Podróże po Imperium Liczb Część 1 Liczby wymierne Andrzej Nowicki
|
|
- Karolina Stasiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podróże po Imperium Liczb Część Liczby wymierne Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 202
2 WYM - 27(778)
3 Spis treści Wstęp Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 5. Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr Równości wynikające z twierdzenia Abela Następne równości z liczbami wymiernymi Całkowitość pewnych liczb wymiernych Wymierność pewnych liczb rzeczywistych Przedstawianie liczb wymiernych w szczególnej postaci Podzbiory zbioru liczb wymiernych Dodatkowe fakty i zadania z liczbmi wymiernymi Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Ogólne fakty o rozkładach jedynki Rozkłady jedynki na sumę s 7 ułamków prostych Rozkłady jedynki na sumę s 8 ułamków prostych Dodatkowe fakty o rozkładach jedynki Rozkłady liczb wymiernych na ułamki proste Rozkłady liczb wymiernych Rozkłady liczb naturalnych Sumy dwóch ułamków prostych Równanie x + y = z Równanie x + y = 2 z Sumy trzech ułamków prostych Hipotezy o sumach trzech ułamków prostych Sumy czterech ułamków prostych Odwrotności wyrazów pewnych ciągów Niecałkowitość sumy odwrotności wyrazów ciągu Odwrotności wyrazów ciągu arytmetycznego Odwrotności kolejnych liczb naturalnych Naprzemienne sumy ułamków prostych Odwrotności liczb pierwszych Odwrotności liczb potęgowych Odwrotności liczb kwadratowych Odwrotności liczb trójkątnych Odwrotności sześcianów Granice Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 6 5. Tablice rozwinięć dziesiętnych pewnych liczb wymiernych Okresy rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych Różne zadania o rozwinięciach dziesiętnych liczb wymiernych Przystawanie modulo m dla liczb wymiernych Definicje Przystawanie i mianowniki Przystawanie i dodawanie Przystawanie jako relacja równoważności Przystawanie i mnożenie i
4 6.6 Przystawanie modulo Przystawanie modulo p k Podzielność dla liczb wymiernych 7 7. Rozkład kanoniczny liczb wymiernych Relacja podzielności w Q Nwd i nww dla liczb wymiernych. Definicje i przykłady Nwd i nww dla liczb wymiernych. Własności Względnie pierwsze liczby wymierne Twierdzenie Wolstenholme i jego uogólnienia Współczynniki A i Współczynniki A i dla liczb pierwszych Zastosowania dla liczb pierwszych i iloczynów Sumy odwrotności iloczynów Odwrotności liczb względnie pierwszych: podstawowe fakty Odwrotności liczb względnie pierwszych: Twierdzenia Gessela Twierdzenie Wolstenholme i inne twierdzenia Dodatkowe fakty i zadania Liczby postaci x /x 2 + x 2 /x x s /x Podstawowe własności zbiorów B s i A s Zbiór B Zbiór B 3 i liczby (a 3 + b 3 + c 3 )/abc Nieskończoność zbioru A Przykłady liczb naturalnych należących do A Występowanie danej liczby w rozkładach liczb ze zbioru A Zbiór B Liczby postaci x/y + y/z + z/x, gdzie x, y, z są liczbami całkowitymi Zbiór A Dodatkowe informacje o liczbach wymiernych Kwadraty liczb wymiernych Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Równania diofantyczne i rozwiązania wymierne Pewne nierówności wymierne Liczby Fibonacciego, Lucasa i liczby wymierne Liczby wymierne i ciągi szczególnej postaci Liczby wymierne i klasyczne funkcje arytmetyczne Spis cytowanej literatury 9 Skorowidz nazwisk 25 Skorowidz 27 ii
5 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 894 roku (przeważnie 0 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P.
6 Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a,..., a n oznaczamy przez nwd(a,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a,..., a n ) lub [a,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 0. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 0. Liczby i funkcje rzeczywiste;. Silnie i symbole Newtona; 2. Wielomiany; 3. Nierówności; 4. Równanie Pella; 5. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2
7 o o o o o Pierwsza książka z serii Podróże po Imperium Liczb poświęcona jest liczbom wymiernym, czyli liczbom postaci a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, przy czym b jest różne od zera. Książka ta składa się z dziesięciu rozdziałów. Trzy z tych rozdziałów (rozdziały 2, 3 i 4) są o liczbach wymiernych postaci n, gdzie n jest liczbą naturalną. Takie liczby nazywają się ułamkami prostymi lub ułamkami egipskimi. W rozdziałach tych badane są głównie zagadnienia związane z rozkładami liczb wymiernych na skończoną sumę ułamków prostych. Ułamkami prostymi zajmujemy się również w rozdziale 8. W 862 roku J. Wolstenholme udowodnił, że jeśli p 5 jest liczbą pierwszą, to licznik ułamka a b = p jest podzielny przez p 2. Przedstawiamy dwa różne dowody tego faktu. W rozdziale 8 podajemy przeróżne warianty twierdzenia Wolstenholme oraz zajmujemy się problemami stowarzyszonymi z tym twierdzeniem. Główną motywacją do powstania tego rozdziału była piękna praca I. M. Gessela, opublikowana w 998 roku w The American Mathematical Monthly. Rozdziały 6 i 7 pełnią funkcję pomocniczą. Przedstawiamy w nich zagadnienia potrzebne do zrozumienia pewnych dowodów z rozdziału 8. Każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne. Dana liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest albo skończone, albo okresowe. Pewnym problemom związanym z tym zagadnieniem poświęcony jest rozdział 5. W rozdziale dziwiątym zajmujemy się dodatnimi liczbami wymiernymi postaci x + x x s + x s, x 2 x 3 x s x gdzie x,..., x s są liczbami naturalnymi. Godnym uwagi jest fakt, że jeśli s = 2, to każda liczba naturalna większa od ma powyższą postać. Udowodnił to w 2000 roku A. V. Bondarenko. Załóżmy teraz, że s = 3 i rozpatrzmy zbiór wszystkich liczb naturalnych n takich, że n = x y + y z + z x, dla pewnych liczb naturalnych x, y, z. Oznaczmy ten zbiór przez A 3. Zauważmy, że liczby 3, 5 i 6 należą do zbioru A 3. Mamy bowiem: 3 = + +, 5 = , 6 = Czy liczba 4 należy do zbioru A 3? Odpowiedź na to pytanie przez długi czas nie była znana. Rozstrzygnął ten problem dopiero w 2000 roku wspomniany wyżej Bondarenko. Udowodnił on, że 4 do tego zbioru nie należy. 3
8 Można udowodnić, że do zbioru A 3 należy nieskończenie wiele liczb naturalnych. Można również udowodnić (i to nie jest aż tak bardzo skomplikowane), że zbiór A 3 pokrywa się ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych postaci a 3 + b 3 + c 3, gdzie a, b, c N. abc Czytelnika zainteresowanego tego rodzaju zagadnieniami zapraszamy do rozdziału 9. W ostatnim rozdziale przedstawiamy bez dowodów pewne dodatkowe fakty i zadania, które dotyczą liczb wymiernych i pojawiły się w innych książkach serii Podróże po Imperium Liczb. 4
9 Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Każdą liczbę postaci a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b 0, nazywamy liczbą wymierną. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy przez Q.. Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr... Zachodzą równości: () 5 = 9 95 = = =, 2 5 = = = =. (2) 4 = 6 64 = = =, 4 8 = = = =. Równości te są konsekwencjami następującego stwierdzenia. Przez a a 2... a s oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi są odpowiednio a, a 2,..., a s...2. Jeśli a, b, c są takimi cyframi, że ab/bc = a/c, to ([Fom] 4/64, [Kw] 9/72 2). a c = ab bc = abb bbc = abbb bbbc = abbbb bbbbc =. D. Załóżmy, że ab/bc = a/c. Wtedy 0a+b naturalnej n oznaczmy: 0b+c = a c i stąd 9ac + bc 0ab = 0. Dla każdej liczby u n = a } bb {{... } b, v n = bb }{{... } b c, e n = }{{... }. n n n Należy udowodnić, że un v n = a c dla n N. Zauważmy, że u n = 0 n a + be n oraz v n = 0be n + c. Mamy więc: cu n av n = c(0 n a + be n ) a(0be n + c) = (0 n )ac + bce n 0abe n = 9e n ac + bce n 0abe n = e n (9ac + bc 0ab) = e n 0 = 0, a zatem un v n = a c...3. Jeśli a, b, c są takimi niezerowymi cyframi, że ab/bc = a/c, to (a, b, c) jest jedną z czterech trójek: (, 6, 4), (, 9, 5), (2, 6, 5), (4, 9, 8). W stwierdzeniu..2 liczby naturalne występujące w licznikach i mianownikach zapisane były w dziesiętnym systemie numeracji. Wykażemy teraz, że w systemie numeracji o podstawie q 2 również zachodzi podobne stwierdzenie. Przez (a a 2... a s ) q oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2 są odpowiednio a, a 2,..., a s, tzn. (a a 2... a s ) q = a q s + a 2 q s a s q + a s 5
10 6 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych i przy tym liczby a,..., a s należą do zbioru {0,,..., (q )}. W szczególnym przypadku, gdy q = 0, mamy: (a a 2... a s ) 0 = a 0 s + a 2 0 s a s 0 + a s = a a 2... a s...4. Jeśli a, b, c są takimi cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2, że (ab)q (bc) q = a c, to a c = (ab) q = (abb) q = (abbb) q = (abbbb) q =. (bc) q (bbc) q (bbbc) q (bbbbc) q D. Załóżmy, że (ab)q (bc) q naturalnej n oznaczmy: = a qa+b c. Wtedy qb+c = a c i stąd (q )ac + bc qab = 0. Dla każdej liczby u n = (a } bb {{... } b) q, v n = (bb }{{... } b c) q, e n = ( }{{... } ) q. n n n Należy udowodnić, że un v n = a c dla n N. Zauważmy, że u n = q n a + be n oraz v n = qbe n + c. Mamy więc: cu n av n = c(q n a + be n ) a(qbe n + c) = (q n )ac + bce n qabe n = (q )e n ac + bce n qabe n = e n ((q )ac + bc qab) = e n 0 = 0, a zatem un v n = a c. Zanotujmy kilka konsekwencji stwierdzenia W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości: 2 = (3) 4 (32) 4 = (33) 4 (332) 4 = (333) 4 (3332) 4 =...6. W szóstkowym systemie numeracji zachodzą równości: 3 = (5) 6 (53) 6 = (55) 6 (553) 6 = (555) 6 (5553) 6 =,..7. W ósemkowym systemie numeracji zachodzą równości: 4 = (7) 8 (74) 8 = (77) 8 (774) 8 = (777) 8 (7774) 8 =,..8. W dziewiątkowym systemie numeracji zachodzą równości: 3 = (4) 9 (43) 9 = (44) 9 (443) 9 = (444) 9 (4443) 9 =, 2 4 = (25) 6 (54) 6 = (255) 6 (554) 6 = (2555) 6 (5554) 6 =. 3 6 = (37) 8 (76) 8 = (377) 8 (776) 8 = (3777) 8 (7776) 8 =. 2 6 = (28) 9 (86) 9 = (288) 9 (886) 9 = (2888) 9 (8886) 9 =. Stosując stwierdzenie..4 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym = = = =, 2 24 = = = =, 7 40 = = = =, = = = =.
11 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych () 250 = = = = =, (2) (3) (4) = = = = =, = = = = =, = = = = =. W powyższych ułamkach dopisywaliśmy do licznika i mianownika pewne liczby; do licznika z prawej strony, a do mianownika z lewej. Teraz będziemy dopisywać pewne liczby w środkowe miejsca liczników i mianowników. Spójrzmy na następujący przykład = = = =. ([KoM] Gy959) Pokażemy, że tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. W tym celu udowodnimy najpierw następujące stwierdzenie...2. Niech a, b, c, d będą cyframi takimi, że 0a + b 0c + d i niech u = 9(bc ad) 0(c a)+(d b). Jeśli u {0,, 2,..., 9}, to ab cd = aub cud = auub cuud = auuub cuuud = auuuub cuuuud =. D. Załóżmy, że u jest jedną z cyfr 0,,..., 9 oraz oznaczmy: u n = a } uu {{... u } b, v n = c } uu {{... u } d, e n = }{{... }. n n n Należy udowodnić, że un v n = 0a+b 0c+d dla n N. Zauważmy, że u n = 0 n+ a + 0ue n + b oraz v n = 0 n+ c + 0ue n + d. Mamy więc: (0a + b)v n (0c + d)u n = (0a + b) ( 0 n+ c + 0ue n + d ) (0c + d) ( 0 n+ a + 0ue n + b ) a zatem un v n = 0a+b 0c+d. = +0 n+2 ac aue n + 0ad + 0 n+ bc + 0ube n + bd 0 n+2 ac 0 2 uce n 0bc 0 n+ ad 0ude n bd = ( 0 n+ 0 ) bc ( 0 n+ 0 ) ad +0 2 aue n + 0ube n 0 2 uce n 0ude n = 90e n bc 90e n ad + 00aue n + 0ube n 00uce n 0ude n ) = 0e n (9(bc ad) u (0(c a) + (d b)) ) = 0e n (9(bc ad) 9(bc ad) = 0,
12 8 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Z tego stwierdzenia wynikają następujące serie równości = = = =, 4 56 = = = =, 5 5 = = = =, 6 25 = = = =, 7 34 = = = =, 22 3 = = = =, 26 7 = = = =, 34 6 = = = =. Tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. Drobne zmiany w dowodzie stwierdzenia..2 pozwalają udowodnić analogiczne stwierdzenie dla dowolnych systemów numeracji...4. Niech a, b, c, d będą cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2 takimi, że qa + b qc + d i niech u = (q )(bc ad) q(c a)+(d b). Jeśli u {0,, 2,..., (q )}, to (ab) q (cd) q = (aub) q (cud) q = (auub) q (cuud) q = (auuub) q (cuuud) q =. D. Załóżmy, że u {0,,..., (q )} i oznaczmy: u n = (a } uu {{... u } b) q, v n = (c } uu {{... u } d) q, e n = ( }{{... } ) q. n n n Należy udowodnić, że un v n = qa+b qc+d dla n N. Zauważmy, że u n = q n+ a + que n + b oraz v n = q n+ c + que n + d. Mamy więc: (qa + b)v n (qc + d)u n = (qa + b) ( q n+ c + que n + d ) (qc + d) ( q n+ a + que n + b ) a zatem un v n = qa+b qc+d. = +q n+2 ac + q 2 aue n + qad + q n+ bc + qube n + bd q n+2 ac q 2 uce n qbc q n+ ad qude n bd = ( q n+ q ) bc ( q n+ q ) ad + q 2 aue n + qube n q 2 uce n qude n ) = qe n ((q )(bc ad) u (q(c a) + (d b)) ) = qe n ((q )(bc ad) (q )(bc ad) = 0, Zanotujmy kilka równości wynikających ze stwierdzenia W trójkowym systemie numeracji zachodzą równości: () 3 (20) 3 = (2) 3 (220) 3 = (22) 3 (2220) 3 = (222) 3 (22220) 3 = (2222) 3 (222220) 3 =.
13 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości: () 4 (20) 4 = (2) 4 (220) 4 = (22) 4 (2220) 4 =, (2) 4 (30) 4 = (32) 4 (330) 4 = (332) 4 (3330) 4 =, (3) 4 (32) 4 = (33) 4 (332) 4 = (333) 4 (3332) 4 =, (2) 4 (2) 4 = (32) 4 (23) 4 = (332) 4 (233) 4 = (3332) 4 (2333) 4 =, (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 =, (2) 4 (30) 4 = (23) 4 (330) 4 = (233) 4 (3330) 4 = (2333) 4 (33330) 4 =...7. Pewne równości w piątkowym systemie numeracji. () 5 (20) 5 = (2) 5 (220) 5 = (22) 5 (2220) 5 =, (2) 5 (30) 5 = (32) 5 (330) 5 = (332) 5 (3330) 5 =, (3) 5 (3) 5 = (43) 5 (34) 5 = (443) 5 (344) 5 =, (2) 5 (2) 5 = (32) 5 (23) 5 = (332) 5 (233) 5 = (3332) 5 (2333) 5 =, (2) 5 (4) 5 = (22) 5 (42) 5 = (222) 5 (422) 5 = (2222) 5 (4222) 5 =, (22) 5 (3) 5 = (242) 5 (34) 5 = (2442) 5 (344) 5 = (24442) 5 (3444) 5 =. Stosując stwierdzenie..4 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym...8. () (2) (3) = = = = =, = = = = =, = = = = = Dany jest ułamek zapisany w dowolnym systemie numeracji. Jeśli w liczniku i mianowniku środkową cyfrę zastąpimy dowolną nieparzystą liczbą następujących po sobie jedynek, to ułamek ten nie zmieni wartości. (N. Anning, [S64] 59)..2 Równości wynikające z twierdzenia Abela.2. (Twierdzenie Abela). Niech f(x) i g(x) będą niezerowymi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy, że deg g(x) = n 2, deg f(x) n 2 oraz, że wielomian g(x) ma n parami różnych pierwiastków rzeczywistych a,..., a n. Wtedy f(a ) g (a ) + f(a 2) g (a 2 ) + + f(a n) g (a n ) = 0, gdzie g (x) jest pochodną wielomianu g(x). ([InvM] 35(976) , [Mon] 6(2009) ).
14 0 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Pewne dowody tego twierdzenia podane będą w [N2] (w rozdziale o funkcjach wymiernych). Teraz podamy tylko wnioski wynikające z tego twierdzenia Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami rzeczywistymi (lub ogólniej, zespolonymi), to: () (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) = 0, (2) a (a b)(a c) + b (b a)(b c) + c (c a)(c b) = 0. D. Niech f(x) =, h(x) = x, g(x) = (x a)(x b)(x c). Wtedy g (x) = (x b)(x c) + (x a)(x c) + (x a)(x b), g (a) = (a b)(a c), g (b) = (b a)(b c), g (c) = (c a)(c b). Na mocy twierdzenia Abela mamy: i to kończy dowód. (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) = f(a) g (a) + f(b) g (b) + f(c) g (c) = 0 a (a b)(a c) + b (b a)(b c) + W podobny sposób wykazujemy następne równości Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami to: c (c a)(c b) = h(a) g (a) + h(b) g (b) + h(c) g (c) = 0 () (a b)(a c)(a d) + (b a)(b c)(b d) + (c a)(c b)(c d) + (d a)(d b)(d c) = 0, (2) a (a b)(a c)(a d) + b (b a)(b c)(b d) + c (c a)(c b)(c d) + d (d a)(d b)(d c) = 0, (3) a 2 (a b)(a c)(a d) + b 2 (b a)(b c)(b d) + c 2 (c a)(c b)(c d) + d 2 (d a)(d b)(d c) = 0. ( ) n.2.4. a i a i a j = 0, dla n 3 i parami różnych liczb a,..., a n. ([Crux] 2000 s.486). i= j i Można również udowodnić:.2.5. Jeśli x, y, z są parami różnymi liczbami całkowitymi i n jest liczbą naturalną, to liczba jest całkowita. ([Kurs] 75(959), [Bryn].). x n (x y)(x z) + y n (y x)(y z) + z n (z x)(z y).2.6. Niech n 2 będzie liczbą naturalną oraz a,..., a n parami różnymi liczbami rzeczywistymi (lub zespolonymi), i niech g(x) = (x a ) (x a n ). Wtedy a n g (a ) + an 2 g (a 2 ) + + an n g (a n ) =, a n g (a ) + an 2 g (a 2 ) + + gdzie g (x) jest pochodną wielomianu g(x). an n g (a n ) = a + + a n,
15 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Zanotujmy szczególne przypadki tego stwierdzenia Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami, to: a 2 () (a b)(a c) + b 2 (b a)(b c) + c 2 (c a)(c b) =, (2) a 3 (a b)(a c) + b 3 (b a)(b c) + c 3 (c a)(c b) = a + b + c Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to: a () 3 (a b)(a c)(a d) + b 3 (b a)(b c)(b d) + c 3 (c a)(c b)(c d) + d 3 (d a)(d b)(d c) =, (2) a 4 (a b)(a c)(a d) + b 4 (b a)(b c)(b d) + c 4 (c a)(c b)(c d) + d 4 (d a)(d b)(d c) = a + b + c + d Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to () a 4 + (a b)(a c)(a d) + b 4 + (b a)(b c)(b d) + c 4 + (c a)(c b)(c d) + d 4 + (d a)(d b)(d c) = a + b + c + d, ([Crux] 2000 s.5 z.2487, wynika to z poprzednich równości). (2) (d b)(d c) (d c)(d a) (d a)(d b) + + =. ([BaL] 45). (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) P. A. Griffiths, Variations on a theorem of Abel, [InvM] 35(976) Shui-Hung Hou, On a theorem of Abel, [Mon] 6(2009) Następne równości z liczbami wymiernymi = , = , = ([Kw] 9/72 2) ( ) ( ) ( ) = 2 3 n n dla n 2. ([KoMe]) ( ) ( 2 2 ) 3 2 ( ) n 2 = n + dla n 2. ([GeG] 5, [KoMe]). 2n ( ) ( ) ( ).3.4. Jeśli + a + b + c = 2, gdzie a b c są liczbami naturalnymi, to (a, b, c) = (3, 4, 5), (3, 3, 8), (2, 6, 7), (2, 5, 9) lub (2, 4, 5). ([OM] W.Brytania 995) ([Mat] 3/52 49) n 4 (2n )(2n + ) = n(n + )(n2 + n + ) 6(2n + ) dla n N Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/999).
16 2 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych D. Równość ta jest natychmiastową konsekwencją następującej implikacji: u + v + w = 0 = u 3 + v 3 + w 3 = 3uvw. Jeśli bowiem u+v +w = 0, to w = (u+v) i wtedy: u 3 +v 3 +w 3 = u 3 +v 3 (u+v) 3 = 3uv 2 3u 2 = 3uv( u v) = 3uvw. Wynika to również ze znanej równości u 3 + v 3 + w 3 3uvw = (u + v + w)(u 2 + v 2 + w 2 uv vw wu), zachodzącej dla dowolnych liczb u, v, w Jeśli x = b c +ab, y = c a +ca, z = a b +ab, to x + y + z = xyz. ([BaL] 46) Jeśli x = a b a+b, y = b c b+c, z = c a ([BaL] 54). c+a, to ( + x)( + y)( + z) = ( x)( y)( z) Niech x = a2 +b 2 c 2 2ab, y = a2 +c 2 b 2 2ac, z = b2 +c 2 a 2 2bc, gdzie a, b, c N. Jeśli x + y + z =, to dwie z liczb x, y, z są równe, a pozostała. ([OM] Leningrad 982) Jeśli a + b + c = a+b+c, to a 2n+ + b 2n+ + c 2n+ = (a+b+c) 2n+. ([Oss] G75.2-5)..3.. Jeśli a b = a 2 b 2 = a 3 b 3 oraz (p, p 2, p 3 ) (0, 0, 0), to ( a ) n = p a n + p 2a n 2 + p 3a n 3 b p b n + p 2b n 2 + p 3b n 3 dla wszystkich n N. ([OM] Kanada 969) = ([Mat] 5-6/955 64). Istnieją różne inne równości podobnej postaci..3.3 (Maple) = , = , = ; = , = , = ; = , = , = ; = ; = ; = ; = ; = , = , = ([Szu87] 63) = 2, = 2.
17 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 3.4 Całkowitość pewnych liczb wymiernych Liczby a = 2 oraz b = 2 nie są całkowite, a ich suma a + b = 0 i iloczyn ab = 2 są liczbami całkowitymi. Podobną własność mają liczby zespolone a = i oraz b = i. Wykażemy, że w zbiorze liczb wymiernych takich dwóch niecałkowitych liczb nie znajdziemy. W dowodzie tego faktu wykorzystamy następujące znane twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych..4.. Niech f(x) będzie wielomianem monicznym (tzn. współczynnik wiodący jest równy ) o współczynnikach całkowitych i niech u będzie liczbą wymierną. Jeśli u jest pierwiastkiem wielomianu f(x), to u jest liczbą całkowitą Teraz możemy udowodnić:.4.2. Niech a, b Q. Jeśli a + b Z i ab Z, to a, b Z. D. Rozpatrzmy wielomian f(x) = (x a)(x b) = x 2 (a + b)x + ab. Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a i b. Z twierdzenia.4. wynika, że liczby a, b są całkowite Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z. D. Rozpatrzmy wielomian f(x) = (x a)(x b)(x c) = x 3 (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x abc. Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a, b, c. Z twierdzenia.4. wynika, że liczby a, b, c są całkowite Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych (x, y, z), dla których wszystkie liczby są naturalne. ([OM] Polska 993/994). x + y + z, x + y + z, xyz R. Jeśli (x, y, z) jest taką trójką, to x, y, z są liczbami naturalnymi. Wszystkie trójki (x, y, z) takie, że x y z: (,, ), (3, 3, 3), (2, 2, ), (6, 3, 2), (4, 4, 2) Niech x = a2 b +, y = b2, gdzie a, b N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, a + to liczby x i y też są całkowite. ([OM] St Petersburg 993, [Fom] 7/93) Każda liczba 5 n5 + 3 n3 + 7 n, gdzie n N, jest całkowita. ([OM] Australia 994) Dla każdej liczby naturalnej n liczba ( 4 2 ) ( jest całkowita. ([OM] Czechy-Słowacja 998/999). ) ( ) ( 4 2 ) n
18 4 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.4.8. Niech n N. Liczby 2n 3 4 ([M-sj] 463). oraz 5n nie mogą być jednocześnie całkowite Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ab+, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. ([OM] Moskwa 996/997, [OM] Mołdawia 200). D. Niech (a, b) = (2n, 2n + ) lub (n +, n 2 + n ). Wtedy ab+ a+b a+b = n Każdą liczbę naturalną większą od i nie będącą postaci 2 n + 2 można przedstawić w postaci a b + a+ b+, gdzie a, b N. ([OM] Moskwa 2000/200)..4.. Niech n N. Znaleźć liczbę wszystkich par (x, y), liczb naturalnych takich, że n = xy x + y. Przykłady: = , 2 = = = ([Putn] 960). R. Problem sprowadza się do opisu liczby rozwiązań naturalnych równania (x n)(y n) = n 2. Zachodzi jeden z przypadków: (x n < 0, y n < 0) lub (x n > 0, y n > 0). Jeśli x n < 0 i y n < 0, to x < n i y < n, stąd n < x n < n i n < y n < n, czyli x n < n i y n < n. W tym przypadku mamy sprzeczność: n 2 = x n y n < n 2. Niech x n > 0 i y n > 0. Niech (a, b) będzie dowolną parą liczb naturalnych takich, że ab = n 2. Przyjmijmy: x := a + n, y := b + n. Wtedy (x n)(y n) = ab = n 2. Każda więc taka para (a, b) wyznacza rozwiązanie naturalne rozpatrywanego równania. Takich par jest oczywiście tyle ile jest naturalnych dzielników liczby n 2. Odpowiedź. Liczba wszystkich takich naturalnych par jest równa τ(n 2 ), gdzie τ(n 2 ) jest liczbą wszystkich dzielników naturalnych liczby n 2. Jeśli a jest dzielnikiem naturalnym liczby n 2, to (x, y) = (n + a, n + n 2 /a) jest rozwiązaniem naturalnym. Każde rozwiązanie jest tej postaci Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci a2 +b ab+, gdzie a, b N. D. Niech n N, a = n 2, b = n. Wtedy a2 +b ab+ = n4 +n n 3 + = n. Liczba n = ma nieskończenie wiele takich przedstawień: = 2 +b b+ dla dowolnego b Każdą liczbę naturalną większą od można jednoznacznie przedstawić w postaci a 2 + b ab +, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. ([OM] Moskwa 2000/200) Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci a2 +b ab+2, gdzie a, b N.
19 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Niech a, n N, (a, n) (, ). Równanie x 2 + y 2 axy + = n2 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([Crux] 990 s.72 z.556) Jeśli a b Z, n N, to liczba jest całkowita. ([OMm] 997/998). 2 2n (a 2n + b 2n ) (a + b) 2n (a b) Liczba postaci 2a2 b 2, gdzie a, b Z, nie jest całkowita. ([IMO] Longlist 992) Liczba postaci a2 + b 2 a 2, gdzie a, b N, a b, nie jest całkowita. ([KoM] Gy959). b Niech x, y C, x y oraz a n = xn y n. Jeśli jakieś cztery kolejne wyrazy ciągu (a n ) są liczbami całkowitymi, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. x y ([OM] Rumunia 2002) Niech a, b będą liczbami naturalnymi i niech x n = ( a + n ( + b + 2) n. 2) W ciągu (x n ) jest tylko skończenie wiele liczb całkowitych. (Newman problem 30) Jeśli liczba (m + 3)n + 3m Jeśli liczba m2 + n 2 + mn jest całkowita, to jest nieparzysta. ([IMO] 967). jest całkowita, to jest równa 3. ([LeH] A5) Jeśli liczba m2 + n jest całkowita, to jest sześcianem liczby całkowitej. mn ([OM] Estonia 995/996, [Crux] 2002 s.74) Istnieje nieskończenie wiele par (n, m) liczb naturalnych takich, że < n < m i liczba m2 + n 2 jest całkowita. ([Crux] z.746). mn
20 6 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.4.25 ([Crux] 200 z.2534 s ). Oznaczmy: z a (x, y) = x2 + y 2 + a. xy Niech A będzie zbiorem tych wszystkich liczba całkowitych a, dla których liczba z a (x, y) jest całkowita dla nieskończenie wielu par (x, y) liczb naturalnych. Jeśli a A, to przez E(a) oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb całkowitych postaci z a (x, y), x, y N. () Niech a Z. Jeśli istnieją liczby naturalne x, y takie, że liczba z a (x, y) jest całkowita, to takich par (x, y) N 2 jest nieskończenie wiele. (2) Zbór A jest nieskończony. Każda liczba postaci d 2, gdzie d N, należy do A. Mamy bowiem z d 2(λd, d) = λ dla wszystkich λ N. (3) Liczba 0 należy do A i E(0) = {2}. (4) Jeśli a = d 2, gdzie d N, to a A i zbiór E(a) jest nieskończony; jest nawet równy N. Wynika to z (2). (5) Jeśli a A i a nie jest postaci d 2, gdzie d N, to zbiór E(a) jest skończony. (6) Niech a N 0. Niech z a (x, y) = β, gdzie x, y, β N. Wtedy β a Znaleźć wszystkie pary (m, n) liczb naturalnych, dla których n3 + jest liczbą całkowitą. Odp. (2, 2), (2, ), (, 2), (3, ), (, 3), (5, 2), (2, 5), (5, 3), (3, 5). ([IMO] mn 994). a Niech a, b Z. Jeśli 2 2ab 2 b 3 + jest liczbą całkowitą, to (a, b) = (2n, ) lub (n, 2n) lub (8n 4 n, 2n), gdzie n N. ([IMO] Shortlist 2003) Znaleźć wszystkie pary (x, y) liczb naturalnych, dla których liczby x +, y y + x są naturalne. Odp. (3, 2), (2, 3), (, ), (2, ), (, 2). ([OM] Polska 994/995). (x + y + z) Niech a =, gdzie x, y, z N. Jeśli a jest liczbą całkowitą, to a =, 2, xyz 3, 4, 5, 6, 8 lub 9 (a nie może być siódemką). ([OM] Mongolia 2000) Jeśli p jest liczbą pierwszą i n N, to liczba nie jest całkowita. ([Mon] 96(8)(989) E3249). + (p ) (p ) + + n + n(p ) Zagadnienia dotyczące całkowitości pewnych liczb wymiernych znajdziemy również w innych książkach z serii Podróże po Imperium Liczb. Przykłady: Liczby postaci (a 2 + b 2 )/(ab ± ) i ich uogólnienia, podrozdział w [N-3]; Jednorodne ciągi rekurencyjne, rozdział w [N-7]; Ciągi Somosa i ich uogólnienia, rozdział w [N-7]; Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych, rozdział w [N-7]; Liczby n!+a n+a, podrozdział w [N]; Całkowitość pewnych liczb wymiernych, podrozdział w [N]; Symbole Newtona względem danego ciągu, rozdział w [N].
21 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 7.5 Wymierność pewnych liczb rzeczywistych.5.. Niech a, b R, a + b =. Jeśli liczby a 3 i b 3 są wymierne, to a i b też są liczbami wymiernymi. ([OM] Polska 994/995) Jeśli a, b są różnymi liczbami zespolonymi takimi, że liczby a 2 b 2, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to a, b, c są liczbami wymiernymi. ([MM] 73(4)(2000) 328) Istnieje nieskończenie wiele par (x, y) liczb wymiernych takich, że x y oraz x 2 + y 3 i x 3 + y 2 są liczbami wymiernymi. ([OM] Niemcy 2003/2004) Niech x, y, z R {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx Q. Wtedy: () x 2 + y 2 + z 2 Q; (2) jeśli x 3 + y 3 + z 3 Q, to x, y, z Q. ([OM] Rumunia 200) Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 2005) Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x + x jest wymierna. Wtedy każda liczba postaci x n + x, gdzie n N, jest wymierna. n ([G-if] 03, [N0]) Niech 0 < x R, k N. Jeśli liczby x k + i x k+ + x k liczbą wymierną. ([KoM] 2000(4) A238). x k+ są wymierne, to x + x jest.5.8. Niech a, b, c, d Q, ad bc. Istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych x takich, że (a + bx)(c + dx) jest liczbą wymierną. ([MOc] 2002 z.44) Jeśli n N, to liczba n + n + jest niewymierna. ([Bedn] 78) Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n + n + jest liczbą wymierną? Odp. Nie istnieje. ([Balt] 995)..5.. Niech p będzie liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n + p + n jest wymierna. ([Bedn] 79). O. Jeśli p = 2, to takiej liczby naturalnej n nie ma. Jeśli p > 2, to n = ( ) p Niech x,..., x n będą nieujemnymi liczbami wymiernymi. Jeśli liczba x + + x n jest wymierna, to liczby x,..., x n też są wymierne. ([Str] s.98) Niech α R i niech k N. Jeśli liczby cos(kα) i cos((k + )α) są wymierne, to cos α jest również liczbą wymierną. ([N0]).
22 8 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.5.4. Jeśli cos α = 3 ([Br83] 38)., to cos nα = an 3 n, gdzie a n jest liczbą całkowitą niepodzielną przez Jeśli cos(πx) = 3, to x jest liczbą niewymierną. ([Br83] 5) Jeśli cos(πx) jest liczbą wymierną różną od 0, ± 2, ±, to x jest liczbą niewymierną. ([Br83] 38) Niech r n = cos n π 7 + cosn 3π 7 + cosn 5π 7. Wtedy: () r 0 = 3, r = /2, r 2 = 5/4, r 3 = /2, r 4 = 3/6; (2) r n+3 = 2 r n r n+ 8 r n; (3) r n jest liczbą wymierną. ([Kw] 8/982 36)..6 Przedstawianie liczb wymiernych w szczególnej postaci.6.. Dowolny ułamek nieskracalny p/q, gdzie p, q są liczbami naturalnymi, przy czym q jest nieparzyste, można przedstawić w postaci n 2 k, dla pewnych liczb naturalnych n i k. ([Balt] 995) Każda liczba wymierna z odcinka (0, ) o nieparzystym mianowniku jest postaci { } xyz x 2 + y 2 + z 2, dla pewnych liczb naturalnych x, y, z, gdzie {a} oznacza część ułamkową liczby a. ([KoM] 997(7) N 46) Niech a N. Każda liczba wymierna z odcinka (0, ) jest skończonym iloczynem liczb postaci n(n + 3) (n + )(n + 2), gdzie n > a. ([Mon] 98(2)(99) E3347) Każda liczba wymierna w ma nieskończenie wiele przedstawień w postaci w = x + y +, gdzie x i y są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. ([Wm] 7 37) Niech m N. Każdą liczbę wymierną w > można przedstawić w postaci ( w = + ) ( + ) ( + ), k k + k + s gdzie k jest liczbą naturalną > m oraz s jest nieujemną liczbą całkowitą. ([Mat] /58 60, [S64] 99).
23 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Każda liczba wymierna dodatnia w ma jednoznaczne przedstawienie w postaci w = a + a 2 2! + a 3 3! + + a k k!, gdzie a, a 2,... a k są nieujemnymi liczbami całkowitymi takimi, że a 2 < 2, a 3 < 3,..., a k < k oraz a k 0. ([Mon] 57(4)(950) , [Mat] /80 62) Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci a3 + b 3 c 3, gdzie a, b, c, d N. Przykłady: + d3 2 = , 3 = , 2 3 = , 3 4 = ([IMO] Shortlist 999, [Djmp] 303(646), [N-9]). a 3 + b Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci c 3, gdzie a, b, c, d są względnie + d3 pierwszymi liczbami naturalnymi. Różnych takich rozkładów jest nieskończenie wiele. ([N-9])..7 Podzbiory zbioru liczb wymiernych.7.. Znaleźć wszystkie podzbiory S Q spełniające następujące warunki: () jeśli a, b S, to a + b S; (2) jeśli a jest niezerową liczbą wymierną, to dokładnie jedna z liczb a i a należy do S. ([Bryn] 2.). O. Są cztery takie podzbiory; zbiory wszystkich liczb wymiernych: dodatnich, nieujemnych, ujemnych, niedodatnich Niech S będzie podzbiorem zbioru liczb wymiernych zawierającym 2 i spełniającym warunek x S = x+ S i x x+ S. Wtedy każda liczba wymierna z przedziału (0, ) należy do S. ([OM] W.Brytania 2005). D. (Indukcja ze względu na mianowniki ułamków). Niech n 3 i załóżmy, że każdy ułamek a b taki, że b < n oraz a < b, należy do S. Rozważmy ułamek p n, gdzie p < n. Niech q = n p. Oczywiście q < n. Jeśli p = q, to n = 2p i wtedy p n = 2 S. Jeśli p < q, to (na mocy założenia) x = p q S i stąd p n = x x+ S. Jeśli p > q, to x = q p S i stąd p n = x+ S Podać przykład podpierścienia ciała Q, różnego od Z i Q.
24 20 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych R. Niech A będzie zbiorem wszystkich takich liczb wymiernych, których mianowniki są potęgami dwójki o nieujemnych wykładnikach. Ponieważ a = a 2, więc każda liczba całkowita należy do zbioru A. 0 Ułamek 2 nie jest liczbą całkowitą i jest elementem zbioru A. Zbiór A jest więc różny od zbioru Z. Do zbioru A nie należy na przykład liczba wymierna 3. Zatem Z A Q. Jest jasne, że jeśli u, v A, to u + v A oraz uv A. Zatem A jest podpierścieniem ciała Q oraz Z A Q. Niech S będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Mówimy, że podzbiór ten jest multyplikatywny, jeśli do niego należy jedynka oraz spełniony jest warunek: a, b S ab S. Podzbiorem multyplikatywnym jest na przykład zbiór wszystkich potęg dwójki o nieujemnych wykładnikach. Dwójkę można zastąpić dowolną liczbą naturalną a; zbiór wszystkich potęg liczby a o nieujemnych wykładnikach jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych Następujące zbiory S są multyplikatywnymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych: () S = N, (2) S = {}, (3) zbiór wszystkich nieparzystych liczb naturalnych; (4) zbiór wszystkich takich liczb naturalnych, których reszta z dzielenia przez ustaloną liczbę naturalną m jest równa ; (5) zbiór wszystkich takich liczb naturalnych, które są względnie pierwsze z ustaloną liczbą naturalną m. Istnieją jeszcze liczne inne przykłady takich podzbiorów multyplikatywnych. Znajdziemy je na przykład w książkach z serii Podróże po Imperium Liczb. Jeśli S jest dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to przez Z S oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb wymiernych, które można zapisać w postaci ułamka o mianowniku należącym do zbioru S, tzn. Z S = Zanotujmy oczywiste stwierdzenie: { x Q; x = a }. a Z s S s.7.5. Jeśli S jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych, to Z S jest podpieŕścieniem ciała Q. Zauważmy, że Z S = Z dla S = {} oraz Z S = Q dla S = N Każdy podpierścień ciała Q jest postaci Z S, gdzie S jest pewnym podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych. D. Niech A będzie dowolnym podpieścieniem ciała Q. Oznaczmy przez S zbiór tych wszystkich takich liczb naturalnych, których odwrotności należą do A. Ponieważ = A, więc do S należy jedynka. Załóżmy, że a, b są liczbami naturalnymi należącymi do zbioru S. Wtedy a, b A i stąd ab = a b A,
25 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 2 a to oznacza, że ab S. Wykazaliśmy więc, że S jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych. Teraz udowodnimy, że Z S = A. Inkluzja Z S A jest oczywista. Dla wykazania inkluzji w przeciwnym kierunku załóżmy, że u jest elementem pierścienia A. Ponieważ A Q, więc u jest liczbą wymierną. Niech u = a s, gdzie a Z, s N oraz nwd(a, s) =. Z warunku nwd(a, s) = wynika, że = xa + ys dla pewnych liczb całkowitych x, y. Mamy zatem: xa + ys = = x a s s s + y s = xu + y. s Ale u A oraz y A (bo każda liczba całkowita należy oczywiście do A). Zatem s A, a zatem s S. To implikuje, że u = a s jest elementem pierścienia Z S. Wykazaliśmy więc, że A Z S. Zatem, A = Z S Znaleźć najmniejszy podpierścień ciała Q zawierający ułamki /2 i / Jeśli a, b Z, b 0, to przez Z[a/b] oznaczamy najmniejszy podpierścień ciała Q zawierający liczbę a/b. () Wykazać, że Z[2/7] = Z[3/7]. (2) Wykazać, że jeśli a, b Z, b 0 oraz nwd(a, b) =, to Z[a/b] = Z[/b]. F. L. Kluempen, D. M. Reboli, When are two subgroups ot the rationals isomorphic?, [MM] 77(5)(2004) Dodatkowe fakty i zadania z liczbmi wymiernymi.8.. Funkcja f(x) = cos(x) + cos(ax) jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą wymierną. ([Bedn] 52, [Kw] 5/978 5) Niech a będzie dodatnią liczbą wymierną. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje dodatnia liczba wymierna b taka, że ( a + a + ) n = b + b +. ([MM] 3(3)(950) 65-69) Dla dowolnych liczb naturalnych m, n istnieje liczba naturalna k taka, że ( m + m ) n = k + k. ([Crux] 996 s.42) Niech S = Q {, 0, }, f : S S, f(x) = x x. Wtedy.8.5. Jedyną funkcją f : Q Q taką, że f() = 2 oraz f(xy) = f(x)f(y) f(x + y) + dla x, y Q, jest funkcja f(x) = x +. ([Bryn] 6.). n= f n (S) =. ([Putn] 200).
26 22 Liczby wymierne. Wstępne informacje o liczbach wymiernych.8.6. Funkcja f : Q Q Q spełnia następujące własności: () f(a, b) = f(b, a), (2) f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)), (3) f(0, 0) = 0, (4) f(a + c, b + c) = f(a, b) + c, dla wszystkich a, b, c Q. Wykazać, że f(a, b) = max(a, b) dla wszystkich a, b Q lub f(a, b) = min(a, b) dla wszystkich a, b Q. (H. Derksen 997). W. N. Wagutien, O ułamkach Farey a, [Kw] 8/ N. J. Wilenkin, Z historii ułamków, [Kw] 5/ P. W. Śniady, Teoria liczb i geometria, (o ułamkach Farey a), [Dlt] 4/95-3. J. Wróblewski, Własności przystawania liczb wymiernych i zespolonych, [Mat] 2/
27 2 Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Ułamkiem prostym nazywamy każdą dodatnią liczbę wymierną postaci n, gdzie n jest liczbą naturalną. 2. Ogólne fakty o rozkładach jedynki 2... Dla dowolnej liczby naturalnej s równanie x + x x s = ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne i rozwiązań naturalnych jest skończenie wiele. ([S57a], [S64] z.44). D. To, że takie co najmniej jedno rozwiązanie istnieje, wynika na przykład z oczywistej równości = s + s + + s (po prawej stronie jest s ułamków prostych). Skończoność zbioru rozwiązań jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 3..5, które udowodnimy w następnym rozdziale Jeśli s 3 jest liczbą naturalną, to równanie x + x x s = ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne takie, że x < x 2 < < x s. Jeśli liczbę takich rozwiązań oznaczymy przez l s, to l s+ > l s. Przykłady: l 3 =, l 4 = 6, l 5 = 72, l 6 = ([S57a], [S64] 45, Maple). Pierwsza część powyższej tezy wynika natychmiast z następującego faktu, którego łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej Rozważmy ciąg (a n ), liczb naturalnych zdefiniowanych rekurencyjnie następująco: a = 2, a n+ = a a 2 a n +, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość =. a a 2 a n a a 2 a n ([MM] 34()(960) z.397) Jeśli (a n ) jest ciągiem takim, że a = 2 i a n+ = a a 2 a n +, dla n N, to <. ([Fom] 38/86, wynika z 2..3). a a 2 a n Dla każdej liczby naturalnej n liczbę można przedstawić jako sumę parami różnych ułamków prostych o mianownikach podzielnych przez n. ([Cmj] 9()(978) s.43). 23
28 24 Liczby wymierne. 2. Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Mówimy, że liczba naturalna n jest doskonała, jeśli jest równa sumie wszystkich swoich naturalnych dzielników mniejszych od n (patrz [N-5]). Trzy początkowe liczby doskonałe: 6 = , 28 = , 496 = Następne cztery liczby doskonałe: 828, 3086, , Liczba 6 jest doskonała i ma trzy dzielniki naturalne większe od jedynki: 2, 3 oraz 6. Suma odwrotności tych dzielników jest równa : =. Podobną własność ma liczba doskonała 28: =. Wykażemy, że każda liczba doskonała ma rozważaną własność Liczba naturalna n jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy gdy suma odwrotności wszystkich jej dzielników naturalnych większych od jedynki jest równa. D. Przez σ(n) oznacza się sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n. Liczba naturalna n jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy σ(n) = 2n. Ponieważ d = n/d = n d = σ(n) n, więc d n d n d n σ(n) d = 2 n = 2 σ(n) = 2n. Rozpatrywaliśmy wszystkie dzielniki naturalne włącznie z d n jedynką. Eliminując tę jedynkę otrzymujemy tezę Rozkłady jedynki na sumę n parami różnych ułamków prostych dla n 3: () = n n n 3. (2) Niech r =, r n+ = r n (r n + ). Wtedy = r r n + + r n. ([S57a] s.28, [Dlt] 4/984 6) Jeśli x < x 2 < < x s są liczbami naturalnymi takimi, że x + x x s =, to x s < s 2s. ([Cmj] 28()(997) s.7) Jeśli x < x 2 < < x s są liczbami naturalnymi takimi, że x + x x s =, to x s < 2 s!. ([Ko04] 66) Niech x, x 2,..., x s, x s+ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że Wtedy x x 2 x s+ s s+. ([Crux] 2000 s.67) =. + x + x 2 + x s+ P. Shiu, Egyptian fraction representations of with odd denominators, [MG] 527(2009)
29 Liczby wymierne. 2. Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Rozkłady jedynki na sumę s 7 ułamków prostych Jedynym rozwiązaniem naturalnym równania x + y = jest para (x, y) = (2, 2) Jeśli x, y są liczbami naturalnymi takimi, że x + y <, to x + y 5 6. D. Załóżmy, że x y są liczbami naturalnymi takimi, że x + y x 2 i y 3. Mamy więc: x + y = 5 6. <. Wtedy jest oczywiste, że Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) liczb naturalnych takich, że x y z oraz x + y + z =. Odp. (2, 4, 4), (2, 3, 6), (3, 3, 3). ([GaT] /48, [Kw] /88 44) Nie istnieją liczby naturalne a i b takie, że a 2 + ab + =. ([WyKM] 50-52). b Jedynymi rozwiązaniami całkowitymi równania są pary (, ) i (, ). ([Br80] 46). x 2 + xy + x 2 = Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że x + y + z <, to x + y + z ([Fom] 5/86) Równanie x + y + z + = ma dokładnie 4 rozwiązań naturalnych takich, że t x y z t. Rozwiązaniami tymi są: (2, 3, 7, 42), (2, 3, 8, 24), (2, 3, 9, 8), (2, 3, 0, 5), (2, 3, 2, 2), (2, 4, 5, 20), (2, 4, 6, 2), (2, 4, 8, 8), (2, 5, 5, 0), (2, 6, 6, 6), (3, 3, 4, 2), (3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6), (4, 4, 4, 4). Wśród nich jest dokładnie 6 takich rozwiązań, w których liczby x, y, z, t są parami różne. ([S64] 43, Maple) Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y, z spełniające równość x + y + z + xyz =. Odp. (x, y, z) = (2, 3, 7) i permutacje. ([Mat] 2/985 z.34) Trójka (, 2, 4) (wraz z jej permutacjami) jest jedynym rozwiązaniem naturalnym równania xy + yz + zx + =. ([Bedn] 37). xyz
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 KWA - 40(1195) - 19.03.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb kwadratowych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów..................................
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoSumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoPodzielność w zbiorze liczb całkowitych
Podróże po Imperium Liczb Część 6 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 PDZ - 38(890) - 10.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoZadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki
Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 PRI - 45(762) - 19.03.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb pierwszych
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Funkcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział. Ciągi komplementarne Andrzej Nowicki 16 kwietnia 013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Ciągi komplementarne
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowoSześciany, bikwadraty i wyższe potęgi
Podróże po Imperium Liczb Część 9 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 SZB - 41(1028) - 24.04.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Sześciany
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoCyfry liczb naturalnych
Podróże po Imperium Liczb Część 2 Cyfry liczb naturalnych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 CYF - 38(954) - 7.12.2011 Spis treści Wstęp 1 1 Wstępne informacje
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoLiczby Mersenne a, Fermata i inne liczby
Podróże po Imperium Liczb Część 8 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 MER - 37(980) - 20.05.2012 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoZadania z arytmetyki i teorii liczb
Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoOLIMPIADA MATEMATYCZNA
OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 WLM - 40(992) - 23.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe 5 1.1
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoNierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
Bardziej szczegółowoKongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 01. Liczby Wymierne Rozdział 9 9. Liczby postaci / + / + + x s / Andrzej Nowicki 7 grudnia 2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 9 Liczby postaci / + / + +
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoLXIII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 06. Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Rozdział 10 10. Sporadyczne ciągi arytmetyczne Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 10
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoLXII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowo