Wykład 5. = f. Okazujesięwięc,że f. minimum. Otrzymaliśmy następujące twierdzenie:

Transkrypt

1 Wykład 5 Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej służy, między innymi, do badania przebiegu zmienności funkcji Potrafimy znajdować punkty krytyczne, określać ich rodzaj, badać kształt wykresu(wypukły, wklęsły), znajdować asymptoty itp Korzystając z umiejętności liczenia granic i różniczkowania potrafimy dość dokładnie naszkicować wykres funkcji Funkcje wielu zmiennych będziemy badać jedynie w niewielkim zakresie Zajmiemy się poszukiwaniem i określaniem typu punktów krytycznych Definicja1Mówimy,żex 0 R n jestmaksimumlokalnym(minimumlokalnym)funkcjif: R n R,jeśliistniejeotoczenieOpunktux 0 takie,żedlawszystkichx Ozachodzif(x) f(x 0 )(f(x) f(x 0 )) DoprecyzowaniawymagapojęcieotoczeniaZazwyczajotoczeniempunktux 0 nazywasię dowolnyzbiórotwartyzawierającyx 0 pojęciezbioruotwartegopojawiasięwanaliziebardzo często, dlatego podamy definicję takiego zbioru Definicja2Mówimy,żezbiórOjestotwartywzględemmetrykidjeślikażdypunktx O jestśrodkiempewnejkuliotwartejk d (x,ε)zawartejwo Kulę otwartą zdefiniowaliśmy omawiając ciągłość Mówią językiem nieprecyzyjnym zbiory otwarte są to takie zbiory które są grube i nie zawierają brzegów Mówiąc grube, mam na myśli,żenpprostawr 2 niejestotwartawzględemmetrykieuklidesowejpodobniepłaszczyzna czypowierzchniasferywr Tasamarodzinazbiorówotwartychmożeodpowiadaćróżnym metrykom Metryki równoważne w takim sensie jak opisany przy okazji ciągłości mają takie samerodzinyzbiorówotwartychmówiąc zbiórotwartywr n będziemymiećnamyślizbiór otwartywzględemktórejkolwiekzmetrykd 1,d 2,d Wracamydoekstremów:Załóżmy,żepunktx 0 jestmaksimumlokalnymfunkcjififunkcja f jest w tym punkcie różniczkowalna Rozpatrzmy funkcję ϕ i :t f(x 0 +te i ) JestonaokreślonanapewnymodcinkuIzawierającymt=0izewzględunawłasnościf (punktx 0 jestmaksimum)napewnymodcinkui Ispełniawarunekϕ i (t) ϕ(0)oznacza to,żefunkcjaϕ i mamaksimumwt=0funkcjaϕ i jestteżróżniczkowalna,zatemzgodnie zzasadamiobowiązującymidlafunkcjijednejzmiennejϕ i(0)=0pochodnaϕ i wt=0jest równapochodnejcząstkowejfunkcjifpozmiennejx i wpunkciex 0 : ϕ ϕ i (t) ϕ i (0) f(x 0 +te i ) f(x 0 ) i(0)=lim =lim t=0 t t=0 t = x i(x 0) Okazujesięwięc,że x i (x 0 )=0JesttoprawdadlakażdegoindeksuiPodobniebyłobyw minimum Otrzymaliśmy następujące twierdzenie: Twierdzenie1Jeślif: R n Rmawpunkciex 0 ekstremumlokalneijestwtympunkcie różniczkowalna to wszystkie pochodne cząstkowe tej funkcji w tym punkcie są równe zero, a co zatymidzietakżepochodnaf (x 0 )jestrównazero Powyższe twierdzenie formułuje warunek konieczny istnienia ekstremum Że nie jest on wystarczający pokazują następujące przykłady 1

2 2 Przykład1(Siodło)Najprostszyprzykładtofunkcjaf 1 : R 2 Rzadanawzorem f 1 (x,y)=x 2 y 2 Pochodna tej funkcji f 0(x,y)=[2x 2y] przyjmujewartość0wpunkcie(0,0)jednakwtympunkciefunkcjaniemaekstremum,co pokazuje wykres: Przykład 2(Małpie siodło) Nieco ciekawszy kształt ma wykres funkcji f 2 (x,y)=z=x(x 2 y 2 ) Jej pochodna f 2(0,0)=[x 2 y 2 6yx] także przyjmuje wartość 0 w punkcie(0, 0): Przykład (Ciekawa funkcja) Przyjrzyjmy się funkcji f (x,y)=(x y 2 )(x y 2 ) W punkcie(0, 0) jest oczywiście punkt krytyczny: f =[2x 4y2 4y(2x+y 2 )] Sprawdźmy jak funkcja zachowuje się wzdłuż prostej [ ] t δy f(t,tδy)=(t t 2 δy 2 )(t t 2 δy 2 ) Załóżmy,żeδy 0(cowykluczanaraziezrozważańprostąy=0)wtedyzależnośćodtmożna opisać wzorem: ( )( ) f(t,tδy)=t 2 (δy) 4 δy 2 t δy 2 t

3 Widać więc, że wdłuż każdej prostej funkcja ma w zerze minimum Dla dodatnich sytuacja wygląda tak: 0 δy 2 δy 2 t Dla ujemnych tak: δy 2 δy 2 0 t Gdy=0mamyf(0,tδy)=t 4 (δy) 4 ioczywiściewdlat=0jestminimumdlaδy=0 otrzymujemyf(t,0)=t 2 δt 2 itakżedlat=0jestminimumajednakwkażdymdowolnie małymotoczeniupunktu(0,0)sąpunktydlaktórychwartośćfjestujemnazewzorudefiniującegofunkcjęwynika,żenakrzywychx=y 2 ix=y 2 funkcjaprzyjmujewartośćzero Pomiędzy nimi zaś wartości ujemne Przyjrzyjmy się wykresom: na pierwszym z nich zaznaczono krzywe na których funkcja przyjmuje wartość zero Na drugim na szaro narysowana jest płaszczyznaz=0: Potrzebujemy zatem więcej informacji na temat zachowania funkcji w punkcie krytycznym niż tylko wartość jej pochodnej W rachunku różniczkowym funkcji jednej zmiennej dodatkowych kryteriów dostarczały wyższe pochodne Tak samo jest tutaj Zdefiniujmy zatem drugą pochodnąfunkcjiodwzorowaniaf : R n R m Załóżmy,żeF jestróżniczkowalnewpewnymotoczeniuopunktux 0 PochodnawkażdympunkcieotoczeniaOjestodwzorowaniem liniowymzr n do R m WyznaczającpochodnewkażdympunkcieotoczeniaOotrzymujemy odwzorowanie F : R n L(R n,r m ), x F (x)

4 4 ZbiórwartościpowyższegoodwzorowaniajestprzestrzeniąwektorowąizomorficznązR nm (kolejnym wyrazom macierzowym macierzy odwzorowania liniowego przyporządkowujemy współrzędnewr nm )Możemytakże mierzyćdługośćodwzorowanialiniowego posługującsięnastępującą definicją A L(R n,r m ), A =sup Ax x =1 Dla porządku zauważmy, że powyższa definicja zależy od tego jak mierzymy odległość w dziedzinie i w zbiorze wartości Okazuje się jednak, że w sposób mierzenia odległości w przestrzeni odwzorowań liniowych w ogóle nie musimy wnikać, gdyż zbieżność i ciągłość definiowana przez tęodległośćjesttakasamajaktadefiniowanaprzezd 1,d 2 id Traktujemypoprostuzbiór wartościjak R mn zodpowiedniodużymwykładnikiemipracujemynanimjakzawszewtakim razie możemy także różniczkować odwzorowanie F : R n L(R n,r m ) R mn wpunkciex 0 zgodniezobowiązującymizasadami,otrzymującdrugąpochodnąodwzorowania F DefinicjaJeśliodwzorowanieF : R n L(R n,r m ) R mn jestróżniczkowalnewpunkcie x 0,tojegopochodnąoznaczamyF (x 0 )inazywamydrugąpochodnąodwzorowaniafwx 0 Na pierwszy rzut oka druga pochodna jest bardzo skomplikowanym obiektem: odwzorowanie liniowe o wartościach w przestrzeni odwzorowań liniowych Jeśli drugą pochodną w punkcie x 0 obliczymynaprzyrościehotrzymamyodwzorowanieliniowe,któreznowumożnaobliczyć naprzyrościekotrzymującelementzr m Sytuacjęznacznieupraszczaobserwacja,żezależność od h i k jest de facto dwuliniowa Druga pochodna jest więc ostatecznie odwzorowaniem dwuliniowym F (x 0 ):R n R n R m Obowiązuje ponadto twierdzenie: Twierdzenie2JeśliFjestdwukrotnieróżniczkowalnawpunkciex 0 todrugapochodnaf (x 0 ) jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym Dlatego właśnie włożyliśmy wcześniej sporo wysiłku w to, żeby poznać własności tego rodzaju odwzorowań Ograniczymy się teraz do funkcji wielu zmiennych, tzn założymy, że wartości sąwr(tznm=1)drugapochodnajestwięcodwzorowaniemdwuliniowymowartościach w R, czyli formą dwuliniową Jak wygląda macierz tej formy w bazie kanoniczej? Ponieważ druga pochodna jest pochodną pochodnej spodziewamy się, że w użyciu będą drugie pochodne cząstkowe Istotnie, okazuje się, że dla funkcji F (x 0 )= f: R n R dwukrotnieróżniczkowalnejwx 0 drugapochodnawx 0 mapostać: ( x 1 ) 2(x 0) x 2 x 1(x 0) x 1 x 2(x 0) x n x 1(x 0) ( x 2 ) 2(x 0) x n x 1(x 0) x n x 1(x 0) x n x 2 (x 0 ) 2 f ( x n ) 2(x 0)

5 Z twierdzenia(2) wynika, że macierz ta powinna być symetryczna, to znaczy drugie pochodne cząstkowe mieszane nie powinny zależeć od kolejności różniczkowania Istotnie wygląda, że tak jest Sprawdźmy to dla funkcji z przykładów(1),(2),() Twierdzenia(2) nie będziemy dowodzić w całej ogólności Pożyteczne będzie jednak przyjrzenie się najprostszej sytuacji funkcji dwóch zmiennych R 2 (x,y) f(x,y) R Założymydodatkowo,żefunkcjanietylkojestdwukrotnieróżniczkowalnawpunkcie(x 0,y 0 ) ale także jej drugie pochodne cząstkowe istnieją także w otoczeniu tego punktu i są ciągłe TwierdzenieZałóżmy,żefunkcjaf: R 2 RmawotoczeniuOpunktu(x 0,y 0 )pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego Załóżmy ponadto, że pochodne rzędu drugiego są ciągłe na O Wówczas mieszane pochodne rzędu drugiego są równe Dowód Do dowodu potrzebne nam jest twierdzenie Lagrange a dla funkcji jednej zmiennej Twierdzenietomówi,żejeślifunkcjaϕ:[a,b] Rjestciągłana[a,b]iróżniczkowalnana ]a,b[toistniejepunktc ]a,b[taki,że ϕ (c)(b a)=(ϕ(b) ϕ(a)) Geometrycznieoznaczato,żewodcinku]a,b[jestpunktwktórymstycznadowykresujest równoległadoprostejprzechodzącejprzezpunkty(a,f(a))i(b,f(b))oznaczmyprzezw(t,s) następującą wielkość: W(t,s)= 1 st [f(x 0+t,y 0 +s) f(x 0 +t,y 0 ) f(x 0,y 0 +s)+f(x 0,y 0 )] Pochodną mieszaną x y (x 0,y 0 ) liczymy przechodząc do granicy lim limw(t,s) t 0s 0 a pochodną mieszaną w drugiej kolejności licząc lim limw(t,s) s 0t 0 Pytanie o równość pochodnych mieszanych sprowadza się do pytania o możliwość zamiany kolejności przechodzenia do granicy Oznaczmy ϕ(x)= f(x,y 0+s) f(x,y 0 ) s Funkcja ϕ jest różniczkowalna i jej pochodna po x zapisuje się wzorem ϕ x (x)= (x,y 0+s) (x,y x 0) s KorzystajączϕmożemyzapisaćW(s,t)jako W(s,t)= 1 t [ϕ(x 0+t) ϕ(x 0 )] Dla funkcji ϕ możemy skorzystać z twierdzenia Lagrange a: W(s,t)= 1 t ϕ (x 0 +θ 1 t)(x 0 +t x 0 )=ϕ (x 0 +θ 1 t) 5

6 6 Punktcznajdującysiępomiędzyx 0 ax 0 +tzapisaliśmywpostacix 0 +θ 1 t,gdzieθ 1 jestjakąś liczbąpomiędzy0i1podstawiającwartośćpochodnejϕ mamy W(s,t)=ϕ x (x 0 +θ 1 t)= (x 0+θ 1 t,y 0 +s) (x x 0+θ 1 t,y 0 ) s Korzystamy teraz z faktu, że pochodne cząstkowe f także są różniczkowalne Można więc użyć dla nich twierdzenia Lagrange a zastępując wyrażenie w liczniku przez wartość pochodnej po y w pewnym punkcie mnożoną przez s: W(s,t)= 2 f y x (x 0+θ 1 t,y 0 +θ 2 s), gdzieθ 2 teżjestjakąśliczbąpomiędzy0a1 Tak samo możemy podsąpić wprowadzając pomocniczą funkcję ψ ψ(y)= f(x 0+t,y) f(x 0,y) t I wykonując podobne czynności zamieniając rolami x i y Dostajemy wtedy W(s,t)= 2 f x y (x 0+θ t,y 0 +θ 4 s), dlapewnychwartościθ,θ 4 pomiędzy0a1ostatecznie W(s,t)= 2 f y x (x 0+θ 1 t,y 0 +θ 2 s)= 2 f x y (x 0+θ t,y 0 +θ 4 s) Z założenia wiadomi, że drugie pochodne cząstkowe są ciągłe, zatem wyrażenie W też jest ciągłe ikolejnośćprzechodzeniadogranicyztisniemaznaczeniagranicaws=0it=0jest równa drugim pochodnym cząstkowym, które w związku z tym są równe TwierdzenieTayloraZnajomośćpochodnejfunkcjif: R n Rwpunkciex 0 umożliwia namprzybliżaniezachowaniatejfunkcjiwotoczeniux 0 zapomocąfunkcjiafinicznej(liniowa+ stała) Czasami jednak(na przykład przy badaniu rodzaju punktu krytycznego) potrzebujemy subtelniejszego przybliżenia W rachunku różniczkowym jednej zmiennej mieliśmy do dyspozycji twierdzenie Taylora o przybliżaniu funkcji różniczkowalnej k-razy wielomianem stopnia k Dla funkcji wielu zmiennych mamy podobne twierdzenie Ograniczymy się tutaj do funkcji różniczkowalnych dwa razy, choć można oczywiście sformułować twierdzenie bardziej ogólne: Twierdzenie4Niechf : R n Rbędziefunkcjąróżniczkowalnądwarazywpunkciex 0 Wówczas iresztar 2 (x 0,h)spełniawarunek f(x 0 +h)=f(x 0 )+f (x 0 )(h)+ 1 2! f (x 0 )(h,h)+r 2 (x 0,h) r 2 (x 0,h) lim =0 h 0 h 2 Przykład 4 Wróćmy do pierwszej funkcji dwóch zmiennych, którą rozważaliśmy na naszym wykładzie w kontekście przybliżania funkcją afiniczną(przy definiowaniu pochodnej): f(x,y)=x 2 y

7 Zapiszmy dla niej wyrażenie jak w twierdzeniu() i znajdźmy resztę w otoczeniu punktu(1, 2) Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe iichwartościwpunkcie(1,2): x =2xy, y =x2 x (1,2)=4, y (1,2)=1 Macierz pochodnej w punkcie(1, 2) ma więc postać: Obliczamy drugie pochodne cząstkowe iichwartościwpunkcie(1,2): f (1,2)=[41] x 2=2y, y 2=0, x y =2x x 2(1,2)=4, y 2(1,2)=0, x y (1,2)=2 Macierz drugiej pochodnej w punkcie(1, 2) ma więc postać: [ ] 4 2 f (1,2)= 2 0 Zapisujemy wzór Taylora: f(1+,2+δy)=2+[41] [ δy Po wykonaniu wskazanych działań mamy: ] [δy] [ ][ δy ] +r((1,2),(,δy)) 7 (1) f(1+,2+δy)=2+4+δy+ 1 2 ( δy ) +r 2 ((1,2),(,δy)) Funkcja f jest dosyć prosta, dlatego możemy explicite zapisać wzór na resztę: (2) f(1+,2+δy)=(1+) 2 (2+δy)=( )(2+δy)= δy+2δy+ 2 δy Wyrazy niebieskie we wzorach(1) i(2) pokrywają się, zatem reszta jest postaci r 2 ((1,2),(,δy))= 2 δy Ponieważ reszta jest trzeciego rzędu w przyroście, to rzeczywiście podzielona przez kwadrat długości(drugiego rzędu) znika przy(, δy) dążącym do 0 Rysunek przedstawia eykres funkcji f(na czerwono) i jej przybliżenie drugiego rzędu(na szaro)

8 8 Znajomość zachowania funkcji z dokładnością do drugiej pochodnej umożliwia w wielu przypadkachokreślenietypupunktukrytycznegojeślibowiemx 0 jestpunktemkrytycznymfunkcji f to wzór Taylora przyjmuje postać: f(x 0 +h)=f(x 0 )+f (x 0 )(h,h)+r 2 (x 0,h) Biorącwystarczającomałeotoczeniepunktux 0 możemyzagwarantować,żeozachowaniuf decydujewyłączniedrugapochodnajeślif (x 0 )jestdodatniookreślonatowtymotoczeniu wartościf(x 0 +h)będąwiększeniżf(x 0 ),zatemwx 0 jestminimumjeśliwf (x 0 )jestujemnie określona,towtymotoczeniuwartościf(x 0 +h)będąmniejszeniżf(x 0 ),czyliwx 0 jestmaksimum We wzorze Taylora używana jest forma kwadratowa odpowiadająca drugiej pochodnej (obliczamy wartość drugiej pochodnej dwa razy na tym samym przyroście) Znak tej formy możemy określić patrząc na sygnaturę: sygnatura(n, 0) oznacza formę dodatnio określoną, sygnatura(0,n)ujemniesygnatury(p,q)dlap 0iq 0odpowiadająformomprzyjmującym dodatnie i ujemne wartości W sytuacjach kiedy druga pochodna jest nieokreślona(ale niezdegenerowana,tznp+q=n)mamyinnyrodzajpunktukrytycznegowsytuacjikiedydruga pochodna jest zdegenerowana kryterium drugiego rzędu(wykorzystujące jedynie drugą pochodną) nie rozstrzyga o rodzaju punktu krytycznego Możemy wtedy szukać innych metod Jedną z nich może być wykorzystanie wyższych pochodnych Jest to często skomplikowane rachunkowo Przykład 5 Poszukajmy punktów krytycznych funkcji g(x,y)=sinxsinysin(x+y), dla 0<x<π,0<y<π Zaczynamy od wyznaczenia pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji g: g x =cosxsinysin(x+y)+sinxsinycos(x+y)= siny[cosxsin(x+y)+sinxcos(x+y)]=sinysin(2x+y) Funkcjagjestsymetrycznazewzględunazamianęxiy,zatem g x =sinxsin(x+2y) Z układu równań sinysin(2x+y)=0, sinxsin(x+2y)=0 (po uwzględnieniu ograniczonej dziedziny) wynika, że 2x+y=kπ, x+2y=lπ dlapewnych k,l Z Powyższy układ równań zapisany w postaci macierzowej przyjmuje postać: [ ][ ] [ ] 2 1 x kπ = 1 2 y lπ

9 Macierz tego układu jest niezdegenerowana, zatem posługując się macierzą odwrotną można napisaćrozwiązanie: [x ] = 1 [ ][ ] 2 1 kπ = 1 [ ] (2k l)π y 1 2 lπ ( k+2l)π Wdziedziniefunkcji(]0,π[ ]0,π[sądwapunktykrytyczne,któreotrzymujemybiorąck= 1,l=1ik=2,l=2Sątop 1 =( π,π)ip 2=( 2π,2π)Zbadamycharakterpierwszegoznich Wyznaczamydrugąpochodnąfunkcjigwpunkciep 1 : 2 g x 2=2sinycos(2x+y) ( π,π ) =2sin π ( ) 2π cos +π =2 2 ( 1)= Ze względu na symetrię stwierdzamy, że Obliczamy pochodne mieszane: 2 g y 2(π,π )= 2 g 4π x y =cosysin(2x+y)+sinycos(2x+y)=sin(2x+2y) ( =sin( π,π ) Macierzdrugiejpochodnejfunkcjigwpunkciep 1 to g (p 1 )= 2 2 Szukamy sygnatury metodą wyznacznikową: D 1 =, D 2 = 4 =9 4 ) = 2 Odpowiednie liczby wyznaczające sygnaturę to: D 1 = D 2 <0, = 9 D 2 4 <0 Formakwadratowazadawanaprzezdrugąpochodnągwpunkciep 1 masygnaturę(0,2),jest więcujemnieokreślonastwierdzamyzatem,żefunkcjagmawpunkciep 1 maksimumw ramachtreninguczytelnikmożezbadaćrodzajekstremumdlafunkcjigwpunkcie( 2π,2π) Wykres przedstawia przybliżenie funkcji g(na czerwono) przez odpowiednią funkcję kwadratową(na szaro) w okolicach punktu krytycznego 9

10 10 Przykład 6 Korzystając z procedury poszukiwania punktów krytycznych funkcji wielu zmiennych wyprowadzimy wzór na współczynniki równania regresji liniowej Załóżmy, że na płaszczyźniemamynpunktów(x i,y i )Szukamyrównaniaprostejy=f(x)=ax+btakiej,aby sumakwadratówróżnicy i f(x i )byłamożliwiemałainnymisłowyszukamyminimumfunkcji n n F(a,b)= (y i f(x i )) 2 = (y i (ax i +b)) 2 i=1 i=1 Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe funkcji F: F n a = 2(y i (ax i +b))( x i )=2 i=1 n ( ) yi x i +a(x i ) 2 +bx i = i=1 [ n ] n n 2 y i x i +a (x i ) 2 +b x i i=1 i=1 i=1 F b = [ n n n ] n 2(y i (ax i +b))( 1) = 2 ( y i +ax i +b) = 2 y i +a x i +bn i=1 i=1 i=1 i=1 Punkt krytyczny spełnia warunki czyli F a =0, F b =0, n n n y i x i +a (x i ) 2 +b x i =0, i=1 i=1 i=1 n n y i +a x i +bn=0 i=1 i=1 Dzieląc obie strony powyższych równań przez n, i oznaczając średnią arytmetyczną współrzędnychx i symboleme(x),średniąarytmetycznąwspółrzędnychy i symboleme(x)ipodobnie E(xy),E(x 2 )otrzymujemy: Z powyższych równań wyznaczamy a i b: ae(x 2 )+be(x)=e(xy), ae(x)+b=e(y) b=e(y) ae(x), ae(x 2 )+(E(y) ae(x))e(x)=e(xy) a(e(x 2 ) [E(x)] 2 )=E(xy) E(x)E(y) RóżnicaE(x 2 ) [E(x)] 2 oznaczanajestd 2 (x)inazywanawariancjąx,natomiaste(xy) E(x)E(y) oznaczana C(x, y) to kowariancja x i y Ostatecznie a= C(x,y) D 2 (x), b=e(y) C(x,y) D 2 (x) E(x) Otrzymaliśmy współrzędne punktu krytycznego funkcji F Z samej postaci funkcji nietrudno odgadnąć, że punkt ten jest w istocie minimum Dla porządku sprawdźmy jednak drugą pochodną: 2 F n a 2=2 (x i ) 2 F, b =2n, 2 F n a b =2 x i i=1 i=1

11 Macierz drugiej pochodnej ma postać n n 2 (x i ) 2 2 x i [ i=1 i=1 E(x 2 ] ) E(x) =2n n 2 x i 2n E(x) 1 i=1 Współczynnk 2n jest dodatni, nie wpływa więc na znak formy kwadratowej zadanej powyższą macierząwyznacznikpierwszegominoratod 1 =E(x 2 )-jestondodatnijakośredniadodatnichliczbwyznacznikdrugiegominora(całejmacierzy)tod 2 =E(x 2 ) [E(x)] 2 =D 2 (x) WariancjajesttakżezawszedodatniaSygnaturaokreślanajestprzezznakiD 1 i D 2 D 1 Obieliczby są dodatnie, zatem forma jest dodatnio określona Znaleziony przez nas punkt krytyczny jest rzeczywiście minimum funkcji F 11