Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

2 KWA - 40(1195)

3 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb kwadratowych Przykłady liczb kwadratowych Ciągi liczb kwadratowych i cyfry Zero-jedynkowe liczby kwadratowe Liczby kwadratowe i dwie cyfry Liczby kwadratowe i trzy cyfry Kwadraty z wszystkimi cyframi Parzystość cyfr Palindromiczne liczby kwadratowe Lustrzane odbicia liczb kwadratowych Liczby kwadratowe specjalnego typu Suma cyfr i liczby kwadratowe Początkowe cyfry Ostatnie cyfry i liczby automorficzne Liczby automorficzne w różnych systemach numeracji Fakty i różne informacje dotyczące liczb kwadratowych Przykłady Warunki dostateczne i liczby kwadratowe Istnienie lub nieistnienie pewnych liczb kwadratowych Sumy, iloczyny i liczby kwadratowe Liczby kwadratowe i postępy arytmetyczne Liczby kwadratowe postaci 1 + x + x x n Pary liczb szczególnej postaci i liczby kwadratowe Trójki liczb kwadratowych postaci ab+c, bc+a, ca+b Inne trójki liczb kwadratowych Liczby bezkwadratowe Odwrotności liczb kwadratowych Kwadraty liczb wymiernych Różne zadania z liczbami kwadratowymi Informacje o symbolach Legendre a Sumy dwóch kwadratów Warunki rozkładalności na sumę dwóch kwadratów Własności sum dwóch kwadratów Liczba rozkładów na sumy dwóch kwadratów Najmniejsze liczby o danej liczbie rozkładów Rozkłady dla kolejnych liczb naturalnych Sumy dwóch kwadratów i podzielność Sumy dwóch kwadratów i liczby pierwsze Przykłady rozkładów z liczbami pierwszymi Równanie x 2 + y 2 = z n Liczby postaci (a 2 + b 2 )/(ab ± 1) i ich uogólnienia Liczby, które nie są sumami dwóch kwadratów Liczby postaci a Trójki liczb kwadratowych postaci a 2 + b 2, b 2 +c 2, c 2 + a Sumy dwóch kwadratów liczb wymiernych Dodatkowe informacje o sumach dwóch kwadratów i

4 4 Sumy trzech kwadratów Przykłady z sumami trzech kwadratów Twierdzenia o sumach trzech kwadratów Liczba rozkładów danej liczby na sumę trzech kwadratów Przykłady różnych rozkładów danej liczby na sumę trzech kwadratów Sfera bez jednego punktu Sumy kwadratów trzech liczb wymiernych Równanie x 2 + y 2 + z 2 = t Równanie x 2 + y 2 + z 2 = t 2 i struktura ciała Dodatkowe informacje o sumach trzech kwadratów Sumy czterech i więcej kwadratów Rozkłady na sumę czterech kwadratów Twierdzenie Lagrange a o sumach czterech kwadratów Liczba rozkładów na sumę czterech kwadratów Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy n kwadratów Sumy kwadratów i liczby pierwsze Suma kwadratów i iloczyn Sumy parami różnych kwadratów Algebraiczne sumy kwadratów Dodatkowe informacje o sumach kwadratów D(m)-zbiory Ogólne fakty o D(m)-zbiorach D(-1)-zbiory D(1)-zbiory Wymierne D(1)-zbiory Przykłady D(m)-zbiorów Trójki Pitagorasa Opis wszystkich trójek Pitagorasa Przykłady i własności trójek Pitagorasa Trójki Pitagorasa i liczby kwadratowe Przyprostokątne trójkątów Pitagorasa Przeciwprostokątne trójkątów Pitagorasa Obwód trójkątów Pitagorasa Pole trójkątów Pitagorasa Promień okręgu wpisanego trójkątów Pitagorasa Algebraiczne struktury zbioru trójek Pitagorasa Macierze zachowujące trójki Pitagorasa Trójkąty o całkowitych bokach z kątem 120 stopni Trójkąty o całkowitych bokach z kątem 60 stopni Dodatkowa literatura dotycząca trójkątów Pitagorasa Równanie ax 2 + by 2 = cz Informacje wstępne Warunki konieczne Pomocnicze fakty i lematy Twierdzenie Legendre a Równanie x 2 + ny 2 = z Równanie x 2 + y 2 = nz Rozwiązania pewnych równań postaci ax 2 + by 2 = cz ii

5 9 Równania diofantyczne drugiego stopnia Równanie axy = bx + cy +d Równanie ax 2 +bx +c = dy Równanie ax 2 +bx +c = dy Równanie ax 2 + bxy + cy 2 = dz Równanie ax 2 + bxy + cy 2 = k Równania z formą xy + yz + zx Równanie x 2 + y 2 - z 2 = m Różne równania i rozwiązania naturalne Różne równania i rozwiązania całkowite Rozwiązania wymierne Kwadraty w pewnych pierścieniach skończonych Oznaczenia i wstępne fakty Kwadraty w Z 2 n Kwadraty w Z p Kwadraty w Z p n Kwadraty w Z n Sumy kwadratów w Z n Okrąg w pierścieniach skończonych Kwadraty w ciałach skończonych Formy kwadratowe dwóch zmiennych Równoważność form kwadratowych Obraz i pierwotny obraz formy kwadratowej Multyplikatywność obrazów pewnych form kwadratowych Wyróżnik formy kwadratowej Zredukowane formy kwadratowe o ujemnym wyróżniku Liczba zredukowanych form o tym samym ujemnym wyróżniku Formy postaci x 2 + dy = 3. Forma x 2 + xy + y = 7. Forma x 2 + xy + 2y = 8. Forma x 2 + 2y = 11. Forma x 2 + xy + 3y = 12. Forma x 2 + 3y Formy o wyróżniku mniejszym od Formy kwadratowe z kwadratowym wyróżnikiem Zredukowane formy kwadratowe z dodatnim wyróżnikiem Dodatkowe informacje o formach kwadratowych Spis cytowanej literatury 168 Skorowidz nazwisk 175 Skorowidz 179 iii

6

7 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

8 Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

9 o o o o o W trzeciej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się liczbami kwadratowymi, czyli liczbami naturalnymi postaci 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121,.... Książka ta składa się z jedenastu rozdziałów. W rozdziałach 1 i 2 mówimy o cyfrach liczb kwadratowych oraz przedstawiamy różne, stare i nowe, fakty i ciekawostki dotyczące takich liczb. Trzy następne rozdziały (3, 4 i 5) poświęcone są rozkładom liczb naturalnych na sumę kwadratów liczb całkowitych. Szczegółowo badamy w nich te liczby naturalne, które są sumami dwóch lub trzech kwadratów. Najmniejszą liczbą naturalną posiadającą dwa istotnie różne rozkłady na sumę dwóch niezerowych kwadratów jest 50: 50 = = Najmniejszą liczbą naturalną posiadającą trzy takie rozkłady jest 325 = = = W książce tej znajdziemy pewne informacje o tego rodzaju najmniejszych liczbach naturalnych. Dowiemy się, na przykład, że jedną z takich liczb jest Ta liczba ma 8 2 różnych rozkładów. Każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych. Twierdzenie to, zwane twierdzeniem Lagrange a, ma sporo różnych dowodów. W książce przedstawiamy krótki dowód Smalla z 1982 roku. W dowodzie tym wykorzystuje się znane własności liczb zespolonych. W rozdziale 6 zajmujemy się D(m)-zbiorami. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych i niech m będzie niezerową liczbą całkowitą. Mówimy, że A jest D(m)-zbiorem, jeśli każda liczba postaci ab + m, gdzie a, b A, a b, jest kwadratowa. Liczbę elementów takiego zbioru nazywamy długością zbioru A. Dla przykładu, {1, 3, 8, 120} jest D(1)-zbiorem długości 4: = 2 2, = 11 2, = 3 2, = 19 2, = 5 2, = Cały rozdział 7 dotyczy trójek Pitagorasa, czyli trójek (x, y, z), liczb naturalnych spełniających kwadratowe równanie diofantyczne x 2 + y 2 = z 2. O rozwiązaniach innych kwadratowych równań diofantycznych przeczytamy w rozdziałach 8 i 9. W rozdziale 10 badamy elementy kwadratowe w skończonych pierścieniach liczb całkowitych modulo m. Takie pierścienie oznacza się przez Z m. Jeśli m 2 jest bezkwadratową liczbą naturalną, to każdy element pierścienia Z m jest sumą dwóch kwadratów. Przedstawiamy pewien znany i krótki dowód tego faktu. W omawianym rozdziale znajdziemy również kilka interesujących informacji o kwadratach w ciałach skończonych. 3

10 Ostatni rozdział tej książki ma ponad 20 stron. Zajmujemy się w nim formami kwadratowymi postaci F (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami całkowitymi. Podajemy klsyfikację takich form oraz badamy zbiór wszystkich liczb całkowitych postaci F (u, v), gdzie u i v są liczbami całkowitymi. W tej książce znajdziemy sporo informacji o rozwiązaniach różnego rodzaju diofantycznych równań kwadratowych. Nie zajmujemy się tu jednak równaniami Pella, czyli równaniami postaci x 2 dy 2 = 1 lub ax 2 by 2 = c, gdzie d, a, b, c są liczbami całkowitymi. Takie równania rozważaċ będziemy w oddzielnej książce z serii Podróże po Imperium Liczb. 4

11 1 Cyfry liczb kwadratowych Liczby od 1 do 350 i ich kwadraty

12 6 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.1 Przykłady liczb kwadratowych = 169, 31 2 = 961, (1 + 3) 2 = ; 12 2 = 144, 21 2 = 441, (1 + 2) 2 = = ( ) 2, 2025 = ( ) 2, 3025 = ( ) 2. ([Szu87] 63) Liczby 4 i 9 są kwadratowe i liczba 49 też jest kwadratowa. Liczby 16 i 81 są kwadratowe i liczba 1681 też jest kwadratowa (równa 41 2 ). Inne przykłady tego typu: 225 = 15 2, 625 = 25 2, = ; 2401 = 49 2, 9801 = 99 2, = ; = 126 2, = = ; = 159 2, = 281 2, = ; = 177 2, = 277 2, = ; = 285 2, = 125 2, = (Maple) = = 40 2, = = 39 2, = = ([MOc] 2003 z.265) = ([Mon] 51(10)(1944) E612) = (2 + 7) 3. Innych dwucyfrowych liczb o tej własności nie ma. ([DyM] 119) = , = ([Mat] 3/ ). Zajmować się będziemy głównie cyframi liczb kwadratowych w dziesiętnym systemie numeracji. Rozpatrywać będziemy również systemy numeracji o podstawie q 2. Zapis m = (a s a s 1... a 1 a 0 ) q oznacza, że m jest liczbą naturalną, której kolejnymi cyframi, w systemie numeracji o podstawie q, są a s, a s 1,..., a 1, a 0. Innymi słowy: m = (a s a s 1... a 1 a 0 ) q = a s q s + a s 1 q s a 1 q + a 0 oraz a 0, a 1,..., a s {0, 1, 2,..., (q 1)}. Występujące w tym zapisie nawiasy będziemy często pomijać i pisać będziemy na przykład zamiast (34222) Przykłady: 33 2 = , 66 2 = Ciągi liczb kwadratowych i cyfry Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 729, 71289, , ,.... ([Mon] 51(5)(1944)). (2) 7744, , ,.... (88 2, , ,... ). ([Mon] 51(5)(1944)). (3) , , , ,... ; (319 2, , ,... ).

13 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 27556, , , ,... ; (166 2, , ,... ). (2) 27889, , , ,... ; (167 2, , ,... ). (3) , , , ,... ; (499 2, , ,... ). (4) , , , ,... ; (995 2, , ,... ). (Maple) Żaden wyraz następujących ciągów nie jest liczbą kwadratową. (1) 31, 301, 3001, 30001,. ([Fom] 36/93). (2) a09, a009, a0009, a00009,, gdzie a {1, 2,..., 9}. ([MOc] 2005 z.408). D. (1). Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą postaci 3 10 n +1. Dla n = 1 i n = 2 mamy odpowiednio liczby 31 i 301, które nie są kwadratowe. Niech n 3 i przypuśćmy, że 3 10 n + 1 = k 2, gdzie k N. Mamy wtedy równość 3 2 n 5 n = (k 1)(k + 1). Tylko jedna z liczb k 1, k + 1 może być podzielna przez 5, a zatem jedna z tych liczb jest podzielna przez 5 n. Niech k 1 = 5 n u, dla pewnego u N. Wtedy k + 1 = 5 n u + 2, a więc 3 2 n = u(5 n u + 2) 5 n + 2. Otrzymaliśmy nierówność 3 2 n 5 n + 2, która dla n 3 jest fałszywa. W ten sam sposób dochodzimy do sprzeczności w przypadku, gdy k + 1 = 5 n u. (2). Wykazujemy to dokładnie tak samo jak (1) = ( ) 2, = ( ) 2. ([Bedn] 2) Znaleźć cyfry a, b, c takie, że dla wszystkich n N zachodzi równość aa }{{... a} bb }{{... b} +1 = (cc }{{... c} +1) 2. n n n Odp. (a, b, c) = (1, 5, 3), (4, 8, 6), (9, 9, 9). ([Mat] 6/ ) Niech a, b, c będą cyframi w układzie numeracji o podstawie q 2. Wówczas dla wszystkich wszystkich liczb naturalnych n zachodzi równość (aa }{{... a} bb }{{... b} ) q + 1 = ((cc }{{... c} ) q + 1) 2 n n n wtedy i tylko wtedy, gdy c 2 = (q 1)a, b = 2c a. ([Mat] 6/ ) Znaleźć cyfry a 0 i b takie, że dla wszystkich n N, liczba aa }{{... a} 6 bb }{{... b} 4 n n jest kwadratowa. Odp. (a, b) = (4, 2), (9, 0). ([OM] ZSRR 1984, [WaJ] 387(84)).

14 8 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (Maple) = = = = = = = = = = = = (Maple) = = = = = = = = = = = = (Maple).

15 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych (A + 11 }{{... 1 } ) 2 = A 2 + } 11 {{... 1 } n 2n (A + 33 }{{... 3 } ) 2 = A 2 + } 33 {{... 3 } n 2n (A ) = A }{{} n (A }{{} n (A }{{} n }{{} 2n ) 2 = A }{{} 2n ) 2 = A }{{} 2n dla A = } 44 {{... 4 } 5, n 1 dla A = } 33 {{... 3 } 4, n 1 dla A = } 22 {{... 2 } 3, n 1 dla A = } 11 {{... 1 } 2, n 1 dla A = 1. ([Mat] 6/1972) = 3 2, = 33 2, = i ogólnie: dla wszystkich n 1. ([San2] 28). 11 }.{{.. 11} 2n 22 }.{{.. 22} = n }{{} n Jeśli q = m 2 + 1, gdzie m 2, to każda liczba postaci (dla n N) jest kwadratowa. ([Mat] 2/ ). (11 }.{{.. 11} ) q (22 }.{{.. 22} 2n n ) q }{{... 5} }{{... 4} 5 2 = } 11 {{... 1} n 1 n 1 2n U. Zachodzą także następujące równości:. ([Mat] 1-2/ ) = , = , = Zero-jedynkowe liczby kwadratowe Mówić będziemy, że dana liczba naturalna jest zero-jedynkowa, jeśli każda jej cyfra w zapisie dziesiętnym jest równa 0 lub 1. Zero-jedynkowe liczby 1, 100, , ,... są kwadratowe. Czy są jeszcze inne takie liczby kwadratowe? W książce D. V. Fomina [Fom](strona 32) znajduje się następujące zadanie z Olimpiady Matematycznej w Leningradzie z 1962 roku Wykazać, że dowolna liczba zero-jedynkowa, mająca co najmniej dwie jedynki, nie jest liczbą kwadratową. We wspomnianej książce nie ma rozwiązania tego zadania oraz nie ma żadnego komentarza. Nie potrafię tego udowodnić. Czy to jest w ogóle prawdą? Spradziłem (za pomocą komputera), że żadna liczba zero-jedynkowa mająca co najmniej dwie jedynki, której liczba cyfr jest mniejsza od 29, nie jest kwadratowa, Łatwo wykazuje się następujące szczególne przypadki zadania

16 10 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych W ciągu 11, 111, 1111, 11111, nie ma żadnej liczby kwadratowej. ([WyKM], [Bedn]). D. Każda z tych liczb jest postaci 4k + 3, tzn. reszty z dzielenia wszystkich tych liczb przez 4 są równe 3. Resztą z dzielenia przez 4 każdej liczby kwadratowej jest zawsze 0 lub 1; nie ma reszty równej 3. W ten sam sposób dowodzimy, że: Żadna liczba zero-jedynkowa, której dwie ostatnie cyfry są jedynkami, nie jest liczbą kwadratową W ciągu 101, 10101, , , nie ma żadnej liczby kwadratowej. D. Wszystkie te liczby są postaci 8k + 5. Resztą z dzielenia przez 8 każdej liczby kwadratowej jest zawsze 0, 1 lub 4; nie ma reszty równej Żadna liczba zero-jedynkowa, której trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 101, nie jest liczbą kwadratową. D. Wszystkie takie liczby są postaci 8k W ciągu 11, 101, 1001, 10001, nie ma żadnej liczby kwadratowej. D. Sposób I. Każda taka liczba jest postaci 3k + 2 (gdyż suma jej cyfr jest równa 2). Liczba kwadratowa nigdy nie jest postaci 3k + 2. Sposób II. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą postaci 10 n + 1. Przypuśćmy, że 10 n + 1 = k 2, gdzie k N. Mamy wtedy równość 2 n 5 n = (k 1)(k +1). Tylko jedna z liczb k 1, k +1 może być podzielna przez 5, a zatem jedna z tych liczb jest podzielna przez 5 n. Niech k + 1 = 5 n u, dla pewnego u N. Wtedy k 1 = 5 n u 2, a więc 2 n = u(5 n u 2) 5 n 2. Otrzymaliśmy nierówność 2 n 5 n 2, która dla n 1 jest oczywiście fałszywa. W ten sam sposób dochodzimy do sprzeczności w przypadku, gdy k 1 = 5 n u Jeśli liczba zero-jedynkowa ma dokładnie 3 jedynki, to nie jest kwadratowa. D. Każda taka liczba jest podzielna przez 3 (bo suma jej cyfr jest równa 3) i nie jest podzielna przez 9. Wekorzystaliśmy znane cechy podzielności przez 3 i 9. W ten sam sposób dowodzimy: Jeśli liczba zero-jedynkowa ma dokładnie 5, 6, 7 lub 8 jedynek, to nie jest kwadratowa. Zanotujmy kilka obserwacji dotyczących zero-jedynkowych liczb kwadratowych w systemach numeracji o podstawie q 2. W dwójkowym systemie numeracji każda liczba postaci ( ) 2 (n jedynek) jest liczbą Mersenne a 2 n 1. Gdy n 2, to taka liczba nigdy nie jest kwadratowa. Wynika to z następujące ogólniejszego stwierdzenia Żadna liczba Mersenne a większa od 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym od 1. ([S59] 374, [MM] 47(4)(1974) 231).

17 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 11 Liczby 11 3, 11 8, są kwadratowe. Jeśli bowiem q jest postaci a 2 1, gdzie a N, to liczba 11 q jest kwadratowa; jest ona równa a = = 20 2, = Najmniejszą parzystą liczbą naturalną q taką, że liczba (aaaa) q jest kwadratowa, jest q = (wtedy a = 1073). ([Mon] 3/2001 z.10741). W dwójkowym systemie numeracji dowolna liczba naturalna jest zbudowana z zer i jedynek; jest więc w tym systemie zero-jedynkową liczbą. Załóżmy dalej, że podstawa systemu numeracji jest większa od dwójki Istnieje nieskończnie wiele takich liczb kwadratowych, których wszystkie cyfry w trójkowym systemie numeracji należą do zbioru {0, 1} i wśród tych cyfr są co najmniej dwie jedynki. Wynika to na przykład z równości 1 } 00 {{... 0} 11 } 00 {{... 0} 11 n n zachodzącej dla każdej liczby naturalnej n. 3 = ( 3 n+2 + 2) 2, D. Podana równość jest łatwa do sprawdzenia. Mamy bowiem: ( 3 n ) 2 = 3 2(n+2) n = 1 3 2n n n Istnieje nieskończnie wiele takich liczb kwadratowych, których wszystkie cyfry w czwórkowym systemie numeracji należą do zbioru {0, 1} i wśród tych cyfr są co najmniej dwie jedynki. Wynika to na przykład z równości 1 } 00 {{... 0} 1 } 00 {{... 0} 1 n 1 n zachodzącej dla każdej liczby naturalnej n. 4 = (2 4 n + 1) 2, Istnieje liczba kwadratowa n 2, która w piątkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki. Tą liczbą jest = Czy są jeszcze inne takie liczby n 2. Wiadomo, że innych nie ma gdy n < (Maple) Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która w szóstkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < (Maple) = Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która jest większa od 20 2 oraz w siódemkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < (Maple).

18 12 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = 3 2, = Czy Istnieją jeszcze inne takie liczby kwadratowe n 2, które w ósemkowym systemie numeracji mają tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takich innych liczb kwadratowych n 2 nie ma dla n < (Maple) Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która w dziewiątkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < (Maple). 1.4 Liczby kwadratowe i dwie cyfry W poprzednim podrozdziale zajmowaliśmy się liczbami kwadratowymi zbudowanymi w systemie dziesiętnym tylko z zer i jedynek. Wszystkie cyfry takich liczb należały do zbioru {0, 1}. Teraz zajmować się będziemy takimi liczbami kwadratowymi, których wszystkie cyfry należą do ustalonego zbioru {a, b}, gdzie a, b są różnymi cyframi systemu dziesiętnego. Wiemy (patrz 1.3.2), że w ciągu 11, 111, 1111, 11111, nie ma żadnej liczby kwadratowej. Stąd wynika: Nie ma żadnej takiej liczby kwadratowej, która ma co najmniej dwie cyfry i wszystkie jej cyfry są jednakowe. Zbadajmy teraz liczby kwadratowe, których wszystkie cyfry należą do dwuelementowego zbioru {a, b} i każda z tych cyfr a, b co najmniej jeden raz występuje. Załóżmy najpierw, że a = 0 oraz b {2, 3,..., 9} Każda cyfra liczby naturalnej u jest równa 0 lub 6. Wykazać, że u nie jest liczbą kwadratową. ([Ko02]). D. Ponieważ u jest liczbą naturalną (czyli większą od zera), więc u musi posiadać co najmniej jedną szóstkę. Przypuśćmy, że u jest liczbą kwadratową. Jeśli ostatnią cyfrą liczby u jest zero, to liczba tych zer na koṅcu musi byż parzysta. Po ich odrzuceniu otrzymujemy liczbę kwadratową v, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 6 lub 66. Liczba v jest więc postaci 4k + 2. Jest oczywiste, że nie ma liczby kwadratowej postaci 4k + 2. W ten sam sposób wykazujemy, że nie ma takiej liczby kwadratowej, której wszystkie cyfry należą do zbioru {0, b}, gdzie b = 2, 3, 5, 7 lub 8. Przypadek b = 1 omówilśmy w poprzednim podrozdziale. Jeśli b = 4 lub b = 9 i co najmniej dwie cyfry b występują, to problem nieistnienia rozważanych liczb kwadratowych sprowadza się do rozwiązania zadania Istnieje 21 liczb naturalnych n niepodzielnych przez 10 takich, że w zapisie dziesiętnym liczby n 2 występują tylko dwie różne cyfry. Są to następujące liczby: 4 2 = 16, 5 2 = 25, 6 2 = 36, 7 2 = 49, 8 2 = 64, 9 2 = 81, 11 2 = 121, 12 2 = 144, 15 2 = 225, 21 2 = 441, 22 2 = 484, 26 2 = 676, 38 2 = 1444, 88 2 = 7744, = 11881, = 29929, = 44944, = 55225, = 69696, = , = Czy istnieją jeszcze inne takie liczby? Wiadomo, że nie ma ich dla n < (Maple). J. Witczak, O podnoszeniu do kwadratu liczb dwucyfrowych, [Mat] 1/1953. K. Zieliński, O podnoszeniu do kwadratu liczb dwucyfrowych, [Mat] 1/

19 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych Liczby kwadratowe i trzy cyfry Istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, niepodzielnych przez 10, których zapis dziesiętny zbudowany jest tylko z trzech różnych cyfr. Takimi liczbami kwadratowymi są na przykład wszystkie liczby postaci ; kwadraty liczb Przykłady liczb kwadratowych zbudowanych tylko z trzech różnych cyfr. Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 10201, , ,... ; (101 2, , ,... ). ([Bedn] 4). (2) 27225, , , ,... ; (165 2, , ,... ). (3) , , , ,... ; (334 2, , ,... ). (4) , , , ,... ; (335 2, , ,... ). (5) , , , ,... ; (338 2, , ,... ). (6) , , , ,... ; (665 2, , ,... ). (7) , , , ,... ; (667 2, , ,... ) Dla których podstaw numeracji q 6 istnieje liczba M taka, że każda liczba postaci (11 }.{{.. 11} 22 }.{{.. 22} 5) q, n 1 n gdzie n > M, jest kwadratowa? Odp. Tylko dla q = 10. ([IMO] Shortlist 2003). 1.6 Kwadraty z wszystkimi cyframi W liczbach i występują wszystkie cyfry układu dziesiętnego. Kwadraty tych liczb są równe odpowiednio i ; występuje w nich każda cyfra. ([Kw] 4/ ) (John Hill 1727). W liczbie występują wszystkie niezerowe cyfry. Liczba ta jest kwadratowa: = ([Dic1] 453) Wśród liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z samych różnych cyfr istnieje 10 liczb kwadratowych: = , = , = , = , = , = , = , = , = , = ([Kord] 328) = , = Występują wszystkie niezerowe cyfry i przy tym każda jeden raz. ([Mon] 41(9)(1934) E89) = Występują wszystkie cyfry i cztery ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 43(3)(1936) E172).

20 14 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = 4761, 69 3 = Występują wszystkie cyfry i przy tym każda jeden raz. Jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 42(2)(1935) E116) Liczba a ma 19 cyfr i w jej zapisie dziesiętnym występują wszystkie cyfry oprócz zera. Ostatnią cyfrą jest 5. Wykazać, że a nie jest liczbą kwadratową. ([OM] ZSRR 1973) cyfrowa liczba ma wszystkie cyfry oprócz jednej, równej 5. Wykazać, że liczba ta nie jest kwadratowa. ([Fom] 8/68). 1.7 Parzystość cyfr Nie ma pięciocyfrowej liczby kwadratowej, w której występują wszystkie nieparzyste cyfry 1, 3, 5, 7, 9. Nie ma pięciocyfrowej liczby kwadratowej, w której występują wszystkie parzyste cyfry 0, 2, 4, 6, 8. ([Tri] 70) Wszystkie czterocyfrowe liczby kwadratowe bez nieparzystych cyfr: 4624 = 68 2, 6084 = 78 2, 6400 = 80 2, 8464 = ([Je88]) Każda liczba kwadratowa > 9 ma co najmniej jedną cyfrę parzystą. Dowód. Wynika to np. z ([OM] Polska 1986) Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą taką, że wszystkie liczby n, n 2 i n 4 mają tylko cyfry parzyste, to n = 0 ([MG] 84(500)(2000) s.290) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że wszystkie liczby n, n 2 i n 3 mają tylko cyfry parzyste. Dowód. Liczby postaci mają tę własność. ([MG] 84(500)(2000) s.290). F. Luca, Digital patterns in perfect squares, [MG] 84(500)(2000) Palindromiczne liczby kwadratowe Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna (lub, że jest symetryczna), jeśli pokrywa się z liczbą mającą cyfry liczby n zapisane w odwrotnej kolejności. Liczbami palindromicznymi są, na przykład, liczby: 121, , Pewne informacje o tych liczbach znajdziemy w [N-2]. Liczby kwadratowe 1, 4, 9 są oczywiście palindromiczne. Nie ma dwucyfrowych liczb kwadratowych palindromicznych. Są natomiast trzy takie liczby trzycyfrowe: 121 = 11 2, 484 = 22 2, 676 = Następne przykłady palindromicznych liczb kwadratowych: = 101 2, = 111 2, = 121 2, = 202 2, = 212 2, = 264 2, = (Maple).

21 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = Jest to najmniejsza kwadratowa liczba palindromiczna o parzystej długości. ([MG] 30(288)(1946) 19, [Mat] 4/ ) = , = , = , = , = (Maple) = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = (Maple) = , = ([MG] 30(288)(1946), Maple). T. R. Dawson, Ornamental squares and triangles, [MG] 30(288)(1946) Lustrzane odbicia liczb kwadratowych Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: = 54321, = , = 129. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2]. W poprzednim podrozdziale mówiliśmy o liczbach palindromicznych, czyli o takich liczbach naturalnych n, dla których zachodzi równość n = n. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie liczbą kwadratową. Istnieją liczby kwadratowe, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Takimi liczbami są: 4 2, 14 2, 19 2 oraz 28 2 ; (4 2 ) = 16 = 61, (14 2 ) = 196 = 691, (19 2 ) = 361 = 163, (28 2 ) = 784 = 487. Dopisując z prawej strony zera, można z każdego takiego przykładu otrzymać nieskończoną serię liczb kwadratowych, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Przykład: (4 2 ) = (40 2 ) = (400 2 ) = = 61. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi liczbami kwadratowymi, które nie są podzielne przez W przedziale [1, 100] istnieje dokładnie 13 niepodzielnych przez 10 liczb naturalnych n takich, że lustrzane odbicie liczby n 2 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 4, 14, 19, 28, 32, 37, 38, 41, 62, 85, 89, 95, 97. W przedziale [1, 1000] takich liczb jest 74, a w przedziale [1, ] jest ich = = 201 2, = = 301 2, = = 211 2, = = 311 2, = = ([Jel]).

22 16 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (Maple) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (Maple). Powyższe przykłady dotyczą takich liczb naturalnych n, które spełniają równość ( n 2) = ( n ) 2. W następnych przykładach już tej równości nie ma = = 99 2, = = = , = ; (liczba trójkątna) Liczby n 2 (n 2 + 2) 2 i n 4 (n 2 + 2) 2 w swym zapisie przy podstawie n mają te same cyfry, lecz w odwrotnym porządku. ([OM] Szwecja 1989, [Pa97]) Liczby kwadratowe specjalnego typu Istnieją liczby kwadratowe, których cyfry tworzą dwie kolejne liczby b + 1, b. Oto cała seria takich liczb: = 82 81, = , = i ogólniej: dla n 2. ([MG] 30(288)(1946) 19). 99 }{{... 9} 00 }{{... 0} 1 2 = } 99 {{... 9} 8 } 00 {{... 0} 2 99 }{{... 9} 8 } 00 {{... 0} 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 2

23 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych = , = , = , = (Maple) = ([MG] 30(288)(1946) 19). W następnych przykładach występują liczby kwadratowe, których cyfry tworzą kolejne liczby b, b = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , (Maple) = ([MG] 1946). Mówimy, że liczba naturalna jest homonimiczna jeśli jest postaci bb, tzn. jeśli składa się z tej samej grupy cyfr powtórzonej dwukrotnie ([Zw] 1996); na przykład: 7373, Istnieje homonimiczna liczba kwadratowa. Najmniejszą taką liczbą jest = ([Mon] 42(10)(1935) E154, [MG] 1946, [GaT] 21/76, [Mat] 1/2005 z.1620) Przykłady homonimicznych liczb kwadratowych. (Maple) = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = Istnieje nieskończenie wiele homonimicznych liczb kwadratowych. ([Mon] 42(10)(1935) E154, [GaT] 21/76, [Mat] 1/2005 z.1620). D. Istnieje taka liczba naturalna m, że 10 m + 1 jest podzielne przez kwadrat liczby pierwszej. Najmniejszą z nich jest m = 11. W tym przypadku mamy: Stąd dalej wynika, że (2k 1) + 1 dla wszystkich k N. Istnieje zatem nieskończenie wiele takich liczb naturalnych n, że n + 1. Za pomocą każdej takiej liczby n można skonstruować odpowiednią homonimiczną liczbę kwadratową.

24 18 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych Konstrukcja jest następująca. Niech a = 10 n + 1, b = a/11 2 oraz niech c = 16ab. Wtedy liczba c jest oczywiście kwadratowa. Zauważmy, że liczba 16b jest n-cyfrowa. Liczba c = 16b (10 n + 1) składa się więc z tej samej grupy cyfr (mianowicie cyfr liczby 16b) powtórzonej dwukrotnie. Jet to więc homonimiczna liczba kwadratowa Wykazać, że istnieją parami różne liczby naturalne a 1, a 2,..., a 1996 mające tę samą liczbę cyfr i takie, że liczby a 2 1, a 2 2,..., a są homonimiczne. ([Zw] 1996) ([MG] 1946). Liczby kwadratowe postaci aabb : = , = , = , = , = , = Jedynymi liczbami kwadratowymi pozostającymi kwadratowymi przy każdej permutacji cyfr są kwadraty jednocyfrowe 1, 4 i 9. ([Mat] 4-5/1985 z.1143) Mówić będziemy, że 2n-cyfrowa liczba jest specjalna, jeśli jest liczbą kwadratową, liczba utworzona z n pierwszych cyfr jest kwadratowa oraz liczba utworzona z n ostatnich liczb jest niezerowa i kwadratowa. (1) Znaleźć wszystkie 2 i 4-cyfrowe liczby specjalne. (2) Czy istnieje 6-cyfrowa liczba specjalna? (3) Znaleźć 8-cyfrową liczbę specjalną. (4) Wykazać, że istnieje 20-cyfrowa liczba specjalna. (5) Wykazać, że 100-cyfrowych liczb specjalnych nie może być więcej niż 10. (6) Wykazać, że istnieje 30-cyfrowa liczba specjalna. ([WaJ] 244(77)). O. (1). 49, 1681 = (2). Istnieje. Np = (3) = (4) = , = , = (5). Dla dowolnego k specjalnymi liczbami 4k-cyfrowymi są tylko liczby (10 k x + t) 2 = 10 2k x k t + t 2, gdzie 10 2k 1 x 2 < 10 2k. Stąd można wywnioskować, że (dla k = 25) są co najwyżej 3 takie liczby. Można wykazać jednak (patrz [Kw] 6/1978 s.46), że co najwyżej dwie. (6) Mówić będziemy, że liczba naturalna jest monotoniczna jeśli jej cyfry (w systemie dziesiętnym), z lewej strony do prawej, tworzą ciąg niemalejący. Jednocyfrowe liczby kwadratowe 1, 4, 9 są oczywiście monotoniczne. Dwucyfrowymi liczbami kwadratowymi monotonicznymi są 16, 25, 36, 49, a trzycyfrowymi: 144 = 12 2, 169 = 13 2, 225 = 15 2, 256 = 16 2 oraz 289 = 17 2.