Jak matematyka pomaga w wyszukiwanie wzorca
|
|
|
- Witold Bednarek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Jak matematyka pomaga w wyszukiwanie wzorca Artur Jeż 28 września 2011 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
2 Wiek nauki Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
3 Wiek nauki projekty nuklearne rozwój fizyki Internet digitalizacja danych poznanie genomu rozwój lotnictwa kryptografia Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
4 Wiek nauki projekty nuklearne rozwój fizyki Internet digitalizacja danych poznanie genomu rozwój lotnictwa kryptografia kryzys finansowy 2007? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
5 Wiek nauki projekty nuklearne rozwój fizyki Internet digitalizacja danych poznanie genomu rozwój lotnictwa kryptografia kryzys finansowy 2007? We wszystkich matematyka i informatyka by ly obecne. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
6 Wiek nauki projekty nuklearne rozwój fizyki Internet digitalizacja danych poznanie genomu rozwój lotnictwa kryptografia kryzys finansowy 2007? We wszystkich matematyka i informatyka by ly obecne. jako podstawa lub ważne narz edzie w wi ekszości egalitarne Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
7 A Wy? Cz eść z Was pozostanie w nauce może b edziecie uczestniczyć w równie wielkim przedsi ewzi eciu! Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
8 A Wy? Cz eść z Was pozostanie w nauce może b edziecie uczestniczyć w równie wielkim przedsi ewzi eciu! Wiekszość chce po studiach mieć interesujac a i dobrze p latna prace Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
9 A Wy? Cz eść z Was pozostanie w nauce może b edziecie uczestniczyć w równie wielkim przedsi ewzi eciu! Wiekszość chce po studiach mieć interesujac a i dobrze p latna prace Badźmy szczerzy, pewnie niewiele osób bedzie uczestniczyć w czymś wielkim Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
10 A Wy? Cz eść z Was pozostanie w nauce może b edziecie uczestniczyć w równie wielkim przedsi ewzi eciu! Wiekszość chce po studiach mieć interesujac a i dobrze p latna prace Badźmy szczerzy, pewnie niewiele osób bedzie uczestniczyć w czymś wielkim Zmiany i zastosowania sa wszechobecne. Każdy może sie z nimi zetknać. Nawet w rzeczach pozornie prostych jest naprawde dużo nauki. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
11 Przyk lad: wyszukiwanie wzorca Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
12 Przyk lad: wyszukiwanie wzorca Czy zastanawialiście si e kiedyś co tak naprawd e dzieje si e po naciśni eciu Ctrl+F w Waszym ulubionym edytorze tekstu? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
13 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
14 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
15 Wyszukiwanie wzorca Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
16 Wyszukiwanie wzorca Zanim rozwiażemy, wypada loby dok ladnie zdefiniować. Wyszukiwanie wzorca Dane: tekst t[1.. n] i wzorzec p[1.. m]. Wynik: Czy wzorzec wyst epuje w tekście? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
17 Wyszukiwanie wzorca Zanim rozwiażemy, wypada loby dok ladnie zdefiniować. Wyszukiwanie wzorca Dane: tekst t[1.. n] i wzorzec p[1.. m]. Wynik: Czy wzorzec wyst epuje w tekście? Pozycja pierwszego wystapienia Pozycje wystapień. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
18 Pierwszy pomys l przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu; sprawdzamy litera po literze, czy si e zgadza. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
19 Pierwszy pomys l (niekoniecznie najlepszy) przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu; sprawdzamy litera po literze, czy si e zgadza. Może si e zdarzyć, że dla każdego przy lożenia sprawdzamy wi ekszość liter. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
20 Pierwszy pomys l (niekoniecznie najlepszy) przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu; sprawdzamy litera po literze, czy si e zgadza. Może si e zdarzyć, że dla każdego przy lożenia sprawdzamy wi ekszość liter. przy lożeń: n m + 1 sprawdzań: m/c Czas dzia lania takiego algorytmu: Θ(nm). Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
21 Pierwszy pomys l (niekoniecznie najlepszy) przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu; sprawdzamy litera po literze, czy si e zgadza. Może si e zdarzyć, że dla każdego przy lożenia sprawdzamy wi ekszość liter. przy lożeń: n m + 1 sprawdzań: m/c Czas dzia lania takiego algorytmu: Θ(nm). Jeśli n = 10 8 i m = 10 4, chwil e nam to zajmie*... * 1 chwila = 60 mgnień oka = 17 minut Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
22 Drugi pomys l Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
23 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaabaaaaa Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
24 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? Myślmy o wzorcu jako o liczbie. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaabaaaaa Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
25 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? Myślmy o wzorcu jako o liczbie Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
26 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? Myślmy o wzorcu jako o liczbie Chcemy sprawdzić czy zielona liczba jest taka sama jak czerwona. Obydwie moga być bardzo d lugie! Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
27 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? Myślmy o wzorcu jako o liczbie Chcemy sprawdzić czy zielona liczba jest taka sama jak czerwona. Obydwie moga być bardzo d lugie! Sprawdzimy, czy daja takie same reszty modulo p Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
28 Drugi pomys l (troch e lepszy) Przyk ladamy wzorzec w każdym możliwym miejscu. Sprytnie odrzucamy pozycje, które na pierwszy rzut oka nie rokuja nadziei na sukces. Sprawdzamy litera po literze. Co to znaczy sprytnie? Myślmy o wzorcu jako o liczbie Chcemy sprawdzić czy zielona liczba jest taka sama jak czerwona. Obydwie moga być bardzo d lugie! Sprawdzimy, czy daja takie same reszty modulo p = = 5 (mod 7) = 0 (mod 7) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
29 Jeśli liczby sa różne modulo 7 to oczywiście nie moga być takie same! Jeśli zaś sa równe... sprawdzamy je cyfra po cyfrze. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
30 Jeśli liczby sa różne modulo 7 to oczywiście nie moga być takie same! Jeśli zaś sa równe... sprawdzamy je cyfra po cyfrze. Dlaczego to ma sens? Zamiast p = 7 wybierzmy p = Szansa pomy lki jest ma la. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
31 Jeśli liczby sa różne modulo 7 to oczywiście nie moga być takie same! Jeśli zaś sa równe... sprawdzamy je cyfra po cyfrze. Dlaczego to ma sens? Zamiast p = 7 wybierzmy p = Szansa pomy lki jest ma la. Bardziej formalnie Wybieramy losowe p. A z pewnych dodatkowych powodów warto, żeby by la to liczba pierwsza. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
32 Jeśli liczby sa różne modulo 7 to oczywiście nie moga być takie same! Jeśli zaś sa równe... sprawdzamy je cyfra po cyfrze. Dlaczego to ma sens? Zamiast p = 7 wybierzmy p = Szansa pomy lki jest ma la. Bardziej formalnie Wybieramy losowe p. A z pewnych dodatkowych powodów warto, żeby by la to liczba pierwsza. Dlaczego pierwsze? p = 10 n nie jest dobrym pomys lem; jak d lużej pomyśleć, to z lożone liczby nie sa dobre. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
33 Dla każdego przy lożenia liczymy reszt e z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
34 Dla każdego przy lożenia liczymy reszt e z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
35 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
36 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
37 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
38 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
39 Dla każdego przy lożenia liczymy reszt e z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
40 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) ( ) 10 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
41 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) ( ) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
42 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) = ( ) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
43 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) = ( ) (mod 7) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
44 Dla każdego przy lożenia liczymy reszte z dzielenia przez p, co nie jest prostsze. A może jednak jest? = 4 (mod 7) = 0 (mod 7) = 4 (mod 7) = ( ) (mod 7) Nowa reszta Można latwo wyliczyć na podstawie: starej reszty, 10 m (mod 7). Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
45 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
46 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Problemy Sformu lowania wybieramy losowe i szansa jest ma la sa niepokojace. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
47 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Problemy Sformu lowania wybieramy losowe i szansa jest ma la sa niepokojace. S labo dzia la dla tekstu a n i wzorca a m. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
48 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Problemy Sformu lowania wybieramy losowe i szansa jest ma la sa niepokojace. S labo dzia la dla tekstu a n i wzorca a m. Chcemy czegoś, co zawsze dzia la szybko! Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
49 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Problemy Sformu lowania wybieramy losowe i szansa jest ma la sa niepokojace. S labo dzia la dla tekstu a n i wzorca a m. Chcemy czegoś, co zawsze dzia la szybko! Twierdzenie Istnieje prosty algorytm, który znajduje pierwsze wystapienie wzorca wykonujac tylko Θ(n + m) operacji. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
50 To dzia la! To podejście dzia la: jest ma la szansa, że sprawdzimy litera po literze z le wystapienie. Oczekiwany czas dzia lania (pierwsze wystapienie): Θ(m + n). Problemy Sformu lowania wybieramy losowe i szansa jest ma la sa niepokojace. S labo dzia la dla tekstu a n i wzorca a m. Chcemy czegoś, co zawsze dzia la szybko! Twierdzenie Istnieje prosty algorytm, który znajduje pierwsze wystapienie wzorca wykonujac tylko Θ(n + m) operacji. Dowód.... można zobaczyć na zaj eciach z Algorytmów i Struktur Danych lub Algorytmów Tekstowych (w o wiele ciekawszej wersji). Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
51 Świat nie jest taki prosty Idealny świat Rozwiazanie świetne do idealnego sferycznego świata. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
52 Świat nie jest taki prosty Idealny świat Rozwiazanie świetne do idealnego sferycznego świata. Ile razy napisaliście nei? Ile razy nie wiedzieliście, czego dok ladnie szukacie? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
53 Świat nie jest taki prosty Idealny świat Rozwiazanie świetne do idealnego sferycznego świata. B l edy Ile razy napisaliście nei? Ile razy nie wiedzieliście, czego dok ladnie szukacie? Czasami chcielibyśmy znaleźć nie tylko dok ladne wystapienie wzorca, ale także takie, w którym dopuszczamy troche przek lamań. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
54 Świat nie jest taki prosty Idealny świat Rozwiazanie świetne do idealnego sferycznego świata. B l edy Ile razy napisaliście nei? Ile razy nie wiedzieliście, czego dok ladnie szukacie? Czasami chcielibyśmy znaleźć nie tylko dok ladne wystapienie wzorca, ale także takie, w którym dopuszczamy troche przek lamań. Wyszukiwanie wzorca z b l edami Dane: tekst t[1.. n] i wzorzec p[1.. m]. Wynik: dla każdego przy lożenia wzorca liczba niezgodnych znaków. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
55 aaaaaabaabaaaaabaaaaabaaabbab aabaabaaaab 5 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
56 aaaaaabaabaaaaabaaaaabaaabbab aabaabaaaab 2 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
57 aaaaaabaabaaaaabaaaaabaaabbab aabaabaaaab 3 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
58 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. aaaaabaaaaa aabaabaaaab 8 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
59 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. aaaaabaaaaa aabaabaaaab 8 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
60 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. aaaaabaaaaa aabaabaaaab 8 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
61 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. Wektory Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
62 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. Wektory Ponumerujmy cyfry wektorów dla wzorca i tekstu: p 1 [1.. m], t[1.. m]. Liczymy sum e p 1 t 1 + p 2 t p m t m Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
63 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. Wektory Ponumerujmy cyfry wektorów dla wzorca i tekstu: p 1 [1.. m], t[1.. m]. Liczymy sum e p 1 t 1 + p 2 t p m t m ponumerujmy wzorzec odwrotnie: p[m.. 1] teraz liczymy: t 1 p m + t 2 p m t m p 1 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
64 Myślmy pozytywnie Zgodności Zamiast liczyć niezgodności, dla każdej litery osobno liczmy zgodności. Lekkie wprowadzenie Tekst i wzorzec tej samej d lugości. Wektory Ponumerujmy cyfry wektorów dla wzorca i tekstu: p 1 [1.. m], t[1.. m]. Liczymy sum e p 1 t 1 + p 2 t p m t m ponumerujmy wzorzec odwrotnie: p[m.. 1] teraz liczymy: t 1 p m + t 2 p m t m p 1 wspó lczynnik wielomianu (przy x m+1 ) Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
65 Traktujemy obydwa wektory jako wielomiany: P a (x), T a (x). T ma wspó lczynnik 1 przy x k k-ta litera t to a. P ma wspó lczynnik 1 przy x k m k-ta litera p to a. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
66 Traktujemy obydwa wektory jako wielomiany: P a (x), T a (x). T ma wspó lczynnik 1 przy x k k-ta litera t to a. P ma wspó lczynnik 1 przy x k m k-ta litera p to a. Mnożymy Mnożymy wielomiany P a (x) i T a (x). Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
67 Traktujemy obydwa wektory jako wielomiany: P a (x), T a (x). T ma wspó lczynnik 1 przy x k k-ta litera t to a. P ma wspó lczynnik 1 przy x k m k-ta litera p to a. Mnożymy Mnożymy wielomiany P a (x) i T a (x). Przypomnienie: tekst i wzorzec tej samej d lugości t 1 p m + t 2 p m t m p 1, wspó lczynnik przy x m+1. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
68 Traktujemy obydwa wektory jako wielomiany: P a (x), T a (x). T ma wspó lczynnik 1 przy x k k-ta litera t to a. P ma wspó lczynnik 1 przy x k m k-ta litera p to a. Mnożymy Mnożymy wielomiany P a (x) i T a (x). Przypomnienie: tekst i wzorzec tej samej d lugości t 1 p m + t 2 p m t m p 1, wspó lczynnik przy x m+1. Ogólnie Wspó lczynnik przy x m+1+k to dok ladnie liczba zgodności przy przy lożeniu wzorca tak, że zaczyna si e na k-tej literze tekstu. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
69 Traktujemy obydwa wektory jako wielomiany: P a (x), T a (x). T ma wspó lczynnik 1 przy x k k-ta litera t to a. P ma wspó lczynnik 1 przy x k m k-ta litera p to a. Mnożymy Mnożymy wielomiany P a (x) i T a (x). Przypomnienie: tekst i wzorzec tej samej d lugości t 1 p m + t 2 p m t m p 1, wspó lczynnik przy x m+1. Ogólnie Wspó lczynnik przy x m+1+k to dok ladnie liczba zgodności przy przy lożeniu wzorca tak, że zaczyna si e na k-tej literze tekstu. Zsumować po różnych literach. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
70 No dobrze, ale jak mnożyć wielomiany? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
71 No dobrze, ale jak mnożyć wielomiany? Transformata Fouriera Wielomiany można mnożyć korzystajac z transformaty Fouriera. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
72 No dobrze, ale jak mnożyć wielomiany? Transformata Fouriera Wielomiany można mnożyć korzystajac z transformaty Fouriera. Ta sama, która przedstawia funkcj e jako sum e sinusów i cosinusów. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
73 No dobrze, ale jak mnożyć wielomiany? Transformata Fouriera Wielomiany można mnożyć korzystajac z transformaty Fouriera. Ta sama, która przedstawia funkcj e jako sum e sinusów i cosinusów. Ale jak ja zrobić szybko? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
74 No dobrze, ale jak mnożyć wielomiany? Transformata Fouriera Wielomiany można mnożyć korzystajac z transformaty Fouriera. Ta sama, która przedstawia funkcj e jako sum e sinusów i cosinusów. Ale jak ja zrobić szybko? 1 na ratunek! Transformat e Fouriera można policzyć szybko, jeśli liczymy wartości P a (x) i T a (x) w zespolonych pierwiastkach z 1. Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
75 Pytania? Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX / 18
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Grupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Niezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach
Niezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach Krzysztof Che lmiński Wydzia l Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska MiNI-Akademia Matematyki Warszawa, 2 marca, 2013 Na czym polega metoda
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Grzegorz Mazur. Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ. 14 marca 2007
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 14 marca 2007 Rzad 1 Zamiast wst epu 2 Rzad Notacja dużego O Notacja Ω Notacja Θ 3 S lowniczek Rzad Algorytm W matematyce oraz informatyce to skończony, uporzadkowany
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Dziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
FUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Liczby pierwsze na straży tajemnic
Liczby pierwsze na straży tajemnic Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby rzadzą światem Ile włosów na głowie? Dowód z wiedzą zerową Reszty kwadratowe Dzielenie sekretu Ile włosów
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Aproksymacja kraw. Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej. epnej aproksymacji
Aproksymacja kraw edzi Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej cechy (edge). Różne podejścia: szukanie w pobliżu wst epnej aproksymacji transformacja Hough a. Wiedza o obiektach:
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Ćwiczenie nr 520: Metody interpolacyjne planowania ruchu manipulatorów
Zak lad Podstaw Cybernetyki i Robotyki PWr, Laboratorium Robotyki, C-3, 010 Ćwiczenie nr 520: Metody interpolacyjne planowania ruchu manipulatorów 1 Wst ep Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodami
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.
Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7 1 B l edy pomiaru Wskutek niedoskona lości przyrzadów jak również niedoskona lości naszych zmys lów - wszystkie pomiary sa dokonywane z określonym
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka
Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY
MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Algorytmika. Algorytmy. prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2008/2009. Plan wyk ladu Poj
Algorytmy Poznań, rok akademicki 2008/2009 Plan wyk ladu 1 Plan wyk ladu 2 Pojecie algorytmu Rozwiazywanie problemów Przyk lady algorytmów Cechy algorytmu 3 Zapisywanie algorytmów Sposoby zapisywania algorytmów
Wersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker (1823-1891) Liczby
Ataki na RSA. Andrzej Chmielowiec. Centrum Modelowania Matematycznego Sigma. Ataki na RSA p. 1
Ataki na RSA Andrzej Chmielowiec andrzej.chmielowiec@cmmsigma.eu Centrum Modelowania Matematycznego Sigma Ataki na RSA p. 1 Plan prezentacji Wprowadzenie Ataki algebraiczne Ataki z kanałem pobocznym Podsumowanie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
5040 =
1 Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki. Twierdzenie 0.1 Każd a liczbȩ naturaln a można przedstawiċ jako iloczyn liczb pierwszych. Taki rozk lad jest jedyny. Inaczej, jeżeli n jest liczb a naturaln a to istniej
Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Roboty. wirutalnym, a wi ec nie symulator software owy). Rodzaje robotów:
Roboty Robot: aktywny, sztuczny agent dzia lajacy w świecie fizycznym (nie wirutalnym, a wi ec nie symulator software owy). Rodzaje robotów: manipulatory inaczej robotyczne ramiona, przytwierdzone do miejsca
Literatura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Architektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium
Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku
Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
Matematyka dyskretna Arytmetyka
Matematyka dyskretna Arytmetyka Andrzej Szepietowski 1 System dziesiȩtny Najpowszechniej używanym sposobem przedstawiania liczb naturalnych jest system dziesiȩtny, gdzie na przyk lad zapis: 178 przedstawia
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
23 kwietnia 2014 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; Korelacja
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do
Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Opercja modulo a b( mod c) MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 2018 1 1 Projekt pi aty