Wyk lad 3. Natalia Nehrebecka Dariusz Szymański. 13 kwietnia, 2010

Transkrypt

1 Wyk lad 3 Natalia Nehrebecka Dariusz Szymański 13 kwietnia, 2010 N. Nehrebecka, D.Szymański

2 Plan zaj eć 1 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 2 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad 3 Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa 4 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad 5 N. Nehrebecka, D.Szymański

3 Etapy doboru formy funkcyjnej w praktyce Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 1 Dobór formy, tak aby możliwa by la odpowiedź na pytanie badawcze 2 Szacunek modelu i ocena jakości na podstawie testów diagnostycznych W praktyce wybiera sie te forme funkcyjna, która jest najs labiej odrzucana przez testy diagnostyczne. N. Nehrebecka, D.Szymański

4 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i )β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka, D.Szymański

5 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i )β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka, D.Szymański

6 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i )β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka, D.Szymański

7 Przyk lad Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Zadanie Y i = X β 1 1i X β 2 2i... X β K Ki e ɛ i (4) Jakie zastosować funkcje, żeby model (4) przekszta lcić do modelu linowego? N. Nehrebecka, D.Szymański

8 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Y i = X β 1 1i X β 2 2i... X β K Ki e ɛ i ln() ln(y i ) = ln(x β 1 1i X β 2 2i... X β K Ki e ɛ i ) ln(y i ) = β 1 ln(x 1i ) + β 2 ln(x 2i ) + + β K ln(x Ki ) + ɛ i Niech y i = ln(y i ) oraz x ji = ln(x ji ), wtedy mamy: y i = β 1 x 1i + β 2 x 2i +... K x Ki + ɛ i N. Nehrebecka, D.Szymański

9 Wniosek Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego zależności miedzy zmiennymi ekonomicznymi nie zawsze sa liniowe ale model liniowy jest w praktyce wystarczajaco dobrym przybliżeniem, zw laszcza, że za pomoca odpowiednich przekszta lceń zależność nieliniowa można sprowadzić do zależności liniowej wzgledem przekszta lconych zmiennych N. Nehrebecka, D.Szymański

10 Wniosek Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego zależności miedzy zmiennymi ekonomicznymi nie zawsze sa liniowe ale model liniowy jest w praktyce wystarczajaco dobrym przybliżeniem, zw laszcza, że za pomoca odpowiednich przekszta lceń zależność nieliniowa można sprowadzić do zależności liniowej wzgledem przekszta lconych zmiennych N. Nehrebecka, D.Szymański

11 Wniosek Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego zależności miedzy zmiennymi ekonomicznymi nie zawsze sa liniowe ale model liniowy jest w praktyce wystarczajaco dobrym przybliżeniem, zw laszcza, że za pomoca odpowiednich przekszta lceń zależność nieliniowa można sprowadzić do zależności liniowej wzgledem przekszta lconych zmiennych N. Nehrebecka, D.Szymański

12 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Dobry model dobrze opisuje zjawisko i posiada parametry o intuicyjnie oczywistej interpretacji. Interpretacja wyników jest ważna, bo umożliwia porównanie wyników z teoria, zdrowym rozsadkiem, wynikami z innych źróde l itp. N. Nehrebecka, D.Szymański

13 Efekt czastkowy ang. partial effect w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Efekt czastkowy zmiana oczekiwanego y i w reakcji na zmiane x ki ; wynosi E(y) x k przy za lożeniu ceteris paribus. W modelu liniowym E(y i ) = β 1 x 1i + β 2 x 2i +... β K x Ki o ile zmienne x 1i, x 2i,... x Ki oraz parametry β 1, β 2,..., β K sa nielosowe. Zatem efekt czastkowy dla x k = 1 równy jest β k. N. Nehrebecka, D.Szymański

14 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Wniosek Parametr β k w modelu liniowym opisuje zmiane oczekiwanej wartości y i na skutek jednostkowej zmiany x ki, przy za lożeniu, że wszystkie pozosta le zmienne nie ulegaja zmianie. N. Nehrebecka, D.Szymański

15 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Elastycznościa czastkow a nazywamy procentowa zmiane oczekiwanego y w reakcji na 1% zmiane x k : e y,xk = E(y) E(y) x k x k = E(y) x k x k E(y) E(y) x k x k E(y) ale ln(ϕ(x)) ϕ(x) = 1 ϕ(x), st ad lne(y) E(y) = 1 E(y) oraz x k x k = 1 ln(x k ), wiec: e y,xk = ln(e(y)) lnx k. N. Nehrebecka, D.Szymański

16 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Semielastycznościa czastkow a nazywamy procentowa zmiane oczekiwanego y w reakcji na jednostkowa zmiane x k : ë y,xk = E(y) E(y) x k E(y) 1 x k E(y) = lne(y) x k N. Nehrebecka, D.Szymański

17 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad W modelu logliniowym lne(y i ) = β 1 lnx 1i + β 2 lnx 2i + + β K lnx Ki wtedy lne(y i ) = β k lnx ki o ile zmienne x 1i, x 2i,... x Ki oraz parametry β 1, β 2,..., β K sa nielosowe. N. Nehrebecka, D.Szymański

18 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Wniosek Parametr β k w modelu logliniowym jest elastycznościa y wzgledem x k. N. Nehrebecka, D.Szymański

19 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność w modelu logliniowym Elastyczność i semielastyczność - przyk lad Wp lyw dochodu i liczby dzieci na wydatki na żywność ln(wydatki i ) = 3, 6 + 0, 35 ln(dochód i ) + 0, 2 ln(dzieci i ) Interpretacja (elastyczność): wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost wydatków o 0, 35%; wzrost liczby dzieci o 1% powoduje wzrost wydatków o 0, 2% ln(wydatki i ) = 3, 6 + 0, 34 ln(dochód i ) + 0, 11 dzieci i Interpretacja (semielastyczność): wzrost liczby dzieci o 1 powoduje wzrost wydatków o 11% N. Nehrebecka, D.Szymański

20 Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa Stosujac model potegowy logarytmujemy zmienna zależna jak i zmienne niezależne. Zmienna zależna i zmienne niezależne powinny przyjmować wartości dodatnie, ponieważ w innym przypadku nie da sie ich zlogarytmować. ln(y i ) = β 1 lnx 1i + β 2 lnx 2i +... β K lnx Ki + ε i N. Nehrebecka, D.Szymański

21 Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa Wybór pomi edzy modelem liniowym a pot egowym W badaniach empirycznych czesto stwierdzamy, że zmienne w modelu maja rozk lad zbliżony do normalnego badź do lognormalnego. Jeśli ɛ ma rozk lad lognormalny, to ln(ɛ) ma rozk lad normalny. N. Nehrebecka, D.Szymański

22 Rozk lad lognormalny Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa N. Nehrebecka, D.Szymański

23 Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa Przyk lad: Wydatki mieszkaniowe gospodarstw domowych N. Nehrebecka, D.Szymański

24 Dochody gospodarstw domowych Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa N. Nehrebecka, D.Szymański

25 Wyniki regresji: poziomy Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa N. Nehrebecka, D.Szymański

26 Wyniki regresji: logarytmy Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa Średni dochód w analizowanym zbiorze danych wyniós l 2402 z l. Elastyczność dochodowa wydatków,policzona dla modelu liniowego: e y,xk = x ŷ b k = x b 1 + b 2 x b k = , 07 = 0, , N. Nehrebecka, D.Szymański

27 Reszty z regresji Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa N. Nehrebecka, D.Szymański

28 Zastosowania modelu pot egowego Przekszta lcenie Boxa-Coxa Umożliwia przeprowadzenie sformalizowanej procedury wyboru mi edzymodeleliniowym i pot egowym. N. Nehrebecka, D.Szymański

29 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad Zmienna zero-jedynkowa nazywamy zmienna, która przyjmuje tylko dwie wartości, 0 lub 1. Uwaga Ważne jest, że zmienna przyjmuje dwie wartości, nie ma znaczenia ich wielkość. N. Nehrebecka, D.Szymański

30 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad Interpretacja parametru przy zmiennej 0 1 Niech D i bedzie zmienna zero-jedynkowa Dla D i = 1 model ma postać: y i = β 1 x 1i + + β K x Ki + γd i + ɛ i Dla D j = 0 model ma postać: y i = β 1 x 1i + + β K x Ki + γ + ɛ i Zatem γ = E(y i ) E(y j ) y j = β 1 x 1j + + β K x Kj + ɛ j N. Nehrebecka, D.Szymański

31 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad Wniosek Wielkość γ można interpretować jako przyrost oczekiwanej wartości y, jeśli D zmieni si e z 0 na 1. N. Nehrebecka, D.Szymański

32 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad Interpretacja parametru przy zmiennej 0 1 Ponieważ nie istanieje ln(0), stad model ma postać: Dla D i = 1 model ma postać: Y i = X β 1 1i X β 2 2i... X β K Ki e γd i e ɛ i Dla D j = 0 model ma postać: Y i = X β 1 1i X β 2 2i... X β K Ki e γ e ɛ i Y j = X β 1 1j X β 2 2j... X β K Kj eɛ i Zatem e γ = E(Y i ) E(Y j ), ale dla ma lych γ eγ 1 + γ, stad E(Y i ) = (1 + γ)e(y j ) N. Nehrebecka, D.Szymański

33 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad Wniosek Wielkość γ (pomnożona przez 100%) można interpretować jako procentowa różnice miedzy oczekiwanymi wartościami zmiennej Y dla obserwacji, które różnia sie jedynie wartościami zmiennej D. N. Nehrebecka, D.Szymański

34 w modelach liniowych w modelach pot egowych Zmienna zero-jedynkowa - przyk lad D i = { 1 jeśli kobieta 0 jeśli m eżczyzna Wniosek: ln(p laca i ) = 7, 67 0, 17 D i E(p laca kobiet ) = (1 0, 17)E(p laca m eżczyzn) Oczekiwany poziom p lac kobiet jest średnio o 17% niższy niż dla m eżczyzn. N. Nehrebecka, D.Szymański

35 1. Kiedy mówimy, że model można sprowadzić do modelu liniowego wzgledem przekszta lconych zmiennych? 2. Wyjaśnić, co to jest efekt czastkowy? 3. Podaj definicje elastyczności czastkowej. 4. Podaj definicje semielastyczności czastkowej. 5. Podaj postać przekszta lcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić,do czego jest stosowany w ekonometrii. N. Nehrebecka, D.Szymański