ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

Transkrypt

1 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1

2 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio momentach x oraz x + t. Znamy także sposoby na wyznaczenie tp x wtedy, gdy t / N 0. Hipoteza jednostajności. Hipoteza przedzia lami sta lego nat eżenia zgonów. Hipoteza Balducciego. 2

3 Tablice trwania życia x l x d x p x µ x e x , , , , , , , , , l x liczebność kohorty w momencie x d x = l x l x+1 Problem: Wyznaczyć 3 p 40 = P (T 40 > 3). I sposób: p 40 p 41 p 42 = 3 p 40 = 0, II sposób: 3 p 40 = l 43 l 40 = 0,

4 Nat eżenie śmiertelności w tablicach obliczone ze wzoru µ x = 8(l x 1 l x+1 ) (l x 2 l x+2 ) 12l x. Zagadka: jak to si e ma do definicji: µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t)? 4

5 Ważna konsekwencja HJP i hipotez interpolacyjnych Niech t, x R \ N, wówczas tp x = P (T x > t) = P (T 0 > x + t). P (T 0 > x) Zatem jeżeli HU, to tp x = (1 u) 0p 0 + u 1p 0 (1 v) 0p 0 + v 1p 0, gdzie u = x + t x + t oraz v = x x. 5

6 Oczekiwany ca lkowity przysz ly czas życia osoby w wieku x podany w tablicach e x = k=1 l x+k l x e x = EK x = = = = k=1 k=1 k=1 k=1 k P (K x = k) k P (k T x < k + 1) k ( P (T x < k + 1) P (T x < k) ) k ( P (T x > k) P (T x > k + 1) ) ( lx+k = k l ) x+k+1 l k=1 x l x = 1 [ (lx+1 ) ( ) l x lx+2 l x+3 l x + 3 ( l x+3 l x+4 )

7 Konsekwencje HJP Obserwacja 1 Jeżeli zachodzi HJP, to µ [x]+t = µ [0]+x+t = µ x+t. Dowód: Z definicji µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t) d = dτ F x(τ) τ=t P (T x > t) [ d dτ P (Tx > τ) ] (t) = P (T x > t) ] (t) = = d dτ d dτ [ P (T0 >x+τ) P (T 0 >x) P (T 0 >x+t) P (T 0 >x) [ P (T0 > x + τ) ] (t) P (T 0 > x + t) 7

8 Pokazaliśmy: µ [x]+t = d dτ [ P (T0 > x + τ) ] (t). P (T 0 > x + t) Niech g(τ) = P (T 0 > τ). Wówczas d [ P (T0 > x + τ) ] ( d (t) = g(x + τ) dτ ( ) dτ d = dτ g (x + t) i w rezultacie [ d dτ P (T0 > τ) ] (x + t) µ [x]+t = P (T 0 > x + t) = f 0(x + t) 1 F 0 (x + t) = µ [0]+x+t. ) (t) 8

9 Obserwacja 2 Jeżeli zachodzi HJP, to tq [x]+s = t q x+s, tp [x]+s = t p x+s. Dowód: Przypomnijmy, że tp [x]+s = P (T x > t + s T x > s) i w konsekwencji P (T x > t + s T x > s) = P (T x > t + s) P (T x > s) = P (T 0 > x + t + s) P (T 0 > x + s) = P (T x+s > t). 9

10 Hipoteza Balducciego (1 u) q [x]+n+u = (1 u)q [x]+n. Równoważnie: P (T x n + 1 T x > n + u) = (1 u)p (T x n + 1 T x > n). Zatem na przyk lad P (T x n + 1 T x > n ) = 1 12 P (T x n + 1 T x > n) 10

11 Hipoteza Balducciego (HB) (1 u) q [x]+n+u = (1 u)q [x]+n. Obserwacja 3 Jeżeli T x spe lnia hipotez e Balducciego, to p [x]+n n+up x = n p x u + (1 u)p [x]+n = n+1p x. 1 (1 u)q [x]+n 11

12 Dowód Obserwacji 3: n+1p x = P (T x > n + 1) Zatem = P (T x > n + u) P (T x > n + 1) P (T x > n + u) = P (T x > n + u) P (T x > n + 1 T x > n + u). }{{} (1 u) p [x]+n+u Z HB mamy n+up x = n+1p x (1 u) p [x]+n+u (1 u) p [x]+n+u = 1 (1 u) q [x]+n+u = 1 (1 u)q [x]+n. Co uzasadnia druga z podanych równości. Dalej, mamy 1 (1 u)q [x]+n = 1 (1 u)q [x]+n = 1 (1 u)(1 p [x]+n ) = u + (1 u)p [x]+n, co kończy uzasadnienie pierwszej. 12

13 Dla oswojenia sie z Hipoteza Balducciego Zadanie 3.25, s. 87 [B laszczyszyn, Rolski] Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona 35-latków, które umra po ukończeniu 36 lat i 4 miesiecy i przed ukończeniem 37 lat i 8 miesiecy. Zak ladamy HB oraz q 35 = , q 36 = , q 37 =

14 Weźmy pod uwage nastepuj ace prawdopodobieństwo P ( T 35 < ) = P (T 35 > ) P (T 35 > ) Z jednej strony P (T 35 > l ) = l 35 P (T 35 > l ) = l 35 i oczywiście l 35 = Z drugiej, P (T 35 > n + 1) = P (T 35 > n+u) P (T 35 > n+1 T 35 > n+u)

15 Zatem P (T 35 > ) = 2p 35 P (T 35 > 2 T 35 > ) = 2 p q 36 = (1 q 35)(1 q 36 ) q 36 oraz P (T 35 > ) = 3 p q

16 Model tymczasowej selekcji Motywacja: Zarówno HJP, jak i HP zak ladaja, że przysz ly czas życia wszystkich osobników kohorty jest w pewnym sensie taki sam. Dok ladniej: przysz lym czasem życia wszystkich osobników kohorty rzadzi to samo prawo. 16

17 Rozsadne za lożenie Dla pewnego podzbioru osobników kohorty prawo rzadz ace ich przysz lym czasem życia jest w pewnym okresie inne. Na przyk lad sa zdrowsi albo wrecz przeciwnie. Zatem prawdopodobieństwo ich śmierci jest istotnie inne niż prawdopodobieństwo śmierci przecietnego osobnika kohorty. Inne jest wiec prawdopodobieństwo, że konieczna bedzie wyp lata sumy ubezpieczenia! 17

18 Prosty przyk lad W jaki sposób można uwzglednić fakt, że, na przyk lad, osoby wysportowane żyja d lużej? Powiedzmy, że obserwowane dane statystyczne pozwalaja przyjać wniosek, że prawdopodobieństwo śmierci w ciagu roku osoby powyżej 40 roku życia jest o 5% mniejsze niż osoby nie biegajacej. Powiedzmy, że tak jest aż do 65 roku życia, kiedy to wp lyw regularnego uprawiania sportu s labnie na tyle, że nie ma już podstaw, aby wyróżniać te osoby ca lej populacji. Czy takie stwierdzenie jest zgodne z HTS? 18

19 Hipoteza tymczasowej selekcji (HTS) Rodzina rozk ladów (K [x] ) x spe lnia hipotez e tymczasowej selekcji z okresem selekcji ζ, jeżeli dla każdego x = 0, 1,... P (K [x] ζ) > 0 P (K 0 > x + ζ) > 0 i wówczas P (K [x] ζ + k) K [x] ζ) = P (K 0 x + ζ + k K 0 x + ζ). 19

20 Zwiazki z HA (HA): P (K x = k) = P (K 0 = x + k K 0 x) (HTS): P (K [x] ζ + k) K [x] ζ) = P (K 0 x + ζ + k K 0 x + ζ) Zauważmy, że konsekwencja HA jest P (K x l) = = k=l k=l Wniosek: jeżeli HA, to P (K x = k) P (K 0 = x + k K 0 x) = P (K 0 x + l K 0 x). P (K x k) = P (K 0 x + k K 0 x). 20

21 Co mówi HTS, jeżeli ζ = 0? P (K [x] k K [x] 0) = P (K 0 x + k K 0 x) 21

22 Sens HTS (przy za lożeniu HA) P (K [x] ζ + k K [x] ζ) = P (K x ζ + k K x ζ) = P (K x+ζ k) Zatem, rozk lady K [x] spe lniajace HTS musza mieć te w lasność, że po up lywie czasu selekcji musza zgadzać z K x. 22

23 P (K [40] 25 + k K [40] 25) = P (K [40] 25 + k) P (K [40] 25) = P (K k) P (K 40 25) = P (K k K ). 23

24 Przysz ly u lamkowy czas życia x-latka S x := T x K x = T x T x Obserwacja 4 Jeżeli T x ma rozk lad ciag ly, to S x ma także rozk lad ciag ly oraz n=0 jest gestości a rozk ladu S x. f x (t + n) (1) Dowód: Na mocy definicji i za lożenia P (T x t) = t f x(τ)dτ. Wyrażenie (1) jest dobrze określone. 24

25 Zauważmy, że dla 0 u < 1 mamy P (S x u) = P (T x T x u) = P = = = k=0 k=0 k+u k=0 k u k=0 To znaczy, że funkcja g x (u) = {T x T x u T x = k} P ( {T x T x u T x = k} ) f x (τ)dτ 0 f x(τ + k)dτ. n=0 f x (n + u), 0 u < 1, 0, t / [0, 1), jest gestości a rozk ladu zmiennej losowej S x. 25

26 Zdefiniujmy nastepuj ac a zmienna losowa S (m) = 1 ms + 1. m S (m) 1/m to zaokraglenie S do wielokrotości S (m) { 1,..., m }. Obserwacja 5 Jeżeli zachodzi HU, to K oraz S (m) sa niezależne. 26

27 Należy pokazać P (K x = k S (m) = j m ) = P (K x = k) P (S (m) = j m ) dla dowolnych k N 0 oraz j = 1,..., m. P (K x = k S (m) = j m ) = P (k + j 1 m T x < k + j m ) = P (T x > k + j 1 m ) P (T x > k + j m ) = (1 j 1 m ) kp x + j 1 m k+1 p x (1 j m ) kp x + j m k+1 p x 27

28 Zatem P (K x = k S (m) = j m ) = 1 m k p x 1 m k+1 p x = 1 ) (kp x k+1 p x m = 1 ( ) P (T x > k) P (T x > k + 1) m = 1 m P (k K x < k + 1). Pozostaje wiec uzasadnić nastepn a obserwacje Obserwacja 6 Jeżeli prawdziwa jest HU, to P (S (m) = j m ) = 1 m. 28

29 Dowód: P (S (m) = j m ) = P ( = = = k=0 k=0 k=0 k=0 = 1 m P ( {K x = k} {S (m) = j m } ) P (K x = k S (m) = j m ) P (k + j 1 m T x < k + j m ) 1 m P (K x = k) k=0 ) {K x = k} = 1 m. 29

30 Wracajac do obserwacji 5 mamy P (K x = k S (m) = j m ) = 1 m P (k K x < k + 1) = P (S (m) = j m )P (K x = k). 30