O centralizatorach skończonych podgrup
|
|
|
- Krzysztof Piekarski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, czerwca 2009
2 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe płaskich rozmaitości Afiniczne równoważności płaskich rozmaitości Skończone grupy automorfizmów zewnętrznych Reprezentacje grup skończonych 2 Podgrupy centralizatorów w GL(n, Z) Twierdzenie Lemat Schura Dowód twierdzenia 3 Przykłady Grupa alternujaca A 5
3 Płaskie rozmaitości i grupy Bieberbacha X zwarta, spójna rozmaitość Riemanna z krzywizna sekcyjna równa zero (płaska rozmaitość). Γ = π 1 (X) grupa podstawowa X grupa Bieberbacha. X jest izometryczne z R n /Γ. Γ wyznacza X z dokładnościa do afinicznej równoważności.
4 Grupy Bieberbacha Definicja Grupa Bieberbacha to beztorsyjna grupa zdefiniowana przez krótki ciag dokładny 0 Z n Γ G 1. G skończona podgrupa GL(n, Z). G działa na Z n przez mnożenie macierzy. Element α H 2 (G, M) odpowiadajacy powyższemu rozszerzeniu jest specjalny, tzn. res G Hα 0 dla każdej nietrywialnej podgrupy H grupy G.
5 Grupa odwzorowań afinicznych Aff(X) grupa odwzorowań afinicznych X. Aff(X) jest grupa Lie. Aff 0 (X) składowa identyczności Aff(X). Aff 0 (X) jest torusem. Wymiar Aff 0 (X) równa się β 1 (X) pierwszej liczbie Bettiego X (β 1 (X) = rkz(γ)). Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973) Aff(X)/Aff 0 (X) = Out(Γ)
6 Skończone grupy odwzorowań afinicznych Wniosek Aff(X) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy 1 β 1 (X) = 0 oraz 2 Out(Γ) <. Problem (Szczepański 2006) Które grupy skończone realizuj a się jako grupy automorfizmów zewnętrznych grup Bieberbacha z trywialnym centrum.
7 Wyznaczanie Out(Γ) Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973) 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. N α stabilizator α H 2 (G, Z n ) względem działania N GL(n,Z) (G) zdefiniowanego następujaco n a(g 1, g 2 ) = n a(n 1 g 1 n, n 1 g 2 n). H 1 (G, Z n ) jest grupa skończona. Indeks [N GL(n,Z) (G): N α ] jest skończony.
8 Wyznaczanie Out(Γ) Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973) 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. N α stabilizator α H 2 (G, Z n ) względem działania N GL(n,Z) (G) zdefiniowanego następujaco n a(g 1, g 2 ) = n a(n 1 g 1 n, n 1 g 2 n). H 1 (G, Z n ) jest grupa skończona. Indeks [N GL(n,Z) (G): N α ] jest skończony.
9 Skończone grupy automorfizmów zewnetrznych Przez naturalna reprezentację grupy G < GL(n, Z) będziemy rozumieli odwzorowanie τ = id G. Twierdzenie (Szczepański 96) Następujace warunki sa równoważne: 1 Grupa Out(Γ) jest nieskończona. 2 Normalizator N GL(n,Z) (G) grupy G w GL(n, Z) jest nieskończony. 3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.
10 Skończone grupy automorfizmów zewnetrznych Przez naturalna reprezentację grupy G < GL(n, Z) będziemy rozumieli odwzorowanie τ = id G. Twierdzenie (Szczepański 96) Następujace warunki sa równoważne: 1 Grupa Out(Γ) jest nieskończona. 2 Centralizator C GL(n,Z) (G) grupy G w GL(n, Z) jest nieskończony. 3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.
11 Reprezentacje grup skończonych R pierścień Z, Q, R, C, G grupa skończona. Homomorfizm ϱ: G GL(n, R) nazywamy reprezentacja grupy G. Reprezentacje ϱ, τ nazywamy R-izomorficznymi, jeżeli Q GL(n,R) g G Qϱ(g) = τ(g)q. Reprezentacja ϱ jest przywiedlna, jeżeli jest izomorficzna z reprezentacja postaci R n R[G]-moduł. ϱ 1... ϱ k.
12 Reprezentacje grup skończonych R pierścień Z, Q, R, C, G grupa skończona. Homomorfizm ϱ: G GL(n, R) nazywamy reprezentacja grupy G. Reprezentacje ϱ, τ nazywamy R-izomorficznymi, jeżeli Q GL(n,R) Qϱ = τq. Reprezentacja ϱ jest przywiedlna, jeżeli jest izomorficzna z reprezentacja postaci R n R[G]-moduł. ϱ 1... ϱ k.
13 Charaktery Charakterem reprezentacji ϱ nazywamy funkcję χ ϱ : G R g G χ ϱ (g) = Tr(ϱ(g)). R = C charaktery klasyfikuja reprezentacje.
14 Pytania Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1 Czy N α /G może być dowolna grupa? Niech C α = N α C GL(n,Z) (G) Czy C α G/G = C α /Z(G) może być dowolna grupa? Czy istnieje grupa, która nie realizuje się jako podgrupa skończonego centralizatora dowolnej podgrupy GL(n, Z)?
15 Pytania Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1 Czy N α /G może być dowolna grupa? Niech C α = N α C GL(n,Z) (G) Czy C α G/G = C α /Z(G) może być dowolna grupa? Czy istnieje grupa, która nie realizuje się jako podgrupa skończonego centralizatora dowolnej podgrupy GL(n, Z)?
16 Pytania Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1 Czy N α /G może być dowolna grupa? Niech C α = N α C GL(n,Z) (G) Czy C α G/G = C α /Z(G) może być dowolna grupa? Czy istnieje grupa, która nie realizuje się jako podgrupa skończonego centralizatora dowolnej podgrupy GL(n, Z)?
17 Struktura skończonych centralizatorów Niech A oznacza rodzinę grup skończonych, bez grupy trywialnej, taka że dla każdego A A mamy A ma dokładnie jedna C-nieprzywiedlna reprezentację stopnia 1. Każda C-nieprzywiedlna reprezentacja A może być zrealizowana nad R. {A n } n 5 A (Riese, 2002). Twierdzenie Niech G < GL(n, Z) będzie grupa skończona, taka że C GL(n,Z) (G) jest skończony. Wtedy A<CGL(n,Z) (G)A A.
18 Lemat Schura Niech R oznacza pierścień, M i N lewe R-moduły. Lemat Niech f : M N będzie homomorfizmem R-modułów. Jeżeli M i N sa proste, to f jest izomorfizmem, badź f = 0. Ponadto, jeżeli M = N oraz R = C[G] jest pierścieniem grupowym, dla pewnej grupy skończonej G, to f jest homotetia, tzn. Wniosek λ C m M f(m) = λm. Niech M i N będa półprostymi modułami, które nie maja izomorficznych podmodułów. Wtedy Hom R (M, N) = 0.
19 Izomorfizmy reprezentacji K ciało charakterystyki 0. G grupa skończona. ϱ: G GL(n, K) reprezentacja grupy G o następujacym rozkładzie nad K k ϱ = m i ϱ i. i=1 ϱ i : G GL(n i, K) nieprzywiedlne, parami nieizomorficzne. m i ϱ i = m i j=1 ϱ i. B GL(n, K) wyznacza izomorfizm ϱ: Bϱ = ϱb.
20 Izomorfizmy reprezentacji Lemat B jest blokowa macierza diagonalna B = k B i, i=1 gdzie B i GL(m i n i, K) wyznaczaj a izomorfizmy reprezentacji m i ϱ i.
21 Szkic dowodu Załóżmy, że A < C GL(n,Z) (G) oraz A A. Pokażemy, że C GL(n,Z) (G) jest nieskończony. Niech τ = id G, ϱ = id A będa naturalnymi reprezentacjami grup odpowiednio G i A. Niech ϱ = k i=1 m iϱ i będzie rozkładem ϱ nad Q, tzn. τ = Q 1 τq. Q GL(n,Q) ϱ = Q 1 ϱq. Ponieważ τ ϱ = ϱ τ, więc τ = k i=1 τ i, gdzie τ i (m i ϱ i ) = (m i ϱ i )τ i.
22 Szkic dowodu Założenie: ϱ 1 nie jest trywialna. Przypadek 1: ϱ 1 jest C-nieprzywiedlna. Wtedy τ 1 = np gdzie n > 1 oznacza stopień reprezentacji ϱ 1, a p: G GL(m 1, Q) jest reprezentacja grupy G. Przypadek 2: ϱ 1 jest R-przywiedlna. Wtedy mamy rozkład τ 1 nad R: s τ 1 = d i p i. i=1 Jeżeli dla pewnego 1 j s, p j nie jest reprezentacja wymierna, to τ 1 zawiera Q-nieprzywiedlna, ale R-przywiedlna reprezentację.
23 Wniosek reprezentacje centralizatorów Wniosek: Centralizator C GL(n,Z) (G) jest nieskończony. Wniosek R-nieprzywiedlna podreprezentacja reprezentacji naturalnej podgrupy skończonego centralizatora jest albo trywialna, badź C-przywiedlna.
24 Wniosek reprezentacje centralizatorów Wniosek: Centralizator C GL(n,Z) (G) jest nieskończony. Wniosek R-nieprzywiedlna podreprezentacja reprezentacji naturalnej podgrupy skończonego centralizatora jest albo trywialna, badź C-przywiedlna.
25 Realizacja A 5 jako Out(Γ) Γ grupa Bieberbacha zdefiniowana przez krótki ciag dokładny 0 Z n Γ G 1. α H 2 (G, Z n ) klasa definiujaca Γ. (Z n ) G = {z Z n g G gz = z} = 0 centrum Γ jest trywialne. N α = {n N GL(n,Z) (G) n α = α}. C α = N α C GL(n,Z) (G). Stwierdzenie Jeżeli Out(Γ) = A 5, to C α = Z(G).
26 Izomorfizm Out(Γ) z A 5 Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. Out(Γ) = A 5 jest grupa prosta, więc: H 1 (G, Z n ) = 0. N α /G = A 5. Możliwe sa tylko dwa przypadki: C α = Z(G). N α = G C α.
27 Izomorfizm Out(Γ) z A 5 Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. Out(Γ) = A 5 jest grupa prosta, więc: H 1 (G, Z n ) = 0. N α /G = A 5. Możliwe sa tylko dwa przypadki: C α = Z(G). N α = G C α.
28 Centralne rozszerzenie przez A 5 Mamy krótki ciag dokładny 1 Z(G) C α A 5 1. C α cetralne rozszerzenie centrum grupy G przez A 5 zależy tylko od klasy kohomologii β H 2 (A 5, Z(G)) definiujacej powyższy ciag. Niech Z p q będzie trywialnym A 5 -modułem, gdzie p jest liczba pierwsza, q N. Mamy { H 2 Z2, p = 2 (A 5, Z p q) = 0, p 3 Jeżeli Z 2 Z(G) lub β = 0, to C α = Z(G) A 5, co jest niemożliwe.
29 Grupa SL(2, 5) Jeżeli Z 2 Z(G) oraz β 0, to ϱ: SL(2, 5) C α. SL(2, 5) = a, b, c a 2 c, b 3, (ab) 5, [a, c], [b, c], c 2. Z(SL(2, 5)) = c. Tablica charakterów SL(2, 5) c I. 1 b a ba b 2 a c cb (ba) 2 c(ba) 2 χ χ 2a ω ω 4 ω + ω ω 2 + ω 3 ω 2 ω 3 χ 2b ω 2 ω 3 ω 2 + ω ω + ω 4 ω ω 4 χ 3a ω 2 ω 3 ω 2 ω ω ω 4 ω ω 4 χ 3b ω ω 4 ω ω ω 2 ω 3 ω 2 ω 3 χ 4a χ χ χ
30 Grupa SL(2, 5) Jeżeli Z 2 Z(G) oraz β 0, to ϱ: SL(2, 5) C α. SL(2, 5) = a, b, c a 2 c, b 3, (ab) 5, [a, c], [b, c], c 2. Z(SL(2, 5)) = c. Tablica charakterów SL(2, 5) c I. 1 b a ba b 2 a c cb (ba) 2 c(ba) 2 χ χ 2a ω ω 4 ω + ω ω 2 + ω 3 ω 2 ω 3 χ 2b ω 2 ω 3 ω 2 + ω ω + ω 4 ω ω 4 χ 3a ω 2 ω 3 ω 2 ω ω ω 4 ω ω 4 χ 3b ω ω 4 ω ω ω 2 ω 3 ω 2 ω 3 χ 4a χ χ χ
31 Grupa SL(2, 5) Jeżeli Z 2 Z(G) oraz β 0, to ϱ: SL(2, 5) C α. SL(2, 5) = a, b, c a 2 c, b 3, (ab) 5, [a, c], [b, c], c 2. Z(SL(2, 5)) = c. Tablica charakterów SL(2, 5) c I. 1 b a ba b 2 a c cb (ba) 2 c(ba) 2 χ χ 2a ω ω 4 ω + ω ω 2 + ω 3 ω 2 ω 3 χ 2b ω 2 ω 3 ω 2 + ω ω + ω 4 ω ω 4 χ 3a ω 2 ω 3 ω 2 ω ω ω 4 ω ω 4 χ 3b ω ω 4 ω ω ω 2 ω 3 ω 2 ω 3 χ 4a χ χ χ
32 Centrum G Z dokładnościa do izomorfizmu, istnieja trzy Z-nieprzywiedlne reprezentacje grupy Z 2, dane przez obraz generatora a tej grupy: (1) a [ 1 ] (2) a [ 1 ] [ ] 0 1 (3) a 1 0 Reprezentacja ϱ zawiera podreprezentację trywialna. W przeciwnym wypadku ϱ(c) = I G, a więc grupa Γ nie jest beztorsyjna. Element ϱ(c) Z(G) jest macierza blokowa postaci [ 1 0 lub 0 1 ].
33 Elementy grupy G Niech g G. W postaci blokowej g ma postać: g 11 g 12 g 13 g 14 g = g 21 g 22 g 23 g 24 g 31 g 32 g 33 g 34. g 41 g 42 g 43 g 44 g ϱ(c) = ϱ(c) g, więc g = g 11 g 12 g 12 0 g 21 g 22 g 23 g 24 g 21 g 23 g 22 g g 42 g 42 g 44
34 Elementy grupy G Niech g G. W postaci blokowej g ma postać: [ ] g11 g g = 12. g 21 g 22 g ϱ(c) = ϱ(c) g, więc g = [ g g 22 ].
35 Grupy kohomololgii Pokażemy, że H 1 (G, Z n ) 0. H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, Q n /Z n ). Centrum grupy Γ jest trywialne, więc H 1 (G, Z n ) = H 0 (G, Q n /Z n ) = (Q n /Z n ) G = {v Q n /Z n gv = v}. Niech γ H 1 (G, Q n /Z n ) odpowiada klasie α H 2 (G, Z n ), h γ. Dla dowolnego g G mamy Otrzymujemy [ ] 1 0 ϱ(c) = (ϱ(c) 1)h(g) = (g 1)h(ϱ(c)). [ ] [ ] [ 0 0 h1 (g) g = 0 2 h 2 (g) 0 g 22 1 [ ] v (Q 0 n /Z n ) G H 1 (G, Z n ) 0 ] [ ] h1 (ϱ(c)) h 2 (ϱ(c))
36 Grupy kohomololgii Pokażemy, że H 1 (G, Z n ) 0. H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, Q n /Z n ). Centrum grupy Γ jest trywialne, więc H 1 (G, Z n ) = H 0 (G, Q n /Z n ) = (Q n /Z n ) G = {v Q n /Z n gv = v}. Niech γ H 1 (G, Q n /Z n ) odpowiada klasie α H 2 (G, Z n ), h γ. Dla dowolnego g G mamy Otrzymujemy [ ] 1 0 ϱ(c) = (ϱ(c) 1)h(g) = (g 1)h(ϱ(c)). [ ] [ ] 0 0 h1 (g) = 0 2 h 2 (g) [ ] v (Q 0 n /Z n ) G H 1 (G, Z n ) 0 [ g g 22 1 ] [ ] v 0
37 Reprezentacje SL(2, 5) oraz G Niech ϱ będzie rozkładem ϱ nad Q postaci ϱ = 1 ϱ 1, gdzie ϱ 1 nie zawiera reprezentacji trywialnej. τ = id G naturalna reprezentacja G. Niech τ = Q 1 τq, gdzie ϱ = Q 1 ϱq. Otrzymujemy τ = τ 0 τ 1, gdzie τ 1 ϱ 1 = ϱ 1 τ 1.
38 Macierz sprzężenia Niech q 11 q 12 q 13 q 14 Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 31 q 32 q 33 q 34 q 41 q 42 q 43 q 44 będzie postacia blokowa Q odpowiadajac a postaci ϱ(c). Qϱ (c) = ϱ(c)q, więc q 11 q Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 21 q 22 q 23 q q 43 q 44
39 Macierz sprzężenia Niech q 11 q 12 q 13 q 14 Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 31 q 32 q 33 q 34 q 41 q 42 q 43 q 44 będzie postacia blokowa Q odpowiadajac a postaci ϱ(c). Qϱ (c) = ϱ(c)q, więc q 11 q Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 21 q 22 q 23 q q 43 q 44
40 Pierwsza grupa kohomologii τ = Q 1 τq = τ 0 τ 1. τ (G) < τ 0 (g) 1, 1 τ 1 (g) g G = Q 1 G Q. G < G oraz (Q n /Z n ) G < (Q n /Z n ) G. Otrzymujemy g 11 g 12 g G = g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g 23 0, 0 1 g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g g 42 g 42 g 44
41 Pierwsza grupa kohomologii τ = Q 1 τq = τ 0 τ 1. τ (G) < τ 0 (g) 1, 1 τ 1 (g) g G = Q 1 G Q. G < G oraz H 1 (G, Z n ) H 1 (G, Z n ). Otrzymujemy g 11 g 12 g G = g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g 23 0, 0 1 g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g g 42 g 42 g 44
42 Pierwsza grupa kohomologii 0 v 1 2 Zk /Z k, k = deg(g 23 ). Mamy g 11 g 12 g g 21 1 g 23 g 23 0 v g 21 g 23 1 g 23 0 v = g 23 g 23 g 24 v 0 g 23 1 g 23 g 24 v = 0 g 42 g 42 g v v v 0 0 v v 0 Otrzymujemy H 1 (G, Z n ) 0 H 1 (G, Z n ) 0.
43 Pierwsza grupa kohomologii 0 v 1 2 Zk /Z k, k = deg(g 23 ). Mamy g 11 g 12 g 12 0 g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g v v 0 = 0 v v g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g 24 0 g 42 g 42 g 44 0 v v 0 = 0 v v 0 Otrzymujemy H 1 (G, Z n ) 0 H 1 (G, Z n ) 0.
44 Podsumowanie Nie każda grupę skończona można zrealizować jako centralizator pewnej podgrupy GL(n, Z). Nie każda grupę skończona można zrealizować jako podgrupę skończonego centralizatora pewnej podgrupy GL(n, Z). Jeżeli A 5 da się zrealizować jako grupa automorfizmów zewnętrznych pewnej grupy Bieberbacha z trywialnym centrum, to N α \ G nie zawiera elementów przemiennych z G.
45 Podsumowanie Nie każda grupę skończona można zrealizować jako centralizator pewnej podgrupy GL(n, Z). Nie każda grupę skończona można zrealizować jako podgrupę skończonego centralizatora pewnej podgrupy GL(n, Z). Jeżeli A 5 da się zrealizować jako grupa automorfizmów zewnętrznych pewnej grupy Bieberbacha z trywialnym centrum, to N α \ G nie zawiera elementów przemiennych z G.
46 Podsumowanie Nie każda grupę skończona można zrealizować jako centralizator pewnej podgrupy GL(n, Z). Nie każda grupę skończona można zrealizować jako podgrupę skończonego centralizatora pewnej podgrupy GL(n, Z). Jeżeli A 5 da się zrealizować jako grupa automorfizmów zewnętrznych pewnej grupy Bieberbacha z trywialnym centrum, to N α \ G nie zawiera elementów przemiennych z G.
47 Dziękuję za uwagę!
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Definicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Lokalizacja ekwiwariantnych teorii kohomologii
Lokalizacja ekwiwariantnych teorii kohomologii Stanisław Szawiel 18 maja 2008 1 Preliminaria 1.1 Kilka faktów o lokalizacji algebraicznej Potrzebujemy kilku prostych faktów o lokalizacji algebraicznej.
Algebraiczne własności grup klas odwzorowań
Algebraiczne własności grup klas odwzorowań Michał Stukow Uniwersytet Gdański Forum Matematyków Polskich 7 września 2006 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna 1 Definicje i przykłady
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Grupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących
Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
![= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i](/thumbs/63/50165120.jpg "= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i")
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put
Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put A. Nowel kwiecień 2017 Marius van der Put, Grothendieck s conjecture for the Risch equation y = ay + b. Indag. Math. (N.S.) 12 (2001),
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Grupy generowane przez mep-pary
Grupy generowane przez mep-pary Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Szaszkowskiego i Marka Żabki) Zakład Algebry Instytut Matematyki Politechnika Śląska e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Projekt matematyczny
Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
![... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1](/thumbs/23/1918788.jpg "... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1")
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana
Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;
1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011 Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 10 lutego 2011 1 Kategorie i
TEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2
TEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2 Techniki kombinatoryczne rozróżniania węzłów i splotów ØLiczba skrzyżowań, ØLiczba mostów, ØKolorowanie, ØIndeks zaczepienia, ØSzkic elementów arytmetyki węzłów.
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Zadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Działanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Zbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2
Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.
n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Zadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Algebraiczna geometria rzutowa
Algebraiczna geometria rzutowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Czerwiec 2003 Spis treści
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk
Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1.
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Arytmetyka Grupy Mordella-Weila na rozmaitości abelowej nad ciałem skończenie generowanym nad Q.
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza Piotr Rzonsowski Arytmetyka Grupy Mordella-Weila na rozmaitości abelowej nad ciałem skończenie generowanym nad Q. Rozprawa doktorska
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Minimalne zbiory generatorów grup klas odwzorowań. Michał Stukow
Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego Minimalne zbiory generatorów grup klas odwzorowań Michał Stukow Rozprawa doktorska napisana w Zakładzie Algebry Instytutu Matematyki pod
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 31 stycznia 2011 1 Odwzorowania w sfery Wykażemy, że klasa homotopii odwzorowania
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także