MATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO
|
|
- Andrzej Chrzanowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu MATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Studiując literaturę z zakresu matematyki finansowej napotykamy dużą ilość modeli oceniających wpływ upływu czasu na ocenę wartości kapitału. To pozorne bogactwo nie ułatwia jednak dokonywania tych wycen, gdyż za każdym razem możemy stanąć przed pytaniem Który z modeli jest właściwy?. Zachodzi tutaj też empirycznie uzasadnione podejrzenie, że wiele z tych modeli jest w zasadzie identycznych ( z finansowego punktu widzenia ) i różnią się jedynie postacią analityczną opisującej je zależności matematycznej. Spostrzeżenia te skłaniają do prób uporządkowania zbioru modeli matematyki finansowej. Naturalną drogą zmierzającą do tego celu jest próba sformułowania układu aksjomatów opisujących zadania stawiane w matematyce finansowej i konsekwentne wyprowadzenie z tych aksjomatów modeli wartościujących kapitał. W literaturze przedmiotu znajdujemy już takie próby [1], [2] sprowadzające się do weryfikacji zgodności tych układów aksjomatów z wykorzystywanymi w praktyce zależnościami matematyki finansowej. W pracy poniższej przedstawiono wyniki próby analizy matematycznej wspomnianych układów aksjomatów. Ograniczono się tutaj do analizy tak zwanych modeli jednoczynnikowych przydatnych w przypadku, gdy mamy do czynienia z kapitalizacją w okresach umownych. W przypadku kapitalizacji w okresach kalendarzowych wykorzystujemy tak zwane modele dwuczynnikowe, które można analizować w podobny sposób. 1. Jednoczynnikowy model akumulacji kapitału Symbolem C oznaczać będziemy wartość nominalną kapitału i przyjmować będziemy, że CR. Dodatnie wartościkapitału C interpretować będziemy jako pozycje należność, depozyt, aktywa, ma natomiast ujemne wartości kapitału C interpretować będziemy jako pozycje zobowiązanie, kredyt, pasywa, winien. Obszar czasowy naszych rozważań oznaczymy jako przedział czasowy [0;T]. Definicja 1.1 [1]: Wartością przyszłą kapitału CR lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość MR spełniającą aksjomaty: (A1) C;t )R[0;T] M=M(C;t), (A2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] MC 1 +C 2 ;t )= MC 1 ;t ) +MC 2 ;t ), (A3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 t 1 >t 2 MC;t 1 ) MC;t 2), (A4) CR Założenia powyższej definicji prowadzą nas wprost do: M(C;0)=C. Twierdzenie 1.1: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby C;t )R[0;T] M(C;t)=Cf(t), (1.1)
2 gdzie czynnik akumulacyjny 1 f: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek f(0)=1. (1.2) Korzystając z pojęcia wartości przyszłej M kapitału można zdefiniować sprzężone z nią pojęcie wartości bieżącej S kapitału C dostępnego po upływie czasu t. Predefinicja 1.2: Wartość bieżąca S kapitału C dostępnego po upływie czasu t jest równa wartości kapitału, który ulokowany na upływ czasu t osiągnie wartość równą C. Z formalnego punktu wartość bieżącą można zatem zdefiniować w następujący równoważny sposób. Definicja 1.2: Wartością bieżącą S sprzężoną z wartością przyszłą funkcję S: R[0;T] R spełniającą warunek nazywamy dowolną C;t )R[0;T] M(S(C;t);t)=C (1.3) Możliwe tutaj jest też równoważne odmienne ujęcie formalne predefinicji 1.2, gdyż mamy Lemat 1.1: Warunek (1.3) jest równoważny warunkowi C;t )R[0;T] S(M(C;t);t)=C (1.4) Ponadto mamy tutaj: Twierdzenie 1.2: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) i warunek (1.3) są warunkami koniecznymi i koniecznymi na to, aby C;t )R[0;T] S(C;t)=Cf -1 (t)=c(t), (1.5) gdzie czynnik dyskontujący [0;T] jestnierosnącą funkcją spełniającą warunek (0)=1. (1.6) Twierdzenie 1.3: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) i warunek (1.3) są warunkami koniecznymi i koniecznymi na to, aby spełnione były warunki (B1) C;t )R[0;T] S=S(C;t), (B2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] SC 1 +C 2 ;t )= SC 1 ;t ) +SC 2 ;t ), (B3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 t 1 >t 2 SC;t 1 ) SC;t 2), (B4) CR S(C;0)=C. Ostatnie twierdzenie pokazuje, że w równoważny sposób modele matematyki finansowej mogą przyjąć jako punkt wyjścia pojęcie wartości bieżącej S kapitału zdefiniowanej aksjomatycznie przy pomocy warunków (B1), (B2), (B3) i (B4). Ujęcie takie zaproponowano w [2]. Wtedy zależność (1.4) definiuje dowolną wartość przyszłą M kapitału sprzężoną z zadaną wartością bieżącą S. Twierdzenia 1.1 i 1.2 pokazują, że relacja pomiędzy sprzężonymi 1 W literaturze przedmiotu nazywany też czynnikiem oprocentowywującym
3 wzajemnie wartościami przyszłą M i bieżącą S jest przyporządkowaniem wzajemnie jednoznacznym. S(C;t) M(C;T-t) 0 t T S(M(C;T-t);T) Rys. 1 Na rysunku 1 przedstawiono dwa schematy wyznaczania wartości bieżącej S(C;t). Naturalnym jest tutaj stawiać wymaganie, aby spełniony był warunek S(C;t)= S(M(C;T-t);T). (1.7) Definicja 1.3: Jeśli spełniony jest warunek (1.7), to wartość bieżącą S: R[0;T] R i wartość przyszłą M: R[0;T] R nazywamy wzajemnie zgodnymi. Twierdzenie 1.4: Każda para wzajemnie zgodnych wartości bieżącej S i wartości przyszłej M jest parą wartości wzajemnie sprzężonych. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, gdyż mamy: Przykład 1.1: Jako model wartości przyszłej wybieramy - znaną z literatury - zależność opisującą oprocentowanie proste. Mamy wtedy C;t )R[0;1] M(C;t)=Ctp), gdzie symbol p. oznacza nominalną stopę procentową. Sprzężona wartość bieżąca jest wtedy dana tożsamością C;t )R[0;1] S(C;t)=Ctp) -1. Przyjmijmy C=100 zł; p =0,2 ; t =0,5. Mamy wtedy S(100 zł; 0,5)= 90,90 zł a z drugiej strony S(M(100 zł; 0,5); 1)= 91,67 zł. Warunek (1.7) zatem nie zachodzi.. W praktyce nader naturalny postulat wzajemnej zgodności wartości przyszłej bieżącej jest bardzo silnym warunkiem ograniczającym, gdyż mamy: Twierdzenie 1.5: Wartość przyszła M określona zależnością (1.1) i sprzężona z nią wartość bieżąca S są wzajemnie zgodne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka stała AR +, że czynnik akumulacji kapitału wyznaczający wartość przyszłą M dany jest tożsamością f(t)=a t. (1.8)
4 Większość powszechnie stosowanych modeli matematyki finansowej nie spełnia zatem warunku wzajemnej zgodności wartości przyszłej i bieżącej. Spostrzeżenie to nakłada na nas obowiązek szczególnej ostrożności przy stosowaniu tych metod w analizach wielokrotnych przepływów finansowych ( analiza cash flow ). 2. Oprocentowanie proste Zajmiemy się teraz problemem wartości użytkowania kapitału CR w przeciągu czasu t [0;T]. W przypadku, gdy kapitał C opisuje aktywa to wartość użytkowania kapitału C powinna być identyczna z przychodami jakie uzyskujemy z tytułu posiadania tych aktywów. Z drugiej strony, gdy kapitał C opisuje pasywa to wartość użytkowania kapitału C powinna być identyczna z kosztami jakie ponosimy przy korzystaniu z tych pasywów. Definicja 2.1: Wartością użytkowania kapitału CR lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość PR spełniającą aksjomaty: (P1) C;t )R[0;T] P=P(C;t), (P2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] PC 1 +C 2 ;t )= PC 1 ;t ) +PC 2 ;t ), (P3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 P(C:t 1 +t 2 )=PC;t 1 ) PC;t 2), (P4) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] C 1 >C 2 PC 1 ;t ) PC 2 ;t ), (P5) pr P(1:1)=p. Wartość p - nazywaną nominalną stopą procentową - interpretujemy jako wartość użytkowania jednej jednostki kapitału przez jeden okres obrachunkowy. Przyjęto tutaj założenie o stałej stopie nominalnej. Założenie to stosowane wtedy, gdy podstawą obliczeń jesr aktualna nominalna stopa procentowa. Problem zmiennej stopy procentowej jest rozwiązywany przy pomocy tak zwanego dwuczynnikowego modelu akumulacji kapitału. Poniższe twierdzenie pokazuje, że wartość użytkowania kapitału jest jednoznacznie wyznaczona przez funkcję parametryzowaną przez nominalną stopę procentową p. Twierdzenie 2.1: Aksjomaty (P1), (P2). (P3), (P4) i (P5) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby C;t )R[0;T] P(C;t)= Ctp= P(C;tp). (2.1) Rozpatrywać tutaj będziemy ogólny przypadek kiedy to wartość użytkowanego kapitału C będzie się zmieniać w czasie,. Z sytuacją mamy do czynienia na przykład w przypadku kredytu odnawialnego lub kapitalizacji odsetek. Z tej przyczyny zmienną wartość kapitału opisywać będziemy przy pomocy funkcji C: [0;T] R ( C R [0;T] ). W praktycznych zastosowaniach zmienny kapitał C jest opisywany na ogół przy pomocy funkcji schodkowej. Z punktu widzenia potrzeb matematyka możemy tutaj śmiało zakładać, że zmienny kapitał C jest funkcją całkowalną w przedziale [0;T]. Definicja 2.1 opisała nam wartość użytkowania kapitału C jako funkcję P(.;.p): R[0;T] R. Potrzeba wyznaczenia wartości użytkowania kapitału C R [0;T] stawia nas przed koniecznością rozszerzenia funkcji P(.;.p):
5 R[0;T] R do funkcji P(.;.p): R [0;T] [0;T] R pełniącej rolę uogólnionej wartości użytkowania zmiennego kapitału. Dla uproszczenia dalszych rozważań kapitał o stałej wartości będziemy reprezentować przy pomocy elementów rodziny indeksowanej C C R [0;T] ; t [0;T] : C C (t)=c, CR }. (2.2) Definicja 2.2: Uogólnioną wartością użytkowania zmiennego kapitału CR [0;T] lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość PR spełniającą aksjomaty: (P6) C;t ) R [0;T] [0;T] P=P(C;t), (P7) C C P(C C ;t) = P(C;t). Także i uogólnioną wartość użytkowania zmiennego kapitału możemy wyznaczyć jednoznacznie posługując się następującym twierdzeniem. Twierdzenie 2.2: Aksjomaty (P6) i (P7) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby t C;t )R [0;T] [0;T] P(C; t) = P(C; tp) = p C() d. (2.3) 0 Ostatni wynik nie jest bezpośrednio wykorzystywany w praktyce finansowej. Istotną domeną jego zastosowań może być teoria matematyki finansowej, gdyż zależność (2.3) może być doskonałym narzędziem służącym znajdowaniu i badaniu dalszych modeli matematyki finansowej. 3.Oprocentowanie złożone - zmienne okresy kapitalizacji Wartość użytkowania kapitału jest potocznie nazywana odsetkami. Kapitalizacja odsetek polega na dodawaniu do wartości kapitału odsetek należnych z tytułu użytkowania tego kapitału. Predefinicja 3.1: Wartością skapitalizowaną W kapitału C lokowanego na upływ czasu t nazywamy sumę bieżącej wartości nominalnej tego kapitału i wartości nominalnej skapitalizowanych odsetek. Rozważmy zmienność wartości skapitalizowanej W pod wpływem upływu czasu t[0;t] z formalnego punktu widzenia. W celu w przedziale [0;T] wyróżnimy ciąg terminów kapitalizacji = {t i } i=0 n spełniający warunek 0= t 0 < t 1 < t 2 <...< t n-1 <t n =T. Ciąg nazywamy terminarzem kapitalizacji. O wartości skapitalizowanej zakładamy, że: - wartość skapitalizowana może zmieniać swą wartość jedynie w terminach kapitalizacji; - wszystkie odsetki należne z tytułu użytkowania kapitału C przez upływ czasu t k ( k=1,..., n) są kapitalizowane najpóźniej w terminie t k i nie wcześniej niż w terminie t k-1. Te założenia pozwalają sformułować aksjomatyczną definicję wartości skapitalizowanej. Definicja 3.1: Wartością skapitalizowaną kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość WR spełniającą aksjomaty: (V1) C;t )R[0;T] W=W(C;t),
6 (V2) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ C k W(C;t)= C k (V3) CR W(C;0)=C, (V4) CR k=1,..., n W(C;t k )= W(C;t k-1 ) +P(C; t k -t k-1 ). Ostatnia definicja nie określa w jednoznaczny sposób wartości skapitalizowanej. Nadal istnieje możliwość kapitalizacji odsetek. Między innymi w przypadku kredytu kupieckiego stosuje się kapitalizację z góry. Polega ona na kapitalizacji odsetek należnych z tytułu użytkowania kapitału przez pewien okres na początku tego okresu. Definicja 3.2: Wartością skapitalizowaną z góry kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość skapitalizowaną W: R[0;T] R spełniającą dodatkowo aksjomat: (V5) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ W(C;t)= W(C;t k ). Twierdzenie 3.1: Jeśli spełniony jest warunek k=1,..., n p k = p( t k - t k-1 ) < 1, (3.1) to wtedy aksjomaty (V1), (V2), (V3), (V4) i (V5) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby wartość skapitalizowana z góry W: R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t), (3.2) gdzie czynnik kapitalizacji z góry w: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek (1.2). Szczegółowa zależność opisująca czynnik kapitalizacji z góry ma skomplikowany, rekurencyjny charakter i dla tej przyczyny została tutaj pominięta. Zainteresowany czytelnik znajdzie tą zależność w [3]. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik kapitalizacji z góry jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t) = Cw(tp; ) = W(C;tp; ). (3.3) Drugim sposobem kapitalizacji rozpatrywanym przez nas będzie kapitalizacja z dołu. Metoda ta jest zalecana szczególnie wtedy, gdy wartość ulokowanego kapitału ulega częstym fluktuacjom. Polega ona na tym, że odsetki z tytułu użytkowania kapitału przez pewien okres kapitalizuje się na końcu tego okresu. Definicja 3.3: Wartością skapitalizowaną z dołu kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość skapitalizowaną W: R[0;T] R spełniającą dodatkowo aksjomat: (V6) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ W(C;t) = W(C;t k-1 ).
7 Twierdzenie 3.2: Aksjomaty (V1), (V2), (V3), (V4) i (V6) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby wartość skapitalizowana z dołu W: R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t), (3.4) gdzie czynnik kapitalizacji z dołu w: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek (1.2). Szczegółowa zależność opisująca czynnik kapitalizacji z dołu ma skomplikowany, rekurencyjny charakter i dla tej przyczyny została tutaj pominięta. Zainteresowany czytelnik znajdzie tą zależność w [3]. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik kapitalizacji z dołu jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t) = Cw(tp; ) = W(C;tp; ). (3.5) Zgodnie z twierdzeniem 1.1 obie wartości skapitalizowane opisują wartości przyszłe kapitału i w tej sytuacji mogą posłużyć do wyznaczenia przy pomocy zależności (1.5) sprzężonej wartości bieżącej. Nie są to niestety wartości zgodne 2. Rozważmy teraz przypadek skapitalizowanej wartości kapitału równej po każdym upływie czasu kapitałowi wraz z dopisanymi odsetkami przysługującymi z tytułu użytkowania tego kapitału. Oznacza to, że odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły. Z tego powodu określoną powyżej wartość skapitalizowaną nazywać będziemy wartością skapitalizowaną ciągle i z formalnego punktu widzenia definiować następująco: Definicja 3.4: Wartością skapitalizowaną ciągle kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość W * (C;t) opisaną funkcją W * : R[0;T] R spełniającą aksjomat: (V7)C;t )R[0;T] W * (C;t) = C+ P(W * (C;t); t p). Twierdzenie 3.3: Aksjomat (V7) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wartość skapitalizowana ciągle W * : R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W * (C;t) = Cw * (t) = Ce pt. (3.6) Zgodnie z twierdzeniami 1.1 i 1.5 wartość kapitalizowana ciągle jest wartością przyszłą kapitału generującą przy pomocy zależności (1.5) sprzężoną i zgodną wartość bieżącą kapitału. Łatwo dostrzec, że wartość kapitalizowana ciągle jest parametryzowana jedynie przy pomocy nominalnej stopy procentowej p, co możemy zapisać C;t )R[0;T] W * (C;t) = Cw * (t) = Cw * (tp) = W * (C;tp). (3.7) Na koniec tego rozdziału rozważmy jeszcze pojęcie wartości wymagalnej rozumianej jako suma wartości skapitalizowanej kapitału i nieskapitalizowanych jeszcze odsetek. Oczywistym jest, że w przypadku wartości kapitalizowanej z góry oraz wartości kapitalizowanej ciągle nieskapitalizowane odsetki są zawsze równe zeru. Oznacza to, że o wartości wymagalnej 2 porównaj [3]
8 możemy ograniczyć się jedynie do przypadku wartości kapitalizowanej z dołu. Spostrzeżenia te prowadzą do następującej definicji formalnej wartości wymagalnej: Definicja 3.5: Wartością wymagalną kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość W + (C;t) opisaną funkcją W + : R[0;T] R spełniającą aksjomat: (V8)k=1,..., n C;t )R[ t k-1, t k [ W + (C;t) = W(C;t k-1 ) + P(W(C;t k-1 ); t- t k-1 p). Twierdzenie 3.4: Aksjomaty (V7) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wartość wymagalna W + : R[0;T] R była określona zależnością t C;t )R[0;T] W + (C;t) = C w + (t) = C+pw() d ). (3.6) 0 Zgodnie z twierdzeniem 1.1 wartość wymagalna opisuje wartość przyszłą kapitału i w tej sytuacji może posłużyć do wyznaczenia przy pomocy zależności (1.5) sprzężonej wartości bieżącej. Nie są to niestety wartości zgodne 3. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik wymagalności jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W + (C;t) = C w + (t) = C w + (tp; ) = W + (C;tp; ). (3.7) 4.Oprocentowanie złożone - stałe okresy kapitalizacji W rozdziale tym rozpatrzymy przypadek, kiedy długość poszczególnych okresów kapitalizacji jest stała. Terminarz kapitalizacji = {t i } n i=0 spełnia wtedy warunek dr k=1,..., n t k - t k-1 = d. (4.1) Twierdzenie 4.1: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1), to wtedy dla dowolnej liczby całkowitej k=0,1, 2,..., n i dowolnej liczby rzeczywistej mamy W(C; (k+)dp; d) = Cw((k+)dp; d) = C(1+ pd ) k, (4.2) W + (C;(k+)dp;d)=Cw + ((k+)dp;d)=c(1+pd) k 1+p. (4.3) Twierdzenie 4.2: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1) oraz jest spełniony warunek pd < 1, (4.4) to wtedy dla dowolnej liczby całkowitej k=0,1,..., n i dowolnej liczby rzeczywistej mamy W(C; (k+1-)dp; d) = Cw((k+1-)dp; d) = C(1- pd ) -k-1. (4.5) 3 porównaj [3]
9 Ostatnie twierdzenia określają jednoznacznie omawiane funkcje wartości przyszłej w całym przedziale [0;T] oraz pokazują, że funkcje te są parametyryzowane przez nominalną stopę procentową p i długość okresu kapitalizacji d. Ponadto jest tutaj wyraźnie widoczne 4, że także i w tym przypadku sprzężone wartości bieżące nie są zgodne. Badając przebieg zmienności czynników kapitalizacji z góry i z dołu 5 dla tych samych wartości nominalnej stopy procentowej p i długości okresu kapitalizacji d możemy stwierdzić, że pierwszy z tych czynników wzrasta znaczniej szybciej niż drugi. Jest to niezgodne z praktyką rynku finansowego, gdzie stopy procentowe kapitalizacji z góry i z dołu są dobrane nawzajem w ten sposób, aby zachować to samo tempo wzrostu kapitału przy każdej z metod kapitalizacji odsetek. Będziemy uważać, że wartość kapitalizowana z góry wzrasta tak samo szybko jak wartość kapitalizowana z dołu jeśli w każdym terminie kapitalizacji t k jedna z tych wartości będzie równa drugiej. W praktyce finansowej nominalna stopa procentowa p związana jest z kapitalizacją z dołu. Spostrzeżenia te pozwalają na zaproponowanie następującej definicji. Definicja 4.1: Stopą procentową kapitalizacji z góry ( skontem ) równoważną nominalnej stopie procentowej p nazywamy wartość p * R spełniającą warunek: CR k=1,..., n W(C;t k p * ; ) = W(C;t k p; ). Twierdzenie 4.2: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1) oraz jest spełniony warunek p, (4.7) to wtedy skonto p * równoważne nominalnej stopie procentowej p jest dane zależnością p * = p(1+pd) -1. (4.8) Jeśli terminarz kapitalizacji nie spełnia warunku (4.1) to dla dowolnej nominalnej stopy procentowej p nie istnieje wartość p * spełniająca warunek Zauważmy teraz, że mamy CR k=1,..., n W(C;t k p * ; ) = W(C;t k p; ) = W + (C;t k p; ). Możemy zatem przyjąć, że rynek finansowy jest w wystarczający sposób opisywany przez wartość kapitalizowaną z dołu i wartość wymagalną parametryzowane przez nominalną stopę procentową p oraz wartość kapitalizowaną z góry parametryzowaną przez skonto p * równoważne nominalnej stopie p. Żadna z tych wartości przyszłych kapitału nie wyznacza niestety zgodnej sprzężonej wartości bieżącą. Jedyną dostępną wartością przyszłą generującą zgodną sprzężoną wartość bieżącą pozostaje zatem metoda kapitalizacji ciągłej. Z drugiej strony jednak badając przebieg zmienności czynnika kapitalizacji ciągłej zauważamy, że wzrasta on znacznie szybciej niż czynnik kapitalizacji z dołu wyznaczający - jak to sugeruje to warunek (4.9) - tempo wzrostu wartości kapitału na rynku finansowym. Połączenie postulatów określenia wartości przyszłej zachowującej tempo wzrostu kapitału i generującej zgodną sprzężoną wartość bieżącą prowadzi do sformułowania następującej definicji. 4 porównaj twierdzenie porównaj [3]
10 Definicja 4.2: Zgodną aproksymantą rynku finansowego nazywamy dowolną wartość przyszłą kapitału M * : R[0;T] R spełniającą warunki (1.3), (1.7) i warunek: CR k=1,..., n M * (C;t k p; ) = W(C;t k p; ). Twierdzenie 4.3:Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1), to wtedy jedyna zgodną aproksymantą rynku finansowego M * : R[0;T] R jest dana zależnością: C;t )R[0;T] M * (C;tp; d) = Cm. * (tp; d) = C(1+pd) 1/d ] t. (4.11) Jeśli terminarz kapitalizacji nie spełnia warunku (4.1) to nie istnieje wartość przyszła kapitału spełniająca warunki (1.3), (1.7) i 5. UWAGI KOŃCOWE Autor ma świadomość, że zaproponowany powyżej układ warunków definicyjnych może nie satysfakcjonować pewnych teoretyków i praktyków interesujących się problematyką matematyki finansowej. Z drugiej strony ma też świadomość, że jedynie wyrażenie explicite aksjomatów leżących u podstaw modelu i zbadanie konsekwencji przyjęcia tych aksjomatów umożliwia w pełni wnikliwą dyskusję modelu. Stąd moim zdaniem budowanie układów aksjomatycznych definicji pojęć funkcjonujących już w praktyce może przyczynić się nie tylko do uproszczenia treści wykładanych nam w ramach matematyki finansowej ale i do dalszego rozwoju tej dyscypliny wiedzy. Formalne dowody wszystkich przytoczonych tu twierdzeń znajdują się w [3]. Literatura: [1] E. Castagnoli, Appunti di Matematica Finanziara, Unicopli, Milano [2] L. Peccati, Su di una caractterizzazione del principio del criterio dell attualizzazione, Studium Parmense, Parma [3] K.Piasecki, Matematyka finansowa w ujęciu aksjomatycznym, przygotowywany maszynopis.
Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowoWartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału. arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób
KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału Streszczenie: W pracy implementowano warunek synergii kapitału
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoAksjomat synergii w arytmetyce finansowej
Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej Problem badawczy Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowoEFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ**
SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ im. J. A. Komeńskiego w Lesznie R o k 0 0 8, n r 6 KRZYSZTOF PIASECKI* EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ** THE EFFECT OF SYNERGY IN FINANCIAL ARITHMETICS
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowo2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowo4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie)
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoOGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ
OGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ M. BIENIEK W tym wykładzie przedstawimy ogólny model matematyki finansowej, używany w dalszym ciągu. Wprowadzimy również wiele pojęć i oznaczeń stosowanych w dalszych
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoWSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU
UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoDYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI. Problem badawczy. 1. Elementy teorii użyteczności strumienia finansowego
Krzysztof Piasecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu DYSKONTO A AWERSJA DO RYZYKA UTRATY PŁYNNOŚCI Streszczenie: Wartość bieżąca jest rozważana, jako użyteczność strumienia finansowego. Dzięki temu można
Bardziej szczegółowoZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
Bardziej szczegółowo(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.
Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowo88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92.
34 Podstawowe pojęcia i zagadnienia mikroekonomii 88. zysta stopa procentowa zysta stopa procentowa jest teoretyczną ceną pieniądza, która ukształtowałaby się na rynku pod wpływem oddziaływania popytu
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)
dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowowww.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera
www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Piotr Szczepankowski Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoDr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1
1 Rodzaje i źródła ryzyka stopy procentowej: Ryzyko niedopasowania terminów przeszacowania, np. 6M kredyt o stałym oprocentowaniu finansowany miesięcznymi lokatami o zmiennym oprocentowaniu. Ryzyko podstawy
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE Projekt Nakłady inwestycyjne, pożyczka + WACC Prognoza przychodów i kosztów Prognoza rachunku wyników Prognoza przepływów finansowych Wskaźniki
Bardziej szczegółowoWykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2)
Wykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2) 1 Wprowadzenie W ramach niniejszego wykładu opisujemy model 2, będący rozszerzeniem znanego z poprzedniego wykładu modelu 1. Rozszerzenie polega
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowo5. Strumienie płatności: renty
5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoTemat 1: Wartość pieniądza w czasie
Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoPodstawowe finansowe wskaźniki KPI
Podstawowe finansowe wskaźniki KPI 1. Istota wskaźników KPI Według definicji - KPI (Key Performance Indicators) to kluczowe wskaźniki danej organizacji używane w procesie pomiaru osiągania jej celów. Zastosowanie
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Bardziej szczegółowoDynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych
Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoSTOPA DYSKONTOWA 1+ =
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowo