Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 8 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

2 MER - 37(980)

3 Spis treści Wstęp 1 1 Liczby Mersenne a Początkowe informacje o liczbach Mersenne a Cyfry liczb Mersenne a Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a Liczby Mersenne a i liczby pierwsze Dzielniki pierwsze liczb Mersenne a Podzielniki postaci n + k Liczby M kn /M k Różne fakty i zadania o podzielności i liczbach Mersenne a Liczby postaci a n - b n Ogólne własności liczb a n - b n Liczby postaci a n Liczby 3 n Liczby 5 n Liczby 6 n Liczby 7 n Liczby 11 n Inne liczby postaci a n Liczby postaci (a+1) n - a n Liczby a n - a m Liczby pseudopierwsze i liczby Carmichaela Liczby (repunits) Liczby pierwsze postaci e n Rozkłady na czynniki Równości z liczbami e n Liczby e n i relacja podzielności Liczby e n i wielomiany Różne fakty i zadania z liczbami e n Liczby jedynkowe w innych systemach numeracji Rozwinięcia liczb wymiernych Rozwinięcia liczb rzeczywistych przy danej podstawie O q-dzielnikach i q-kodzielnikach Rozwinięcia skończone Rozwinięcia okresowe Przykłady rozwinięć dziesiętnych ułamków prostych Przykłady q-rozwinięć ułamków prostych i

4 5 Okresy rozwinięć liczb wymiernych Specjalne liczby pierwsze Długość okresu zasadniczego Długość okresu zasadniczego sumy dwóch liczb wymiernych Okresy zasadnicze i podzielność przez Okresy o parzystych długościach Okresy zasadnicze o długościach podzielnych przez Cykliczność okresów Liczby postaci a n + b n Podzielność liczb a n + b n przez (a + b) s Podzielniki liczb a n + b n Liczby a n + b n i nwd Liczby postaci a n Liczby 2 n Liczby 3 n Liczby 5 n Liczby 2 n + 3 n Liczby 2 n + 5 n i 2 n + 7 n Liczby 3 n + u n Liczby 4 n + u n Liczby 5 n + u n Liczby Fermata i ich uogólnienia Liczby Fermata Liczby postaci n2 n ± Liczby postaci k2 n ± Liczby postaci 2 n - a Różne fakty i zadania Liczby trójkątne Własności liczb trójkątnych Cyfry liczb trójkątnych Sumy liczb trójkątnych Liczby trójkątne i ciągi arytmetyczne Równanie mt x = t y Liczby trójkątne i liczby pierwsze Iloczyny i ilorazy liczb trójkątnych Liczby trójkątne i liczby kwadratowe Liczby trójkątne i trójki pitagorejskie Liczby trójkątne i liczby potęgowe Odwrotności liczb trójkątnych Liczby tójkątne modulo m Pseudo-Smarandache a funkcja z Różne fakty i zadania z liczbami trójkątnymi ii

5 9 Liczby tetraedralne, pięciokątne, Liczby tetraedralne Liczby pięciokątne Liczby sześciokątne Liczby wielokątne Sumy k-tych potęg kolejnych liczb naturalnych Sumy kolejnych liczb naturalnych Liczby i wielomiany Bernoulliego Liczby postaci s k (n) i równości Liczby postaci s k (n) i symbole Newtona Liczby postaci s k (n) i podzielność Różne fakty i zadania o sumach kolejnych k-tych potęg Spis cytowanej literatury 158 Skorowidz nazwisk 164 Skorowidz 168 iii

6

7 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 1

8 Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

9 o o o o o W ósmej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się różnego rodzaju liczbami naturalnymi. Książka składa się z dziesięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym zajmujemy się liczbami Mersenne a, czyli takimi liczbami naturalnymi, które są postaci M n = 2 n 1. W następnym rozdziale mówimy o uogólnieniach liczb Mersenne a. Podajemy w nim różne fakty, informacje i ciekawostki o liczbach postaci a n b n, gdzie a i b są ustalonymi liczbami naturalnymi, przy czym a > b. Oddzielne podrozdziały tego rozdziału dotyczą liczb 3 n 1, 5 n 1 i ogólniej a n 1. Mówimy tu też o liczbach pseudopierwszych i liczbach Carmichaela. Liczby postaci 10 n 1 zbudowane są z samych dziewiątek. Po podzieleniu ich przez 9 otrzymujemy liczby e n = 1 9 (10n 1), które w zapisie dziesiętnym mają same jedynki. Liczby postaci e n posiadają szczególne własności. Tym liczbom poświęcony jest cały rozdział trzeci. Z liczbami a n 1 spotkamy się również w rozdziałach 4 i 5. W tych rozdziałach zajmujemy się rozwinięciami dziesiętnymi liczb rzeczywistych i rozwinięciami przy dowolnej podstawie q 2. Spójrzmy na okresowe rozwnięcia dzisiętne pewnych ułamków: 1 7 = 0, (142857), 1 31 = 0, ( ), 1 76 = 0, 01( ). Widzimy okresy o długościach odpowiednio równych 6, 15 i 18. Jeśli długość okresu jest liczbą parzystą, to suma połówek tego okresu jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek: , Jeśli natomiast długość okresu jest liczbą podzielną przez 3, to okres można podzielić na trzy części i suma tych części jest również liczbą zbudowaną z samych dziewiątek: , , To nie są przypadkowe przykłady. Tak jest zawsze. Podobnie jest, gdy zamiast rozwinięć dziesiętnych, rozpatrujemy rozwinięcia przy dowolnej podstawie q 2. Wyjaśnienia tych zjawisk znajdziemy w rozdziale 5. Tam znajdziemy również inne ciekawe własności dotyczące okresów. Ogólne fakty, wraz z ich dowodami, o rozwinięciach przy dowolnej podstawie q, znajdują się w rozdziale 4. Rozdziały 1, 2, 3, 4, 5 dotyczą różnic liczb potęgowych. W następnych dwóch rozdziałach, zamiast różnic, badane są sumy liczb potęgowych. W rozdziale 6 zajmujemy się liczbami naturalnymi postaci a n + 1 oraz a n + b n, gdzie a i b są liczbami naturalnymi. W rozdziale 7 omawiamy najpierw liczby Fermata, czyli liczby naturalne postaci F n = 2 2n + 1. Następnie rozważamy różne uogólnienia liczb Fermata. Pojawiają się tu również liczby postaci n2 n ± 1, k2 n ± 1 lub 2 n 3 m

10 Pewne liczby naturalne nazywa się wielokątnymi. Wśród nich wyróżniane są liczby trójkątne, kwadratowe, pięciokątne, sześciokątne, itp. Liczby trójkątne, oznaczane przez t n, są sumami wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Tymi liczbami zajmujemy się w rozdziale 8. Na omówienie liczb kwadratowych przeznaczyliśmy oddzielną książkę z serii Podróże po Imperium Liczb (Część 3). Liczbami kwadratowymi już się więc tu specjalnie nie zajmujemy. W rozdziale 9 znajdują się pewne informacje o liczbach pięciokątnych, sześciokątnych oraz o liczbach wielokątnych. Ponadto, pojawiają się tu liczby tetraedralne, zwane często liczbami piramidalnymi. Powstają one przez sumowanie kolejnych liczb trójkątnych. W tej książce oznaczamy je przez T n. Zanotujmy, że T n = t 1 + t t n = n(n + 1)(n + 2). 6 Jeśli k jest ustaloną liczbą naturalną, to dla każdej liczby naturalnej n przez s k (n) oznaczamy sumę 1 k + 2 k + + n k. Liczbami s k (n) zajmujemy się w ostatnim rozdziale 10. 4

11 1 Liczby Mersenne a Marin Mersenne ( ); francuski teolog, matematyk i teoretyk muzyki. Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a. Przykłady: M 0 = 0, M 1 = 1, M 2 = 3. Poniższe tabele przedstawiają liczby Mersenne a M n, dla 1 n 100, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. M 1 = 1 M 2 = 3 = 3 M 3 = 7 = 7 M 4 = 15 = 3 5 M 5 = 31 = 31 M 6 = 63 = M 7 = 127 = 127 M 8 = 255 = M 9 = 511 = 7 73 M 10 = 1023 = M 11 = 2047 = M 12 = 4095 = M 13 = 8191 = 8191 M 14 = = M 15 = = M 16 = = M 17 = = M 18 = = M 19 = = M 20 = = M 21 = = M 22 = = M 23 = = M 24 = = M 25 = = M 26 = = M 27 = = M 28 = = M 29 = = M 30 = = M 31 = = M 32 = = M 33 = = M 34 = = M 35 = = M 36 = = M 37 = = M 38 = = M 39 = = M 40 = = M 41 = = M 42 = = M 43 = = M 44 = = M 45 = = M 46 = = M 47 = = M 48 = = M 49 = = M 50 = =

12 6 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a M 51 = = M 52 = = M 53 = = M 54 = = M 55 = = M 56 = = M 57 = = M 58 = = M 59 = = M 60 = = M 61 = = M 62 = = M 63 = = M 64 = = M 65 = = M 66 = = M 67 = = M 68 = = M 69 = = M 70 = = M 71 = = M 72 = = M 73 = = M 74 = = M 75 = = M 76 = = M 77 = = M 78 = = M 79 = = M 80 = = M 81 = = M 82 = = M 83 = = M 84 = = M 85 = = M 86 = = M 87 = = M 88 = = M 89 = = M 90 = = M 91 = = M 92 = = M 93 = = M 94 = = M 95 = = M 96 = = M 97 = = M 98 = = M 99 = = M 100 = = Następne przykłady: M 150 = = M 200 = = M 300 = =

13 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Początkowe informacje o liczbach Mersenne a Przypomnijmy, że n-tą liczbą Mersenne a jest M n = 2 n Ciąg liczb Mersenne a (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n Inna rekurencyjna definicja ciągu liczb Mersenne a: M 1 = 1, M 2 = 3, M n+2 = 3M n+1 2M n dla n Każda nieparzysta liczba naturalna jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a. D. Załóżmy, że n jest nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy liczby 2, n są względnie pierwsze, a więc - na mocy twierdzenia Eulera - liczba 2 (ϕ(n) 1 jest podzielna przez n. Zatem, n jest dzielnikiem liczby Mersenne a M ϕ(n) M 6 = M 2 2 M 3, M 12 = 13M 2 M 3 M M 4n+2 = (2 2n+1 2 n+1 + 1)(2 2n n+1 + 1). ([Gibl] 5) Liczba M n nie jest postaci 7k + 5. ([IMO] Longlist 1992) Żadna liczba Mersenne a większa od 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym od 1. ([S59] 374, [MM] 47(4)(1974) 231) M n x n 1 = n=1 1 (1 x)(1 2x), dla x < 1 2. ([S59] 378) Niech K będzie zbiorem tych wszystkich liczb naturalnych, które są sumami różnych liczb Mersenne a. Przykład: K = {1, 3, 4, 7, 8, 10,... }. W dowolnym odcinku postaci [1, n] liczb naturalnych należących do K jest nie mniej niż pozostałych liczb naturalnych w tym odcinku. ([Kw] 4/1998 M1622) Jeśli n > 1, to liczba Mersenne a M n nie jest podzielna przez n. ([S64] 16d, [Putn] 1972, [Br80] 16). D. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba naturalna n 2, że n 2 n 1. Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n. Wtedy p 2 n 1 oraz (na mocy Małego Twierdzenia Fermata) p 2 p 1 1. Niech b będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że p 2 b 1. Wtedy b n oraz b p 1, a zatem b nwd(n, p 1). Ale nwd(n, p 1) = 1. Przypuśćmy bowiem, że nwd(n, p 1) = d 2. Istnieje wtedy liczba pierwsza q dzieląca jednocześnie liczby n oraz p 1. Zatem wtedy q n oraz q p 1 < p, a to jest sprzeczne z minimalnością wyboru liczby pierwszej p. Mamy więc b 1 = nwd(n, p 1), czyli b = 1 i stąd otrzymujemy sprzeczność: p 1 =

14 8 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Jeśli n > 1, to 2 n 1 3 n 1. ([Mon] 6-7/1978 E2643) Jeśli a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 3, to liczba a 13 a jest podzielna przez liczbę Mersenne a M 12. ([DoC] 181) Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to 2 n 1 M n 1 (mod 9). ([DoC] 217) Niech n N. Istnieje liczba naturalna m taka, że M n m wtedy i tylko wtedy, gdy n jest potęgą dwójki. ([IMO] Shortlist 1998, [OM] Czechy-Słowacja 2000). S. Ligh, L. Neal, A note on Mersenne numbers, [MM] 47(4)(1974) W. Narkiewicz, Mersenne s numbers, [Nar86] R. S. Westfall, Mersenne Marin, Department of History and Philosophy of Science Indiana University, The Galileo Project Development Team, Cyfry liczb Mersenne a (Maple). Liczby Mersenne a M 100, M 500, M 1000 i M 2000 mają odpowiednio 31, 151, 302 i 603 cyfr. M 100 = M 500 = M 1000 = M 2000 = Ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy o okresie czystym: 1, 3, 7, Dwie ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy. Okres ma długość 20 i rozpoczyna się od wyrazu drugiego: 03, 07, 15, 31, 63, 27, 55, 11, 23, 47, 95, 91, 83, 67, 35, 71, 43, 87, 75, Trzy ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy. Okres ma długość 100 i rozpoczyna się od wyrazu trzeciego: 007, 015, 031, 063, 127, 255, 511, 023, 047, 095, 191, 383, 767, 535, 071, 143, 287, 575, 151, 303, 607, 215, 431, 863, 727, 455, 911, 823, 647, 295, 591, 183, 367, 735, 471, 943, 887, 775, 551, 103, 207, 415, 831, 663, 327, 655, 311, 623, 247, 495, 991, 983, 967, 935, 871, 743, 487, 975, 951, 903, 807, 615, 231, 463, 927, 855, 711, 423, 847, 695, 391, 783, 567, 135, 271, 543, 087, 175, 351, 703, 407, 815, 631, 263, 527, 055, 111, 223, 447, 895, 791, 583, 167, 335, 671, 343, 687, 375, 751, 503.

15 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Jeśli s N, to ciąg utworzony z s ostatnich cyfr kolejnych liczb Mersenne a jest okresowy. Okres, długości 4 5 s 1, rozpoczyna się od wyrazu s-tego Niech A n = 2 2n (2 2n+1 1) = 2 2n M 2n+1. (1) Znaleźć ostatnią cyfrę liczby A n dla nieparzystego n. (2) Jeśli n jest nieparzyste, to przedostatnią cyfrą liczby A n jest 2. ([OM] Mołdawia 1998) W ciągu M 1, M 2,..., M 2000 istnieje dokładnie 27 liczb Nivena, tzn. takich liczb naturalnych, które są podzielne przez sumę swoich cyfr. (Maple). 1.3 Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a Przypomnijmy, że M 0 = Niech m, n N. Jeśli resztą z dzielenia m przez n jest r, to resztą z dzielenia M m przez M n jest M r. ([S59] 373). D. Możemy założyć, że m > n. Niech m = kn + r, gdzie r, k N 0, jest 0 r < n. Mamy wtedy: 2 m 1 = 2 kn+r 1 = 2 r (2 n ) k 1 2 r + 2 r = 2 r ( (2 n ) k 1 k) + 2 r 1 = 2 r ( n + 2 2n (k 1)n) (2 n 1) + 2 r 1, czyli M m = 2 r ( (1 + 2 n + 2 2n (k 1)n) M n + M r. Oczywiście 0 M r < M n. Liczba M r jest więc resztą z dzielenia liczby M m przez M n. Z powyższego faktu wynika następujące twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a. Przypomnijmy, że przez (a, b) oznaczamy największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a i b Dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi równość (M n, M m ) = M (n,m). D. Jeżeli m = n to (m, n) = m i (2 m 1, 2 n 1) = 2 m 1 = 2 (m,n) 1. Załóżmy, że m > n i obliczmy największy wspólny dzielnik (m, n) przy pomocy algorytmu Euklidesa. Otrzymujemy wtedy ciąg równości: m = k 1 n + r 1, n = k 2 r 1 + r 2, r 1 = k 3 r 2 + r 3,..., r i 1 = k i+1 r i + r i+1, r i = k i+2 r i+1 + r i+2, w których wszystkie k j, r j są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m > n > r 1 > r 2 > > r i+1 > r i+2 = 0. Mamy wtedy (m, n) = r i+1. Z faktu otrzymujemy ciąg równości (M m, M n ) = (M n, M r1 ) = (M r1, M r2 ) = (M r2, M r3 ) = = ( M ri+1, M ri+2 ) Zatem (M n, M m ) = M (n,m). = ( M ri+1, M 0 ) = ( Mri+1, 0 ) = M ri+1 = M (m,n).

16 10 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Zanotujmy istotne wnioski wynikające z twierdzenia Liczby Mersenne a M n, M m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby m, n są względnie pierwsze. ([S59] 373, [BoL] 205 s.70, [DyM] 96). D. Jeśli (m, n) = 1, to (M n, M m ) = M (m,n) = M 1 = 1. Za lóżmy, że (M m, M n ) = 1 i przypuśćmy, że (m, n) = d 2. Wtedy mamy sprzeczność: 1 = (M m, M n ) = M d M 2 > M m M n m n. ([S59] 373). D. Jeśli m n, to (m, n) = m i wtedy M m = M (m,n) = (M m, M n ), czyli M m M n. Załóżmy, że M m M n. Wtedy M m = (M m, M n ) = M (m,n), więc m = (m, n) i stąd m n. Przez Mn oznaczać będziemy liczby naturalne zdefiniowane w następujący sposób. Przyjmujemy, że M1 = 1 oraz Mn = M α p 1 M α 1 p 2 M 2 p αs, s gdy n 2 i n = p α 1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym. Z wniosków i wynika: Każda liczba Mersenne a M n jest podzielna przez M n Jeśli m n, to M m M n. Jest oczywiste, że jeżeli n jest potęgą liczby pierwszej, to M n = M n. Gdy n nie jest potęgą liczby pierwszej, iloraz M n /M n jest liczbą naturalną większą od 1. Przykłady: (Maple). M 6 = 3M6 = M2 2 M 3, M 10 = 11M10 = 11M 2 M 5, M 12 = 3 13M12 = 13M 2 M 3 M 4, M 14 = 43M14 = 43M 2 M 7, M 15 = 151M15 = 151M 3 M 5, M 18 = 9 19M18 = 19M2 3 M 9, M 20 = M20, M 21 = 7 337M21, M 22 = 683M22, M 24 = M24, M 26 = 2731M26, M 28 = M (Maple). Oznaczmy przez b n liczbę naturalną M n /M n. Liczby postaci b n są pierwsze dla następujących n : 6, 10, 14, 15, 22, 26, 33, 34, 38, 46, 62, 65, 69, 77, 85, 86, 93, 122, 129, 133, 145, 158, 202, 254, 334, 382, 398, 447, 471, 579, 626, 694, 745. Są to wszystkie tego rodzaju liczby pierwsze dla n Liczba pierwsza b 745 ma 178 cyfr: b 745 = Jeśli m, n N i m jest liczbą nieparzystą, to (M n + 2, M m 1) = 1. ([Mat] 3/ , [Fom] 30/66).

17 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Liczby Mersenne a i liczby pierwsze Tablica znanych liczb pierwszych Mersenne a M n. Źródła: [Yan] 32, [Ca05], [Gy04] 13. nr n cyfr rok odkrywca ? P.Cataldi P.Cataldi L.Euler I.M.Pervushin R.E.Powers R.E.Powers Lucas R.M.Robinson R.M.Robinson R.M.Robinson R.M.Robinson R.M.Robinson H.Riesel A.Hurwitz A.Hurwitz D.B.Gillies D.B.Gillies D.B.Gillies B.Tuckerman L.C.Noll, L.Nickel L.C.Noll Nelson, D.Slowinski D.Slowinski Colquitt, L.Welsh D.Slowinski D.Slowinski D.Slowinski, P.Gage D.Slowinski, P.Gage D.Slowinski, P.Gage J.Armengaud G.Spence R.Clarkson N.Hajratwala M.Cameron M.Shafer J.Findley M.Nowak C.Cooper, S.Boone C.Cooper, S.Boone H-M.Elvenich E.Smith

18 12 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Nie wiadomo czy liczb pierwszych Mersenne a jest nieskończenie wiele Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. U. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Mamy np. M 11 = 2047 = Niech a 2 i n 2. Jeżeli a n 1 jest liczbą pierwszą, to a = 2 i n jest liczbą pierwszą Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna s taka, że wszystkie liczby są złożone. ([S64] 92). M s+1, M s+2,..., M s+n D. Niech s = (n + 1)! + 1. Z wynika, że M 2 M s+1, M 3 M s+2,..., M n+1 M s+n. Wszystkie więc liczby M s+1,..., M s+n są złożone (Lucas-Lehmer). Rozważmy ciąg (b n ) zdefiniowany równościami Początkowe wyrazy: b 2 = 7, b 3 = 47, b 4 = 2207, b 5 = , b 6 = , b 1 = 3, b n+1 = b 2 n 2 dla n 1. b 7 = , b 8 = Niech p 3 będzie liczbą nieparzystą. Wtedy M p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy M p dzieli b p 1. ([Ca05]) Niech (b n ) będzie ciągiem występującym w Zachodzą następujące równości. (1) b n = u 2 n+1/u 2 n, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego: u 1 = u 2 = 1, u n+2 = u n+1 + u n. (2) b n = u 2 n +1 + u 2 n 1, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego. (3) b n = w 2 n, gdzie (w n ) jest ciągiem zdefiniowanym równościami: w 1 = 1, w 2 = 3, w n+2 = w n+1 + w n. ([Mon] 57(8)(1950) ) Jeśli p jest liczbą pierwszą Germain (tzn. taką, że 2p + 1 również jest liczbą pierwszą) postaci 4k + 3, to M p nie jest liczbą pierwszą. ([MM] 35(5)(1962) ) Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 4k + 3, to liczba q = 2p + 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy q M p. ([S59] 373).

19 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Liczba M 53 = nie jest pierwsza, ale jej lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą. W przedziale [1, 1000] jest sześć liczb naturalnych n takich, że lustrzane odbicie liczby M n jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 2, 3, 5, 53, 189 oraz 293. (Maple). S. Feigelstock, Mersenne primes and group theory, [MM] 49(4)(1976) I. Kaplansky, Lucas s tests for Mersenne numbers, [Mon] 52(4)(1945) Dzielniki pierwsze liczb Mersenne a Liczba Mersenne a M n jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest podzielne przez 3. ([IMO] 6, [MoP] 33). D. Wykorzystamy równość 7 = M 3. Jeśli 3 n, to (na mocy 1.3.4) 7 = M 3 M n. Niech 7 M n. Wtedy 7 = (7, M n ) = (M 3, M n ) = M (3,n). Ale (3, n) = 1 lub (3, n) = 3. Jeśli (3, n) = 1, to mamy sprzeczność: 7 = M (3,n) = M 1 = 1. Zatem (3, n) = 3, czyli 3 n M n 89 M n 11 n. D. Wykorzystamy równość M 11 = Jeśli 11 n, to (na mocy 1.3.4) = M 11 M n. Niech 23 M n. Ponieważ 23 M 11, więc 23 (M 11, M n ) = (M 11, M n ) = M (11,n). Ale (11, n) = 1 lub (11, n) = 11. Jeśli (11, n) = 1, to mamy sprzeczność: 23 M (11,n) = M 1 = 1. Zatem (11, n) = 11, czyli 11 n. Podobnie postępujemy w przypadku, gdy 89 M n. W podobny sposób wykazujemy: ([S59] 377). (1) 37 M n 36 n. (2) 47 M n 23 n. (3) 101 M n 100 n (1) 5 M n 15 M n 4 n. (2) 9 M n 21 M n 63 M n 6 n. (3) 11 M n 33 M n 93 M n 10 n. (4) 13 M n 35 M n 39 M n 45 M n 12 n. (5) 17 M n 51 M n 85 M n 8 n. (6) 19 M n 27 M n 57 M n 18 n. (7) 25 M n 41 M n 55 M n 75 M n 20 n.

20 14 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a M 147. Liczba M 147 = ma 45 cyfr i dzieli się przez liczby pierwsze: 7, 127, 337. ([OM] Wietnam, Maple) Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to dzielniki pierwsze liczby Mersenne a M p są postaci 2kp + 1, gdzie k N. ([S50] 119) (Fermat, Euler). Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to dzielniki pierwsze liczby M p są postaci 8k ± 1, gdzie k N. ([Ca05]) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje liczba naturalna n taka, że liczba M n ma co najmniej s parami różnych dzielników pierwszych. ([S64] 83). D. Z małego twierdzenia Fermata wynika, że liczbą taką jest n = (q 1 1) (q s 1), gdzie q 1,..., q s są parami różnymi liczbami pierwszymi Niech a = 2M k 1 = 2 k 2, b = 2 k+1 M k 1 = 2 k (2 k 2), gdzie k > 1. Wtedy liczby a, b mają te same dzielniki pierwsze. Ponadto, liczby a + 1, b + 1 również mają te same dzielniki pierwsze. ([S64] 120a). U. Nie wiadomo czy istnieją jeszcze inne takie pary Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 8k + 1, to p M 4k. ([Dlt] 7/2002 z.438) Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 8k + 7, to p M 4k+3, tzn. p M (p 1)/2. ([S59] 371, [Lem] 60) Istnieje nieskończenie wiele par różnych liczb pierwszych p i q takich, że pq M pq 1. ([S59] 182) (J. H. Jeans 1897). Niech p, q będą różnymi liczbami pierwszymi. Jeśli p M q 1 oraz q M p 1, to pq M pq 1. ([S59] 182) Każda liczba postaci 2 2rn 1, gdzie r, n N, ma co najmniej 2r + 1 różnych dzielników pierwszych jeśli n > 2 r, z jednym wyjątkiem: r = 1, n = 3, = ([Mon] 1(1981) E2805) Liczba Mersenne a posiada co najmniej 1999 różnych dzielników pierwszych. ([KoM] 1999(1) F3262).

21 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Podzielniki postaci n + k Jeśli n + 1 jest nieparzystą liczbą pierwszą, to (n + 1) M n. Wynika to z małego twierdzenia Fermata. Istnieją liczby naturalne n takie, że n+1 jest liczbą złożoną oraz (n+1) M n (patrz podrozdział Liczby pseudopierwsze i liczby Carmichaela ). Takimi liczbami są na przykład: 340, 560, 640, 1104, 1386, 1728, 1904, 2046, 2464, 2700, Wypisane liczby, to wszystkie liczby o tej własności, które są mniejsze od (Maple) Wśród liczb naturalnych n mniejszych od istnieją trzy takie, że (n + 2) M n. Są to liczby: 20735, i (Maple) Istnieją liczby naturalne n takie, że (n+3) M n. Przykłady: 6, 12, 18, 30, 36, 48, 54, 60, 66, 84, 90. (Maple) Istnieją tylko dwie liczby naturalne n takie, że (n + 4) M n. Są to liczby: 3 i (Maple) Istnieją liczby naturalne n takie, że (n + 5) M n. Przykłady: 20, 60, 80, 140, 160, 180, 200, 216. (Maple). 1.7 Liczby M kn /M k Każda liczba M kn jest (na mocy 1.3.4) podzielna przez M k. Stąd w szczególności wynika, że jeśli n N, to wszystkie liczby 1 3 M 2n = 1 3 (4n 1), 1 7 M 3n = 1 7 (8n 1), itp. są naturalne (Maple). Liczby a n = 1 3 (4n 1), dla n 30, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. a 1 = 1 a 2 = 5 = 5 a 3 = 21 = 3 7 a 4 = 85 = 5 17 a 5 = 341 = a 6 = 1365 = a 7 = 5461 = a 8 = = a 9 = = a 10 = = a 11 = = a 12 = = a 13 = = a 14 = = a 15 = = a 16 = = a 17 = = a 18 = = a 19 = = a 20 = = a 21 = = a 22 = = a 23 = = a 24 = = a 25 = = a 26 = = a 27 = = a 28 = = a 29 = = a 30 = =

22 16 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 3 (4n 1) jest a 2 = 5. D. Zauważmy, że a n = 1 3 ( (2 n ) 2 1 ) = 1 3 (2n 1)(2 n + 1) oraz, że 2 n 1 (mod 3) lub 2 n 2 (mod 3). Niech n 3. Jeśli 2 n 1 (mod 3), to a n = uv, gdzie u = 1 3 (2n 1), v = (2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. Jeśli 2 n 2 (mod 3), to a n = uv, gdzie u = 2 n 1, v = 1 3 (2n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od Niech a n = 1 3 (4n 1). (1) 3 a n 7 a n 3 n. (2) 5 a n 2 n. (3) 9 a n 19 a n 57 a n 73 a n 9 n. (4) 11 a n 31 a n 5 n. (5) 13 a n 15 a n 35 a n 39 a n 6 n. (6) 17 a n 4 n Jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 7 (8n 1) jest a 3 = 73. D. Liczby a 1 i a 2 = 9 oczywiście nie są pierwsze. Niech n 4. Zauważmy, że a n = 1 7 ( (2 n ) 3 1 ) = 1 7 (2n 1)((2 n ) n + 1) oraz, że 2 n 1 (mod 7) lub 2 n 2 (mod 7) lub 2 n 4 (mod 7). Jeśli 2 n 1 (mod 7), to a n = uv, gdzie u = 1 7 (2n 1), v = (4 n + +2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. W pozostałych przypadkach a n = uv, gdzie u = 2 n 1, v = 1 7 (4n + 2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od Niech a n = 1 7 (8n 1). (1) 3 a n 9 a n 2 n. (2) 5 a n 13 a n 15 a n 39 a n 4 n. (3) 7 a n 7 n. (4) 11 a n 33 a n 93 a n 10 n. (5) 25 a n 41 a n 55 a n 20 n.

23 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a (Maple). Liczby a n = 1 7 (8n 1), dla n 30, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. a 1 = 1 a 2 = 9 = 3 2 a 3 = 73 = 73 a 4 = 585 = a 5 = 4681 = a 6 = = a 7 = = a 8 = = a 9 = = a 10 = = a 11 = = a 12 = = a 13 = = a 14 = = a 15 = = a 16 = = a 17 = = a 18 = = a 19 = = a 20 = = a 21 = = a 22 = = a 23 = = a 24 = = a 25 = = a 26 = = a 27 = = a 28 = = a 29 = = a 30 = = Różne fakty i zadania o podzielności i liczbach Mersenne a Niech k 2 oraz n 1, n 2,..., n k będą liczbami naturalnymi takimi, że n 2 M n1, n 3 M n2, n 4 M n3,..., n k M nk 1, n 1 M nk. Wtedy n 1 = n 2 = = n k = 1. ([IMO] Shortlist 1985) M 2 n M nmn. ([Mat] 2/ , [S64] 15) M 2 m M n mm m n. ([OM] Rosja 1997, [Kw] 5/1997) n = 1093 = n 2 M n 1. ([Wino] 59, [S59a] s.19, [DoC] 168) n = 3511 = n 2 M n 1. ([S59a] s.19). U. Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n 2 M n 1 ([S59a] s.19). Liczby 1093 i 3511 są pierwsze. Nie są znane żadne inne liczby pierwsze o tej własności ([Nar86] 57, [Nar03] 57). Liczby kwadratowe postaci p 2, gdzie p jest liczbą pierwszą i p 2 2 p 1 1, nazywane są Wieferich square. W 1909 roku A. Wieferich udowodnił, że jeśli p jest liczbą pierwszą taką, że p 2 2 p 1 1, to równanie x p + y p = z p nie ma naturalnych rozwiązań ([Sha93] 157).

24 18 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Jeśli n jest nieparzystą liczbą naturalną, to liczba Mersenne a M n! jest podzielna przez n. ([S64] 20, [Mat] 4-6/1969, [DoC] 211) Jeśli n jest parzyste, to (n 2 1) M n!. ([AnAF] 30). D. ([AnAF]). Niech m = n + 1. Wtedy n = m 1, n 2 1 = m(m 2). Należy więc wykazać, że jeśli m jest nieparzyste, to liczba M (m 1)! jest podzielna przez m(m 2). Ponieważ ϕ(m) (m 1)!, więc M ϕ(m) M (m 1)!. Z twierdzenia Eulera wynika, że m M ϕ(m). Zatem m M (m 1)!. Mamy również ϕ(m 2) (m 1)! i stąd wynika, że M ϕ(m 2) M (m 1)!. Zatem (m 2) M (m 1)!. Liczba M (m 1)! jest więc podzielna przez m i przez (m 2). Liczby m i m 2 są względnie pierwsze (bo są nieparzyste). Mamy więc: m(m 2) M (m 1)! Liczba n i=0 M 2i n+1 i dzieli się przez M n+1!. ([Bryn] 5.15a). Kinga Karczewska, Liczby Mersenne a i ich uogólnienia, [Pmgr] R. R. Seeber, Mersenne and Fermat-form number congruences, [Mon] 75(1)(1)(1968)

25 2 Liczby postaci a n - b n 2.1 Ogólne własności liczb a n - b n Niech a > b będą liczbami naturalnymi i niech v n = a n b n dla n N 0. Jeśli n < m, to v n < v m. D. v m v n = a m b m a n + b n = a n (a m n 1) b n (b m n 1) > a n (b m n 1) b n (b m n 1) = v n (b m n 1) Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Niech m, n N. Jeśli r jest resztą z dzielenia m przez n, to ( a m b m, a n b n) ( = a n b n, a r b r). D. Niech m = kn + r, gdzie k i 0 r < n są liczbami całkowitymi. Mamy wtedy równość a m b m = (a m n b 0 + a m 2n b n + + a r b m n r )(a n b n ) + b kn (a r b r ) i z tej równości wynika, że (a m b m, a n b n ) = ( a n b n, b kn (a r b r ) ). Ponieważ (a, b) = 1, więc ( a n b n, b kn) = 1 i stąd Zatem, (a m b m, a n b n ) = (a n b n, a r b r ). ( a n b n, b kn (a r b r ) ) = (a n b n, a r b r ) Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Wtedy (a n b n, a m b m ) = a (n,m) b (n,m) dla wszystkich n, m N. ([MM] 54(2)(1981) 86, [G-kp] 174(38), [Sand] 230). D. Dowodzimy to dokładnie tak samo jak twierdzenie Wykorzystujemy algorytm Euklidesa i powyższy fakt Oznaczmy: v s = a s b s dla s 0. Jeżeli m = n to (m, n) = m i (v m, v n ) = v m = v (m,n). Załóżmy, że m > n i obliczmy największy wspólny dzielnik (m, n) przy pomocy algorytmu Euklidesa. Otrzymujemy wtedy ciąg równości: m = k 1 n + r 1, n = k 2 r 1 + r 2, r 1 = k 3 r 2 + r 3,..., r i 1 = k i+1 r i + r i+1, r i = k i+2 r i+1 + r i+2, w których wszystkie k j, r j są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m > n > r 1 > r 2 > > r i+1 > r i+2 = 0. Mamy wtedy (m, n) = r i+1. Z faktu otrzymujemy ciąg równości (v m, v n ) = (v n, v r1 ) = (v r1, v r2 ) = (v r2, v r3 ) = = ( v ri+1, v ri+2 ) Zatem (v m, v n ) = v (n,m). = ( v ri+1, v 0 ) = ( vri+1, 0 ) = v ri+1 = v (m,n). 19

26 20 Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n Z powyższego twierdzenia wynikają następujące wnioski Niech m, n N. Jeśli a > b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to liczba a m b m dzieli liczbę a n b n wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli m. D. Niech v s = a s b s, dla s N 0. Jeśli m n, to (m, n) = m i wtedy v m = v (m,n) = (v m, v n ), czyli v m v n. Załóżmy, że v m v n. Wtedy v m = (v m, v n ) = v (m,n), więc m = (m, n) (patrz 2.1.1) i stąd m n Niech m, n N. Jeśli a > b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to ( a n b n, a m b m) = a b (n, m) = 1. D. Niech v s = a s b s, dla s N 0. Jeśli (m, n) = 1, to (v n, v m ) = v (m,n) = v 1 = a b. Załóżmy, że (v n, v m ) = a b = v 1. Wtedy v (n,m) = (v n, v m ) = v 1 i z wynika, że (n, m) = 1. W poniższych stwierdzeniach a i b są liczbami całkowitymi oraz n i m są liczbami naturalnymi n a b = n 2 a n b n Jeśli (a, 133) = (b, 133) = 1, to 133 a 18 b 18. ([Grif] 89) Jeśli a, b są różnymi liczbami zespolonymi takimi, że liczby a 2 b 2, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to a, b, c są liczbami wymiernymi. ([MM] 73(4)(2000) 328). Każda z liczb postaci a n b n (gdzie a > b są liczbami naturalnymi) jest podzielna przez (a b). Mamy zatem liczby naturalne postaci a n b n a b = a n 1 + a n 2 b 1 + a n 3 b a 1 b n 2 + b n Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Oznaczmy: Niech n, m N. Wtedy: (1) (w n, w m ) = w (n,m) ; (2) (w n, w m ) = 1 (n, m) = 1; (3) w n w m n m. w n = an b n, dla n N. a b D. (1). Niech v s = a s b s dla s N. Wtedy v s = (a b)w s i mamy: (a b)(w n, w m ) = ((a b)w n, (a b)w m ) = (v n, v m ) = v (n,m) = (a b)w (n,m). Zatem (w n, w m ) = w (n,m). Wykorzystaliśmy fakt Własności (2) i (3) wykazujemy tak samo jak to zrobiliśmy w i

27 Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi i niech w n = an b n a b dla n N. Jeśli w n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. D. Jeśli n 2 nie jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba naturalna d taka, że d n, 1 < d < n i wtedy w d w n oraz 1 < w d < w n Jeśli n a n b n i a b, to liczba całkowita an b n ([GaT] 33/68) a b ( a m b m ) ( a b, a b = a b, mb m 1). ([MM] 54(1)(1981) 37, [Gibl] 18). jest podzielna przez n. 2.2 Liczby postaci a n Konsekwencje twierdzenia Eulera lub jego uogólnienia. (1) 24 a 2 1 dla a Z, (a, 6) = 1. (2) 240 a 4 1 dla a Z, (a, 60) = 1. (3) 16 a 4 1 dla nieparzystych a Z. (4) 32 a 5 1 dla nieparzystych a Z (a, 35) = 1 = 240 (a 4 1)(a a 2 + 1). ([DoC] 179) (2n + 1) ([Kw] 12/ ) ( ) a n 1, a m 1 = a (n,m) 1, dla m, n, a N, a > 1. ([S59] 11, [Mol2] 27, [K-Me] z.125). D. Jest to szczególny przypadek faktu Przedstawiamy inny dowód. Istnieją liczby naturalne x i y takie, że (m, n) = mx ny. Niech d = (a m 1, a n 1). Wtedy a (m,n) 1 a m 1 oraz a (m,n) 1 a n 1, skąd a (m,n) 1 d. Z drugiej strony d a m 1, skąd d a mx 1 oraz d a n 1, czyli d a ny 1. Zatem, d a mx a ny = a ny (a mx ny 1), a ponieważ z tego, że d a m 1 i a > 1 wynika, że (d, a) = 1, więc d a mx ny 1, czyli d a (m,n) 1. Ostatecznie d = a (m,n) ( a m 1 a 1, a 1 ) = (a 1, m), dla a, m N, a 2. ([Mat] 4/ , [S64] 8). D. Jest to szczególny przypadek faktu

28 22 Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n Niech a, m, n N, a 2, n m. Jeśli liczby a n 1 i a m 1 mają te same zbiory dzielników pierwszych, to a + 1 jest potęgą dwójki. ([IMO] Shortlist 1997, [Djmp] 295(624)) Jeśli p q są liczbami pierwszymi oraz n 2 jest liczbą naturalną, to jest liczbą naturalną. ([Gibl] 19). (n pq 1)(n 1) (n p 1)(n q 1) Niech p P, a N, p > 2, a > 1. Nieparzyste dzielniki pierwsze liczby a p 1 są dzielnikami liczby a 1 lub mają postać 2pk + 1, k N. ([Wino] 113) Liczby naturalne a > 1 i b > 1 są takie, że b n 1 a n 1 dla każdego n N. Wykazać, że a = b k dla pewnego k N. ([S-kg] 80) Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą i a, n N, to z podzielności p n a p 1 wynika podzielność p n 1 a 1. ([OM] Unsco Contest IASI 1995) Niech p P, a, k N. Jeśli p k a 1, to p n+k a pn 1 dla każdego n N. ([Crux] 1992 s.84 z.1617) n p n! 1, dla p P, n N, p n. ([Dlt] z.384). Wykazaliśmy (patrz ), że jeśli a = 2, to dla każdej liczby naturalnej n 2, liczba a n 1 nie jest podzielna przez n. Dla liczb naturalnych a większych niż 2 podobna własnoćć nie zachodzi. Można udowodnić: Dla każdej liczby naturalnej a 3 istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n a n 1. ([OM] Rumunia 1978). Udowodnimy więcej: Dla każdej liczby naturalnej a 3 istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n 2 a n 1. ([Zw] 2010). D. ([Zw] 2010). Najpierw zauważmy, że jeśli a 3, to a n 1 > n 2 dla wszystkich n N (wykazujemy to na przykład stosując prostą indukcję matematyczną). Niech a 3 i niech n będzie taką liczbą naturalną (na przykład n = 1), że n 2 a n 1. Oznaczmy przez m liczbę naturalną an 1. Udowodnimy, że m > n oraz m 2 a m 1. Rozpoczynając od liczby n n = 1 otrzymamy w ten sposób rosnący ciąg liczb naturalnych o zadanej własności. Nierówność m > n wynika z nierówności wspomnianej na początku tego dowodu. Ponieważ n 2 a n 1, więc liczba m = an 1 jest podzielna przez n. Niech m = bn, gdzie n 1 < b N. Rozpatrzmy liczbę naturalną a m 1 a n 1 = 1 + an + a 2n + + a (b 1)n.