ZMIANY KONFOREMNE I BIKONFOREMNE METRYK KÄH

Transkrypt

1 ZMIANY KONFOREMNE I BIKONFOREMNE METRYK KÄHLERA 8 lipca 2010 r. Seminarium z Geometrii Różniczkowej Politechnika Wroc lawska, Instytut Matematyki i Informatyki tekst wystawiony jest na stronie

2 BIKONFOREMNOŚĆ METRYK RIEMANNA O dwóch metrykach Riemanna g i ĝ na rozmaitości M mówi sie ι czasem, że sa ι bikonforemne, gdy ĝ = fg na H, ĝ = χg na V, g(h, V) = ĝ (H, V) = {0} dla jakichś funkcji dodatnich f, χ oraz dystrybucji V, H na M, spe lniaja ι cych warunek TM = V H. Opisana sytuacja nie jest specjalnie ciekawa w przypadku dwóch metryk Kählera na powierzchni zespolonej M, gdyż bikonforemność musi wtedy zachodzić na każdej sk ladowej spójnej pewnego ge ι stego otwartego podzbioru M. str.1

3 POTENCJA LY KILLINGA Niech (M, g) be ι dzie rozmaitościa ι Kählera. Symbol J zawsze oznacza jej tensor struktury zespolonej. Mówimy, że 2-tensor symetryczny b na M jest hermitowski, gdy b(j, J ) = b. Pole wektorowe v na M nazywamy rzeczywistym holomorficznym, lub po prostu holomorficznym, jeśli IL w J = 0, co jest równoważne ża ι daniu, by v : TM TM komutowa lo z J. Przez potencja l Killinga na (M, g) rozumiemy dowolna ι funkcje ι g ladka ι τ : M IR, dla której zachodzi jeden z trzech równoważnych warunków: g-gradient v = τ jest holomorficzny, u = J( τ) jest polem Killinga, hesjan dτ jest hermitowski. str.2

4 ZMODYFIKOWANA DEFINICJA BIKONFOREMNOŚCI Niech każda z dwóch par (g, τ) i (ĝ, ˆτ) sk lada sie ι z metryki Kählera i wybranego niesta lego potencja lu Killinga na zadanej powierzchni zespolonej M. Umówmy sie ι nazywać (g, τ) i (ĝ, ˆτ) bikonforemnie równoważnymi (i mówić, że jedna para powstaje z drugiej przez zmiane ι bikonforemna ι ) jeśli i) ĝ = f g θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ dla jakichś funkcji g ladkich f, θ : M IR, gdzie v = τ jest g-gradientem τ, zaś u = Jv oraz ξ = g(u, ). Ganczew i Michowa (2008) definiuja ι zmiany bikonforemne bardziej ogólnie: τ jest u nich po prostu funkcja ι g ladka ι. str.3

5 KWESTIA ISTNIENIA Każda para (g, τ) omawianego typu dopuszcza trywialna ι zmiane ι bikonforemna ι, w której f jest sta la ι dodatnia ι i θ = 0. Nie wiadomo, czy dla każdej pary (g, τ) na zwartej powierzchni zespolonej musi istnieć nietrywialna zmiana bikonforemna. Nietrywialne zmiany bikonforemne pary (g, τ) zawsze istnieja ι lokalnie, w zbiorze na którym dτ 0. str.4

6 Konwencje oznaczeniowe: v = τ, u = Jv, ξ = g(u, ), Q = g(v, v), Y = τ. W zbiorze otwartym M M, na którym v 0, równość i) znaczy, że ĝ = fg na H, ĝ = χg na V, g(h, V) = ĝ (H, V) = {0} dla χ = f Qθ i V = Span IR (v, u) oraz H = V. Przy tym TM = V H. Ponadto d u f = d u θ = 0. Inaczej mówia ι c: ża ι damy, by g i ĝ by ly bikonforemne i mia ly holomorficzny gradientowy wektor w lasny. G ladkość f i θ, na ca lym M stanowi dodatkowe za lożenie. str.5

7 FUNKCJE POTENCJA LÓW KILLINGA Niech (M, g) znów be ι dzie rozmaitościa ι Kählera, tym razem zwarta ι, z zadanym niesta lym potencja lem Killinga τ. Nazwijmy funkcje ι ψ : M IR g ladka ι funkcja ι τ jesli ψ jest zlozeniem M [τ min, τ max ] IR, w którym pierwsza strza lka to τ, a druga to jakaś funkcja g ladka. Latwo pokazać, że powyższy warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ψ : M IR jest funkcja ι g ladka ι i dψ dτ = 0. Za lożenie zwartości M jest istotne. str.6

8 KRYTERIUM BIKONFOREMNOŚCI Przypomnijmy definicje ι zmiany bikonforemnej: gdzie i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ v = τ jest g-gradientem τ, zaś u = Jv oraz ξ = g(u, ). Ponieważ ĝ w równosci i) jest automatycznie tensorem hermitowskim, k lada ι c ˆω = ĝ (J,, ) widzimy, że ˆω = f ω + θ ξ dτ. Aby stwierdzić, czy dane funkcje f, θ : M IR defniniuja ι (wzorem i)) nowa ι metryke ι Kählera, wystarczy spytać, czy ˆω jest forma ι zamknie ι ta ι i dodatnia ι ; warunek ii), dla odpowiednio dobranego ˆτ, trzeba sprawdzić osobno. str.7

9 Otrzymane w ten sposób kryterium wygla ι da naste ι puja ι co (jeśli użyć oznaczenia ( ) = d/dτ): ˆτ = P(τ) dla jakiejś funkcji g ladkiej P zmiennej τ, f Qθ = H(τ), gdzie H = P, d v θ + θy = H (τ), f > max (Qθ, 0). WNIOSEK. Nietrywialne zmiany bikonforemne pary (g, τ) zawsze istnieja ι lokalnie, w zbiorze na którym dτ 0. str.8

10 BRAK JEDYNOŚCI Nietrywialna zmiana bikonforemna i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ pary (g, τ), jeśli istnieje, nie jest jedyna: zawsze możemy zadać rodzine ι takich zmian, zależna ι od trzech sta lych parametrów p, q, s, i prowadza ι ca ι do par (pĝ + qg, pˆτ + qτ + s). Jedynym ograniczeniem na p, q, s jest ża ι danie, by tensor pĝ + qg by l dodatnio określony. (Wystarczy np. za lożyć, że p i q sa ι dodatnie.) str.9

11 TWIERDZENIE 1. Dla dowolnego niesta lego potencja l Killinga τ na zwartej powierzchni Kählera (M, g), naste ι puja ι ce warunki sa ι równoważne: (g, τ) dopuszcza nietrywialna ι zmiane ι bikonforemna ι postaci i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ, w której θ jest g ladka ι funkcja ι τ, [S(τ)] = H (τ) dla jakichś niesta lych funkcji g ladkich S, H : [τ min, τ max ] IR. Funkcja H w drugim warunku jest wtedy równa, z dok ladnościa ι do sta lej addytywnej, funkcji H = P dla P takiego, że ˆτ = P(τ), zaś θ i S spe lniaja ι relacje ι θ = ds/dτ. str.10

12 PRZYK LAD: POWIERZCHNIE KÄHLERA-EINSTEINA Jeśli na niep laskiej zwartej powierzchni Kählera-Einsteina (M, g) istnieje nietrywialne rzeczywiste holomorficzne pole wektorowe, to istnieje też na niej niesta ly potencja l Killinga τ, i para (g, τ) dopuszcza wtedy nietrywialna ι zmiane ι bikonforemna ι. Dowód: Z tw. Matsushimy, the przestrzén pól holomorficznych rozpie ι ta jest przez gradienty holomorficzne i ich obrazy przez J (tzn. polla Killinga). Wybieraja ι c niesta ly potencja l Killinga τ, mamy 2 Ric(v, ) = dy dla v = τ i Y = τ, wie ι c dodaja ι c do τ sta la ι dostajemy τ = 2λτ, gdzie λ jest sta la ι Einsteina (Ric = λg). Drugi warunek w Twierdzeniu 1 zachodzi zatem dla S(τ) = τ i H(τ) = λτ 2. str.11

13 PRZYK LAD: SOLITONY KÄHLERA-RICCIEGO W WYMIARZE ZESPOLONYM 2 Jeśli nie-einsteinowska zwarta powierzchnia Kählera (M, g) jest solitonem Kählera-Ricciego, tzn. dτ + Ric = λg dla jakiejś funkcji τ : M IR i sta lej λ, to τ jest niesta lym potencja lem Killinga, zaś para (g, τ) dopuszcza nietrywialna ι zmiane ι bikonforemna ι. Dowód: Jak zauważy l Hamilton (1993), nasuwaja ι c v = τ na równość dτ + Ric = λg dostajemy τ g( τ, τ) = c 2λτ, gdzie c jest sta la ι, a wie ι c e τ = (2λτ c)e τ. Twierdzenie 1 stosuje sie ι wie ι c do S(τ) = e τ i H(τ) = [2λ(τ + 1) c]e τ. str.12

14 PRZYK LAD: KONFOREMNIE EINSTEINOWSKIE POWIERZCHNIE KÄHLERA Niech τ be ι dzie krzywizna ι skalarna ι nie-einsteinowskiej, konforemnie einsteinowskiej, zwartej powierzchni Kählera. Wówczas τ jest niesta lym potencja lem Killinga, para (g, τ) dopuszcza nietrywialna ι zmiane ι bikonforemna ι. Druga ι cze ι ść tezy udowodni l LeBrun (1995). Dowód: Wiadomo, że τ > 0 na M i τ 3 + 6τY 12Q = 12c dla pewnej sta lej c > 0. Tak wie ι c Twierdzenie 1 stosuje sie ι do S(τ) = τ 1 i H(τ) = c τ 2 + τ/6. str.13

15 Chen, LeBrun and Weber (2008) dowiedli istnienia metryki o powyższych w lasnościach na powierzchni otrzymanej z CP 2 przez rozdmuchanie dwóch punktów. Metryka taka istnieje też na powierzchni powstaja ι cej przez rozdmuchanie jednego punktu w CP 2. Te ι ostatnia ι skonstrowa l Calabi (1981), zaś konforemnie jej równoważna ι metryke ι Einsteina znalaz l Page (1978). str.14

16 PRZYK LAD: SPECJALNE POTENCJA LY KÄHLERA-RICCIEGO Specjalnym potencja lem Kählera-Ricciego na zwartej powierzchni Kählera (M, g) nazywamy dowolny niesta ly potencja l Killinga τ : M IR taki, że Q = g( τ, τ) i Y = τ sa ι g ladkimi funkcjami τ. Jeśli τ jest specjalnym potencja lem Kählera-Ricciego na zwartej powierzchni Kählera (M, g), to para (g, τ) dopuszcza nietrywialne zmiany bikonforemne postaci i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ, w których θ może być dowolna ι zadana ι g ladka ι funkcja ι zmiennej τ, nie równa ι tożsamościowo zeru. str.15

17 Dowód: Warunek w Twierdzeniu 1 jest spe lniony przez każda ι niesta la ι funkcje ι g ladka ι S : [τ min, τ max ] IR. Zwarte powierzchnie Kählera ze specjalnymi potencja lami Kählera-Ricciego sa ι ca lkowicie sklasyfikowane (D. i Maschler, 2006). Powierzchnia taka musi być biholomorficznie równoważna CP 2 lub przestrzeni totalnej wia ι zki holomorficznej o w lóknie CP 1 nad powierzchnia ι Riemanna. Ta ostatnia możliwość zrealizowana jest przez powierzchnie ι powstaja ι ca ι przez rozdmuchanie jednego punktu w CP 2 z metryka ι konforemnie einsteinowska ι skonstrowana ι przez Calabiego (1981), która jest konforemnie równoważna metryce einsteinowskiej Page a (1978). str.16

18 POTENCJA LY KILLINGA O GEODEZYJNYCH GRADIENTACH Mówimy, że niesta ly potencja l Killinga τ na zwartej rozmaitości Kählera (M, g) ma geodezyjny gradient jeśli wszystkie krzywe ca lkowe τ sa ι, z dok ladnościa ι do parametryzacji, geodezyjnymi. Przyk lad: dowolny specjalny potencja l Kählera-Ricciego. Dla każdego niesta lego potencja lu Killinga τ o geodezyjnym gradiencie na zwartej powierzchni Kählera (M, g), para (g, τ) dopuszcza nietrywialna ι zmiane ι bikonforemna ι w której H = P, dla P takiego, że ˆτ = P(τ), może, z dok ladnościa ι do sta lej addytywnej, być dowolna ι zadana ι niesta la ι g ladka ι funkcja ι zmiennej τ [τ min, τ max ] o pochodnej L 2 -ortogonalnej do funkcji liniowych zmiennej τ. str.17

19 OGÓLNIEJSZY TYP ZMIAN BIKONFOREMNYCH Okazuje sie ι, że w wielu przypadkach dla pary (g, τ) wiadomego typu na zwartej powierzchni zespolonej M pojawia sie ι w naturalny sposób nietrywialna zmiana bikonforemna i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ, nie wyjściowej pary (g, τ), tylko jej obcie ι cia do podrozmaitości otwartej ge ι stej zadanej warunkiem dτ 0, przy czym funkcje f, Qθ, ˆτ i metryka ĝ sa ι (g ladko) określone na ca lym M. Za to θ, w odróżnieniu od Qθ, może nie mieć g ladkiego przed lużenia do M. Przyk lad takiej sytuacji widzimy w naste ι pnym twierdzeniu. str.18

20 TWIERDZENIE 2. Przypuśćmy, że τ jest niesta lym potencja lem Killinga na zwartej powierzchni Kählera (M, g), zaś ĝ jest metryka ι Kählera na M reprezentuja ι ca ι te ι sama ι klase ι kohomologii co g, a ψ : M IR jest funkcja ι g ladka ι spe lniaja ι ca ι warunek ˆω = ω + 2i ψ dla form Kählera ω i ˆω metryk g i ĝ. Jeśli istnieje zmiana bikonforemna pary (g, τ) prowadza ι ca do pary postaci (ĝ, ˆτ), to ( ) d v ψ jest g ladka ι funkcja ι τ i d u ψ = 0. Na odwrót, z warunku ( ) wynika, że dla pewnego niesta lego potencja lu Killinga ˆτ na (M, ĝ ) para (ĝ, ˆτ), obcie ι ta do zbioru M na którym dτ 0, powstaje z (g, τ) przez zmiane ι bikonforemna ι taka ι że, na M, i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ, dla f = ψ + 1 d(d v ψ)/dτ, θ = [ ψ 2d(d v ψ)/dτ]/q i ˆτ = τ + d v ψ. str.19

21 METRYKI U(2)-NIEZMIENNICZE Niech M oznacza ba ι dź CP 2 ba ι dź powierzchnie ι otrzymana ι przez rozdmuchanie jednego punktu w CP 2. Grupa U(2) dzia la wie ι c na M efektywnie, przez biholomorfizmy. Dla dowolnej U(2)-niezmienniczej metryki Kählera na M, ustalone pole wektorowe u generuja ι ce dzia lanie centrum U(1) U(2) jest U(2)-niezmienniczym polem Killinga dla g. Zatem u = J( τ) dla pewnego niesta lego potencja lu Killinga τ na (M, g). Nazwijmy taki τ stowarzyszonym z g. Ponieważ orbity g lówne U(2) sa ι trójwymiarowe, każda U(2)-niezmiennicza funkcja g ladka M IR jest g ladka ι funkcja ι τ. Dla funkcji Q = g( τ, τ) i Y = τ wynika sta ι d, że τ jest specjalnym potencja lem Kählera-Ricciego na (M, g). str.20

22 JESZCZE O METRYKACH U(2)-NIEZMIENNICZYCH Dla dowolnych dwóch U(2)-niezmienniczych metryk Kählera g, ĝ na M i stowarzyszonych z nimi niesta lych potencja lów Killinga τ, ˆτ, para (ĝ, ˆτ) obcie ι ta do M powstaje z (g, τ) przez zmiane ι bikonforemna ι i) ĝ = fg θ(dτ dτ + ξ ξ), ii) ˆ ˆτ = τ. Jeśli M jest wynikiem rozdmuchania punktu w CP 2, to f and Qθ oraz wia ι zki V i H przestrzeni w lasnych maja ι g ladkie przed lużenia do M takie, że f > max (Qθ, 0) na M. str.21

23 DWIE METRYKI KLASYCZNE Na powierzchni powstaja ι cej przez rozdmuchanie jednego punktu w CP 2 znane sa ι dwie,,klasyczne,, U(2)-niezmiennicze metryki Kählera. Jedna z nich to soliton Kählera-Ricciego skonstruowany przez Koiso (1990) i, niezależnie, Cao (1996); druga ι jest metryka ekstremalna Calabiego (1981), konforemna z metryka ι Einsteina znaleziona ι przez Page a (1978). Mie ι dzy tymi dwiema metrykami istnieje wie ι c zmiana bikonforemna ogólniejszego typu. Nie wiadomo, czy można ja ι zasta ι pić zmiana ι bikonforemna ι w zwyk lym sensie. str.22

24 JESZCZE O GEODEZYJNYCH GRADIENTACH Zwarte powierzchnie Kählera (M, g) z niesta lymi potencja lami Killinga τ o geodezyjnych gradientach daja ι sie ι ca lkowicie sklasyfikować. Możemy przy tym wykluczyć (znany już) przypadek specjalnch potencja lów Kählera-Ricciego. KONSTRUKCJA MODELI UNIWERSALNYCH: Wybierzmy nietrywialny odcinek domknie ι ty I = [τ min, τ max ], sta la ι rzeczywista ι a > 0, zwarta ι rozaitość Kählera (N, h) wymiaru zesplonego 1 (tzn. zorientowana ι rzeczywista ι powierzchnie ι zamknie ι ta ι N z metryka ι Riemanna h), oraz odwzorowania g ladkie I τ Q IR i γ : N IRP 1 I takie, że Q = 0 na końcach przedzia lu, Q > 0 w jego wne ι trzu I = (τ min, τ max ), zaś Q = 2a τ = τ min i Q = 2a dla τ = τ max. str.23

25 CIA ι G DALSZY KONSTRUKCJI Przy tym ( ) = d/dτ i IR jest traktowane jak podzbiór IRP 1 ze standartowym w lożeniem τ [τ, 1] (wspó lrze ι dne jednorodne). Przez τ oznaczamy środek przedzia lu I. Ustalmy też g ladka ι wia ι zke ι L prostych zespolonych nad N, hermitowska ι metryke ι w lóknista ι, w L, oraz koneksje ι w L, metryczna ι wzgle ι dem,, z forma ι krzywizny Ω = a(τ γ) 1 ω (h), gdzie ω (h) jest forma ι Kählera metryki h. (Tak wie ι c Ω = 0 w punktach, w których γ =.) Symbol L oznacza również przestrzeń totalna ι, a V i H to dystrybucja wertykalna Ker dπ i dystrybucja horyzontalna naszej koneksji, przy czym π jest projekcja ι L N. str.24

26 Norme ι r : L [0, ) metryki, traktujemy zarazem jak zmienna ι niezależna ι w przedziale [0, ). Naste ι pnie wybieramy dyfeomorpfizm I τ r (0, ) taki, że dr/dτ = ar/q. Definiujemy teraz metryke ι Riemanna g na M = L N, k lada ι c g = (τ γ π) 1 (τ γ π)π h albo g = π h na H, g = (ar) 2 Q Re, na V, oraz g(h, V) = {0}. Na H pierwszy wzór stosuje sie ι w przeciwobrazie przez π podzbioru N na którym γ, a drugi wzór na jego dope lnieniu. Wybrany dyfeomorfizm τ r pozwala nam traktować τ (a wie ι c i Q) jak funkcje ι M IR. Niech M be ι dzie rzutowa ι kompaktyfikacja ι g ladkie przed lużenia do M. L. Nasze g i τ maja ι str.25