Matematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego.

Transkrypt

1 Matematyka finansowa - 4 Przepływy pieniężne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w momentach t t t 2... t T, to efektywna roczna stopa procentowa i P taka,że liczona przy tej stopie wartość aktualna netto strumienia P jest równa, tzn. r i P jest rozwiązaniem równania: F P,r P t n r tn (Gdy P t, P t,...,p t, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn m, n,, 2,...,, przy ustalonym m (np. m 36, to wyznaczenie wewnętrznej stopy zwrotu sprowadza się do wyznaczenia dodatnich pierwiastków wielomianu stopnia k. Istotnie, podstawiając t n kn m,a kn stopę zwrotu otrzymujemy równanie P kn m, x v m r m a kn x kn. n do równania definiującego Gdy x jest rozwiązaniem tego równania, to i P x m zwrotu. jest wewnętrzną stopą Uwagi. Ponieważ wielomian może mieć wiele różnych pierwiastków, wewnętrzna stopa zwrotu może być określona niejednoznacznie. 2.Gdy jednostka czasu jest inna niż rok, np. dzień, możemy zrezygnować z ograniczenia i P i przyjąć ograniczenie i P 36 definiując IRR jako roczną stopę spełniającą równanie P t n r 36 tn

2 Przykłady iech: r - roczna stopa procentowa r F P,r - wartość aktualna netto (PV) strumienia P, przy stopie r F P,r P P r P 2 r 2 P 3 r 3 2 PV r Funkcja r F P,r dla P P ; P ; P 2 ; P 3 2; 3; 3; 2 PV r Funkcja r F P,r dla P P ; P ; P 2 ; P 3 2; 9; 8; 2

3 r PV Funkcja r F P,r dla P P ; P ; P 2 ; P 3 2; ; 2;..2 r PV Funkcja r F P,r dla P P ; P ; P 2 ; P 3 2; 43; ; 2 Pewną informację o maksymalnej liczbie dodatnich pierwiastków wielomianu daje następujące twierdzenie: Twierdzenie (Kartezjusza - Harriota) Liczba dodatnich pierwiastków (pierwiastek k krotny liczymy k razy) wielomianu a k x k nie jest większa od liczby zmian znaku w ciągu a, a,...,a K i różni się od niej o liczbę parzystą. K k 3

4 Zadanie Udowodnić powyższe twierdzenie. Wskazówka ajpierw udowodnić następujące lematy: ) Jeśli w ciągu b,b,...,b n mamy b b n, to liczba zmian znaku w tym ciągu jest nieparzysta; jeśli b b n, to liczba zmian znaku jest parzysta. 2) Jeśli wielomian Q x pomnożymy przez x c, gdzie c, to liczba zmian znaku w ciągu współczynników zmieni się o liczbę nieparzystą (liczba zmian znaku w ciągu współczynników wielomianu Q x x c różni się od liczby zmian znaku w ciągu współczynników wielomianu Q x o liczbę nieparzystą) następnie skorzystać z rozkładu wielomianu na czynniki liniowe oraz nierozkładalne stopnia 2. Wniosek Jeśli dla mamy k k... k m k m... k a k, a k,...,a km, a km,...,a k, to wielomian W x a kn x kn ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. n Dowód wniosku a mocy twierdzenia Kartezjusza - Harriota wielomian W x ma nie więcej niż jeden pierwiastek dodatni. Pozostaje wykazać,że istnieje pierwiastek dodatni. Mamy W x lim x x k lim x zatem istnieje c takie,że W c. Ponadto, lim x W x lim x x k a kn x kn k a k, n a kn x k k n, n zatem istnieje d c takie,że W d. Z własności Darboux, istnieje x c,d, takie,że W x. 4

5 Wniosek Gdy w strumieniu przepływów P ostatni wydatek poprzedza pierwszy wpływ, tzn. P t, P t,...,p t m, P t m, P t m,...,p t, (albo odwrotnie), to wewnętrzna stopa zwrotu i P jest określona jednoznacznie. Dla dowolnej liczby rzeczywistej p oznaczając: mamy p max p,, p max p, p p p iech teraz: P P t,p t,...,p t - strumień wpływów (Cash Input Flows), P P t,p t,...,p t - strumień wydatków (Cash Output Flows). Zatem P P P i zachodzi równość: F P,iP F P,i P F P,i P F P,i P P t n i tn P P t n i tn F P,i P P tj. wewnętrzna stopa zwrotu jest taką stopą, przy której suma zdyskontowanych wpływów jest równa sumie zdyskontowanych wydatków. Uwaga Dla strumienia P ciągłych płatności z intensywnością t p t,t,t, przy kapitale początkowym F P, wewnętrzna stopa zwrotu i P jest zdefiniowana jako rozwiązanie x i P równania P T p s x s ds

6 Zadanie Wyznaczyć i P (np. metodą ewtona) przy stałej intensywności p t 3,T,P, tj. rozwiązać równanie, Solution is: x. 9 6 : 3 x s ds 3x x x2 x 3 x 4 ln x x, Solution is: x. 9 6 Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (Modified Internal Rate of Return), dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w momentach t t,t,t 2,...,t ; przy zakładanych stopach: i f - dla wydatków, i r - dla wpływów, to efektywna roczna stopa procentowa m P taka,że: F P,i r T F P,i f m P T Stąd P t n i tn i r T r P t n i tn f m P P t n i r tn P t n i f tn T i r m P T Uwaga. Gdy i r i f i P, to m P i P. 6