOWYCH ETOD SIŁ UKŁDY RĘTOWE O SYETRYCZNEJ BUDOWIE J J J 4

5 ELEENTY WYTRZYŁOŚCI TERIŁÓW Wtrzmałość materiałów zajmuje się wznaczaniem naprężeń, odkształceń oraz przemieszczeń w konstrukcjach i ich eementach wwołanch obciążeniami, jakie na nie działają. Wtrzmałość materiałów stanowi podstawę wmiarowania konstrukcji, czi doboru materiałów i wmiarów poszczegónch jej eementów w taki sposób, ab cał ustrój bł bezpieczn, tj. zdon do przeniesienia działającch nań obciążeń. Wtrzmałość materiałów wiąże się ściśe z mechaniką budowi (mechaniką ogóną). Jest to nauka zarówno o charakterze teoretcznm, jak i ekspermentanm. W wniku wprowadzenia wieu upraszczającch założeń, związki wtrzmałości materiałów pozwaają na uzskanie jednie przbiżonch rozwiązań, które jednak w pełni zaspokajają potrzeb praktki inżnierskiej. Badania doświadczane umożiwiają nie tko okreśenie właściwości stosowanch materiałów, ae także werfikację poprawności wprowadzonch założeń oraz wkorzstanch podstaw teoretcznch. STN NRĘŻENI Jednmi z najważniejszch pojęć mechaniki i wtrzmałości materiałów są naprężenia oraz odkształcenia eementu. α α α α poe powierzchni przekroju pręta N Wmiarem naprężenia jest paska [a], czi [N/m ]. W praktce, naprężenia najczęściej wrażane są w megapaskaach [a]. α s α N s = naprężenie 5

6 Gdb pręt został przecięt płaszczzną nachoną pod pewnm kątem do jego osi, zmieniłab się powierzchnia przekroju, a więc zmianie uegłob także naprężenie s. α α α s α N s = s α N s = α s N s = ojęcie naprężenie jest związane z orientacją przekroju, na które działa. Naprężenie jest wektorem. K Δ Δ K τ σ α s n Δ K siła przpadająca na eement o powierzchni Δ będąc otoczeniem punktu K. ΔK s = im Δ 0 Δ σ = s cosα τ = s sinα Naprężeniem normanm nazwan jest rzut wektora naprężenia s na kierunek prostopadł do płaszczzn przekroju i oznacza się je przez σ. Naprężeniem stcznm (tnącm ub ścinającm) nazwan jest rzut wektora naprężenia s na kierunek stczn do płaszczzn przekroju i oznacza się je przez τ. RZESTRZENNY STN NRĘŻENI K z σ K τ z τ z σ z τ z τz τ τ σ K K unkt materian eementarn prostopadłościan 6

7 z σ z τ z τ z τ z τ z τ τ z dz τ τ σ σ d Dodatnie kierunki naprężeń ę W eemencie prostopadłościennm, o krawędziach równoegłch do osi prostokątnego układu współrzędnch, naprężenia wstąpią na wszstkich ściankach. Naprężenia stczne rozkładam na składowe równoegłe do osi układu. Składowe naprężeń stcznch prostopadłe do krawędzi przecięcia się dwóch przekrojów eementarnch wzajemnie prostopadłch są zawsze równe. σ, σ, σ, τ, τ, τ, τ, τ, τ z z z z z Sześć składowch stanu naprężenia σ, σ, σz, τ, τ, τz całkowicie okreśa stan naprężenia w danm punkcie. Za ich pomocą można okreśić naprężenia na dowonie poprowadzonej płaszczźnie przekroju. Naprężenie w danm punkcie jest wiekością bardziej ogóną niż wektor jest tzw. smetrcznm tensorem. σ τ τz σ = τ σ τ z τz τz σ z σ σ σz σ = σ σ σ z σz σz σ zz 3 σ σ σ3 σ = σ σ σ3 σ3 σ3 σ 33 EKSTRELNE WRTOŚCI NRĘŻEŃ łaski stan naprężenia (SN) - obciążenie płaskiej, cienkiej tarcz wstępuje włącznie w płaszczźnie układu - w kierunku prostopadłm do powierzchni tarcz nie wstępują żadne składowe naprężenia. σ σ τ τ τ Δ σ σ Δ b tarcza a b/ << τ σ Brak naprężeń na ściance wskaźnik naprężenia normanego σ (σ ) oznacza oś współrzędnch doń równoegłą, pierwsz wskaźnik naprężenia stcznego τ (τ ) oznacza oś współrzędnch prostopadłą do krawędzi, na której to naprężenie działa, a drugi pokrwa się z oznaczeniem osi równoegłej. τ τ τ σ = τ 7

8 Naprężenia w dowonie nachonm przekroju Dane: σ, σ i τ - poszukuje się naprężeń w przekroju nachonm pod kątem φ do poziomu: σ φ i τ φ. σ φ τ φ σ φ φ = σd τd+ σφdscosφ τφdssinφ = 0 = σ d τd+ σφdssinφ + τφdscosφ = 0 τ d τ d d = ds sinφ d = ds cosφ σ σ + σ σ σ σφ = + cosφ+ τ sin φ σ σ τφ = sin φ+ τ cos φ φ n σw n praktce, istotne jest okreśenie przekroju (kąta nachenia prostej normanej do płaszczzn przekroju), na którm naprężenia osiągają wartości ekstremane. σ + σ σ σ σφ = + cosφ+ τ sin φ dσ φ ( σ σ )sin φn τ cos φn 0 dφ = + = τ tg φn = σ σ n φ n -kąt nachenia prostej normanej do tzw. przekroju głównego, g, na któr działają tko naprężenia ę ekstremane. Da danej wartości tangensa kąta φ n istnieją wzakresieod0do π dwie wartości kąta różniące się o π. Opisują one dwa przekroje, na które działają ekstremane naprężenia φ n φ n tgφ normane. n rzekroje te okreśone są przez kąt φ n i φ n różniące się od siebie o π/. σrzekroje główne są do siebie prostopadłe. Działające na tch φ przekrojach n naprężenia normane nazwają się naprężeniami głównmi σ i σ (σ > σ ). dσ φ ( σ σ )sin φn τ cos φn 0 dφ = + = n σ σ dσφ τφ = sin φ+ τ cos φ = = 0 dφ Naprężenia główne przedstawiają jednocześnie całkowite naprężenia w danm przekroju. Naprężenia stczne w przekrojach głównch są równe zeru. n 8

9 σ φ n b stwierdzić, któremuzkątów odpowiada większe, a któremu mniejsze naprężenie główne, naeż wznaczć drugą pochodną funkcji σ φ (φ) wzgędem φ. d σφ dφ < 0 φ = ( σ σ) cosφn 4τsin φn 0 φ Jeżei po podstawieniu wartości naprężeń σ, σ i τ oraz kąta nachenia φ n do wzoru otrzma się wrażenie mniejsze od zera, to kąt φ n odpowiada większemu naprężeniu głównemu. o odpowiednich przekształceniach otrzmujem aternatwnie ( ) ( ) d σ cos 0 φ σ σ φ > φ = ( σ σ ) cosφ n tg φ n dφ + σ σ cos φ < 0 φ n n n n n n Wartości naprężeń głównch otrzmam podstawiając tgφ n do wzoru na σ φ σ + σ σ σ σ = + + τ σ + σ σ σ σ = + τ σ, σ + σ σ σ = ± + τ σ+ σ = σ + σ σ τ σ σ τ σ Suma naprężeń normanch w dwóch wzajemnie prostopadłch do siebie przekrojach nie zaeż od orientacji eementu (jest niezmiennikiem). σ σ σ σ Ekstremane wartości naprężeń stcznch σ σ τφ = sin φ+ τ cos φ τ φ σ σ = ( σ σ) cos φt τsin φt = 0 tg φt = φ τ t ( ) φ t -kąt nachenia prostej normanej do przekroju odpowiadającemu ekstremanm wartościom naprężeń stcznch: τ σ σ ekstr =± + τ ub τ ekstr σ σ =± π Naprężenia stczne osiągają wartości ekstremane φt = φn + 4 w płaszczznach nachonch pod kątem 45 0 w stosunku do przekrojów głównch. σ σ 45 0 (σ +σ )/ τ ekstr σ σ τ ekstr (σ +σ )/ 9

10 KOŁO OHR σ + σ σ σ σφ = + cosφ+ τ sin φ σ σ τφ = sin φ+ τ cos φ σ + σ σ σ σ φ = cosφ+ τ sin φ + σ σ φ = sin cos τ φ τ φ + φ σ σ σ σ σφ + τ = + τ ( a) + = r owższe wrażenie przedstawia równanie okręgu w układzie współrzędnch (σ φ, τ φ ), zwane kołem ohra. ozwaa ono na graficzne wznaczenie wartości i kierunków naprężeń głównch. τ φ σ σ σ σ + φ σ σ σ σ σφ + τ = + τ O σ φ n φ n φ n τ σφ σ + σ σ σ σ Obieram prostokątn układ współrzędnch (σ φ, τ φ ). Na osi σ φ odkładam wartości σ i σ. Wznaczam środek koła ohra, którego odcięta wnosi (σ +σ )/. W punkcie (0, σ ) odmierzam w kierunku pionowm naprężenie stczne τ. Łącząc punkt (σ, τ ) ze środkiem koła otrzmam jego promień. τ φ σ σ σ σ σ σ O σ φ n φ n φ n τ σφ σ σ σ σ τ σ σ Współrzędne punktów koła ohra przedstawiają wartości naprężeń normanch i stcznch w dowonie nachonch przekrojach. Koło przecina oś σ φ w punktach, da którch naprężenia stczne są równe zeru, a naprężenia normane osiągają wartości ekstremane. unkt te wznaczają naprężenia główne. Kierunek większego naprężenia głównego σ otrzmam łącząc punkt (0, σ ) i (σ, τ ). Kierunek naprężenia σ jest doń prostopadł. aksmane naprężenie stczne wstępuje w punktach, którm odpowiada naprężenie normane σ φ =(σ +σ )/. τ σ 0

11 Wznaczć anaitcznie i graficznie naprężenia główne i maksmane naprężenia stczne oraz ich kierunki w punkcie, w którm naprężenia mają następujące wartości: σ = 00 ka, σ = 00 ka i τ =50ka. σ =00 σ =00 τ =50 τ =50 σ =00 σ = = = 0,7 ka σ σ = + 50 = 79,3 ka tg φn = = φn =,5, φn =, Sprawdzam któremu z kątów odpowiada większe, a któremu mniejsze naprężenie główne: ( ) cos sin 45 = 8,8 < 0 Ujemna wartość oznacza, że kątowi φ n odpowiada większe naprężenie główne. σ =79,3 φ =,50 n φ =,50 n σ=50, =67,50 σ =0,7 σ=50 τ ekstr =70,7 τ ekstr =70,7 τ τ σ =0,7 ekstr =70,7 ekstr =70,7 σ =79,3 σ=50 σ= τekstr =± + 50 = 70,7 ka σ+ σ σ = = = 50 ka σ = 00 ka, σ = 00 ka, τ =50ka σ = 0, 7 ka, σ = 79,3 ka φ 0 0 n =,5, φn =,5 τ = 70, 7 ka ekstr τ φ τ ekstr =70,7 σ σ =00 σ =00 τ =50 τ =50 σ =00 σ =00 σ,5 0 [ka] τ =50, σ O φ σ =79,3 σ =00 σ =00 σ =0,7 σ =79,3 φ n =,5 0 φ n =,5 0 σ =0,7 σ =79,3 σ =0,7

12 Szczegóne stan naprężenia rzestrzenne równomierne rozciąganie σ = σ = σ3 = σ > 0 σ σ σ 3 σ 3 σ σ rzestrzenne równomierne ściskanie σ = σ = σ3 = σ < 0 σ σ σ 3 σ σ σ 3 łaskie równomierne rozciąganie σ σ = σ = σ > 0, σ = 0 3 σ σ σ σ łaskie równomierne ściskanie σ = σ = σ < 0, σ = 0 3 σ σ σ Jednoosiowe rozciąganie σ = σ > 0, σ = σ = 0 σ = σ 3 σ = σ σ = σ σ τ σ τ φ σ σ φ Czste ścinanie płaski stan naprężenia ( ) σ = σ, σ = σ > 0, σ = σ, σ = 0 3 τ φ σ σ σ σ σ φ σ σ τ σ σ φ σ σ σ σ = σ cos φ, σ = σ cos φ, τ = σ sin φ 45 0 σ τ φ φ σ τ ma τ σ φ Naprężenia normane w płaszczznach największch naprężeń stcznch nachonch do kierunków głównch pod kątem 45 0 są równe zeru. Wstępują tu tko naprężenia stczne: σ σ τ ma = σ = σ = σ σ τ ma τ ma σ σ 0 45 σ rz odpowiedniej orientacji osi stan naprężenia można opisać podając włącznie wartości naprężeń stcznch.

13 ZWIĄZKI IĘDZY NRĘŻENII I SIŁI WEWNĘTRZNYI R O O z V O N z O s z τ z O K N = σ zd Indeks prz smbou całki oznacza, iż całkowanie obejmuje całe poe przekroju. V = τ d V = τ d z = σ d z z = σ d z ( τ τ ) = d s z z Wzor te nie pozwaają na jednoznaczne wznaczenie rozkładu (funkcji) naprężeń prz znanch wartościach sił wewnętrznch. Da tch samch sił wewnętrznch można bowiem otrzmać różne rozkład naprężeń. Ich wznaczenie jest jednm z podstawowch zadań wtrzmałości materiałów. τ z σ z z STN ODKSZTŁCENI Odkształcenie nazwam sprężstm, gd po usunięciu obciążenia odkształcenie znika, a konstrukcja powraca do swojej pierwotnej postaci TEORI SRĘŻYSTOŚCI Odkształcenia trwałe ub pastczne nie znikają po odciążeniu konstrukcji TEORI LSTYCZNOŚCI Rozciąganie ściskanie osiowe zachodzi, jeżei niezerowe są tko sił podłużne N. Gd sił te są dodatnie, to wstępuje rozciąganie, a gd ujemne ściskanie. N>0 N<0 Czste zginanie zachodzi, gd w układzie wstępują tko moment zginające,. 0 Czste ścinanie wstępuje jednie w postaci tzw. ścinania technicznego, któremu podegają nit, śrub, spoin ub złącza kejone. V 0 z Ścinanie pojawia się też w eementach zginanch i okreśone jest wted jako ścinanie ze zginaniem. 0, V 0 Czste skręcanie wstępuje w przpadku, gd w układzie jednie moment s będzie miał wartość różną od zera. s 3

14 DEFORCJŁSKIEGO ELEENTU D C D Δu ε C Δ k Δ Δ k B Δ rzrost długości eementu k tgε ε Δu Δv Zmiana postaci eementu tg ε =, tg ε = tgεε Δ Δ ε Odkształceniem jednostkowm podłużnm nazwa się zmianę wmiaru eementu wzdłuż osi () przpadającą na jednostkę długości Δu u Δv v ε = im = ε = im = Δ 0 Δ Δ 0 Δ Odkształceniem postaciowm nazwa się zmianę kształtu eementu na skutek zmian kątów Δu Δv u v γ = γ = ε + ε = im + = + Δ 0, Δ 0 Δ Δ Δ Δ u =Δ Δ ε B Δv Wartości i kierunki odkształceń głównch ε + ε ε ε ε, = ± + γ 4 γ tg φo = ε ε φ n kąt nachenia tzw. przekroju głównego, na któr działają tko odkształcenia podłużne. Da płaskiego stanu odkształcenia aktuana pozostaje także konstrukcja koła ohra, prz czm na osi pionowej naeż odmierzać wartość γ /. ε γ/ O ε ε ε ε φ n φ n ε φ n γ / ε ε ε ε ε ε Dodatnia konwencja zgodnie ze zwrotami σ iτ. ε ZWIĄZKI IĘDZY NRĘŻENII ODKSZTŁCENII Związki międz naprężeniami a odkształceniami da danego materiału, np. stai ub betonu, okreśa się na podstawie prób wtrzmałościowch przeprowadzanch w aboratorium. Standardowm badaniem wtrzmałościowm jest tzw. statczna próba jednoosiowego rozciągania próbki materiału w kształcie waca, w masznie zwanej zrwarką. aszna wtrzmałościowa do prób rozciągania róbka zamocowana w szczękach maszn wtrzmałościowej 4

15 σ=/ Odciążenie B E ε p Obciążenie C R u D R p R s R p R r ε=δ/ rzewężenie szjka na rozciąganej próbce R p granica proporcjonaności, R s granica sprężstości, R p granica pastczności, R r granica wtrzmałości na rozciąganie naprężenie zrwające. R u iejsce zerwania próbki Ściskanie σ Rozciąganie R r ε Granica wtrzmałości betonu na ściskanie R c jest znacznie większa (0 raz) od granic na rozciąganie R r. R c Wartości granic pastczności i wtrzmałości da tpowch materiałów konstrukcjnch ateriał Granica pastczności Granica wtrzmałości [a] [a] rozciąganie ściskanie Stop auminium Sta Beton 0, Cegła 0, Drewno wzdłuż włókien Drewno w poprzek włókien rekursorem badań doświadczanch ciał sprężstch bł Robert Hooke, któr w 678 roku sformułował prawo sprężstości. σ σ ε = E, σ ε = E, σ ε = ν E E - współcznnik proporcjonaności (moduł Younga, współcznnik sprężstości. σ,,, σ σ σ,, ε = E σ,, ε = ν E ( ) τ ε = ε + ε = σ νσ E ν - współcznnik oissona, τ τ ε τ τ ε = + τ τ τ ε τ τ ε =, ε = G G τ τ τ γ = ε + ε = + = G G G E G = ( + ν ) G - moduł ścinania (moduł odkształcenia postaciowego) 5

16 Robert Hooke zapisał się w historii Londnu również jako świetn architekt. o pożarze miasta w 666 roku znaazł się w komisji odbudowującej miasto i według jego projektów wzniesiono wiee budnków i pałaców. Wnaazł i skonstruował kikadziesiąt przrządów naukowch (m.in.): pompa próżniowa, barometr sprężnow, termometr, higrometr, deszczomierz, poziomnicę, mikroskop, teeskop zwierciadan, wiatromierz, głębokościomierz itp. Hooke prowadził nieustanne spor o pierwszeństwo ń odkrć, ć m.in. z Newtonem o odkrcie prawa ciążenia. Uważał, iż został okradzion z odkrcia tego prawa. Za sprawą Isaaca Newtona, któr postanowił wmazać go z pamięci potomnch, nie wiadomo jak Hooke wgądał. Zaraz po śmierci Hooke'a prezesem Roa Societ został właśnie Newton. rz przenosinach Roa Societ do nowej siedzib, w niewiadomch okoicznościach zaginął jedn portret Hooke'a oraz większość instrumentów, które wnaazł i wkonał. Uogónione prawo Hooke a ( ) ε = E σ νσ ε = E σ νσ τ γ = G ( ) ub ( ) E σ = ε + νε ν E σ = ε + νε ν τ = Gγ ( ) ateriał sprężst charakterzują dwa niezaeżne parametr E i ν. Na ich podstawie można wznaczć moduł ścinania G. Współcznnik oissona zmienia się w granicach od 0 da materiałów ściśiwch (korek) do 0,5 da materiałów nieściśiwch (kauczuk). Współcznnik ten da większości materiałów konstrukcjnch przjmuje wartości pomiędz /4 a /3. Wartości modułu Younga i współcznnika oissona da podstawowch materiałów konstrukcjnch ateriał oduł Younga E [a] Współcznnik oissona ν Stop auminium (7 7,5) 04 0,9 0,33 Sta, 0 5 0,30 Beton (, 4) 0 4 0,6 0, Cegła ( 4) 0 3 Drewno wzdłuż włókien (9 4) 0 3 Drewno w poprzek włókien ( 0) 0 6

17 WYIROWNIE KONSTRUKCJI ateriał wkorzstan do wkonania konstrukcji nie może bć obciążon do granic pastczności cz wtrzmałości. Z uwagi na to, że dane dotczące obciążenia, właściwości stosowanch materiałów cz wmiarów poszczegónch eementów są zawsze obarczone pewnm błędem, konieczn jest odpowiedni zapas bezpieczeństwa. Dążąc do minimanego nakładu kosztów, prz minimanm zużciu materiałów, zbt duż zapas bezpieczeństwa jest rozwiązaniem nieekonomicznm. Właściw dobór zapasu bezpieczeństwa jest podstawowm probemem w projektowaniu konstrukcji. Zagadnienie to wciąż nie jest całkowicie rozwiązane i jest przedmiotem badań nowo powstałej nauki teorii bezpieczeństwa konstrukcji. Główną trudność sprawia statstczn charakter danch niezbędnch do wznaczenia zapasu bezpieczeństwa. Warunki wmiarowania odstawowm ceem wtrzmałości materiałów jest bezpieczne wmiarowanie konstrukcji. b konstrukcja bła dostatecznie bezpieczna muszą bć spełnione trz podstawowe warunki: wtrzmałości, stateczności i sztwności. etod wmiarowania konstrukcji zawarte w procedurach i normach obiczeniowch muszą te warunki uwzgędniać. Warunek wtrzmałości = r r n r siła zrwajaca okreśona na podstawie doświadczenia, n > -współcznnik bezpieczeństwa. Warunek stateczności w Jeżei ż siła osiągnie i pewną wartość krtczną kr, wstąpi nagłe, ł niekontroowane wgięcie słupa, zwane wboczeniem. Układ staje się wówczas niestateczn, co jest równoznaczne ze zniszczeniem konstrukcji. O a W = b u = Wa b u w n < kr 7

18 Warunek sztwności ma ma m ma m -współcznnikiem iczbowm okreśon w normach (znacznie większ od jedności, np. m = 400). Warunek wtrzmałości związan jest z właściwościami fizcznmi wkorzstanego materiału. Warunki stateczności i sztwności dotczą konstrukcji jako całości ub jej wbranch eementów. ETODY ROJEKTOWNI KONSTRUKCJI Warunki wmiarowania muszą zostać uwzgędnione w metodach, na podstawie którch projektuje się konstrukcje. ETOD STNÓW GRNICZNYCH Wtrzmałości obiczeniowe - otrzmuje się przez podzieenie granic pastczności (rzeczwistej ub umownej) bądź granicę wtrzmałości przez odpowiedni współcznnik bezpieczeństwa (n >). Obciążenia obiczeniowe - wartości charakterstczne (zestawione w normach) mnoż się przez odpowiednie współcznniki cząstkowe (również podane w normach). Jako graniczne okreśa się takie stan, po osiągnięciu którch konstrukcja ub jej eement przestają spełniać postawione im wmagania. stan graniczne nośności, stan graniczne użtkowania (użtkowaności). Stan graniczn nośności spowodowan zniszczeniem przekrojów : konstrukcji, poega na porównaniu naprężeń s ob, wwołanch tzw. obciążeniem obiczeniowm i wtrzmałości obiczeniowej f d: Wg norm ob fd ob Rd S F R F σ ( ) ( ) ob - maksmane obciążenie obiczeniowe działające na konstrukcję, R d nośność obiczeniowa materiału konstrukcji. Stan graniczn użtkowania (użtkowaności) poega przede wszstkim na sprawdzeniu ugięć, czi porównania ich z ugięciami dopuszczanmi (spełnienie warunku sztwności). W niektórch konstrukcjach, np. żebetowch, sprawdza się także inne stan graniczne użtkowania, jak np. pojawienie się nadmiernch rs w eementach betonowch ub murowanch. Wg norm a a dop 8

19 ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE rzkład awarii rozciąganch i ściskanch eementów konstrukcjnch ęknięcie Ściskanie Rozciąganie Badania aboratorjne 9

20 Konstrukcje mostowe ideane Ściskanie Ściskanie Ściskanie Rozciąganie Rozciąganie Rozciąganie Ściskanie Osiowe rozciąganie (ściskanie) zachodzi wted, gd w pręcie wstępuje tko siła podłużna. N Założenia: w przekrojach prostopadłch do osi pręta wstępują tko naprężenia normane, naprężenia normane rozłożone są równomiernie w przekroju. N σ N = σ d= σ N σ = f E moduł Younga, poe przekroju poprzecznego pręta, f d wtrzmałość obiczeniowa (f cd ściskanie, f td rozciaganie). d Uogónione prawo STN JEDNOWYIROWY Hooke a (SN) σ =σ, σ =0 ε = ( σ νσ) E σ N ε = ε = = E E ε = ( σ νσ) E N ε = νε = ν τ E γ = G du ε = Jednostkowe odkształcenie ł d podłużne Całkowitego wdłużenia pręta o długości Δu u ε = im = N N Δ 0 Δ u = ε d = d = u Δ dop Δv v E E 0 0 ε = im = Δ 0 Δ E sztwność pręta na rozciąganie n N (ściskanie) ręt zbudowan z odcinków ii u = o różnch przekrojach i= Ei 0

21 Budowa wzorów teorii jednoosiowego rozciągania i ściskania pozwaa nie tko na odpowiednie wmiarowanie eementów konstrukcjnch, ae i na doświadczane wznaczenie parametrów sprężstch, czi współcznnika oissona ν i modułu Younga E. Statczna próba jednoosiowego rozciągania ΔL wdłużenie próbki, ε=δl/l/ 0 jednostkowe wdłużenie, ε p =Δd/d jednostkowe zwężenie, d średnica pręta, =N siła rozciągająca. ε p Współcznnika oissona ν = E = σ ε ε oduł Younga okreśa się w pierwszej fazie badania, odczt wdłużenia i zwężenia próbki dokonuje się da różnch wartości sił, a uzskane z obiczeń parametr sprężste uśrednia się. OŁĄCZENI ELEENTÓW KONSTRUKCYJNYCH. ŚCINNIE TECHNICZNE Eement konstrukcji metaowch są łączone w całość za pomocą śrub, nitów i spawów. W konstrukcjach drewnianch wkorzstwane są gwoździe, kamr ub inne specjane łączniki. Coraz częściej stosowane są połączenia kejone. Sdne Opera House refabrkowane eement powłokowe Kej epoksdow

22 Wieża Eiffe'a - nit rzkład połączeń zniszczonch Stan obciążenia ub naprężenia wwołując powstanie włącznie odkształceń postaciowch nazwam czstm ścinaniem. W przpadku układów prętowch, naprężenia stczne wnikają z działania sił tnącej. Siła ta jest pochodną momentu zginającego, zatem reaizacja stanu obciążenia z udziałem tko sił tnącej nie jest możiwa bez wstąpienia momentu zginającego. Ścinanie wstępuje zatem tko ze zginaniem, wwołanm momentem zginającm. Czste ścinanie zakłada się w przpadkach, gd wpłw zginania jest odpowiednio mał. raktcznie, założenie takie jest uzasadnione w niektórch połączeniach eementów konstrukcjnch. =t/t0 t/ t/ t/ t/ t/ t/ t/ t/

23 Rodzaje połączeń w zaeżności od działającego na nie układu sił Układ sił zbieżnch Układ sił dowonch Ξ O wtrzmałości połączeń eementów konstrukcjnch decdują przede wszstkim sił poprzeczne. Wstępując w łącznikach stan wwołan przez naprężenia stczne nazwan jest ścinaniem technicznm. Założenia: w przekroju łącznika wstępują tko naprężenia stczne, naprężenia stczne rozłożone są równomiernie. τ = f vd τ siła powodująca ścinanie, całkowite poe powierzchni przekroju połączenia, f vd wtrzmałość obiczeniowa na ścinanie. OŁĄCZENI ŚRUBOWE 3

24 Nit Śrub ) Ścinanie d τ=/ / / d śrub (nit) dwucięte t t t Obiczenia połączeń śrubowch poegają na okreśeniu niezbędnej iczb śrub n i ich wmiarów (średnic d) tak, ab połączenie bło wstarczająco bezpieczne. τ = f mn vd n iczba śrub, m iczbą płaszczzn ścinania, = πd /4 poe przekroju poprzecznego śrub, f vd wtrzmałość obiczeniowa na ścinanie materiału, z którego wkonana jest śruba. τ = f mn vd We wzorze na naprężenia stczne wstępują dwie niewiadome n i. rz wmiarowaniu połączenia śrubowego naeż z gór przjąć jedną z tch wiekości. Najczęściej przjmuje się jako dan przekrój (średnicę d) i obicza potrzebną iczbę śrub w połączeniu. Nośność obiczeniowa śrub siła, którą może przenieść pojedncza śruba π d Nt = mfvd = m fvd 4 otrzebna iczba łączników n N t 4

25 ) Docisk śrub / / d Strefa zgniotu t t t / / Stref zgniotu Zakłada się, że naprężenia dociskowe rozkładają się w sposób równomiern także wzdłuż średnic średnic d. σ d σ Grubość bach t min dobiera się w taki σ = f sposób, ab uzskać jak najmniejszą cd ndt d min wartość poa powierzchni przekroju, np. t min = t ub t min = t. n d iczba śrub, f cd wtrzmałość obiczeniową na ściskanie materiału bach ub śrub. 3) Zerwania bach d t min b σ σ = f td ( b npd) t min b szerokość przekroju bach, n p iczba śrub w przekroju, t min minimana grubość bach, f td wtrzmałość obiczeniowa na rozciąganie materiału, z którego wkonana jest bacha. OŁĄCZENI SWNE Spoin czołowe Spoin pachwinowe 5

26 SOINY CZOŁOWE b Spoina czołowa t σ = s f bt td f td wtrzmałość obiczeniowa na rozciąganie spoin, s współcznnik zmniejszając. Wtrzmałość obiczeniową na rozciąganie spoin przjmuje się mniejszą od materiału łączącego, z uwagi na niejednorodność materiału spoin, niedokładność połączenia spoin z materiałem bach cz koncentrację naprężeń. W przpadku ściskania zakłada się, że spoina pracuje jak materiał bach i obiczenie spoin jest zbteczne. Sprawdzenie naprężeń w spoinie czołowej. φ Spoina czołowa t b σ φ φ s τ φ b = t, b = cos φ = cosφ σφ = cosφ = cosφ = cos φ s ftd t bt τφ = sinφ = sinφ = sinφcosφ s fvd t bt Spoin pachwinowe owierzchnia ścięcia oprzeczna spoina pachwinowa 0 odłużna spoina pachwinowa β β t β Spoina pachwinowa t t β Spoina τ = s fvd a s współcznnik zmniejszając 0 a 6

27 OŁĄCZENI CIESIELSKIE ołączenia ciesieskie obicza się, tak jak połączenia metaowe, prz założeniu równomiernego rozkładu naprężeń w danej płaszczźnie. b h cc d Rozerwanie σ = f h d b h td Ścięcie d 0,5(h-d) τ = f cb vd c c Docisk σ = f d b cd RYSY I SĘKNI RZY ŚCINNIU Obciążenie od wiatru oziome pęknięcie R H R Założenie intuicjne nieprawidłowe R/ H/ H/ R/ R/ R/ H/ H/ Spękania od obciążeń sejsmicznch CHRKTERYSTYKI GEOETRYCZNE FIGUR ŁSKICH c z c c n n oe, oe powierzchni przekroju = n = i oment statczn figur wzgędem osi : S = n n = i i [m 3 ] Rzędna środka ciężkości: c = S oment bezwładności figur wzgędem osi : J = ( ) + ( ) + + n ( n ) = ( i ) ( i ) [m 4 ] 7

28 d c r c = d OENTY STTYCZNE figur płaskiej wzgędem osi i S = d =, S = d = c c oment statczne mogą przbierać zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. oment statczn figur wzgędem osi przechodzącch przez jej środek ciężkości równa się zeru. Osie takie nazwają się osiami centranmi (środkowmi) poa. ołożenia środka ciężkości poa figur S S c =, c = Figur o smetrcznch kształtach W przpadku, gd figura płaska ma jedną ą oś smetrii, to jej j środek ciężkości eż na tej osi. Jeżei figura ma dwie osie smetrii, to jej środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia. Środek ciężkości figur o antsmetrcznm kształcie oment statczn przekroju złożonego wzgędem osi i S = S = i ci i ci i - poa powierzchni figur składowch, ci, ci -położenie środków ciężkości tch figur. ołożenie środka ciężkości przekroju złożonego c i = i ci c i = i ci 8

29 c i = i ci c i = i ci c c oe ujemne c c c c = 3, =, c c = 3, =, OENTY BEZWŁDNOŚCI Δ c r c oment bezwładności wzgędem osi J ub I = d, I = d = d, J = d J J romień bezwładności i =, i = Odśrodkow moment bezwładności J = d wzgędem osi (moment dewiacjn) Biegunowm moment bezwładności J0 = r d= J + J wzgędem początku układ oment bezwładności przekrojów poprzecznch eementów decdują o sztwności, a w konsekwencji o nośności konstrukcji. J I J II > J I J II Im większ moment bezwładności tm mniejsze ugięcie beki (większa sztwność) 9

30 Własności momentów bezwładności figur płaskich Wartości momentów bezwładności J, J, J 0 są zawsze dodatnie. oment odśrodkowe J mogą przbierać wartości dodatnie, ujemne ub równe zeru. Odśrodkow moment poa wzgędem układu osi, z którch chociaż jedna jest osią smetrii figur, równ jest zeru. oment bezwładności wzgędem osi, da którch odśrodkow moment bezwładności jest równ zeru zwane są głównmi momentami bezwładności, a w przpadku gd osie te są osiami środkowmi nazwane są głównmi środkowmi (centranmi) momentami bezwładności i oznaczane J, J. Jednostką momentów bezwładności jest [m 4 ]. rzpadki smetrii Figur bismetrczne Figur monosmetrczne Figur mające więcej niż dwie osie smetrii każd kierunek jest da nich kierunkiem głównm b d=bd b d=hd d h h O O d h J = bd = b = bh h 0 b J = hd = h = hb b 0 b wznaczć moment odśrodkow naeż przjąć inn eement powierzchni d. 30

31 b d=dd d d h O b h bh b h 3 3 J = dd = d d = = bh h b bh h b 3 3 J = dd= d d= = bh b h bh b h bh J = dd = d d = = d=πρdρ r r r r 3 π r J0 = ρ d= ρ πρdρ = π ρ dρ = 0 0 J = J, J = J + J =J 0 4 π r J = 4 4 oment bezwładności w układzie współrzędnch przesuniętm równoege wzgędem układu, którego początek pokrwa się ze środkiem ciężkości rozpatrwanej figur. η d η c c ξ ξ = c + ξ, = c + η c J = ( c + η) d= ( c + cη + η ) d= c d+ c ηd+ η d η d = 0, η d = J ξ, d = J = Jξ + c J = Jη + c J = Jξ + Wzor Steinera c J = Jξη + cc 3

32 h O η b/ C h/ b 3 bh J ξ = 3 bh J η = ξ J ξ J η 3 3 bh h = bh = bh bh b = bh = bh 3 bh bh Jξη = bh = 0 4 oment bezwładności przekroju złożonego: i i i J = J, J = J, J = J, J0 = J0 i Dwuteownik oe dodatnie oa ujemne h o h i b o b i b i bh bh J = i i bh J = 3 I 0 0 bh 3 II i i J = rz obiczaniu momentów bezwładności przekrojów cienkościennch pomija się wraz zawierające wższe niż pierwsza potęgi wiekości δ (grubość ścianki). δ teownik δ kątownik δ ceownik rzekrojem cienkościennm nazwam przekrój składając się z figur, którch jeden wmiar jest dużo większ od drugiego. rzekrój ceow rzekrój skrznkow k Kątownik równoramienn rzekrój rurow 3

33 rzekrojem cienkościennm jest także przekrój składając się z dwóch ub więcej bach. rzekrój taki nazwa się bachownicą. oszczegóne bach łącz się najczęściej za pomocą śrub ub spawania. c δ a η δ 0 ξ J = δ a c c J 3 δ a = + δ a c α z a 3 δ a ( sin ) J = d= z α δdz = sin α J a 3 δ a = cos α 3 δ a α = 0 J = 0, J = J 3 δ a = sinα cosα δ a b ( b δ ) 3 3 ab a J = = a 3 = 3b δ 6b δ + 4δ 6 ab δ δ a J a δ b 3 a δ b ab δ J = + a δ 33

34 a a b b δ δ ( a δ) ( b δ) 3 ab 3 J = = = ab δ ab δ + a δ + b δ b δ + b δ 6 3 ab δ b δ δ a, δ b J a δ b δ b 3 ab δ δ b J = + a δ Główne osie i moment bezwładności η ξ φ d η φ ξ ξ = cosφ+ sinφ η = cosφ sinφ ( cos sin ) cos sin ξ = η = φ φ = φ+ φ sin φ J d d J J J ( cos sin ) sin cos η = ξ = φ+ φ = φ+ φ+ sin φ J d d J J J Jηξ = ξηd= ( cosφ+ sinφ)( cosφ sinφ) d= ( J J) sin φ+ J cosφ Dodając dwie pierwsze zaeżności J + J = J + J ξ η Kontroa poprawności uzskanch wników J + J J J Jξ = + cos φ J sin φ J + J J J Jη = cos φ + J sin φ J J Jξη = sin φ + J cos φ ołożenie osi, da której moment bezwładności J ξ przjmie wartość ekstremanąą - poszukiwane ekstremum funkcji. dj J ξ J J = sin φ J cos 0 t gφ0 = φ = dφ J J Osie, wzgędem którch moment bezwładności osiągają wartości ekstremane, nazwają się głównmi osiami bezwładności. Odpowiadają im główne moment bezwładności J, J + J J J = ± + J 34

35 Oś obrócona o kąt φ 0 - odpowiada maksmanej wartości momentu bezwładności, jeżei spełnion będzie warunek ( J J) φ0 cos > 0 Da układu współrzędnch o osiach pokrwającch się z głównmi osiami bezwładności, odśrodkow moment bezwładności ma zerową wartość J = 0. Jeżei główne osie bezwładności przechodzą przez środek ciężkości figur, to nazwają się głównmi centranmi osiami bezwładności. Jeżei figura płaska posiada oś smetrii, to główna centrana oś bezwładności pokrwa się z tą osią. Druga główna centrana oś bezwładności jest doń prostopadła. Niezmiennikiem nazwam taką wiekość fizczną, która nie zmienia swojej wartości prz obrocie układu współrzędnch. J + J= J+ J J J J = J J gortm wznaczenia położenia osi głównch oraz obiczenia wartości głównch momentów bezwładności złożonej figur płaskiej. Obiczć poe przekroju figur, rozkładając ją na figur proste.. rzjąć dowon układ osi współrzędnch,. 3. Obiczć moment statczne S, S (jako sum ub różnice momentów statcznch figur składowch) wzgędem przjętch osi,. S S 4. Okreśić położenie środka ciężkości figur: c =, c = 5. Obiczć moment bezwładności figur J, J, J wzgędem przjętch osi, (jako sum ub różnic momentów bezwładności prostch figur składowch, ze szczegónm uwzgędnieniem znaków (+/-) da momentów odśrodkowch. 6. Obiczć moment bezwładności wzgędem osi środkowch ze wzorów J = J c, J = J c J 7. Okreśić położenie osi głównch ze wzoru tgφ0 = J J 8. Obiczć wartości głównch środkowch momentów bezwładności ze wzorów: J + J J J J = + + J J + J J J J = + J 9. Narsować w skai figurę wraz naniesionmi układami osi początkowch, środkowch i centranch głównch. 0. rzeprowadzić kontroę wartości momentów bezwładności: J, J, J, J, J, J > 0. rzeprowadzić kontroę niezmienników momentów bezwładności: J + J= J+ J J J J = J J 35

36 η ξ 0 φ c 0 [cm] c c 0 + ( ) + = = 3 cm 0 + ( ) ( ) = = 7 cm 0 + ( ) J = = 40 cm ( ) ( ) J = + 0 ( 3 ) = 660 cm J 4 = 0 ( 7 0)( 3 ) + ( ) ( 7 ) 3 + = 70 cm ( 70) 0 0 φ = = φ = φ = t g 0 0, , ( J J) φ 0 ( ) ( ) cos = cos 9 39 > 0 Kierunek większego momentu bezwładności odpowiada kątowi φ J = + + ( 70) 680 cm J = + ( 70 ) 400 cm Kontroa J 3 c J J + J = = J+ J = J J J = J J ( 70 ) b h J 3 b h = h b J 3 hb = d J π d = 64 4 d D J π = 4 4 ( D d ) 64 h b B H J 3 3 B H b h = 36

37 Dwuteowniki normane IN N-9/H Teowniki wsokie Ceowniki ekonomiczne 37

38 ZGINNIE 38

39 Badania aboratorjne Beka Vierendeea Deformacja (ugięcie) beek zginanch Beka swobodnie podparta Beka wspornikowa Beka dwuwspornikowa Beka swobodnie podparta ze wspornikiem (przewieszeniem) Beka ciągła Beka swobodnie podparta ze wspornikami 39

40 Beka przed odkształceniem Beka po odkształceniu Beka przed odkształceniem Beka po odkształceniu Ceem teorii zginania jest wznaczenie naprężeń i odkształceń w każdm punkcie beki, a także okreśenie przemieszczeń poszczegónch przekrojów. zginanie czste w przekroju poprzecznm pręta wstępuje włącznie moment zginając, zginanie ze ścinaniem w przekroju wstępuje jednocześnie moment zginając i siła poprzeczna. Oś beki Włókna górne (skrócenie) Oś odkształcona (niezmieniona długość) z Włókna done (wdłużenie) W zagadnieniach technicznch, gdzie ugięcia są małe, nie uwzgędnia się deformacji konturu przekroju. Zginan pręt nazwan jest zwke beką. Zginanie czste V V odstawowe założenia: rzekroje płaskie i prostopadłe p do osi beki przed odkształceniem pozostają również płaskie i prostopadłe do tej osi po odkształceniu (założenie Bernouiego). rzekroje uegają jednie obrotowi. W przekrojach poprzecznch wstąpią jednie naprężenia normane, równoegłe do osi beki. W przekrojach podłużnch beki nie wstąpią żadne naprężenia. Istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczzn działania obciążenia. 40

41 owierzchnia obojętna C z Oś obojętna C z Czste zginanie nie powoduje odkształceń postaciowch, które pojawiają się jednie w przpadku działania naprężeń stcznch. W zaeżności od położenia inii (powierzchni) działania obciążenia, wróżnia się dwa przpadki zginania czstego: zginanie proste inia działania obciążenia pokrwa się z jedną z głównch centranch osi bezwładności przekroju (oznacza to, że jednocześnie oś obojętna pokrwa się z drugą z osi głównch), zginanie ukośne inia działania obciążenia nie pokrwa się z żadną z głównch osi bezwładności (oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju, ae jest nachona do osi głównch pod pewnm kątem). Ujednoicenie konwencji znaków momentów zginającch ECHNIK OGÓLN ZWIĄZKI TEORII ZGINNI. Układ głównch centranch osi związanch z przekrojem beki. z z. W układzie osi głównch oś skierowana jest w kierunku spodów. Zwrot osi wnika z przjęcia prawoskrętnego układu osi na płaszczźnie. 3. Wektor naeż narsować zgodnie z wersorem osi, jeżei jest on dodatni (rozciąga spod) i przeciwnie do tego wersora, jeżei jest on ujemn (ściska spod). ZGINNIE ROSTE α β dz α β z Środek ciężkości Eεz E( a b) σ z ( ) 0 σ = = + α β z α β ε z =a+b Odkształcenie z N = d = E a + b d = Ea d + Eb d = = σ zd = E ( a + b) d = Ea d + Eb d S = d= 0, a =, b = 0 EJ J - moment bezwładności wzgędem osi. σ = z σ g σ d Naprężenie J Naprężenia normane!!! 4

42 σ z = J σ min σ ma σ g σ ma e g J J Wg = Wd = e e, e d g σ d W g - górn wskaźnik wtrzmałości przekroju na zginanie (wskaźnik zginania), W d - don wskaźnik wtrzmałości przekroju na zginanie. σg =, σd = Wg Wd z σ min d z onieważ współrzędna włókien górnch jest ujemna, to i górn wskaźnik wtrzmałości jest ujemn, zatem naprężenia są ściskające. Naprężenia rozciągające wstępują we włóknach donch, gdzie wskaźnik wtrzmałości na zginanie jest dodatni. Naprężenia ekstremane σ ekstr =± W Na podstawie anaiz beki i jej obciążenia naeż okreśić znaki naprężeń (ustaić włókna ściskane i rozciągane). Wskaźniki wtrzmałości przekroju na zginanie znajdują się w tabicach do projektowania konstrukcji metaowch i są wkorzstwane do przjęciu przekroju pręta, w którm płaszczzna obciążenia pokrwa się z jedną z osi głównch. Znając wartość momentu zginającego oraz wtrzmałość obiczeniową f d można wznaczć minimaną wartość wskaźnika wtrzmałości: Wmin = f d Brł naprężeń działające na przekrój σ ma D σ min σ bet z Z H h 3 h h 3 h z H z H wpadkowe brł moment naprężeń równoważn parze sił W bekach betowch zbrojonch naprężenia ściskające przejmuje beton, a wszstkie naprężenia rozciągające przenoszą pręt staowe. D = Z 4

43 OTYLNE WYIROWNIE RĘT ZGINNEGO Dobór wmiarów przekroju zapewniającego spełnienie warunku wtrzmałości pręta rozciąganego sprowadza się do wznaczenia poa jego powierzchni kształt nie ma znaczenia. W przpadku zginania istotną roe odgrwa ukształtowanie geometrczne przekroju wzgędem jego osi obojętnej. σ z = J J = d b naprężenia bł małe, naeż stosować duże moment bezwładności. oment bezwładności prz zadanm pou powierzchni figur jest tm większ im eement tej figur są bardziej oddaone od osi. σ ekstr = f d f d w W Nośność beki jest tm większa im większa jest wartość wskaźnika wtrzmałości na zginanie. rzekrój idean rzekrój dwuteow (dwuteownik) 40 8,7 06 5,55 3, I 40 =46, cm J =450 cm 4 w =3540 cm 3 J = cm 4 w =4,6 cm 3 Lp. rofi [cm ] J [cm 4 ] W [cm 3 ] I 40 46, % % I 40 46, 5, % 4,6,7 % 3 b=5,6 cm h 46,5 66 6, % 64, 8, % h=8,3 cm b 4 b=5,6 56cm b 46,5,5 9%,9 43,8,4 % h=8,3 cm h 5 a=6,8 cm a 46, 78 4, % 5,5 4,8 % a 6 d=7,7 cm 46,6 73, 4, % 45,7 % d 7 D=,7 cm 46, % 0 34 % d=0, cm d D 43

44 σ z Kształtowniki wacowane rzekrój dwuteow rzekrój teow Kształtowniki zimnogięte rzekroje drewniane Dźwigar do przenoszenia bardzo dużch obciążeń i prz znacznch rozpiętościach wkonuje się z bach odpowiednio łączonch (śrub, spaw), tzw. bachownic. rzekrój skrznkow, w porównaniu do dwuteowego, ma większą sztwność wzgędem drugiej głównej centranej osi bezwładności. W przpadku materiałów o różnej wtrzmałości na rozciąganie i ściskanie uzasadnione jest stosowanie przekrojów niesmetrcznch wzgędem osi obojętnej. e g e d roporcje przekroju e e d g f = f td cd BELKI O RÓWNOIERNEJ WYTRZYŁOŚCI N ZGINNIE / / Założenie: zginanie czste i proste. Wmiar przekroju poprzecznego dobiera się ze wzgędu na maksmaną wartość momentu zginającego. ma = /4 ma ma σ ma = fd Wma = W f d W pozostałch przekrojach naprężenia w skrajnch włóknach są mniejsze, czi materiał nie jest naeżcie wkonan. Naprężenia w skrajnch włóknach, w każdm przekroju będą jednakowe i równe wtrzmałości obiczeniowej prz zastosowaniu zmiennego wskaźnika wtrzmałości przekroju na zginanie W(z): ma fd =const W ( z) = W z f ( ) d 44

45 Beka o przekroju prostokątnm b h o stałej szerokości b. α α ( z) = z b h z W( z) = h(z) zmienna szerokość przekroju. 6 6 z W( z) = h( z) = Wsokość przekroju zmienia f b f się według paraboi. d ( ) d b ZGINNIE UKOŚNE W zginaniu ukośnm (czstm) inia działania obciążenia przechodzi przez środek ciężkości przekroju i nie pokrwa się z żadną z głównch osi bezwładności. łatew c W przpadku, gd płaszczzna działania obciążenia nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju, pręt jest także skręcan momentem skręcającm. oment skręcając jest bardzo niepożądanm obciążeniem, ponieważ powoduje powstanie dużch naprężeń stcznch a także naprężeń normanch, wpłwającch na obniżenie nośności pręta. W budownictwie zginanie ukośne wstępuje przede wszstkim w płatwiach dachowch. łatwie przmocowane do pochłch dźwigarów ub do pochłego pasa górnego kratownic. ochenie tch eementów wnika z konieczności odprowadzenia wod z dachu. Obciążenie płatwi dachowej w postaci ciężaru własnego, ciężaru pokrcia dachowego umieszczonego na płatwi, ciężaru śniegu, obciążenia od wiatru oraz obciążenia użtkowego działa zgodnie z kierunkiem sił grawitacji czi w dół. 45

46 Obciążenie ukośne powoduje wstąpienie momentów zginającch wzgędem obu głównch osi bezwładności. α I = cosα = sinα α ε z = a + b + c σ = z J J α C α α łatew ' = cosα ' = sinα oment, skierowan zgodnie z wersorem osi, powoduje rozciąganie pierwszej ćwiartki układu, a zatem pierwsz składnik wzoru jest dodatni. Drugi składnik jest ujemn, gdż moment, skierowan zgodnie z wersorem osi, powoduje ściskanie pierwszej ćwiartki układu. ma = 4 q Spod w kierunku osi Spod w kierunku osi q ma = 8 Dodatni moment odkładam zgodnie z wersorem osi. Oś ta jest obrócona w prawo o 90 0 wzgędem osi skierowanej do spodów. odobnie rsujem dodatni moment, na osi obróconej o 90 0 w prawo wzgędem osi skierowanej do spodów. Wektor tego momentu jest skierowan ku górze, czi w przjętm układzie współrzędnch jest ujemn. Równanie osi obojętnej (zerowej) da zginania ukośnego J σ z = = 0 = J J J Oś obojętna przechodzi ukośnie przez środek ciężkości przekroju i zawsze przebiega przez te same ćwiartki układu współrzędnch, co prosta na której eż wektor momentu. Oś obojętna Oś obojętna Oś obojętna z z z σ z = J σ z = σ z = J J J Naprężenia ekstremane wstępują w punktach najbardziej oddaonch od osi obojętnej. 46

47 B D α C σ Wznaczć naprężenia normane w bece. 0 kn 0 kn α α m 5m m spód 0 0 [knm] = ma = 0 kn m B α α c = cos30 = 0 8,7kN m, = sin 30 = 0 = 5 kn m J = = 0736 cm,07 0 m, J = = 664 cm,7 0 m σ 8,7 5 3 ( 4 4,7 ) 0 ka 4 4,07 0 = z,7 0 + Oś obojętna: 4+ 4,7= 0 =,0 B B Oś obojętna c σ z = 4+ 4, 7 a = 0,09, = 0,: z σ = 4 0, + 4,7 0,09 8,9 a B σ Oś obojętna σ [a] B = -0,09, B = -0,: ( ) ( ) B σ z = 4 0, + 4,7 0,09 8,9 a 47

48 rzekrój bismetrczn zginanie ukośne w układzie głównch centranch osi bezwładności Naprężenia ekstremane w narożach: gdzie: J J W =, W = ma ma σ ekstr =± W ± W ma, ma odegłości skrajnch włókien odpowiednio od osi i. B c α D α C σ ekstr =± W ± W oment wwołuje ściskanie na krawędzi B a rozciąganie na krawędzi CD. oment wwołuje ściskanie na krawędzi BC a rozciąganie na krawędzi D. Wartości naprężeń w narożach: σ = W + W σ C = W W σ B = W W σ D = W + W Szczegóne przpadki przekrojów naprężenia ekstremane 4 3 unkt, w którch wstępują 4 3 ekstremane naprężenia normane, są punktami najbardziej oddaonmi zarówno od osi jak i. σ Ekstremane naprężenia normane ekstr =± + W W wstępują w przeciwegłch g narożach przekroju. W przekrojach nie mającch dwóch osi smetrii trzeba rozróżnić odpowiednio don W d, górn W g, ew W i praw W p wskaźnik wtrzmałości na zginanie. W powższch przpadkach poszukiwanie osi obojętnej jest zbędne. 48

49 ZGINNIE ZE ŚCINNIE oment zginając powoduje powstanie w przekroju beki naprężeń normanch ściskającch i rozciągającch. Siła poprzeczna usiłuje ściąć i przesunąć wzgędem siebie poszczegóne eement. Na skutek ugięcia ę i nierównomiernego wdłużenia ub skrócenia włókien, niepołączone ze sobą warstw beki przesuwają się po sobie. W bece jednoitej istnieje tendencja do poziomego ścięcia wzdłuż takich warstw. Na powierzchni stku, wstąpią naprężenia stczne. Zgodność z twierdzeniem o równości odpowiednich naprężeń stcznch na wzajemnie prostopadłch do siebie płaszczznach. ZGINNIE ZE ŚCINNIE DEFORCJ τ τ τ/ τ/ τ τ τ/ τ/ Zniszczenie na skutek ścinania 49

50 Zginanie ze ścinaniem zachodzi w przpadku, gd w przekroju poprzecznm beki działają równocześnie moment zginając i siła poprzeczna. Siła poprzeczna wwołuje naprężenia stczne, które z koei powodują wstąpienie odkształceń postaciowch. W wniku takiego złożonego stanu odkształceń, przekroje poprzeczne przestaną bć płaszczznami i uegną spaczeniu. V odstawowe założenie: siła poprzeczna nie wpłwa na rozkład naprężeń normanch w przekroju poprzecznm pręta. Naprężenia normane wznacza się według σ z = J J wzorów wprowadzonch da czstego zginania. α β σ z dz α β q τ z z γ σ z τ z α τ z α β dz β z γ σ z +dσ z τ z V C b γ τ z C b γ ( σ + dσ ) d σ d τ bdz = 0 z z z z dσ z τ z = d b dz σ z +dσ z b dσ z d d V = = = V, τ z = d dz dz J dz J J bj S γ - moment statczn zakreskowanego poa, τ = τ z, V -siła poprzeczną w danm przekroju, J - moment bezwładności całego przekroju beki wzgędem osi obojętnej, b - szerokość przekroju w punkcie obiczania naprężeń. VS τ = bj γ VS τ = bj γ oment bezwładności J oraz szerokość beki b przjmują zawsze wartości dodatnie. Również moment statczn S γ iczon wzgędem osi jest większ od zera. Znak naprężenia stcznego zaeż włącznie od znaku sił poprzecznej. V + V α β Konwencja dodatnia / / V V Rzeczwist zwrot V sił poprzecznch τ τ Zwrot naprężeń stcznch 50

51 rzekrój prostokątn γ h h S = b γ b γ + γ = V b h = C γ τ ma 4 γ τ h/- γ γ 6V τ τ h γ τ = 3 γ bh 4 Rozkład naprężeń ę stcznch zmienia się ę paraboicznie wzdłuż wsokości beki. Naprężenia stczne osiągają wartości ekstremane da punktów położonch na osi obojętnej. h/ h/ τ ma τ τ z = τ z τ ma V z Rozkład naprężeń stcznch w przekroju teowm Rozkład naprężeń stcznch w przekroju dwuteowm W miejscach połączenia środnika z pasami donm i górnm wstępuje znaczn skok na wkresie naprężeń stcznch. W rzeczwistości, w tego tpu punktach rozkład naprężeń stcznch jest dużo bardziej skompikowan. W ceu uniknięcia tzw. koncentracji naprężeń, prz połączeniu pasów ze środnikiem wkonwane są odpowiednie zaokrągenia. Zmiana szerokości przekroju poprzecznego beki nie ma natomiast wpłwu na rozkład naprężeń normanch. VS τ = bj γ rzekrój prostokątn rzekrój kołow 6V h τ = 3 γ bh 4 3 V ma ( 0) τ = τ γ = = τ 4 V ma = 3 ostać ogóna wzoru na maksmane naprężenia stczne: V τ ma = m m współcznnik kształtu przekroju. rzekrój pierścieniow: m =,0 rzekrój dwuteow: m =,0 ( poe przekroju środnika). 5

52 Beka drewniana V τ = ma V, 5 rzekrój prostokątn Beka staowa rzekrój dwuteow V τ = ma V σ zma σ z =0 z τ z =0 z τ ma Naprężenia normane σ z przbierają ekstremane wartości tko w skrajnch włóknach beki, a więc są naprężeniami głównmi. Jest to przpadek osiowego ściskania (włókna górne) i osiowego rozciągania (włókna done). W płaszczźnie obojętnej wstępują tko naprężenia stczne. Jest to przpadek czstego ścinania. σ =0, τ =0 Korzstna okaizacja otworu na instaacje RĘTY CIENKOŚCIENNE woda τ τ τ 3 V woda Środek ścinania woda woda woda W W c τ τ τ ma V W woda 5

53 Środek ścinania - doświadczenie Zginanie ze skręcaniem Zginanie BELKI ZŁOŻONE I WIELOKROTNE α α α α h b h Beka wieokrotna σ τ Brak połączenia α α α α 3 3 w bh bh J = = 6 Beka złożona σ τ α α Łącznik ( ) 3 3 z b h bh J = = = 4J 3 w Większ moment bezwładności da beki złożonej oznacza, że charakterzuje się ona większą sztwnością na zginanie, a zatem i większą nośnością niż podobna beka wieokrotna. Beka wieokrotna Beka złożona W rzeczwistości parametr wtrzmałościowe beek złożonch są nieco gorsze niż beek jednoitch o takim samm przekroju. rzepis budowane mówią, że prz projektowaniu beek złożonch, moment ten powinien bć zmniejszon o co najmniej 0%, w zaeżności od iczb łączonch eementów. 53

54 rz wmiarowaniu beek złożonch naeż wznaczć naprężenia stczne wstępujące w płaszczźnie stku poszczegónch beek składowch. Naprężenia te decdują o odpowiednim zaprojektowaniu łączącch je eementów (spaw, kej, gwoździe, nit itp.). Siła rozwarstwiająca - powoduje rozwarstwienie beki, czi przesunięcie beek składowch. Siła ta jest wpadkową naprężeń stcznch z całej szerokości beki i jednostkowej długości (wzdłuż osi beki): VS H = τ z b = J γ Siła poprzeczna stała na odcinku o długości e: γ VS H = He = e J Brak połączenia łaszczzn ścięcia spawów Duże sił poprzeczne oment zginając schemat konstrukcji q B q H q V R q /8 R Beka R R Kratownica C h h/3 h T C T fd W C = T = h H R R H C Łuk H h q H =, R= h C = R + H Cięgno h H q H H =, R = h T T = R + H 54

55 SKRĘCNIE SWOBODNE ręt zginan i skręcan ręt zginan e s =e s s Deformacja pręta swobodnie skręcanego poega na wzajemnm sztwnm obrocie poszczegónch przekrojów wzgędem siebie. Koumna poddana skręcaniu. 55

56 odstawowe założenie teorii skręcania moment skręcające powodują wstąpienie tko naprężeń stcznch w przekroju. Stan taki nazwa się skręcaniem swobodnm. W skręcaniu nieswobodnm wstępują dodatkowo naprężenia normane. Rozwiązanie ścisłe jest możiwe jednie da skręcanch swobodnie prętów o przekroju kołowm. s r ρ dφ γ dz oment skręcając jest dodatni, jeżei jego wektor jest zwrócon na zewnątrz powierzchni eementu. s s r ρ dφ γ dz ałe deformacje γ t gγ = ' = γdz s dz dφ tg dφ = ' = ρdφ ρ dφ dφ γ = ρ τ = Gγ = Gρ dz dz dφ dφ s = ρτ d = Gρ d = G ρ d dz dz 4 d d s J0 = π r / s GJ φ φ s ρ = 0 = τ = dz dz GJ 0 J0 τ = s J0 ρ τ ma r R τ ma 4 π R J 0 = s τ ma = W ( ) π J0 = R r J0 W0 = - wskaźnik skręcania r Całkowite skręcenie pręta o długości s s s dφ = φ = dz dz GJ GJ = GJ

57 σ σ τ s 45 0 τ σ σ s Eement na powierzchni skręcanego pręta Na ściankach eementu eżącch w przekrojach normanch do osi pręta wstąpią włącznie naprężenia stczne. Zgodnie z twierdzeniem o odpowiadającch sobie naprężeniach stcznch, naprężenia o takich samch wartościach wstąpią w przekrojach podłużnch. Wewnątrz pręta również wstępują naprężenia stczne, a ich wartości maeją w miarę zbiżania się do osi pręta. Taki stan naprężenia nazwa się czstm ścinaniem. Kierunki główne stanu naprężenia są nachone pod kątem 45 0 do osi pręta. σ σ τ s 45 0 τ σ σ s ręt z materiału pastcznego (sta) uega zniszczeniu wzdłuż płaszczzn prostopadłej do osi. s spękania s ręt z materiału kruchego (beton) uega zniszczeniu wzdłuż płaszczzn o maksmanm naprężeniu rozciągającm, tj. nachonej pod kątem 45 0 do osi. F F s spękania s Da prętów o innch przekrojach niż kołowe ub pierścieniowe nie można uzskać ścisłch zaeżności i stosuje się da nich wzor przbiżone. rzekrój kwadratow o boku a: Wmiarowanie prętów skręcanch: τ, φ φ f vd τ = = 0, 08a 0,4Ga dop f vd wtrzmałość obiczeniowa na ścinanie, φ ma - maksman kąt skręcania, φ dop - dopuszczan kąta skręcania. s s, φ

58 ŚCISKNIE - ROZCIĄGNIE IOŚRODOWE imośrodowe działanie sił wstępuje najczęściej w słupach ha wposażonch w suwnice, powodujące powstanie jednego z momentów zginającch. Siła normana N oraz moment zginając powstają w wniku działania obciążenia działającego w płaszczźnie ram. oment zginając z powstaje w wniku działania obciążenia prostopadłego do płaszczzn ram. Jest to na przkład obciążenie ą hamowaniem suwnic przenoszone przez bekę podsuwnicową cz parcie wiatru na ścianę szcztową hai. N z z ŚCISKNIE - ROZCIĄGNIE IOŚRODOWE z z Stan obciążenia, w którm siła ściskająca ub rozciągająca nie e e działa w osi pręta, ecz jest wzgędem niej przesunięta o pewną wiekość e, nazwan jest obciążeniem mimośrodowm. Odegłość e międz osią pręta a inią działania sił nazwa się mimośrodem. W zaeżności od zwrotu sił rozróżnia się ściskanie ub rozciąganie mimośrodowe. rzesuwając siłę równoege do osi otrzmuje się układ równoważn, w którm wstępuje siła podłużna (osiowe ściskanie-rozciąganie) i moment zginając (czste zginanie). Ściskanie mimośrodowe wstępuje też gd siła ściskająca działa osiowo (ciężar własn), a dodatkowo wstępuje zginanie, np. obciążeniem od wiatru. Zginanie i ściskanie zginanie Zginanie i ściskanie zginanie 58

59 e σz σ σ N σ z = + J J σ = N σ = J J K z N =, = e, = e e e e e σ z = J J J e J σ z = 0 = J e e Siła N przjmuje wartości ujemne, gdż przekrój jest ściskan. oment od sił wzgędem osi jest dodatni, gdż patrząc z kierunku dodatniego zwrotu osi na płaszczznę działania momentu, jest on ewoskrętn. Oś obojętna Oś obojętna Oś obojętna 0 e K 0 e σ min / σ ma K σ min σ ma / K σ min / Szczegóne przpadki przekrojów 4 3 unkt, w którch wstępują 4 3 ekstremane naprężenia normane, są punktami najbardziej oddaonmi zarówno od osi jak i. N σ Ekstremane naprężenia normane ekstr = ± + W W wstępują w przeciwegłch g narożach przekroju. W przekrojach nie mającch dwóch osi smetrii trzeba rozróżnić odpowiednio don W d, górn W g, ew W i praw W p wskaźnik wtrzmałości na zginanie. W powższch przpadkach poszukiwanie osi obojętnej jest zbędne. 59

60 RDZEŃ RZEKROJU O O e Rdzeń przekroju to miejsce geometrczne punktów przłożenia sił, da której oś obojętna nie przecina przekroju, a naprężenia normane w całm przekroju są jednego znaku. B a D C b B Oś obojętna a C E O e b D B e a O E C Oś obojętna b D Oś obojętna O a B C E e O b D σ e szukane, O dane (= a/) N = = 0 = e e σ z = J e 0 J = J e = 3 ba a J a = e = = = a ab a 6 B e a C Oś obojętna O O b E D σ e szukane, O dane (= b/) N = = e = 0 e e σ z = = 0 J J J e = b b = e = 6 a/6 a/6 O O E 3 E E 4 b/6 E b/6 Rdzeń przekroju Twierdzenie: jeżei siła będzie przemieszczała się po prostej łączącej punkt rdzenia, to oś obojętna wkona obrót dookoła punktu narożnego konturu. Da dowonego przekroju, osie obojętne i odpowiadające im punkt rdzenia przekroju zawsze tworzą wieoboki wpukłe. Jeżei kontur przekroju jest wieobokiem wpukłm, to i rdzeń przekroju jest wieobokiem o takiej samej iczbie boków. Da przekroju posiadającego oś smetrii, rdzeń przekroju ma tę samą oś smetrii. Gd przekrój jest kołow, to także rdzeń jest kołem. Każdemu wierzchołkowi rdzenia odpowiada bok konturu przekroju, a każdemu bokowi rdzenia wierzchołek konturu przekroju. O 3 O 4 E 3 E E 4 E 60

61 a b/3 a/3 b σ = σ = σ = σ + σ J = e e - mimośród e ateriał kruch (beton, mur) Rdzeń przekroju Oś obojętna Oś obojętna nachona do poziomu 0 e e E 0 oś obojętna ( 0,0) ; (0, 0 ) N = = e = e e e σ z = J J σ J ej z = 0 = e e J J J e =, e = 0 0 ołożenie rdzenia przekroju nie jest uzaeżnione ani od wartości, ani od znaku sił. i J J e = = = J J i e = = = J i,i promienie bezwładności i =, J J W,W wskaźniki wtrzmałości, np.: Wd =, Wd = eg ed J J W J J W e = = = e = = = i = J 6

62 b wznaczć położenie rdzenia przekroju naeż okreśić obszar wpukł zbudowan na przekroju czi przeprowadzić osie obojętne przechodzące przez krawędzie ub wierzchołki przekroju. Korzstając ze wzorów można wznaczć wartości mimośrodów. J J W J J W e = = = e = = = e Stopa fundamentowa σ z = + b J b/3 3 hb b = b h, J, h = e = c h/3 c σ 6 Rdzeń przekroju z = + b b c 3 3 c, c ) c>b/3 σ = σ = + bh b bh b σ σ c ) c=b/3 σ = 0, σ = bh 3) c<b/3 Wpadkowa jest równa pou wkresu i działa w środku ciężkości trójkąta, zatem długość podstaw wnosi 3c. σ = 3c h c σ σ LINI UGIĘCI BELEK ZGINNYCH - RÓWNNIE EULER rojektując konstrukcje zginane nie można dopuścić do zbt dużch ugięć poszczegónch ich eementów (rs cz spękania, mogące prowadzić do uszkodzenia konstrukcji, wzgęd estetczne). Naeż sprawdzić warunek sztwności, czi porównać maksmane ugięcia z wartościami dopuszczanmi. 6

63 Zwke nawet niedopuszczane ugięcia nie są widoczne gołm okiem, ae na zdjęciu jest pokazan przkład, gdzie ugięcie jest dość wraźne Stan przemieszczenia da beek jest okreśon, gd znane jest równanie opisujące inię ugięcia. Linią ugięcia nazwam odkształconą oś beki powstałą na skutek jej obciążenia. i i δ i Duże przemieszczenie B ałe przemieszczenie Założenia: zginanie jest proste, odkształcenia i przemieszczenia są małe, sił poprzeczne nie wpłwają na odkształcenia pręta. Założenie małch odkształceń oznacza, że poszczegóne punkt osi beki doznają tko przemieszczeń pionowch. onieważ punkt osi beki eżą na osiach obojętnch przekrojów poprzecznch, długość osi beki nie uega zmianie. rzemieszczenia pionowe punktów osi nazwane są ugięciami i zgodnie z przjętą orientacją układu oznacza się je przez. Ugięcie φ i i f φ i Kąt obrotu B Linia ugięcia () Strzałka ugięcia odczas czstego zginania przekroje poprzeczne beki obracają się o pewien kąt, pozostając płaskimi. Da ustaonego przekroju, kąt taki jest równ kątowi, jaki tworz stczna do odkształconej osi, w punkcie przecięcia tego przekroju z osią pręta, z dodatnim kierunkiem osi. Jest to tzw. kąt obrotu danego przekroju i oznacza się go przez φ. 63

64 Największe ugięcie beki, oznaczane zwke iterą f, nazwane strzałką ugięcia porównuje się z wartością dopuszczaną. f = ma m Dopuszczane ugięcia zaeżą od rozpiętości prętów a ich wartości są opisane w normach, dotczącch projektowania konstrukcji z różnch materiałów. rzkładowo da konstrukcji staowch: ugięcie dźwigara kratowego pełnościennego ma 50 ugięcie głównch beek stropowch ma 350 Da konstrukcji drewnianch ma 300 Da konstrukcji betonowch i żebetowch: ugięcie beek stropowch o rozpiętości poniżej 6m ugięcie przekrć dachowch o rozpiętości powżej 6m ma ma ochodna funkcji opisującej inię ugięcia () jest równa współcznnikowi kierunkowemu stcznej do inii ugięcia: d = = tgφ φ (φ< 0,0 rad) d Ugięcia dodatnie zwrócone są w stronę dodatniego zwrotu osi, natomiast kąt obrotu φ jest dodatni, jeżei stczna do odkształconej osi obróci się od dodatniego zwrotu osi w stronę dodatniego zwrotu osi. Kąt obrotu przekroju φ Kąt dodatnie φ Krzwizna beki (anaiza matematczna): d = d d 3 ρ ( ) d d + d ρ ( ) d d ρ() - promień krzwizn d tgdd φ = ε d φ ε d = d φ dφ ρ dφ σ ε = E ε d/ σ ( ) d ε d/ ε d = d = d = dφ E EJ dφ ( ) = - krzwizna beki d EJ 64

65 Krzwizna beki: ρ ( ) d d ub dφ = d ( ) EJ d ( ) = Równanie różniczkowe Euera d EJ Warunki brzegowe EJ sztwność beki na zginanie ( ) EJ = ( ) EJ = d + C ( ) EJ = d d + C + C ( ) ( ) = 0 = 0 = = 0 ( ) ( ) = 0 = 0 = 0 = 0 Wznaczć inię ugięcia beki swobodnie podpartej obciążonej równomiernie. d ( ) q = B q d EJ ( ) = ( ) () 3 q q EJ ( ) ( ) d C = + = + C q q EJ ( ) = d C C C C + + = ( ) EJ = 0 = C = 0 C = 0 ( ) q EJ = = 0 q 6 + C = C = q 4 = 5 q EJ 6 f = = = 384 EJ d ( ) = d EJ Uogóniona postać równania Euera ( ) d EJ = = V d IV dv ( ) EJ = = q ( ) d ( ) IV EJ ( ) = q Równanie Euera pokazuje związki pomiędz podstawowmi wiekościami charakterzującmi obciążenie, sił wewnętrzne i ugięcia. 65

66 q 4 5 q f = 384 EJ 3 f = 3EJ q 4 q f = 384 EJ Ugięcia beek o różnch przekrojach poprzecznch Schemat statczn: / / =50[N], =3[m] E=0 6 [N/cm ] 3 kształt prostokąt prostokąt dwuteownik przekrój poprzeczn wmiar w [cm] b h = 6 b h = 6 B H = 3 9 [cm ] J [cm 4 ] ,5 3 f = 48EJ [cm] 7 0,8 0, Ugięcie w [cm] Ugięcie beki swobodnie podpartej Odcięta w [cm] Beka 6 [cm] Beka 6 [cm] Dwuteownik 66

67 V ekstr q f B V ekstr q ma = 8 ma 4 5 q f = 384 EJ q V ekstr =± Ugięcie zmienia się z czwartą potęgą rozpiętości beki. Siła poprzeczna zmienia się iniowo rozpiętością. oment zginając zmienia się z kwadratem rozpiętości. Da beek o niewiekich rozpiętościach, o wmiarach przekroju poprzecznego decduje z reguł warunek wtrzmałości. W przpadku czstego zginania do wmiarowania stosuje się wskaźnik wtrzmałości przekroju na zginanie: ma W = f d rz większch rozpiętościach beek, o wmiarach przekroju poprzecznego decduje przeważnie warunek sztwności (dopuszczana strzałka ugięcia). Naprężenia w przekroju są wówczas często znacznie mniejsze od wtrzmałości obiczeniowej na zginanie. Dobranie przekroju beki według wskaźnika wtrzmałości, a następnie obiczenie strzałki ugięcia jest pracochłonne, zwłaszcza wted, gd przekrój beki dobiera się kikakrotnie. W ceu ułatwienia obiczeń strzałki ugięcia, sporządza się tabice ub nomogram, pozwaające na wznaczenie odpowiedniego przekroju beki, prz zadanej jej rozpiętości. Tabice i nomogram opracowwane są na podstawie wzorów uproszczonch, wprowadzonch ze wzorów na ugięcia. q 4 5 q f = 384 EJ q 5 q 5 ma ma = f = = EJ 48 EJ Warunek sztwności: f = ma 5 ma m 48 EJ m otrzebn moment bezwładności przekroju: 5 ma m J = J = α ma 48 E α współcznnik zaeżn od sposobu obciążenia, materiału beki i dopuszczanej strzałki ugięcia. 67

68 Wartości współcznników α da beki swobodnie podpartej Schemat obciążenia q / / /3 /3 /3 Współcznnik α [ cm /N ] Beki drewniane 00, Beki staowe ,3 0,00 0,49,67,50 0,080 0,0,4 3, 0,0 0,53 Uwaga na jednostki! [N cm], E [N/cm ], [cm]. Wstępne wmiarowanie eementów konstrukcjnch Wg.. Corki 90 Beka drewniana okość h [cm] Wso h 0 0,5 5 7,5 0,5 Rozpiętość [m] rz zwkłch obciążeniach przjmuje się z wkresu wartość średnią. rz dużch, wjątkowch obciążeniach wartość największą, a prz małch obciążeniach wartość najmniejszą. Naeż też uwzgędnić różne wtrzmałości tego samego materiału. Beka staowa Wsokość h [m],5,0 0, Rozpiętość [m] h Beka żebetowa Wsokość h [m],5,0 0,5 0 0,5 5 7,5 0,5 Rozpiętość [m] h 68

69 Kratownica staowa 0,0 h h Wsokość h [m] 7,5 5,0, Rozpiętość [m] 90 h Wsokość h [m] 7,5 5,0, ,5 5, ,5 Rozpiętość [m] 45 STTECZNOŚĆ RĘTÓW 69

70 Stacja Cortandt Street w Nowm Jorku Stan równowagi statecznej Stan równowagi niestatecznej (chwiejnej) Stan równowagi obojętnej Konstrukcje budowane i ich eement powinn znajdować się włącznie w stanie równowagi statecznej. Założenie: prostoiniow pręt jest ściskan włącznie osiowo, siłami będącmi w równowadze. Wgięcie pręta pod wpłwem takiego obciążenia nazwa się wboczeniem. Zniszczenie pręta następuje na skutek zginania a nie ściskania. Zjawisko wboczenia wjaśnia się tm, że nawet najbardziej starannie wkonan pręt prost ma w rzeczwistości pewne początkowe wgięcie oraz każda siła osiowa w rzeczwistości przłożona jest na pewnm mimośrodzie. Wboczenie wstępuje zwke da sił oraz wnikającch z nich naprężeń, znacznie mniejszch od wtrzmałości obiczeniowej na ściskanie. () ( ) = EJ = Rozwiązanie: ub + α = 0 gdzie: α = EJ = Csinα + Ccosα Stałe ł całkowania: ( ( = 0) = 0 z C = 0 (=)=0 z C sinα = 0 nπ α = da n =,,3,... n π = EJ Siła krtczna (euerowska) kr -dan =: sinα = 0 π kr = EJ 70

71 Sie euerowskiej odpowiada postać równowagi pręta : C sin π = Stałej C nie można okreśić jednoznacznie. o osiągnięciu przez siłę ściskającą wartości kr, oś pręta staje się sinusoidą o nieokreśonej ampitudzie. Każde wgięcie pręta ściskanego siłą kr prowadzi do awarii. ręt wspornikow ręt swobodnie podpart f π kr = EJ () π EJπ kr = EJ kr = w w długość wboczeniowa (długość wona na wboczenie) zaeż od sposobu zamocowania pręta. Długość wboczeniową okreśa się jako długość półfai sinusoid. w długość wboczeniowa w zaeżności od zamocowania w = w = w =0,7 w =0,5 W praktce budowanej pręt ściskane są najczęściej podparte przegubowo na obu końcach ub sztwno utwierdzone na jednm końcu. rzkładowo, jako przegubowo podparte przjmuje się słup z kształtowników staowch prztwierdzone śrubami do fundamentu, na którch opierają się podciągi cz wiązar kratowe. Naprężenie krtczne wzór EULER J π E π kr EJπ E iminπ kr = EJ σ kr = = = = w w w w π E σ kr = λ λ = i w min -smukłość pręta i min najmniejsz promień bezwładności. Smukłość jest tm większa, im dłuższ i cieńsz jest pręt. Naprężenie krtczne (siła powodująca wboczenie pręta) jest tm mniejsze im większa jest smukłość pręta im dłuższ i im cieńsz jest pręt tm mniejsze jest naprężenie, prz którm zachodzi wboczenie. Wboczenie pręta prz jego ustaonej długości i sposobie podparcia, zaeż też od sprężstości pręta (modułu Younga) oraz promienia bezwładności (kształtu i wmiarów przekroju poprzecznego). 7

72 Kształt przekroju ściskanego pręta jest optman, gd prz najmniejszm pou przekroju, promień bezwładności jest da różnch osi jednakow i możiwie duż. ostuat taki spełnia przede wszstkim przekrój pierścieniow. Dobre ze wzgędu na wboczenie są również przekroje kołowe ub kwadratowe, skrznkowe i pełne. Niewłaściwe prz ściskaniu są profie stosowane w eementach zginanch, jak dwuteowniki, ceowniki cz wąskie prostokąt, gdż mają one znacznie różniące się główne moment bezwładności. rofie te znajdują zastosowanie w eementach ściskanch, jeżei stanowią ich część. Wznaczć optmane wmiar przekroju ściskanego słupa. Dane: = 5 m, E = 0 5 a, = 50 kn. z a b Wboczenie w płaszczźnie z: ba ab 3 = J = = a a i = i w, 0,7 0,7 5, λ = = = = i a a a Wboczenie w płaszczźnie z: z z 3 = J = ab b b = i = i ab w, = w, =0,7 w, 5 34,6 λ = = = = i b / b b Optmane wmiar uzska się w przpadku gd naprężenia krtczne będą identczne, z uwzgędnieniem wboczenia w obdwu kierunkach i jednocześnie równe naprężeniu prz ściskaniu osiowm σ c = σ kr. π E π E, 34,6 σ = kr λ λ λ = λ = a = b a = 0,35b σ π E 8 kr = = ( w i) ( 34,6 b) π 0 σ c = = 50 (, ) bb 50 π 0 = 8 (,bb ) ( 34,6 b) σ c naprężenia prz ściskaniu osiowm b = 0,6 cm a = 0,35b = 3,7 cm 7

73 Krótkie pręt ściskane o małej smukłości nie podegają wboczeniu sprężstemu uegają π E zniszczeniu na skutek działania sił ściskającch σ kr = λ prz naprężeniach znacznie mniejszch od tch, które otrzmuje się ze wzoru Euera. Ich wmiar dobiera się ze wzgędu na warunek wtrzmałości. W prętach ściskanch o średniej i dużej smukłości wstępuje wboczenie sprężste. Ich wmiar dobiera się ze wzgędu na siłę krtczną (warunek stateczności). d 0 d < 0 d > - zniszczenie na skutek utrat wtrzmałości - zniszczenie na skutek utrat stateczności Ze wzoru Euera wnika, że naprężenie krtczne π E σ zmienia się odwrotnie proporcjonanie do kwadratu kr = λ smukłości pręta. W miarę wzrostu smukłości naprężenie krtczne szbko maeje. Naprężenia te osiągają bardzo małe wartości w długich i cienkich prętach, czi niewieka siła krtczna może spowodować wboczenie prętów smukłch. Wzor Euera na siłę i naprężenie krtczne został wprowadzone prz założeniu, że naprężenia znajdują się w obszarze iniowo-sprężstm. Jeżei naprężenia σ kr przekroczą granicę proporcjonaności to wzor Euera tracą swą ważność! R p σ kr Zakres ważności wzorów Euera λ gr λ σ R p R s R p R u R r ε σ kr [a] R p =96 sta zwkła λ rz smukłości λ=00 naprężenia krtczne przekraczają granicę proporcjonaności da stai zwkłej R p =96 a. Wzoru Euera nie można stosować da prętów o smukłości mniejszej niż smukłość graniczna λ gr. Da prętów wkonanch ze stai zwkłej, smukłość nie może bć mniejsza niż 00. ręt drewnian (sosna): granica proporcjonaności R p =5 a, moduł Younga E=0 4 a. σkr R π π π λ gr -smukłość p = = = = 8 λ graniczna 4 E E 0 λ gr gr Rp 5 Wzoru Euera nie można stosować da prętów wkonanch z drewna sosnowego o smukłości granicznej mniejszej niż 8. 73

74 σ kr R p λ gr Krzwa wboczenia niesprężstego i sprężstego Wboczenie niesprężste Wboczenie sprężste λ λ = π Sta St0S λ gr =00 Drewno sosnowe λ gr =8 Da wboczenia w obszarze niesprężstm stosuje się tzw. współcznniki wboczenia φ ub m w, ustaone da różnch materiałów i zaeżne od smukłości. mw σkr = fd ub σkr = fcd φ f cd wtrzmałość obiczeniowa materiału pręta prz ściskaniu z uwzgędnieniem wboczenia. Współcznniki wboczenia φ i m w zebrane są w tabicach i umieszczone w normach. Odnoszą się one zarówno do sprężstego jak i niesprężstego obszaru naprężeń. gr E R p Współcznniki wboczenia φ da drewna sosnowego Współcznniki wboczenia φ da stai St0S, St3S λ φ λ φ ,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,7 0,608 0,484 0, ,30 0,46 0,5 0,83 0,53 0,38 0, 0,07 0,096 0,086 0,077 λ φ λ φ ,00 0,98 0,95 0,93 0,89 0,85 0,80 0,74 0,68 0, Ściskanie osiowe (konstrukcje staowe): σ = fd φ 0,55 0,48 0,4 0,37 0,3 0,8 0,5 0, 0,0 0,8 0,6 rojektowanie przekrojów prętów ściskanch odbwa się w drodze prób.. rzjmuje się kształt przekroju oraz jego wmiar.. Obicza najmniejsz promień bezwładności: 3. Obicza się smukłość pręta: λ = i 4. Da przjętego materiału i wznaczonej smukłości znajduje się w tabicach współcznnik wboczenia φ ub m w. w min i min = J 5. Sprawdza się naprężenia według wzoru: mw σkr = fd ub σkr = fcd φ 6. Jeżei obiczone naprężenia przekroczą wtrzmałość obiczeniową ub będą od niej znacznie mniejsze, to przekrój pręta odpowiednio się zwiększa bądź zmniejsza i powtarza sprawdzenie naprężeń. min 74

75 Obiczć naprężenia krtczne i siłę krtczną w drewnianm słupie wspornikowm o rozpiętości =3 m i o przekroju 0 0 cm, przjmując f cd =0 a, E=0 4 a=0 3 kn/cm = 400 cm, J= J= =3333 cm J 3333 imin = i = i = = = 5, 78 cm 400 w 600 w = = 3 = 6 m = 600 cm, λ = = = 04 i 5,78 4 π E π 0 σ kr = = = 9, a λ ( 04) 3 min kr w ( 600) min π EJ π = = = 366 kn Sprawdzić naprężenia w swobodnie podpartm drewnianm słupie o rozpiętości =3 m i o przekroju cm, obciążonm siłą osiową =35 KN ( f cd =0 a, E=0 4 a). = 44 cm, = =78 cm Jmin 78 imin = = = 3, 46 cm Jmin 300 z tabic w w = = 3 m = 300 cm, λ = = = 87 φ 0,4 i 3, 46 min 35 kn σ = kr 0,59 5,9 a f 0 a cd φ = 0,4 44 = cm = < = Wboczeniu mogą uec cienkie baszane środniki wsokich beek dwuteowch. Jest to tzw. zjawisko okanej utrat stateczności. Niebezpieczeństwo wboczenia nie zawsze jest właściwie oceniane przez projektantów. Stąd też przczną wieu największch katastrof budowanch bło wboczenie eementów ściskanch. 75