METODA SIŁ - ŁUKI
|
|
- Krzysztof Urban
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI METODA SIŁ - ŁUKI 1.1. Deinicja i podział łuków Łuk to pręt zakrzwion w pewnej płaszczźnie, pracując zarówno na zginanie, ścinanie jak i ściskanie. Jego poszczegóne części składowe, nazwane są następująco: rozpiętość najkrótsza odegłość międz podporami zewnętrznmi strzałka łuku odegłość od cięciw łączącej podpor do najwższego punktu łuku Łuki kasikujem najczęściej według poniższch krteriów. 1. W zaeżności od krzwizn: paraboiczne, sinusoidane, kołowe.. W zaeżności od rodzaju podparcia (konstrukcji podpór): jednoprzegubowe, dwuprzegubowe, bezprzegubowe (utwierdzone). 3. W zaeżności od przekroju: o stałm przekroju, o zmiennm przekroju (np. konstrukcja optmana gdzie wmiar przekroju zmienia się według rozkładu sił wewnętrznch). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
2 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4. W zaeżności od materiału z jakiego są zbudowane: staowe, żebetowe, drewniane. 5. W zaeżności od budow: ze ściągiem, z zakratowaniem. 1.. Praca sił wewnętrznch w łukach W prac łuku decdującą roę najczęściej odgrwają sił normane. Z tego też powodu w wieu przpadkach nie wono pominąć ich wpłwu na przemieszczenia układu. Wpłw sił normanch na układ jest tm większ im mniejszą łuk ma wsokość, czi wpłw ten jest znaczn w łukach płaskich (anaogia do kratownic Misesa). Da łuków płaskich, o wsokim przekroju, nie wono pominąć wpłwu sił tnącej (anaogia do beki Timoshenki). Poniższa tabea przedstawia ogóne warunki, na podstawie którch pomijam bądź uwzgędniam wpłw odpowiednich sił wewnętrznch na przemieszczenia. Tabea 1.1. Wpłw odpowiednich sił wewnętrznch na przemieszczenia w zaeżności od wmiarów łuku (h-wsokość przekroju, - rozpiętość łuku, - strzałka łuku) Łuki płaskie 1 5 Łuki wniosłe 1 5 jeżei jeżei jeżei jeżei jeżei h h 1 1 h 1 3 h 1 1 h 1 1 to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M, N, T to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M i N to uwzgędniam w obiczeniach wpłw M i N (wpłw N jest znacznie mniejsz) to uwzgędniam w obiczeniach tko wpłw M to uwzgędniam w obiczeniach M i T Warto zauważć, że pominięcie sił normanch podczas obiczania przemieszczeń w łukach płaskich ma dużo większ wpłw na ostateczn wnik niż w innch układach prętowch (błąd może nawet przekroczć 1 %) Opis matematczn łuków 1. Łuk paraboiczn: Równanie łuku paraboicznego ma następującą postać: = 4 (1.1) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
3 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 φ Zatem kąt nachenia stcznej do krzwej w danm punkcie jest równ: tg = '= d d = 4 =arctg[ 4 1 ] (1.). Łuk kołow: Równanie łuku kołowego ma następującą postać: = R R (1.3) Zatem kąt nachenia stcznej do krzwej w danm punkcie jest równ: tg = '= [ =arctg R R ] (1.4) φ R α α R R - Rs Zaeżności geometrczne w łuku kołowm Promień łuku znajdujem korzstając z twierdzenia Pitagorasa (rs. 1.1): Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
4 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4 R = R R= 8 (1.5) 1.4. Sposob całkowania unkcji sił wewnętrznch Całkując wkres w ceu wiczenia przemieszczeń w łukach, nie możem skorzstać z twierdzenia Mohra-Wereszczagina. Żaden z wkresów nie jest prostoiniow (obdwa są krzwoiniowe). Naeż więc dokonać całkowania w sposób tradcjn ub skorzstać ze sposobów ułatwiającch całkowanie. Poniżej podajem różne sposob radzenia sobie z tm probemem Metoda matematczna W ogónm przpadku, w prostokątnm układzie współrzędnch można dokonać zamian całki krzwoiniowej na iniową, stosując następujące matematczną zaeżność: ds= d (1.6) 1 ' Metoda numerczna Metod numerczne są szczegónie przdatne tam gdzie mam do cznienia z dość skompikowanmi krzwmi (warunkiem jest stał wmiar przekroju w obszarze całkowania). W takim przpadku musim najpierw dokonać następującego przekształcenia: d d =cos ds= ds cos (1.7) φ ds d A po podstawieniu tej zaeżności do wzoru na współcznniki równania kanonicznego (we wszstkich wstępuje całka z wrażenia będącego iocznem unkcji momentów) otrzmujem: M ip = P M i j=1 s ds= j=1 M P M i d cos = 1 j=1 q j d= 1 j (1.8) i=1 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
5 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 5 q() Ω gdzie Ω j oznacza poe wkresu pod krzwą q j() w granicach od do. metoda prostokątów - poe pod krzwą dzieim na prostokąt, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (jedna z mniej dokładnch metod), q 1 q q q() q n a a Ω 1 Ω Ω 3 a a a a a a a a a a a Ω n a a a a a a a a a a n = k =a 1 q q q... q 1 1 n 1 n q (1.9) k=1 metoda trapezów - poe pod krzwą dzieim na trapez, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (jedna z dokładniejszch metod), n 1 = k= n q k =a k q k 1 k= (1.1) metoda parabo (Simpsona) - poe pod krzwą dzieim na prostokąt i paraboe, a następnie dokonujem zsumowania ich pó (najdokładniejsza metoda). Warto zaznaczć, że paraboe budujem na trzech koejnch punktach datego podział odcinka musi bć parzst (=an, n=k, k=1,,...). n = k=1 k = a 3 q 4 q 1 q 4 q 3... q n 4 q n 1 q n (1.11) Warto zaznaczć, że we wszstkich powższch metodach całkowania numercznego, czm gęstsz jest podział obszaru całkowania tm uzskane wniki są dokładniejsze (szczegónie gęst podział zaecan jest gd mam do cznienia z łukami wniosłmi). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
6 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI Metoda akademicka Metoda ta poega na założeniu, że łuk ma zmienn przekrój. Zmiana przekroju odbwa się tak, że moment bezwładności zaeżn jest od cosinusa kąta pochenia stcznej: J = J cos (1.1) gdzie: J o - to tzw. moment porównawcz któr znajduje się w kuczu łuku (da =, cos =1, stąd J =J ). Po wprowadzeniu tej sztucznej zaeżności całki w wieu przpadkach można w prost sposób obiczć anaitcznie: M ip = P M i i=1 s ds= i=1 M P M i E J cos d cos = 1 E J i=1 M P M i d (1.13) Zamiana współrzędnch prostokątnch na biegunowe (dotcz włącznie łuków kołowch) Zaeżności prz zamianie współrzędnch prostokątnch na biegunowe wnikają z geometrii układu: sin = R =R sin cos = R =R R cos =R 1 cos R ds =d ds=r d R (1.14) φ R (,) R - R dφ R ds φ R P(,) P(r,φ) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
7 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 7 Po podstawieniu tch zaeżności do wzoru na współcznniki równania kanonicznego otrzmujem proste całki z unkcji trgonometrcznch: M ip = P M i i=1 s ds= i=1 M P M i R d (1.15) Warto zauważć, że granice w całce ustaone został od φ do φ, ponieważ pomiędz tmi skrajnmi wiekościami może zmieniać się kąt φ (w szczegónch przpadkach np. gd mam do cznienia z połówką ub ćwiartką okręgu kąt φ zmieniać się będzie odpowiednio od do π i od do π/). - -φ Sφ R Wartość kąta φ obiczam z następującej zaeżności: sin = R =arc sin [ (1.16) R] Zadanie 1 Znaeźć inie wpłwowe wiekości statcznch łuku paraboicznego, dwuprzegubowego, statcznie niewznaczanego, przedstawionego poniżej: φ,a Zakładam, że mam do cznienia z łukiem płaskim 1 5, w którm h 1, zatem w obiczeniach (we 1 współcznnikach równań kanonicznch metod sił) pominiem wpłw sił tnącej na przemieszczenia. Łuk posiada stopień statcznej niewznaczaności równ jeden, zatem układ podstawow będzie mógł wgądać następująco: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
8 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 8 P=1 X 1 =1 Równanie kanoniczne w tm przpadku ma postać: 11 X 1 1 P = (1.17) Z niego wznaczam wartość nadiczbowej reakcji X 1 = 1 P 11 (1.18) gdzie Δ 1P to przemieszczenie po kierunku sił X 1 wwołane siłą P, a δ 11 przemieszczenie wwołane działaniem sił X 1=1. Korzstając z równania (1.1) oraz z zaeżności trgonometrcznch możem wznaczć i narsować wkres sił M i N da układu podstawowego prz X 1=1. Zaeżności pomocne prz wznaczeniu wkresów sił wewnętrznch dotczą kąta pochenia stcznej: tg = d d = 4 1 cos = 1 tg sin =tg cos = tg 1 tg (1.19) T N φ M 1 sin φ 1 φ 1 cos φ Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
9 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI M 1 == 4 N 1 = - cos φ - + T 1 = - sin φ Prz obiczaniu przemieszczeń skorzstam z zaeżności (1.1) i zmodikujem parametr przekroju. 11 = M 1 E J cos d cos N 1 E A cos d cos Po skróceniu i podstawieniu wzorów na unkcje wkresów sił M 1 i N 1 mam: 11 = 16 4 E J cos d d= 8 [1 ] E A 15 E J (1.) gdzie = 15 8 J A oraz i promień bezwładności, { 1 gd cos =1 = arc tg 4 J A =i Wpłw sił normanej na przemieszczenia łuku iustruje poniższa tabeka. Tabea 1.. Wpłw sił normanej na przemieszczenia η[%] (dane da =1 m) I3 I5 1, m h =,3 h =,5 h =,1 1,,1,66 7, 15,63 1,5,15 1,18 3, 6,94,,,66 1,8 3,91 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
10 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1 Z anaiz tabei (1.) można stwierdzić, iż wpłw sił normanej będzie większ gd strzałka łuku będzie maeć ub gd wsokość przekroju będzie wzrastać. Następnie obiczam współcznnik Δ 1P: Korzstając z twierdzenia Mawea możem zapisać: Δ1P= ΔP1 Δ1P - przemieszczenie po kierunku sił X1 wwołane działaniem sił P, Δ P1 - przemieszczenie pionowe punktu pod siłą P wwołane działaniem sił X 1 (inia ugięcia łuku wwołana przez działanie X1=1) P=1 Δ 1P Δ P1 X 1 =1 Wprowadzam nową zmienną a. P=1 A B R A = 1 1 R B = 1 a M P= 1 R A a Korzstam z zasad prac wirtuanch w ceu wznaczenia przemieszczenia δ P1 (w obiczeniach pominiem wpłw sił normanej): 1 P1 = s M 1 M ds s N 1 N ds (1.1) EA Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
11 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 11 Do daszch obiczeń skorzstam z zaeżności geometrcznch: J =J = J cos ds= d cos Moment w stanie X1 opiszem jedną unkcją M 1 a = = 4 a a A w stanie P dwoma unkcjami: M ={ a a R A a= 1 1 a R B a = 1 a Ponieważ jest współrzędną sił P=1 całkowanie trzeba wkonać według zmiennej od której zaeż wartość momentu zginającego w dowonm przekroju (podczas całkowania jest traktowane jako stała). Po podstawieniu powższch warunków mam: a a 1 a 4 a a da a da E J E J P1 = { }= 3 E J 3 { } 4 P1 = Wprowadzam współrzędną bezwmiarową = 4 3 = 3 = I otrzmujem unkcję: P1 = 3 E J [ 4 3 ]= 3 (1.) gdzie = 4 3 Wkorzstując zaeżności (1.18) i (1.) uzskujem równanie inii wpłwu: wx 1 = P1 11 = (1.3) 1 Możem zatem narsować inie wpłwu X1, inia ta jest smetrczna i ma postać krzwej. Jeżei da ułatwienia Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
12 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1 przjmiem, że 1, to będziem mogi pominąć wpłw sił normanej μ=. 5 α α P=1 X 1 =1 R A = 1 1 R B = 1 w X 1 [-] w M n w M w T [-] n w T [-] w N [-] n w N [-] Podobnie postępujem da wznaczenia inii wpłwu sił w przekroju α - α: da momentu wm n =wm o wx 1 M X 1 =1 (1.4) gdzie M X 1 =1 - wartość momentu zginającego w przekroju α - α od sił X 1=1. da sił poprzecznej wt n =wt o wx 1 T X 1 =1 (1.5) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
13 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 13 gdzie T X 1 =1 - wartość sił tnącej w przekroju α - α od sił X 1=1. da sił normanej wn n =wn o wx 1 N X 1 =1 (1.6) gdzie N X 1 =1 - wartość sił normanej w przekroju α - α od sił X1=1. Jak widać inie wpłwu w przekroju α - α też są krzwmi wższego stopnia. Zadanie Wznaczć i narsować wkres sił M, N i T w układzie niewznaczanm da łuku kołowego, przegubowego, o stałch parametrach przekroju J i A, przedstawionego poniżej: q [kn/m] R α α R Da powższego łuku stopień statcznej niewznaczaności wnosi dwa, zatem układ podstawow możem przjąć następując: q =1 [kn/m] q =1 [kn/m] X X X 1 X 1 Korzstając ze wzoru (1.5) możem wznaczć promień łuku - wnosi on R=7,5 (da =1, =3). Układ równań kanonicznch, któr zapewnia kinematczną zgodność ma postać: { 11 X 1 1 X 1 P = 1 X 1 X P = (1.7) W przjętm układzie podstawowm możem narsować wkres od sił X1=1 i X=1 odnosząc je do inii prostej (jest to odwzorowanie jedno-jednoznaczne w stosunku do wkresów odniesionch na krzwej łuku). Jak widać nasz łuk jest smetrczn możem zatem okreśić, które wartości przemieszczeń będą równe zeru: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
14 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI M M q q M p 1 = 1 P = (1.8) Nasze równania przjmą zatem postać: { 11 X 1 = X P = (1.9) Wkres momentów zginającch mają postać unkcji w układzie prostokątnm, zamieniając współrzędne prostokątne na współrzędne biegunowe korzstam z zaeżności (1.14), taka zamiana ułatwia obiczenia potrzebnch nam przemieszczeń. w stanie X 1 =1 w stanie X =1 w stanie P X 1 =1 X =1 q -q M p = M 1 = M = - M 1 ==R sin M = = R R cos =R cos 1 M o P = q = qr sin (1.3) Z pierwszego równania kanonicznego (1.9) wnika, że nie musim iczć przemieszczenia δ 11 Przstępujem zatem do wiczenia pozostałch przemieszczeń: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
15 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 15 = s M 1 ds= 1 R3 R cos 1 Rd = sin 4 sin P = s M P M ds= 1 1 qr3 sin cos 1 Rd P = 1 1 qr4 sin3 3 sin 3 (1.31) (1.3) Mając dane powższe przemieszczenia możem obiczć wartość sił X (X1=): X = P (1.33) oraz narsować wkres sił wewnętrznch w układzie statcznie niewznaczanm: q - - M P n - + T P n - N P n Zadanie 3 Znaeźć inie wpłwowe wiekości statcznch łuku paraboicznego, bezprzegubowego, statcznie niewznaczanego, o zmiennm przekroju, przedstawionego poniżej. P=1 α α Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
16 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 16 Dane zadanie rozwiążem za pomocą bieguna sprężstego (sił nadiczbowe będą przłożone na wspornikach o sztwności dążącej do nieskończoności). Łuk posiada SSN=3, zatem układ podstawow będzie mógł wgądać następująco: e - e X X X 1 X 1 e X 3 X 3 Układ równań kanonicznch zapewnia kinematczną zgodność układu podstawowego. Wzajemne przemieszczenia odciętch przekroi muszą bć równe zero: { 1= 11 X 1 1 X 13 X 3 1 P= = 1 X 1 X 3 X 3 P = 3 = 31 X 1 3 X 33 X 3 3 P = (1.34) Mając dan układ podstawow możem narsować wkres od sił X 1=1, X =1 i X 3=1 odnosząc je do inii prostej (jest to odwzorowanie jedno-jednoznaczne w stosunku do wkresów odniesionch na krzwej łuku). Ponieważ łuk ma smetrczną budowę a obciążenia dają smetrczne ub antsmetrczne unkcje możem okreśić, które wartości przemieszczeń będą równe zeru: e - e - e e e M 1 = + e M = 1 M 3 =- Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
17 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI = 31 = 3 = 3 = (1.35) Jeżei przekrój łuku zmienia się tak, że ds = d (1.36) to 1 = 1 = s M 1 M ds= 1 1 = 1 e 1 d= = e 1 d= (1.37) 4 e 1 d= e d= d e d= 4 d e = 3 4 e = 3 Zatem po przekształceniach widać, że: 1 = 1 = e= 3 Biorąc pod uwagę powższe dane układ równań kanonicznch będzie wgądał następująco: { 11 X 1 1 P= X P = 33 X 3 3 P = (1.38) Przekształcając równania możem wznaczć szukane sił jako zmienne niezaeżne: 1 P {X 1= 11 X = P X 3 = 3 P 33 (1.39) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
18 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 18 Najpierw obiczam anaitcznie przemieszczenia znajdujące się w mianownikach. Przjmując (na podstawie wcześniejszch obiczeń) e= 3 otrzmujem: oraz unkcje momentów jednostkowch M 1 = 3 = = 1 [ 4 3 ] d= = 1 33 = 1 1 d= 1 d= (1.4) Następnie iczm przemieszczenia w icznikach (skorzstam jak w przkładzie 1 z twierdzenia Mawea oraz wkorzstam smetrię zadania rozwiązując połowę łuku). W ceu ułatwienia obiczeń wprowadzim dodatkową zmienną a, która okreśa położenie sił P=1. Podczas całkowania a jest traktowane jako stała, zmienną jest. Wznaczm unkcję momentu od obciążenia M, która także zaeż od położenia sił P=1 (współrzędnej a). a P=1 -a - M = { a a a (1.41) 1 P = P1 = M 1 M a 4 d= P1 = a a a3 1 d a a (1.4) d Po wprowadzaniu zmiennch bezwmiarowch (teraz a jest traktowane jako zmienna) a = mam: P1 = 3 1 (1.43) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
19 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 19 Podobnie postępujem prz pozostałch przemieszczeniach: P = P = M M a d= 1 a d a 1 d P = 1 a = 1 (1.44) 3 P = P3 = M 3 M a d= a d a P3 = 1 a3 6 a 4 = d (1.45) Teraz możem wiczć szukane wartości sił będące jednocześnie iniami wpłwowmi w przedziae,5 =. {X 1= X = X 3 = 3 (1.46) W ceu wznaczenia inii wpłwowch w całm łuku naeż skorzstać z smetrii układu i odwzorować rozwiązanie na przedział,5 : P=1 - w X 1 + w X w X 3 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
20 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI Zadanie 4 Da przedstawionego łuku wznaczć sił wewnętrzne i narsować ich wkres od podanego obciążenia 6 kn/m 4,5,5 6 6 Łuk ma kształt paraboi, której unkcje znajdujem ze wzoru: = 4 Po podstawieniu wmiarów otrzmujm równanie krzwizn, Oraz unkcję stcznej w dowonm punkcie: =5 m =1 m = = tg = d d = Przjmujem następujące przekroje prętów: - da łuku dwuteownik I3 J = 98 cm 4 = m 4 ; t =,3 m - da ściągu przekrój kołow o średnic d = 4 cm A = 1,57 cm = 1, m A 1 4 =1,57 J 98 1 [ =1, m ] EA=1,83 Obiczam długość ściągu (poszukujem współrzędnej, da której =,5): Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
21 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 1,5 = =,31 =11,69 s = 1 =11,69,31 =11,38 Ab okreśić sposób iczenia współcznników ik trzeba sprawdzić cz łuk jest kręp, cz wniosł. Ponieważ: = t =,4 1 = nie uwzgędniam w obiczeniach wpłwu sił normanch nie uwzgędniam w obiczeniach wpłwu sił tnącch Zadan łuk jest dwa raz statcznie niewznaczan (SSN = ) raz wewnętrznie i raz zewnętrznie. Pierwszm etapem rozwiązania zadania metodą sił jest przjęcie układu podstawowego 6 kn/m 4,5,5 A X 1 X 1 B C X 6 6 Warunkiem kinematcznej zgodności przjętego układu podstawowego z układem wjściowm jest zerowe zbiżenie punktów A i B i zerowe przemieszczenie pionowe punktu C. AB = v c = (1.47) Równania kanoniczne przjmują postać: AB = X 1 11 X 1 1 P = v c = X 1 1 X P = (1.48) Współcznniki macierz podatności naeż wznaczć całkując odpowiednie unkcje momentów po krzwiźnie łuku: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
22 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI ik = S M i M k ds (1.49) Oraz mnożąc odpowiednie unkcje sił normanch w ściągu: ik = N i N k EA d (1.5) W przpadku ściągu siła normana jest stała na całej długości, tak więc całkę możem zastąpić iocznem: ik = N i N k EA s (1.51) Natomiast całkowanie po krzwiźnie łuku zastąpim całkowaniem po współrzędnej. Na podstawie związków geometrcznch: ds d φ d można zapisać: d d =cos ds= ds cos Ostatecznie przemieszczenia obiczam ze wzoru: ik = M i M k cos d N i N k EA s (1.5) Następnie wkonujem wkres momentów od sił jednostkowch przłożonch koejno w miejsca niewiadomch X 1 i X, oraz od obciążenia zewnętrznego. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
23 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 Stan od obciążenia X1=1 4,5,5,31 X 1 = 1 X 1 = 1 A B 5,69 5,69,31 4,5 M 1 = 1 ( -,5) M 1 Stan od obciążenia X = 4,5,5 A B O O C X = M M = 1 1 Stan od obciążenia P Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
24 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 4 6 kn/m 4,5,5 A O O B C M P = 36 ( - 3) 18 M P = 3 M P [knm] Całki w łuku obiczane będą metodą Simpsona, w której unkcja jest przbiżana odcinkami paraboi drugiego stopnia. W metodzie tej wartość całki z unkcji () w przedziae (a;b) jest równa sumie: b a = n 4 n 1 n (1.53) gdzie: Δ długość odcinków, na które dziei się przedziae (a;b), =n (n musi bć parzste),, 1,..., n wartości unkcji na końcach przedziałów Δ. W naszm przpadku unkcją podcałkową jest wrażenie: = M i M k cos (1.54) Przjmujem: Δ = 1m. Da gęstszego podziału (większe n) dokładność obiczeń jest większa. Da ułatwienia obiczeń wniki umieszczam w tabei (1.1) Tabea 1.1. Zestawienie obiczeń da wznaczenia ij M X Y tg cos w M 1 M M P wm 1 M 1 cos wm M cos wm 1 M cos wm 1 M P cos wm M P cos, 1,6667,5145 1,,,,,,,, 1 1,53 1,3889, ,3 1, -3, 7,6 6,84-7,4 1,1 -,5,78 1,1111,669 -,8, -1, 15,54 11,96-13,6 81,7-71,76 3 3,75,8333, ,5 3, -7, 54,99 46,88-5,76 456,88-41,76 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
25 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 5 X Y tg cos w M 1 M M P wm 1 M 1 cos wm M cos wm 1 M cos wm 1 M P cos wm M P cos 4 4,44,5556,874-3,94 4, -48, 35,51 36,6-36,1 433,18-439,8 5 4,86,778, ,36 5, -75, 78,9 13,8-9,5 1357, ,8 6 5,, 1, -4,5 6, -18, 4,5 7, -54, 97, 196, 7 4,86 -,778, ,36 7, -144, 78,9 3,44-16,7 67,1-4184,68 8 4,44 -,5556,874-3,94 8, -18, 35,51 146,4-7, 164,4-394,6 9 3,75 -,8333, ,5 9, -16, 54,99 41,76-15,8 3655, -11,8 1,78-1,1111,669 -,8 1, -5, 15,54 98,96 68,1 1716,8-7534, 11 1,53-1,3889, ,3 11, -88, 7,6 88,3-77,4 6,3-1687,3 1, -1,6667,5145 1, 1, -34,, 79,89,, -7556,91 suma: 44,94 456,85-748, , ,4 11 M = ,94 ; 1 M = ,77 ; 1 M = 3 456,85 11 M = 141,96 1 ; 1 M = 49,59 ; 11 M = 818,95 ; Musim obiczć jeszcze ij N. Wpłw sił w ściągu (któr traktujem jako pręt kratownic) na przemieszczenia. Rachunki i wniki umieszczone są poniżej. 11 N = N N 1 1 EA 1 11,38 s =1 11,38 = EA 1,83 =,887 1 N = N 1 N EA s = N = N N EA s = 1 P N = N 1 N P EA s = P N = N N P EA s = Ab obiczć ij uwzgędniając sił w łuku i ściągu, naeż zsumować ij N oraz ij M : 11 = M M 1 1 cos d N N 1 1 EA = 141,696 s,887 = 14,583 1 = M 1 M cos d N N 1 EA s = 49,59 = 49,59 = M M cos d N N EA = 818,95 s = 818,95 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
26 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 6 1 P = M M 1 P cos d N N 1 P EA = 4983,977 s = 4983,977 P = M M P cos d N N P EA s = 19395,4 = 19395,4 Obiczone przemieszczenia wstawiam do układu równań kanonicznch { X 1 14,583 X 49, ,977 = X 1 49,59 X 818, ,4 = i wznaczam wartości sił: { X 1 =13,938 [kn ] X =7,931 [kn ] Po otrzmaniu wartości niewiadomch X 1 i X można dokonać anaiz końcowej zadania, czi stworzć wkres rzeczwistch sił wewnętrznch w układzie podstawowm, obciążonm zewnętrznie oraz przez sił X 1 i X. Układ podstawow obciążon zewnętrznie oraz przez sił X 1 i X wgąda następująco 6 kn/m 4,5,5 13,938 kn 13,938 kn A B 6 6 7,931 kn C Wartości poszczegónch momentów zginającch da stanu statcznie niewznaczanego można też obiczć z zasad superpozcji: M P n =M P X 1 M 1 X M (1.55) Ponownie posłużm się tabeą, obiczam wartości momentu zginającego według wzoru (1.53) w każdm punkcie. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
27 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 7 Tabea 1.. Zestawienie obiczeń da wznaczenia M ij (n) X Y tg cos M 1 M M P [knm],, 1,6667,5145,,,,31,5 1,586,5347,,31 -,3 1, 1,53 1,3889,5843-1,3 1, -3,,,78 1,1111,669 -,8, -1, 3, 3,75,8333,768-3,5 3, -7, 4, 4,44,5556,874-3,94 4, -48, 5, 4,86,778,9635-4,36 5, -75, 6, 5,, 1, -4,5 6, -18, 7, 4,86 -,778,9635-4,36 7, -144, 8, 4,44 -,5556,874-3,94 8, -18, 9, 3,75 -,8333,768-3,5 9, -16, 1,,78-1,1111,669 -,8 1, -5, 11, 1,53-1,3889,5843-1,3 11, -88, 11,69,5-1,586,5347, 11,69-31,8 1,, -1,6667,5145, 1, -34, X 1 [kn ] X [kn ] 13,94 7,93 M n [knm] 8,3 1,61 1,11 11,49 8,75 3,87-3,13-9,7-11,53-9,9-4,44 4,9 13,63 11,17 Korzstając z wartości zawartch w tabei (1.) możem narsować wkres momentów zginającch da łuku w stanie statcznie niewznaczanm M P (n) [knm] 9,9 11,53 9,7 3,13 4,5,5,31 4,44 4,9 13,63 11,71 3,87 8,75 11,49 1,11 1,61 8,3 5,69 5,69,31 Sprawdzenie kinematczne: W ceu wkonania sprawdzenia kinematcznego posłużm się wzorem redukcjnm: 1 = M n P M cos d N P EA n N s (1.56) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
28 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 8 Ab dokonać sprawdzenia musim poiczć znane przemieszczenia w innm układzie podstawowm. Obiczm kąt obrotu przekroju w punkcie D. W tm ceu przkładam tam jednostkow moment wirtuan. W rzeczwistości jest tam utwierdzenie, tak więc wszstkie przemieszczenia są równe zero. 4,5,5 D A B C Po obiczeniu wartości reakcji możem narsować wkres momentów zginającch od jednostkowego momentu działającego w punkcie D 4,5,5 D 1 1 M () [ - ] 1 A B O O C M () = 1 Obiczenia umieszczono w tabei: Tabea 1.3. Zestawienie wartości da sprawdzenia kinematcznego X Y tg cos w M P n [knm] M [ ] wm P n M, 1,6667,5145 1,,, 1 1,53 1,3889, ,61,8 6,4 cos Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
29 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 9 X Y tg cos w M P n [knm] M [ ] wm P n M,78 1,1111,669 1,11,17 6,4 3 3,75,8333, ,49,5 14,96 4 4,44,5556,874 8,75,33 6,68 5 4,86,778, ,87,4 6,68 6 5,, 1, -3,13,5-3,14 7 4,86 -,778, ,7,58 -,44 8 4,44 -,5556,874-11,53,67-17,58 9 3,75 -,8333, ,9,75-38,7 1,78-1,1111,669-4,44,83-11,6 11 1,53-1,3889, ,9,9 3,84 1, -1,6667, ,17 1, 1,71 Zgodnie ze wzorem (1.51) mam: D M = 1 3,18 D M =,6 1 cos suma:,18 Pracę sił w ściągu obiczam ze wzoru: D M = N n N 13,938 EA s = 11,38= (1.57) 1,83 Biorąc pod uwagę wartości przemieszczenia poiczone od prac sił w łuku i ściągu otrzmujem: 1 D =,6 =,6 Sprawdźm jeszcze iu procentow błąd popełniiśm. W tm ceu zsumujem iczb z ostatniej koumn tabei (1.3) przjmując ich bezwzgędne wartości. M P n M cos =1,71,6 1,71 1 %=,8 % Okazuje się, że zmieściiśm się w umownej granic dopuszczanej jednego procenta. Na tm etapie możem wznaczć już rozkład sił tnącch i normanch w zadanm łuku. Da ułatwienia wkonam rsunki i obiczenia pomocnicze: da przedziału ;,31 da prawej stron: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
30 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 6 kn/m N φ T 7,887 kn Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od zmiennej : N = 7,931 sin 6 sin T = 7,931 cos 6 cos da przedziału,31 ;6 da prawej stron: 6 kn/m N φ T 13,794 kn B 7,887 kn C Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : N = 7,931 sin 13,938 cos 6 sin T = 7,931 cos 13,938 sin 6 cos da przedziału 6 ;11,69 da prawej stron: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
31 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 31 6 kn/m φ N T 13,794 kn B 7,887 kn C Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : N =7,931 sin 13,938 cos 6 6 sin T = 7,931 cos 13,938 sin 6 6 cos da przedziału 11,69 ;1 da prawej stron: 6 kn/m T 13,794 kn 13,794 kn A B N φ Wznaczenie unkcji sił normanej i tnącej od : 7,887 kn C Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
32 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 3 N =7,931 sin 6 6 sin T = 7,931 cos 6 6 cos Podobnie jak poprzednio da uproszczenia rachunków obiczenia zestawiono w tabei. Tabea 1.4. Zestawienie obiczeń da okreśenia wartości N P (n) i T P (n) X Y tg cos sin N P n [kn ] T P n [kn ],, 1,6667,5145,8575-3,951-14,37,31,5 1,586,5347,8451 -,3-13,939,31,5 1,586,5347,8451-9,484 -,161 1, 1,53 1,3889,5843,8115-5,94-1,53,,78 1,1111,669,7433-1,165 -,97 3, 3,75,8363,768,64-17,65 1,94 4, 4,44,5556,874, ,93 3,333 5, 4,86,778,9635,676-1,876 5,74 6, 5,, 1,, -13,938 8,69 7, 4,86 -,778,9635,676-15,589 4,44 8, 4,44 -,5556,874, ,13,85 9, 3,75 -,8333,768,64-15,873 -,74 1,,78-1,1111,669, ,3-4,96 11, 1,53-1,3889,5843, ,69-6,596 11,69,5-1,586,5347, ,71-7,464 11,69,5-1,586,5347,8451-6,819 4,314 1,, -1,6667,5145,8575-6,919 4,151 Pozostało jeszcze narsowanie wkresów sił wewnętrznch w układzie statcznie niewznaczanm. M P (n) [knm] 9,9 11,53 9,7 3,13 4,5,5,31 4,44 4,9 13,63 11,71 3,87 8,75 11,49 1,11 1,61 8,3 5,69 5,69,31 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
33 Część 1 1. METODA SIŁ - ŁUKI 33 4,5,5 T P (n) [kn] 4,31 + 4,15,31 4,96 + 4,4,8 +, ,6-7,46 8, ,7 + 3,33 + 1,9 -,3-13,94-14,37-1,5 _ -,16 5,69 5,69,31 _ 4,5,5 N P (n) [kn] _ -1,88 _ -13,49-14,9-15,87-15,59-16,1-17,7-15,3 _ 13,938-1,17 _ + -14,69-5,94-6,8-14,7 _ -9,48 -, -6,9-3,95,31 5,69 5,69,31 Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przbska P., Ssak A., Wdowska A. AmaMater
Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 a Wyznaczanie siły krytycznej pręta o przekroju prostokątnym posiadającego krzywiznę początkową.
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grua nr: Ocena:
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7
ozwiązwanie ram płaskich wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 7 Obciążenie ram płaskiej, podobnie jak w przpadku beek rozdział 6, mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowo[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bardziej szczegółowoMES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH
MES W ANAIZIE SPRĘŻYSEJ KŁADÓW PRĘOWYCH Przkład obliczeń Kratownice płaskie idia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice r. - idia Fedorowicz Jan Fedorowicz Magdalena Mrozek Dawid
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 b
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:
Bardziej szczegółowo) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.
rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 1
kademia Górniczo Hutnicza Wdział nżnierii echanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia ateriałów i Konstrukcji azwisko i mię: azwisko i mię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena: Podpis:
Bardziej szczegółowoZad.1 Zad. Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych N, T, M, korzystając z komputerowej wersji metody przemieszczeń. schemat konstrukcji:
Zad. Wznaczć rozkład sił wewnętrznch N, T, M, korzstając z komputerowej wersji metod przemieszczeń. schemat konstrukcji: ϕ 4, kn 4, 4, macierz transformacji (pręt nr): α = - ϕ = -, () 5 () () E=5GPa; I
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 8 i 9. Zginanie poprzeczne z wykładową częścią
ĆWICZENIE 8 i 9 Zginanie poprzeczne z wkładową częścią z z QzS J b z Dskusja wzoru na naprężenia stczne. Uśrednione naprężenie stczne, J bz Qz x S z jest funkcją dwóch zmiennch: x- położenia przekroju
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.2. Belka złożona. Obciążenie poprzeczne rozłożone, trapezowe.
rzkład 7.. Beka złożona. Obciążenie orzeczne rozłożone, traezowe. a oniższej beki zaisać funkcje sił rzekrojowch i sorządzić ich wkres. α Rozwiązanie Oznaczam unkt charakterstczne, składowe reakcji i rzjmujem
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA
Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet
Bardziej szczegółowoZginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8
Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8 Na rs. 8.1 przedstawiono belkę obciążoną momentami zinającmi w płaszczźnie x. oment nąceo dla tak obciążonej
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoZginanie ze ściskaniem
Zginanie ze ściskaniem sformułoanie probemu przkład roziązań przkład obiczenioe Sformułoanie probemu W probemach tego tpu nie można stosoać zasad zesztnienia - konstrukcję naeż rozpatrać konfiguracji odkształconej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoBadania zginanych belek
Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoMetoda pasm skończonych płyty dwuprzęsłowe
etoda pasm skończonch płt dwuprzęsłowe Dla płt przedstawionej na rsunku należ: 1. Dla obciążenia ciężarem własnm q oraz obciążeniami p 1 i p obliczć ugięcia w punktach A i B oraz moment, i w punktach A,B
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoNależy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,
Część 2 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 1 14. 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)
IMIE I NAZWISKO EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: MIN. SUMA PUNKTÓW: 5 ZADANIE ( PKT) Dziedzina funkcji f (x) = x jest zbiór x 2 +x 6 A) R \ {, 2} B) (, 2) C) (, ) (2, + ) D) (, 2) (, + ) ZADANIE 2 ( PKT) W pewnej
Bardziej szczegółowo( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją
..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych,
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoZADANIA - POWTÓRKA
Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5. 5. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie W ramie przedstawionej na rys 5. obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie K oraz obrót cięciwy RS. W obliczeniach można pominąć wpływ sił normalnych
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.
Bardziej szczegółowoP R O J E K T N R 1 WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Zawiera: Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie
atedra Wtrzmałości Materiałów Rok akad. 005/06 Wdział Inżnierii Lądowej emestr zimow Politechniki rakowskiej P R O J E T N R 1 Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Zawiera: Wznaczenie wmiarów przekroju poprzecznego
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych - Mechanika Stosowana. y P 1. Śr 1 (x 1,y 1 ) P 2
POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Sstemów Technicznch Płaska geometria mas c c 3c Dla zadanego pola przekroju wznaczć: - połoŝenie środka cięŝkości S( s, s ) - moment
Bardziej szczegółowo1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ
.. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ od płem obciążenia prostolinioa oś podłużna belki staje się krzolinioa. Zakrzioną oś belki nazam linią ugięcia (osią ugiętą), przemieszczenie pionoe ( x) tej osi nazam
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowo( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoCzęść 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie
Część. ETOA CROSSA 1.. ETOA CROSSA.1. Wprowadzenie etoda Crossa pozwaa w łatwy sposób okreśić wartości sił wewnętrznych w układach niewyznaczanych, jednak dokładność obiczeń zaeży od iczby przeprowadzonych
Bardziej szczegółowo2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowoStosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy
Zadania do rozdziału 6 Zad.6.. Wprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematcznego. Obicz okres wahadła matematcznego o długości =0 m. Wahadło matematczne jest to punkt materian (np. w postaci kuki K
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowoLiczby, działania i procenty. Potęgi I pierwiastki
Zakres materiału obowiązując do egzaminu poprawkowego z matematki klasa technikum str Dział programow Liczb, działania i procent Potęgi I pierwiastki Zbior i przedział liczbowe Wrażenia algebraiczne Równania
Bardziej szczegółowoStan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:
Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane
Bardziej szczegółowoImperfekcje globalne i lokalne
Imperfekcje globalne i lokalne Prz obliczaniu nośności i stateczności konstrukcji stalowch szczególnego znaczenia nabiera konieczność uwzględniania warunków wkonania, transportu i montażu elementów konstrukcjnch.
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoFINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +
FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest
Bardziej szczegółowo1.3. Dane materiałowe wartości charakterystyczne (PN-B-03150:2000, Załącznik normatywny Z-2.2.3) f m.k = 30 MPa - wytrzymałość na zginanie
I. OBLICZENIA WIĘŹBY DACHOWEJ wg PN-B-050:000. ZałoŜenia o obiczeń.. Schemat geometrczn więźb achowej Więźba achowa płatwiowo-keszczowa... Dane ogóne Lokaizacja bunku - Biłgoraj Strefa obciąŝenia śniegiem
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoMES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?
MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm
Bardziej szczegółowoKATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Komputerowe Laboratorium Mechaniki 2M135 / 2M31. L a bora t o rium n r 6 TEMAT:
KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Komputerowe Laboratorium Mechaniki 2M135 / 2M31 Zawartość: OPRACOWANIE TEORETYCZNE L a bora t o rium n r 6 M e c haniki T echnicznej TEMAT: Modelowanie i
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
D o u ż t k u w e w n ę t r z n e g o Katedra Inżnierii i Aparatur Przemsłu Spożwczego LMNTY MCHANIKI TCHNICZNJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATRIAŁÓW Ćwiczenia projektowe Opracowanie: Maciej Kabziński Kraków,
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n
MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP
ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP. Podstawowe związki (równania równowagi, liniowe i nieliniowe związki geometrczne, związki fizczne, warunki brzegowe) w zapisie wskaźnikowm
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 10.
Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia
LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch
Bardziej szczegółowoCzęść 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BŁĘDY MONTAŻU W RÓWNANIU b a = b c. a= bd b c. t g h. t d. h g = 1 2. = t g t d 2
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 5. 5. TEMPERTUR, SIDNI PDPÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU PRCY WIRTULNEJ 5.1. Wpływ temperatury Działanie temperatury ma istotny wpływ na odkształcanie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo2. Wstęp do analizy wektorowej
2. Wstęp do analiz wektorowej 2.1. Pojęcia podstawowe Wielkości wektorowe (1) Wektorem (P) w punkcie P trójwmiarowej przestrzeni euklidesowej nazwam uporządkowan zbiór trzech liczb (skalarów, składowch
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MAJA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 ( 4) 2 8 4 jest
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE METALOWE II
1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wdział Budownictwa, Architektur i Inżnierii Środowiska Insttut Konstrukcji Budowlanch dr inż. Jacek Tasarek KONSTRUKCJE METALOWE II POZNAŃ, 004 1.ELEMENTY ZGINANE - BELKI 1.1.Wiadomości
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoObliczanie naprężeń stycznych wywołanych momentem skręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, prostokątnym 7
Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, protokątnym 7 Wprowadzenie Do obiczenia naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowo