Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 9 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

2 SZB - 41(1028)

3 Spis treści Wstęp 1 1 Sześciany Cyfry sześcianów Lustrzane odbicia sześcianów Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji Sumy cyfr sześcianów Końcowe cyfry sześcianów Własności sześcianów Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów Różnice dwóch sześcianów Odwrotności sześcianów Różne fakty i zadania z sześcianami Sumy sześcianów Sumy dwóch sześcianów liczb całkowitych Sumy dwóch sześcianów - różne rozkłady Równanie x 3 + y 3 = z Równanie x 3 + y 3 = z n Sumy dwóch sześcianów i kolejne liczby naturalne Sumy dwóch sześcianów i liczby wymierne Sumy trzech sześcianów Równanie x 3 + y 3 + z 3 = a Równanie x 3 + y 3 + z 3 = t Równanie x 3 + y 3 + z 3 = mxyz Liczby postaci a 3 + b 3 + c 3-3abc Sumy czterech i więcej sześcianów Sumy n sześcianów Sumy sześcianów kolejnych liczb całkowitych Sumy sześcianów w różnych systemach numeracji Sumy i sześciany Krzywe eliptyczne Struktura grupowa zbioru E(k) Podstawowe fakty o krzywych eliptycznych Równoliczność zbiorów związanych z krzywymi eliptycznymi Liczba punktów nad ciałami skończonymi Krzywe eliptyczne postaci y 2 = x 3 + a Krzywe eliptyczne postaci y 2 = x 3 + ax Krzywa y 2 = x 3 - x + m Równanie my 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d Równanie ay 2 + by +c = dx Różne fakty i zastosowania krzywych eliptycznych i

4 4 Równania diofantyczne trzeciego stopnia Równania ax 3 + by 3 = c Równania trzeciego stopnia dwóch zmiennych Równania ax 2 + by 2 = cz Równania ax 3 + by 3 = cz Równania trzeciego stopnia trzech zmiennych Równania trzeciego stopnia czterech zmiennych Bikwadraty Cyfry bikwadratów Sumy dwóch bikwadratów Sumy trzech bikwadratów Sumy czterech i więcej bikwadratów Dodatkowe fakty i zadania o bikwadratach Równanie ax 4 + by 2 = c Równanie ax 4 + by 4 = cz Równanie ax 4 + bx 2 y 2 + cy 4 = dz Różne równania diofantyczne 4-tego stopnia Piąte i wyższe potęgi Piąte potęgi Równania diofantyczne 5-tego stopnia Szóste potęgi Siódme potęgi Ósme potęgi Dziewiąte potęgi Dziesiąte i wyższe potęgi Dowolne potęgi Potęgi i postępy arytmetyczne Sumy n-tych potęg Problem Waringa Potęgi oraz trójki i czwórki liczb naturalnych Równanie f(x,y) = m. Twierdzenia Thuego i Mordella Równania diofantyczne dowolnych stopni Liczby pełnopotęgowe Ciągi i zbiory liczb potęgowych Różne fakty i zadania o liczbach potęgowych Problemy Prouhet-Tarry-Escotta Sformułowanie problemu, oznaczenia i historia Równoważne sformułowania Twierdzenia o PTE-parach PTE-pary stopnia PTE-pary stopnia PTE-pary stopnia PTE-pary stopnia PTE-pary stopni większych od PTE-pary i rozbicia zbiorów ii

5 8.10 Różne zadania stowarzyszone z PTE problemami Równania wykładnicze Równanie x m y n = Równanie a x b y = c Równanie a x + b y = c z Różne równania wykładnicze Potęgi w pierścieniach Z m Liczby γ s (n) Okresowość funkcji γ Elementy postaci x s w ciałach Z p Elementy postaci x s w pierścieniach Z p n Sumy elementów postaci x s w pierścieniach Z m Wielkie Twierdzenie Fermata w Z n Różne fakty i zadania o potęgach w Z m Sześciany w pierścieniach Z m Sześciany w ciałach Z p Sześciany w pierścieniach Z 2 n Sześciany w pierścieniach Z 3 n Sześciany w pierścieniach Z p n Różności o sześcianach w Z m Bikwadraty, piąte potęgi,... w pierścieniach Z m Bikwadraty w Z m Piąte potęgi w Z m Szóste potęgi w Z m Siódme potęgi w Z m Ósme potęgi w Z m Dziewiąte potęgi w Z m Dziesiąte potęgi w Z m Spis cytowanej literatury 154 Skorowidz nazwisk 161 Skorowidz 164 iii

6

7 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

8 Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

9 o o o o o W dziewiątej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami potęgowymi postaci n s, gdzie n jest liczbą naturalną (lub liczbą całkowitą) oraz s jest ustaloną liczbą naturalną większą od 2. Zakładamy, że s jest większe od 2, gdyż przypadkiem s = 2 zajmowaliśmy się już w oddzielnej książce pt. Liczby kwadratowe. Książka składa się z dwunastu rozdziałów. Dwa początkowe rozdziały dotyczą przypadku s = 3. Badamy w nich sześciany, czyli liczby naturalne postaci n 3. Zajmujemy się więc takimi liczbami naturalnymi jak: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728,. W rozdziale 1 przedstawiamy najpierw pewne własności cyfr sześcianów zapisanych w systemie dziesiętnym. Wspominamy też o innych systemach numeracji. Zebrano tu także różne fakty i ciekawostki o samych sześcianach. Natomiast w rozdziale 2 mówi się o liczbach naturalnych będących sumami dwóch, trzech lub więcej sześcianów. W szczególności opisane są rozwiązania naturalne równań postaci x 3 + y 3 + z 3 = t 3 lub x 3 + y 3 + z 3 = a. W równaniu po prawej stronie a jest daną liczbą naturalną. Wspomniane równania są przykładami diofantycznych równań trzeciego stopnia. W tej książce zajmujemy się również innymi równaniami trzeciego stopnia. Cały rozdział 3, o krzywych eliptycznych, dotyczy diofantycznych równań postaci y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c są danymi współczynnikami, przy czym wielomian x 3 + ax 2 + bx + c nie ma pierwiastków wielokrotnych. Wspominamy w tym rozdziale o grupie stowarzyszonej z takim równaniem i przedstawiamy klasyczne wyniki o strukturze tej grupy. Badamy liczby punktów krzywej eliptycznej nad ciałami skończonymi. Podajemy ponadto szczegółowe informacje o krzywych eliptycznych postaci: y 2 = x 3 + a, y 2 = x 3 + ax, y 2 = x 3 x + m 2. Różnymi innymi równaniami diofantycznymi trzeciego stopnia zajmujemy się w rozdziale czwartym. W następnych rozdziałach badamy czwarte, piąte i wyższe potęgi liczb naturalnych. W rozdziale 5 zajmujemy się bikwadratami, czyli liczbami naturalnymi postaci n 4. Potęgi n 5, n 6, itd. są w rozdziale 6. Są tu też oddzielne rozdziały o równaniach diofantycznych wyższych stopni (rozdział 7) i równaniach wykładniczych (rozdział 9). W rozdziale 8 zajmujemy się problemami Prouhet-Tarry-Escotta. Niech n i k będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Niech a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b n ) będą n-elementowymi ciągami liczb całkowitych. Mówić będziemy, że (a, b) jest PTE-parą stopnia k długości n, jeśli spełnione są równości a 1 + a a n = b 1 + b b n a a a2 n = b b b2 n. a k 1 + ak ak n = b k 1 + bk bk n. W tym przypadku pisać będziemy: (a 1,..., a n ) k = (b 1,..., b n ) lub krótko a k = b. W szczególności zapis (a 1,..., a n ) 1 = (b 1,..., b n ) oznacza, że sumy a 1 +a 2 + +a n oraz b 1 +b 2 + +b n 3

10 są równe. Mamy na przykład (2, 3, 7) = 2 (1, 5, 6), gdyż = 12 = i = 62 = W omawianym rozdziale (ósmym) opisujemy, między innymi, pewne PTE-pary i zajmujemy się problemami dotyczącymi istnienia PTE-par. W trzech ostatnich rozdziałach zajmujemy się sześcianami, bikwadratami i wyższymi potęgami w skończonych pierścieniach Z m, liczb całkowitych modulo m. 4

11 1 Sześciany Każdą liczbę postaci n 3, gdzie n jest liczbą naturalną, nazywamy sześcianem liczby naturalnej lub krótko sześcianem. Poniższa tabela przedstawia sześciany n 3, dla n

12 6 Sześciany, bikwadraty Sześciany 1.1 Cyfry sześcianów ( ) 3 = 512, ( ) 3 = 4913, ( ) 3 = 5832, ( ) 3 = 17576, ( ) 3 = 19683, ([Je88], [Bedn] 48) Każdy wyraz następujących ciągów jest sześcianem liczby naturalnej. ( ) (1) 1331, , ,... ; 11 3, 101 3, ,..., ([Mat] 6/ ). (2) 729, , , ,..., ([MaS] 2/1998). (3) , , ,..., ([IMO] Longlist 1967, [Djmp] s.42) Liczby 9261 i są sześcianami liczb naturalnych: 9261 = 21 3, = Do ich zapisu wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1,..., 9; każdą jeden raz. Jest to jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(1940) E377) Liczby 8 i są sześcianami liczb naturalnych: 8 = 2 3, = Do ich zapisu wykorzystano wszystkie niezerowe cyfry 1,..., 9; każdą jeden raz. Są jeszcze dwa przykłady tego typu: ([Mon] 47(3)(1940) E377). 8 = 2 3, = oraz 125 = 5 3, = Liczby: 1, 8, 64 i są sześcianami liczb naturalnych: 1 = 1 3, 8 = 2 3, 64 = 4 3, = Wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1,..., 9; każdą jeden raz. Nie ma trzech liczb tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(1940) E377) Sześciany = i = zbudowane są z tych samych cyfr. Podobnie: = 35 3, = 38 3 oraz 125 = 5 3, 512 = 8 3. ([Mon] 47(3)(1940) E377) Dla każdej liczby naturalnej m istnieje sześcian, którego początkowe cyfry są odpowiednio równe cyfrom liczby m. Podobny fakt zachodzi również dla dowolnych systemów numeracji. ([N-2]).

13 Sześciany, bikwadraty Sześciany Lustrzane odbicia sześcianów Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: = 54321, = , = 129. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2] i [N-3]. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie sześcianem liczby naturalnej. Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna, jeśli n = n. Przykłady liczb palindromicznych: 12321, , Wszystkie palindromiczne liczby postaci n 3 dla n < = 1, 2 3 = 8, 7 3 = 343, 11 3 = 1331, = , = , = , = , = , = , = , = , = , = Pojawiła się liczba Jest to jedyna znana do tej pory taka liczba naturalna, która nie jest palindromiczna i ma palindromiczny sześcian Każdy wyraz ciągu 1331, , ,, jest palindromicznym sześcianem. Palindromicznych sześcianów istnieje więc nieskończenie wiele = = = = = = = = = = Istnieją sześciany, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Najmniejszym takim sześcianem jest liczba 5 3, której lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą 521. Dopisując z prawej strony zera, otrzymujemy nieskończoną serię sześcianów, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi: (5 3 ) = (50 3 ) = (500 3 ) = = 521. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi sześcianami, które nie są podzielne przez W przedziale [1, 100] istnieją trzy niepodzielne przez 10 liczby naturalne n takie, że lustrzane odbicie liczby n 3 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 5, 52, 89. W przedziale [1, 1000] takich liczb jest 59, a w przedziale [1, ] jest ich 451. (Maple).

14 8 Sześciany, bikwadraty Sześciany 1.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji = , 2 3 = = , 17 3 = , 65 3 = , = , = , = = , 26 3 = , = , = , = , = = , 37 3 = , = , = , = , = , = = 33 8, 9 3 = , 65 3 = , 73 3 = , = , = , = , = , = , = = 11 7, 4 3 = 121 7, 8 3 = , 16 3 = , 50 3 = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = = 8 9, 10 3 = , 38 3 = , 82 3 = , 91 3 = , = , = , = , = ( ) 3 = , ( ) 3 = (2 + 0) 3 = 20 4, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = 102 5, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 =

15 Sześciany, bikwadraty Sześciany ( ) 3 = , ( ) 3 = , (1 + 1) 3 = 11 7, ( ) 3 = 121 7, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = ( ) 3 = 330 8, ( ) 3 = , ( ) 3 = (3 + 0) 3 = 30 9, ( ) 3 = 421 9, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = Sumy cyfr sześcianów Przez s(n) oznaczamy sumę cyfr liczby naturalnej n Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1 lub 8. D. Niech n = s(a 3 ), gdzie a N. Reszta z dzielenia liczby postaci a 3 przez 9 jest równa 0, 1 lub 8. Ponieważ s(a 3 ) a 3 (mod 9), więc n = s(a 3 ) b (mod 9), gdzie b {0, 1, 8}. Niech n będzie dowolną liczbą podzielną przez 9. Wówczas n jest postaci s(a 3 ), gdzie a N. Mamy bowiem: a m = (10 m 1) 3 = } 99 {{... 9 } 7 } 00 {{... 0 } 2 } 99 {{... 9 }, s(a m ) = 9 2m, dla m 1 m 1 m 1 m b m = (10 m 16) 3 = } 99 {{... 9 } 52 } 00 {{... 0 } 767 } 99 {{... 9 } 5904, s(b m ) = 9(2m 1), dla m 4. m 2 m 3 m 4 Ponadto, s(3 3 ) = s(27) = 9 = 9 1, s(3 9 ) = s(19683) = 27 = 9 3 oraz s(9 7 ) = s( ) = 45 = 9 5. Niech n będzie liczbą postaci 9k + 1. W tym przypadku mamy: a m = (10 m 3) 3 = } 99 {{... 9 } 1 } 00 {{... 0 } 26 } 99 {{... 9 } 73, s(a m ) = 9(2m 1) + 1, dla m 2 m 1 m 2 m 2 b m = (10 m 9) 3 = } 99 {{... 9 } 73 } 00 {{... 0 } 242 } 99 {{... 9 } 271, s(b m ) = 9(2m 1), dla m 3. m 2 m 3 m 3 Ponadto, s(7 3 ) = s(343) = 10 = , s(1 3 ) = s(1) = 1 = oraz s(13 3 ) = s(2197) = 19 = Niech n będzie liczbą postaci 9k + 8. W tym przypadku mamy: a m = (10 m 2) 3 = } 99 {{... 9 } 4 } 00 {{... 0 } 11 } 99 {{... 9 } 2, s(a m ) = 9 2(m 1) + 8, dla m 2 m 1 m 2 m 1 b m = (10 m 5) 3 = } 99 {{... 9 } 85 } 00 {{... 0 } 74 } 99 {{... 9 } 875, s(b m ) = 9(2m 1) + 8, dla m 3. m 2 m 2 m 3 Ponadto, s(8 3 ) = s(512) = 8 = , s(47 3 ) = s(103823) = 17 = oraz s(95 3 ) = s(857375) = 35 =

16 10 Sześciany, bikwadraty Sześciany Jeśli n 1000 i n 2 = s(n) 3, to n = 1 lub n = 27. ([Ibe] 1999) Liczba n ma 19 cyfr. Wiadomo, że s(n) = 3. Ile może wynosić s(n 3 )? Odp. 9, 18 lub 27. ([Fom] 20/73) Liczby n = 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają równość Są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne. s(n 3 ) = n. D. Załóżmy, że liczba naturalna n spełnia równość s(n 3 ) = n. Niech k będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy 10 k 1 n < 10 k oraz 10 3(k 1) n 3 < 10 3k. Stąd mamy: 10 k 1 n = s(n 3 ) 9 3k = 27k < 10 2 k, więc 10 k 3 < k i stąd k 3. Liczba n jest więc mniejsza od Wystarczy zatem tylko zbadać wszystkie liczby naturalne co najwyżej 3-cyfrowe. Wśród nich tylko liczby 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają rozpatrywaną równość Spójrzmy na przykłady: 1 = s(n), 1 3 = s(n 3 ), dla n = 1; 2 = s(n), 2 3 = s(n 3 ), dla n = 2 lub n = 11; 3 = s(n), 3 3 = s(n 3 ), dla n = 111 lub n = 1011; 4 = s(n), 4 3 = s(n 3 ), dla n = 11011; 5 = s(n), 5 3 = s(n 3 ), dla n = ; 6 = s(n), 6 3 = s(n 3 ), dla n = Czy dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że s(n) = m i s(n 3 ) = m 3? Czy stnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 100 oraz s(n 3 ) = 100 3? ([OM] Rosja 2009, citekwant 4/2010 s.57). Odpowiedzi na te pytania są pozytywne. Wynika to z następującego stwierdzenia Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że gdzie s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. D. Przypomnijmy najpierw następujący uogólniony wzór Newtona: (a a m ) n = i 1,..., i s a i aim m, i 1+ +i m=n i 1+ +i m=n oznacza, że sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych (i 1,..., i m ) takie, że i i m = n. Występujące tu współczynniki postaci i 1,..., i m są liczbami (naturalnymi) zdefiniowanymi jako i 1,..., i s = (i 1 + i i s )!. i 1!i 2!... i s!

17 Sześciany, bikwadraty Sześciany 11 Szczegóły znajdziemy w [N11] w podrozdziale o uogólniononych symbolach Newtona.. Niech teraz m będzie daną liczbą naturalną i niech n = m 10 4k = m. k=1 Suma cyfr liczby n jest równa m. Podnosząc n do trzeciej potęgi, otrzymujemy: ( ) n 3 = i 1,..., i m 10 i141 +i i m4 m. i 1+ i m=3 Jeśli i 1,..., i m są nieujemnymi liczbami całkowitymi, których suma jest równa 3, to są to liczby mniejsze od 4. Każdy więc uogólniony symbol Newtona i 1,..., i m, występujący w równości ( ), jest jedną z cyfr 1, 3 lub 6. Z jednoznaczności przedstawienia liczb w systemie numeracji o podstawie 4 wynika, że potęgi dziesiątki, występujące po prawej stronie równości ( ), są parami różne. Liczba n 3 zbudowana jest więc z cyfr 0, 1, 3, 6. Zatem s(n 3 ) = i 1,..., i m = i 1,..., i m 1 i1 1 i2 1 im = ( ) 3 = m 3, i 1+ i m=3 i 1+ i m=3 Mamy więc: s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. Rozpatrzmy ciągi postaci n, D(n), D(D(n)), D(D(D(n))),, gdzie D : N N jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n sumę jej cyfr podniesioną do trzeciej potęgi, tzn. D(n) = s(n) 3. Spójrzmy najpierw na kilka przykładów takich ciągów: 5, 5 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 6, 6 3, 9 3, 18 3, 18 3, 18 3, 18 3, 18 3, ; 22, 4 3, 10 3, 1, 1, 1, 1, 1, ; 49, 13 3, 19 3, 28 3, 19 3, 28 3, 19 3, 28 3, ; 59, 14 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, ; 899, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, ; 999, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3,. W każdym z tych ciągów pojawił się wyraz należący do zbioru {1 3, 8 3, 17 3, 18 3, 19 3, 26 3, 27 3 }. Udowodnimy, że tak jest zawsze Niech D : N N będzie funkcją określoną wzorem D(n) = s(n) 3, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że D k (n) jest jedną z liczb: 1 3, 8 3, 17 3, 18 3, 19 3, 26 3, D. (1). Najpierw udowodnimy, że jeśli m 7 jest liczbą naturalną, to (9m) 3 < 10 m 1. Zrobimy to metodą indukcji matematycznej ze względu na m. Dla m = 7 mamy: (9m) 3 = < 10 6 = 10 m 1. Niech m 7 i niech (9m) 3 < 10 m 1. Wtedy ( ) ( 9(m + 1) (m + m ) 3 = ( ) 3 8 m 3 < m 1 < m 1 = 10 m,

18 12 Sześciany, bikwadraty Sześciany a zatem, (9(m + 1)) 3 < 10 (m+1) 1 i to kończy nasz indukcyjny dowód. (2). Teraz wykżemy, że jeśli n 10 6, to D(n) < n. Załóżmy, że n 10 6 i niech m będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy m 7 oraz 10 m 1 n. Korzystamy z nierówności udowodnionej w punkcie (1) i mamy: D(n) = s(n) 3 (9m) 3 < 10 m 1 n, a więc D(n) < n. (3). Teraz wystarczy zbadać tylko te wszystkie liczby naturalne n, które są mniejsze od W tym celu wystarczy tylko zbadać wszystkie sześciany mniejsze od 10 6, czyli liczby 1 3, 2 3,..., Sprawdzamy to na przykład za pomocą komputera. W każdym przypadku widzimy, że zachodzi rozważana teza. 1.5 Końcowe cyfry sześcianów ) Niech (c p, c p 1,..., c 1, c 0 (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego, przy czym nwd(c 0, 10) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p 1,..., c 0. ([OM] Ukraina 1998). D. Indukcja ze względu na p 0. Dla p = 0 jest to oczywiste, gdyż 1 3 = 1, 7 3 = 243, 3 3 = 27 oraz 9 3 = 729. Niech p > 0 i załóżmy, że (c p,..., c 1, c 0 ) jest danym ciągiem cyfr takim, że nwd(c 0, 10) = 1. Na mocy indukcji istnieje liczba naturalna m taka, że końcowe cyfry liczby m 3 tworzą ciąg (c p 1, c p 2,..., c 1, c 0 ). Niech a będzie cyfrą liczby m 3 stojącą na p-tym (licząc od końca) miejscu, tzn. m 3 =... ac p 1 c p 2... c 1 c 0. Niech b {0, 1,..., 9} będzie taką cyfrą, że a + b c p (mod 10). Ponieważ ostatnią cyfrą liczby m jest 1, 3, 7 lub 9, więc ostatnią cyfrą liczby 3m 2 jest 3 lub 7. Istnieje zatem liczba k {0, 1, 2,..., 9} taka, że ostatnią cyfrą liczby 3m 2 k jest b. (Mamy bowiem, modulo 10, następujące równości: 0 3 = 0, 1 3 = 3, 2 3 = 6, 3 3 = 9, 4 3 = 2, 5 3 = 5, 6 3 = 8, 7 3 = 1, 8 3 = 4, 9 3 = 7 oraz 0 7 = 0, 1 7 = 7, 2 7 = 4, 3 7 = 1, 4 7 = 8, 5 7 = 5, 6 7 = 2, 7 7 = 9, 8 7 = 6, 9 7 = 3.) Niech n = m+10 p k. Wtedy n 3 = m 3 +3m 2 k 10 p +3mk p +k p i jest oczywiste, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą ciąg (c p, c p 1,..., c 1, c 0 ) Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę Odp. n = , n 3 = ([OM] Ukraina 1998) Przykłady liczb naturalnych n takich, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą daną liczbę m. m n n (Maple i dowód 1.5.1).

19 Sześciany, bikwadraty Sześciany Jeśli liczba naturalna n ma w zapisie dziesiętnym na końcu s dziewiątek, to liczba n 3 ma na końcu co najmniej s dziewiątek Jeśli ostatnią cyfrą liczby n 3 jest 5, to przedostatnią cyfrą tej liczby jest 2 lub (1) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 125 lub 625. (2) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 75, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 375 lub 875. (3) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 125 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (4) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 375 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k (5) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 625 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k (6) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 875 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k Liczba n 3 nie może mieć w zapisie dziesiętnym końcówki 14375, To samo z końcówkami: 14375, oraz Własności sześcianów Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych. ([WyKM] ). D. 2 3 = 3 + 5, 3 3 = , 4 3 = ,. Niech a = n(n 1). Wtedy (a + 1) + (a + 3) + + (a + 2n 1) = n Z równości ( ) n(n + 1) 2 ( n(n 1) n 3 = 2 2 wynika, że każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych. ([S50] 510) W ciągu kolejnych liczb naturalnych 1, 2, 3... wykreślamy co trzecią liczbę. W nowym ciągu 1, 2, 4, 5, 7, 8,... każdy wyraz zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich poprzedzających go wyrazów. W nowym ciągu 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61,... wykreślamy co drugi wyraz i następnie każdy wyraz nowego ciągu zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich go poprzedzających. Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem wszystkich kolejnych sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 1-2/ ). ) Jeśli liczby x, y i x2 + y xy całkowitej. ([OM] Estonia 1996, [Pa97]). są całkowite, to x2 + y xy jest sześcianem liczby Niech a, b, c Z. Jeśli nwd(a, c) = 1 i bc(a 2 b 2 ) = a(c 2 b 4 ), to a jest sześcianem. ([MG] 88(511)(2004) s.166).

20 14 Sześciany, bikwadraty Sześciany Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/1999) Niech a N i niech x n = n 3 + a dla n N. Wtedy: ) (1) nwd (x n, x n+1, x n+2 = 1 dla n N; (2) jeśli a jest sześcianem, to istnieje n takie, że nwd(x n, x n+1 ) > 1; (3) nie istnieje takie a, że nwd(x n, x n+1 ) = 1 dla każdego n N; (4) jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą nwd(x n, x n+1 ) dla pewnego n, to p 27a ([Kw] 5/1999 M1680). 1.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([Mat] 5/ , [S64] 167, [S68] 102). D. Zauważmy najpierw, że jeśli k 4, to (k+1) 3 < 2k 3. Istotnie: 2k 3 (k+1) 3 = k 3 3k 2 3k 1 > k 3 3k 2 4k = k(k 4)(k + 1) 0. Jeśli 33 n < 64, to n < 4 3 < 2n. Niech teraz n 64 i niech k będzie największą liczbą naturalną taką, że k 3 n. Wtedy (k + 1) 3 > n oraz k 4. Mamy zatem: n < (k + 1) 3 < 2k 3 2n Dla każdej liczby naturalnej n > 9 pomiędzy liczbami n i 3n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([AndG] 63) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a, b takich, że liczby a b i a 2 + 3b są sześcianami liczb całkowitych. ([OM] St Petersburg 1997) Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 7 n + 7 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (2 7 s ) s + 7 3s Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 26 n + 26 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (3 26 s ) s s Jeśli w nieskończonym postępie arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje sześcian liczby naturalnej, to takich sześcianów w tym postępie istnieje nieskończenie wiele.

21 Sześciany, bikwadraty Sześciany Nie ma trzech różnych sześcianów liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny. ([S59] 130) (Maple). Przykłady trójek (a, b, c), liczb naturalnych takich, że a < b < c i wszystkie liczby ab + c, bc + a, ca + b, są sześcianami. (1, 2, 62), (1, 21, 195), (1, 27, 37), (1, 37, 475), (2, 15, 34), (2, 17, 30), (3, 10, 34), (5, 29, 367), (8, 27, 296), (8, 37, 216), (9, 20, 36), (10, 15, 66), (12, 19, 115), (12, 39, 44). 1.8 Różnice dwóch sześcianów = = , 728 = = ([Mat] 3/ ) Liczba 721 jest najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa różne rozkłady na różnicę dwóch sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 3/ ) = = = ([Mat] 3/ ) = = ( 1) 3. ([Dlt] 4/ ) Niech x Z. Jeśli (x + 1) 3 x 3 = n 2 dla pewnego naturalnego n, to n = a 2 + (a + 1) 2 dla pewnego a Z. Przykład: = 13 2, 13 = ([IMO] Longlist 1971). A. Górski, Trzy równe różnice dwóch sześcianów, [Dlt] 4/ Odwrotności sześcianów Odwrotnościami sześcianów zajmowaliśmy sią już w pierwszej książce serii Podróże po Imperium Liczb [N-1] (lub [N-1a]). W tym podrozdziale przypominamy tylko pewne zagadnienia pochodzące z tej książki Równanie 1 x y 3 = 1 nie ma rozwiązań naturalnych. z3 D. Przypuśćmy, że takie naturalne rozwiązanie (x, y, z) istnieje. Wtedy po pomnożeniu stronami przez (xyz) 3 otrzymujemy równość (yz) 3 + (xz) 3 = (xy) 3. Dobrze wiadomo jednak, że równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych.

22 16 Sześciany, bikwadraty Sześciany = 1 2 2, = , 1 ( ) ( ) 3 = 1 ( ) Równanie 1 x y 3 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. z Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x y 3 = 1, to nwd(x, y) 2. z = 1. Zauważmy, że nwd(9, 12, 72) = 3 oraz 3 8. Inne przykłady 83 tego typu: (1) = 1, nwd(95, 171, 570) = 19 oraz (2) = 1, nwd(140, 170, 340) = 10 oraz (3) = 1, nwd(120, 252, 266) = 2 oraz (Maple) Równanie 1 x y z 3 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. t3 D. Z poprzednich przykładów wynika, że co najmniej jedno rozwiązanie naturalne (x, y, z, t) istnieje. Każda więc czwórka postaci (ax, ay, az, at), gdzie a N, też jest rozwiązaniem naturalnym rozpatrywanego równania = Równość tę otrzymujemy dzieląc obie strony znanej równości = 6 3 przez Istnieje więc rozwiązanie naturalne równania 1 x y z 3 = 1 t 3 takie, że nwd(x, y, z) = 1. Czy istnieje inne tego typu rozwiązanie naturalne? Nie znam odpowiedzi na to pytanie. ( ) Dla każdej liczby naturalnej s 3 równanie 1 x 3 0 = 1 x x 3 s ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([S64] 151) n 3 < 5. ([IMO] Longlist 1969, [OM] Grecja 2005) n 3 < 1. ([OM] Irlandia 1990). 12 (1 1 ) ( ) ( ) 4 3 (1 1 ) n 3 > 1. ([IMO] Longlist 1971). 2

23 Sześciany, bikwadraty Sześciany Różne fakty i zadania z sześcianami Cztery różne przedstawienia liczby 1025 w postaci x 2 + y 3 : ([MG] 529(2010) 167) = = = = (Maple). Cztery różne rozkłady postaci x 2 + y = = = = , = = = = , = = = = , = = = = = = = = = ; pięć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple) = = = = = = ; sześć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple) Jeśli f(x) = 13x 2 13x + 1, to liczby f( 1), f(0), f(1), f(2) są sześcianami. (L. Kurlandczyk 1999) Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych, dla których liczby a 3 + 6ab + 1, b 3 + 6ab + 1 są sześcianami. Odp. (a, b) = (1, 1). ([OM] Polska 1999/2000) Dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0 istnieją liczby naturalne a i b takie, że b 3 < a 2 < b 3 + rb. ([IMO] Shortlist 1999, [Zw] 2001). Agnieszka Bajak, Wykresy płaskich krzywych algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia, [Pmgr] 1999.

24 18 Sześciany, bikwadraty Sześciany

25 2 Sumy sześcianów 2.1 Sumy dwóch sześcianów liczb całkowitych Liczba naturalna n jest sumą dwóch sześcianów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki naturalny podzielnik d liczby n, że jest naturalną liczbą kwadratową. ([Coh1] 377). ( ) 1 4n 3 d d Liczba pierwsza p jest sumą dwóch sześcianów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2 lub p = 3n 2 + 3n + 1, gdzie n N. ([SilT] 177, [Mol2] 259, [Coh1] 377) Liczby postaci 7k + 3 lub 7k + 4 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S50] 111) Liczby postaci 9k + 3 lub 9k + 4 lub 9k + 5 lub 9k + 6 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S59] 463, [Mol2] 259) Z równości k = (2 3k ) 2 = (2 2k ) 3 wynika, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które są jednocześnie sumą dwóch kwadratów i sumą dwóch sześcianów względnie pierwszych liczb naturalnych. ([S64] 182). M. Erickson, A. Vazzana, Sums of two cubes, [ErV] R. A. Mollin, Sums of cubes, [Mol2] M. B. Nathanson, Sums of two cubes, [Nath] J. Sandor, On the sum of two cubes, [Sand] W. Sierpiński, Sums of two cubes, [S88] Sumy dwóch sześcianów - różne rozkłady Najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów jest liczba Hardy ego-ramanujana 1729 = = Liczbę tę znalazł w 1657 roku Bernard Frénicle de Bessy. ([Gy04] 210). 19

26 20 Sześciany, bikwadraty Sumy sześcianów (L.R. Goide,, [MG] 54(390)(1970) 402). ( ) 3+ ( ) 3 ( ) 3+ ( 3. 3x 2 +6xy 3 y x 2 y 6xy+y 7 y = 3x 2 6xy 3 y x 2 y+6xy+y y) 7 Dla x = 1, y = 2 (po podzieleniu przez 12 3 ) otrzymujemy równość = ([S50] 246, Maple) = , = , = , = , = (9k 4 + 3k) 3 = (9k 4 ) 3 + (9k 3 + 1) 3. (A. Gérardin, [S50] 246) = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = ([S50] 246, [HW4] 200, Maple) = , = , = , = ([S50] 246, Maple) = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = = , = ([Nath] 50, [Gy04] 211). Najmniejszą liczbą naturalną mającą trzy istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów liczb naturalnych jest : = = = Jest to przykład znaleziony w 1957 roku przez J. Leecha. Liczby występujące w tych rozkładach nie są względnie pierwsze, ponieważ nwd(228, 423) = nwd(255, 414) = 3. Najmniejszą liczbą naturalną mającą trzy istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów względnie pierwszych liczb naturalnych jest : = = =

27 Sześciany, bikwadraty Sumy sześcianów ([Lion], Maple) = = = , = = = , = = = , = = = , = = = , = = = , = = = , = = = = = = , = = = , = = = , = = = Najmniejszą liczbą naturalną mającą cztery istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów liczb naturalnych jest = = = = Przykład ten znaleźli w 1997 roku E.Rosenstiel, J.A. Dardis i C.R.Rosenstiel. Liczby występujące w tych rozkładach nie są względnie pierwsze. Otwartym problemem jest pytanie czy istnieją takie rozkłady z liczbami względnie pierwszymi. ([Nath] 50, [Gy04] 211) (Fermat). Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna mająca więcej niż n rozkładów na sumę dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S59] 472, [Nath] 51, [Mol2] 261) Nie są znane najmniejsze liczby naturalne mające pięć (lub więcej) różnych rozkładów na sumy dwóch sześcianów liczb naturalnych. Wiadomo, że takie liczby istnieją. Znane są natomiast takie rozkłady dopuszczające sześciany liczb ujemnych. ([Gy04] 211). A. Bailey, A geometric interpretation of equal sums of cubes, [MG] 92(523)(2008) H. Davenport, The equation x 3 + y 3 = z 3 + w 3, [Dave] L. E. Dickson, Two equal sums of two cubes, [Dic2] L. E. Dickson, Three equal sums of two cubes, [Dic2] J. H. Silverman, Taxicabs and sums of two cubes, [Mon] 100(4)(1993) J. Wróblewski, O równych sumach dwóch sześcianów, [Dlt] 3/

28 22 Sześciany, bikwadraty Sumy sześcianów 2.3 Równanie x 3 + y 3 = z Następujące dwa zdania są równoważne. (1) Równanie x y + y z = z x nie ma rozwiązań naturalnych. (2) Równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych. ([S64] 140) Równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych. Dowody tego faktu można znaleźć w różnych książkach z teorii liczb (na przykład, w [Szni] 51, [S50]). Podane równanie jest szczególnym przypadkiem równania x n + y n = z n, o którym Fermat twierdził, w 1672 roku, że nie ma rozwiązań naturalnych x, y, z, gdy n jest liczbą naturalną większą od 2. Przez kilka stuleci nie potrafiono tego udowodnić. Udowodnił to A. Wiles w 1995 roku. C. D. Bennett, A. M. W. Glass, G. J. Szekely, Fermat last theorem for rational exponents, [Mon] 4(111)(2004) L. E. Dickson, Impossibility of x 3 + y 3 = z 3, [Dic2] A. Liu, Another Do-It-Yourself proof of the n = 3 case of Fermat s Last Theorem, [Crux] W. Narkiewicz, Równanie x 3 + y 3 = z 3, [Nar72] M. M. Postnikov, Twierdzenie Fermata dla wykładnika 3, [Po82] 34-38; [Post]. R. Vakil, A Do-It-Yourself proof of the n = 3 case of Fermat s Last Theorem, [Crux] Równanie x 3 + y 3 = z n = 3 2, = 312 2, = 24 2, = 98 2, = = 228 2, = , = (Maple) Równanie x 3 +y 3 = z 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. (7.2.7, [Coh2] 467). D. Każda trójka (x, y, z) = ( 3(1 + k 3 ) 2, k(1 + k 3 ), (1 + k 3 ) 2), gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, spełnia to równanie = 28 4, = 65 4, = 126 4, = = ([MG] 89(516)(2005) 358) Równanie x 3 + y 3 = z 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. (Patrz 7.2.8) = 3 5, = (Maple).