Badania operacyjne- programowanie liniowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badania operacyjne- programowanie liniowe"

Transkrypt

1 Justyna Kosakowska i Piotr Malicki Badania operacyjne- programowanie liniowe Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki (specjalność: matematyka w ekonomii i finansach) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 2009 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Podczas przygotowywania niniejszych notatek korzystaliśmy z następującej literatury: [] M. S. Bazaraa, C. M. Shetty, Nonlinear Programming Theory and Algorithms, New York 979. [2]T.H.Cormen,Ch.E.Leiserson,R.L.Rivest, Wprowadzeniedo algorytmów, WN-T, Warszawa 200. [3] M. M. Sysło, Algorytmy, WSiP, Warszawa 997. [4] M. M. Sysło, N. Deo, J. S. Kowalik, Algorytmy optymalizacji dyskretnej, PWN, Warszawa 995. Literatura uzupełniająca: [] N. Deo, Teoria grafów i jej zastosowania w technice i informatyce, PWN 980. [2] R. Faure, J.-P. Boss, A. Le Garff, Badania operacyjne, PWN, Warszawa 982. [3] S. I. Gass, Programowanie liniowe, PWN, Warszawa 980. [4] B. Korzan, Elementy teorii grafów i sieci(metody i zastosowania), WN-T, Warszawa 978. [5] K. Manteuffel, E. Seiffart, Wstęp do algebry liniowej i programowania liniowego, PWN, Warszawa 975.

3 SPIS TREŚCI 3 Spis treści I Wykład 5 Wprowadzenie 5. Ryshistoryczny Oznaczenia Tematykawykładu Metoda sympleksowa 9 2. Różneformyzagadnieniaprogramowanialiniowego Punktyiwektoryekstremalne Metodasympleksowa Dualnametodaprogramowanialiniowego Elementyprogramowaniacałkowitoliczbowego Strategie zachłanne Problemwyboruzajęć Problemplecakowy Programowanie dynamiczne Problemplecakowy-programowaniedynamiczne Grafy- podstawowe definicje Reprezentacjegrafów Macierzesąsiedztwa Listysąsiedztwa Minimalne drzewa rozpinające AlgorytmKruskala Problem najkrótszych dróg AlgorytmDijkstry AlgorytmBellmana-Forda Maksymalny przepływ 7 8. Przekrojewsieciach Sieciresidualne... 74

4 SPIS TREŚCI AlgorytmForda-Fulkersona AnalizaczasudziałaniaalgorytmuForda-Fulkersona Siecizwielomaźródłamiiujściami Zagadnienie transportowe Rozwiązanie zagadnienia transportowego metodą maksymalnegoprzepływu Skojarzenia w grafach dwudzielnych 89 II Dodatek 95 Pesymistyczna złożoność czasowa algorytmów 95.Notacja O, Ωoraz Θ Przeszukiwanie grafu wszerz 97 2.AnalizaczasudziałaniaalgorytmuBFS Zbiory wypukłe i ich własności 00 3.Topologicznewłasnościzbiorówwypukłych Problem dualności w programowaniu liniowym 4 4. Geometryczna interpretacja dualności programowania liniowego6

5 5 Część I Wykład Notatki te są istotnym rozszerzeniem skryptu Badania operacyjne(kurs letni) przygotowanego w 2009 roku(projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego). Zdecydowaliśmy się włączyć wykład z Kursu letniego do niniejszego skryptu, aby był on spójny oraz aby studenci mieli cały materiał dostępny w jednym miejscu. Szczegółowo omówiliśmy nowe zagadnienia: przepływ w sieciach, zagadnienie transportowe, skojarzenia w grafach dwudzielnych, Ponadto dodano nowe przykłady, które ilustrują algorytm sympleks. W części Dodatek umieściliśmy również treści pozwalające lepiej zrozumieć tematykę wykładu: problem złożoności czasowej algorytmów, przesukiwanie grafów wszerz, topologiczne własności zbiorów wypukłych oraz problem dualności w programowaniu liniowym.. Wprowadzenie.. Rys historyczny W roku 827 matematyk francuski J.B.J. Fourier opublikował metodę rozwiązywania układu nierówności liniowych. Publikacja ta jest zwykle uważana za początek programowania liniowego. W 939 roku rosyjski matematyk L.V. Kantorovich sformułował problem przydziału środków jako problem programowania liniowego. Mniej więcej w tym samym okresie duński ekonomista T.C. Koopmans sformułował model programowania liniowego dla pewnych klasycznych zagadnień występujących w ekonomii. W czasie trwania II wojny światowej modele programowania liniowego były stosowane do rozwiązywania problemów związanych z planowaniem wojskowym. W roku 947 matematyk

6 . WPROWADZENIE 6 amerykański G.B. Dantzig odkrył metodę sympleks. Zbiegło się to z rozwojem komputeryzacji, a zatem z możliwością zastosowania metod programowania liniowego do rozwiązywania problemów występujących w rzeczywistości. W roku 975 Kantorovich oraz Koopmans otrzymali za swoje prace nagrodę Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych..2. Oznaczenia Będziemy używać następujących oznaczeń. X - moc skończonego zbioru X; N = {0,, 2,...}-zbiórliczbnaturalnych; Z- pierścień liczb całkowitych; Q- ciało liczb wymiernych; R- ciało liczb rzeczywistych; dalej K {Z, Q, R} -naturalnyporządekwk n ( powspółrzędnych ); M m n (K)-zbiór m n-macierzyowspółczynnikachwk; x T -macierzlubwektortransponowanydo x; e,...,e n -bazastandardowaprzestrzeni K-liniowej K n ;.3. Tematyka wykładu Głównym celem wykładu jest omówienie algorytmów rozwiązujących pewne problemy, które można sformułować jako zagadnienia programowania liniowego.będziemyrozważaćproblemypostaci:dladanego c T R n,znaleźć minimum funkcji liniowej f(x) = c T x

7 . WPROWADZENIE 7 napodzbiorzezbioru R n ograniczonympewnyminierównościamiorazrównaniami liniowymi. Czasami ciało R będziemy zastępować pierścieniem Z i będziemy wtedy mówić o programowaniu całkowitoliczbowym. Wiele praktycznych problemów występujących w ekonomii oraz badaniach operacyjnych może być sformułowanych w postaci zagadnienia programowania liniowego(m.in. zagadnienie transportowe, problem plecakowy). W trakcie wykładu omawiamy tego typu problemy. Notatki zawierają także część Dodatek, w której umieszczono fakty pozwalające lepiej zrozumieć treść wykładu. Przykład.. Załóżmy, że pewna firma produkuje dwa rodzaje zapałek: grillowe(długie) i normalne(krótkie). Zysk z każdego pudła zapałek grillowych wynosi 300 EUR, a z każdego pudła zapałek normalnych wynosi 200 EUR. Firma posiada jedną maszynę robiącą długie lub krótkie zapałki. Maszyna ta może wyprodukować w jednym roku maksymalnie pudeł zapałek długich lub krótkich. Do produkcji zapałek firma potrzebuje drewna oraz pudeł. Do otrzymania jednego pudła zapałek grillowych potrzeba 3 m 3 drewna,natomiastdootrzymaniajednegopudłazapałeknormalnychpotrzebam 3 drewna.firmaposiada m 3 drewnanaroknastępny, ponadtonaszafirmama700000pudełnazapałkigrilloweoraz600000pudeł na zapałki normalne. Naszym celem jest zmaksymalizowanie zysków firmy w roku następnym, przy czym zakładamy, że firma może sprzedać wszystko co wyprodukuje. Zapiszmypowyższyproblemzapomocąnierówności.Niech x oraz x 2 oznaczają odpowiednio ilość pudeł( ) zapałek długich oraz ilość pudeł( ) zapałek krótkich wyprodukowanych w roku następnym. Zysk z jednegopudłazapałekdługichwynosi300eur(3 00EUR),zatemzyskzx pudełzapałekdługichwynosi 3x (stueurojednostek).podobniezyskzx 2 pudełzapałekkrótkichwynosi 2x 2 (stueurojednostek).przyformułowaniu naszego zagadnienia musimy wziąć pod uwagę następujące ograniczenia: wydajnośćmaszynyjestograniczonaprzez9( 00000)pudełnarok, czyli x + x 2 9; ograniczeniezwiązanezilościądrewna,to 3x + x 2 8; ograniczeniezwiązanezilościądostępnychpudeł,to x 7, x 2 6; ograniczeniezwiązanezsensownościąrozważań,to x 0, x 2 0.

8 . WPROWADZENIE 8 Możemy teraz napisać model dla naszej firmy: przy warunkach: max(3x + 2x 2 ) x + x 2 9, 3x + x 2 8, x 7, x 2 6, x, x 2 0. Jest to przykład modelu programowania liniowego(w skrócie PL-modelu). Funkcję 3x + 2x 2 nazywamyfunkcjącelu.wdalszejczęściwypracujemy metody ogólne, pozwalające rozwiązywać podobne problemy. Powyższy problem rozwiążmy graficznie. Obszarwyznaczonyprzezpunkty [ ] 0, v, v 2, v 3, v 4 nazywamydopuszczalnym, zawiera on punkty spełniające ograniczenia. Same zaś x punkty x 2 0, v, v 2, v 3, v 4 nazywamywierzchołkamiobszarudopuszczalnego.łatwo [ ] [ ] [ ] [ ] 6 4, policzyć,że v =, v 0 2 =, v 4, 5 3 =, v 6 4 =. Zauważmy, że nierówność x 6 7niemawpływunaobszardopuszczalny.Szkicującfunkcjęcelu

9 2. METODA SYMPLEKSOWA 9 [ ] 4, 5 widzimy,żeosiągaonawartośćmaksymalnądlawierzchołka v 2 =. 4, 5 Wartość funkcji celu w tym wierzchołku wynosi 22, 5, zatem maksymalny zyskdlafirmywynosi22500eur. 2. Metoda sympleksowa 2.. Różne formy zagadnienia programowania liniowego Zadanie postaci: znaleźćminimumfunkcji f(x) = c T x (2.) na zbiorze ograniczonym warunkami: Ax = b, (2.2) x 0 (2.3) będziemy nazywać zagadnieniem programowania liniowego w postaci standardowej.podzbiór X R n zdefiniowanyprzezograniczenia(2.2)oraz (2.3) nazywamy zbiorem dopuszczalnym. Każdy element x X zbioru dopuszczalnego nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym. Rozwiązanie dopuszczalne x, w którym funkcja f osiąga minimum nazywamy rozwiązaniem optymalnym. Można sobie wyobrazić praktyczne zagadnienia, które nie będą zapisane w postaci standardowej. Omówimy teraz wszystkie możliwe przypadki.. Chcemy znaleźć maksimum(zamiast minimum funkcji f). W tym przypadku wystarczy wektor c zastąpić wektorem c oraz otrzymaną minimalną wartość funkcji przemnożyć przez. 2.Nierówność a i x + a i2 x a in x n b i (odp. a i x + a i2 x a in x n b i )możnasprowadzićdorównania a i x +a i2 x a in x n + x n+ = b i (odp. a i x + a i2 x a in x n x n+ = b i )poprzezwprowadzeniedodatkowejzmiennej x n+ 0(musimywprowadzićtyledodatkowych zmiennych, ile mamy nierówności!).

10 2. METODA SYMPLEKSOWA 0 3. Ograniczenia x 0 mogą mieć inną postać: (a)ograniczenie x j d j zamieniamynaograniczenie x j 0wprowadzającnowązmienną x jtaką,że x j = x j d j ; (b)ograniczenie x j d j zamieniamynaograniczenie x j 0wprowadzającnowązmienną x j taką,że x j = d j x j ; (c)ograniczenie x j d j zamieniamynaograniczenia x j, x j 0wprowadzającnowezmienne x j, x j takie,że x j = x j x j (korzystamy tutaj z faktu, że każda liczba rzeczywista może być przedstawiona jako różnica liczb nieujemnych). W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że mamy dane zagadnienie programowania liniowego w postaci standardowej Punkty ekstremalne i wektory kierunkowe ekstremalne Łatwo jest udowodnić(zadanie na ćwiczenia), że jeśli funkcja liniowa osiąga minimum(lub maksimum) na zbiorze wypukłym, to musi ona osiągać to ekstremum również w punktach ekstremalnych tego zbioru. Dlatego poniżej poniżej omówimy tematykę związaną z punktami ekstremalnymi. Głównie skupimy się na charakteryzacji punktów ekstremalnych zbiorów dopuszczalnych. Niech X R n będziezbioremwypukłym.punkt x X nazywamy ekstremalnym, jeśli x,y X λ (0,) p = ( λ)x + λy x = y = p. Przykład 2.4. Oznaczmy przez E zbiór punktów ekstremalnych zbioru X. [ ] [ ] 9 [ ] [ ] x (i)dlazbioru X = R x 2 ; 3 x x 2 7, x 0 pochodzącego z Przykładu., E =,,,,. x 2 0 {[ 0 ] [ ] [ ] [ 6 ] [ ]} 0 6 4, , (ii) X = {(x, x 2 ) R 2 ; x 2 + x2 2 }, E = {(x, x 2 ) R 2 ; x 2 + x2 2 = }.

11 2. METODA SYMPLEKSOWA Jeśli zbiór X jest domknięty i ograniczony, to dowolny punkt tego zbioru może być przedstawiony jako wypukła kombinacja punktów ekstremalnych. Wektor 0 v R n nazywamykierunkowymzbioru X,jeśli x X λ 0 x + λv X. Dwa wektory kierunkowe v, w zbioru X nazywamy równymi, jeśli λ>0 v = λw. Wektor kierunkowy v zbioru X nazywamy ekstremalnym, jeżeli w,w 2 λ,λ 2 >0 v = λ w + λ 2 w 2 λ>0 w = λw 2, gdzie w, w 2 sąwektoramikierunkowymizbiory X. Wdalszejczęścirozważaćbędziemyzbiory Xpostaci X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie Aoznaczamacierzwymiaru m n, b R m.zakładamyponadto, że rz(a) = m. Niech A = [BN](po ewentualnej permutacji kolumn), gdzie Bjest m mmacierzą, N jest m (n m)macierzą,natomiast rz (B) = m.wtedy Ax = b, x 0 Bx B + Nx N = b, gdzie x B 0, x N 0.Niech Abędziejakwyżej.Wówczasprzez C(A)oznaczamy zbiór takich macierzy nieosobliwych B wymiaru m m, dla których istniejemacierz Nwymiaru m (n m)taka,że [BN]dasięuzyskaćz macierzy A poprzez przestawienie kolumn. Uwaga 2.5. Dalej będziemy stosować następujące uproszczenia notacji. Zapis A = [BN]będzieoznaczać,żemacierz Amożnauzyskaćzmacierzy [BN]przezpewnąpermutację σkolumn.wtedy x = [x B x N ]będzieznaczyć, żewektor xpowstajezwektora x = [x B x N ]przeztęsamąpermutację σ współrzędnych. Twierdzenie 2.6(o charakteryzacji punktów ekstremalnych). Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz(a) = [ m.punkt ] B x Xjestpunktemekstremalnymwtedyitylkowtedy,gdy x = b = [ ] 0 xb dlapewnego B C(A)takiego,że B b 0. x N

12 2. METODA SYMPLEKSOWA 2 [ ] B Dowód.Weźmy B C(A)takie,że B b 0.Niech x = b.zauważmy,że x X.Rzeczywiściedla A = [BN]mamy Ax = [BN] b [ 0 ] B = 0 b + N0 = b,zarazem x 0.Załóżmy,że x = λx + ( λ)x 2 dla x, x 2 X oraz λ (0, ).Niech x T = [x T, x T 2], x T 2 = [x T 2, x T 22].Wtedy [ ] [ ] [ ] B b x x2 = λ + ( λ). 0 x 2 Ponieważ x 2, x 22 0, λ (0, ), λ, λ > 0,tomamy x 2 = x 22 = 0. Ponadto, b = Ax = Bx,awięc x = B b.podobnie x 2 = B b.wobec równości x = x 2 = B bmamy x = x 2 = x,zatem xjestpunktem ekstremalnym w X. Niechteraz x R n będziepunktemekstremalnym.załóżmy,że x = [x, x 2,...,x k, 0, 0,..., 0] T,gdzie x i > 0dla i =, 2,..., k.pokażemy,że kolumny a, a 2,...,a k sąliniowoniezależne.gdybytakniebyło,toistniałyby liczby λ, λ 2,...,λ k R, k i= λ2 i 0takie,że k i= λ ia i = 0.Niech λ = [λ, λ 2,...,λ k, 0, 0,..., 0] T.Rozpatrzmywektory x () = x+rλ, x (2) = x rλ, gdzie r > 0, x (), x (2) 0.Zauważmy,że x 22 Ax (i) = k a j (x j + ( ) i rλ j ) = j= k k a j x j + ( ) i r a j λ j = b. j= j= Zatem x (), x (2) X,aponieważ r > 0,to x () x (2).Ponadto x = 2 x() + 2 x(2),coprzeczytemu,że xjestpunktemekstremalnym.zatemkolumny a, a 2,...,a k sąliniowoniezależne.czylizn kkolumnmożnawybrać m k kolumn tak, aby razem z pierwszymi k kolumnami tworzyły m liniowo niezależnychwektorów.załóżmy,żetymikolumnamisą a k+, a k+2,...,a m. Wobectegomacierz Amożebyćzapisanawpostaci A = [BN],gdzie B = [a, a 2,...,a m ] C(A),rz (B) = m.mamy b = Ax = Bx B + Nx N = Bx B,a stąd x B = B b,czyli x = [ B b 0 ]. Wniosek2.7.Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = m.zbiór Xposiadaskończeniewielepunktówekstremalnych. Dowód.Wynikaztwierdzenia2.6orazfaktu,że C(A) <.

13 2. METODA SYMPLEKSOWA 3 Twierdzenie 2.8(o istnieniu punktów ekstremalnych). Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = m.jeśli X,to zbiór X posiada co najmniej jeden punkt ekstremalny. Dowód.Ustalmy x X.Niech x = [x, x 2,..., x k, 0, 0,..., 0] T,gdzie x i > 0, i =, 2,..., k.rozpatrzmykolumny a, a 2,..., a k macierzy A.Gdysą oneliniowoniezależne,topunkt xjestekstremalny.załóżmy,że a, a 2,...,a k sąliniowozależne,toznaczyistniejąliczby λ, λ 2,...,λ k R, k i= λ2 i 0 oraz k i= λ ia i = 0.Niech r = min i=,2,...,k { x i λ i ; λ i > 0} = x j λ j.możemyzałożyć, żezbiór i {, 2,..., k}takich,że λ i > 0jestniepusty.Niech x R n,gdzie { x xi rλ i = i dla i =, 2,..., k 0 dla i = k +, k + 2,...,n. x 0,boinaczejdlapewnego j {, 2,..., k}mielibyśmy x j rλ j < 0,astąd r > x j λ j iotrzymujemysprzecznośćzminimalnością. 2. Ax = b,rzeczywiście Ax = k i= (x i rλ i )a i = k i= x ia i r k i= λ ia i = Ax = b.zatem x X. 3. x i 0 = 0dlapewnegoindeksu i 0 {, 2,..., k}.wiemy,żeistnieje i 0 {, 2,..., k}taki,że r = x i 0 λ i0.zatem x i 0 = x i0 rλ i0 = 0. Jeślikolumny a, a 2,...,a k bez a i0 sąliniowoniezależne,topunkt x jest ekstremalny. Lemat2.9.Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = m.wektor v R n jestwektoremkierunkowymniepustego zbioru Xwtedyitylkowtedy,gdy Av = 0iv 0, v 0. Dowód.Niech v R n będziewektoremkierunkowymzbioru X.Weźmy x X,wtedy x+v X.Mamy Av = A(x+v x) = A(x+v) Ax = b b = 0, bo v 0 jest wektorem kierunkowym. Załóżmyteraz,że Av = 0, v 0.Niech x X, λ > 0.Mamy A(x+λv) = Ax + λav = Ax = b.ponieważ x 0, λ > 0, v 0,to x + λv 0czyli x + λv X. Twierdzenie 2.0(o charakteryzacji kierunków ekstremalnych). Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = m. Wektor v jest kierunkiem ekstremalnym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją B C(A),kolumna a j macierzy Aniewystępującawmacierzy B oraz λ > 0takie,że

14 2. METODA SYMPLEKSOWA 4 (i) B a j 0, (ii) v = λ(( B a j ) T, e T j )T,gdzie e j jestwektoremmającym n m współrzędnych z których tylko j-ta współrzędna jest różna od zera i równa się jeden. Dowód.Niech v = λ(( B a j ) T, e T j )T i B a j 0.Pokażemy,że vjest wektoremkierunkowym.zauważmy,że v 0, v 0oraz [ ] B Av = [BN]λ a j = λb( B a e j ) + λne j = λ( a j + a j ) = 0. j Zatem na mocy Lematu 2.9 wektor v jest kierunkowy. Niech v, v 2 będąwektoramikierunkowymiorazniech v = λ v + λ 2 v 2, gdzie λ, λ 2 > 0.Zauważmy,że n m współrzędnychwektora vjest równe 0.Zatemodpowiedniewspółrzędnewektorów v i v 2 sąrównieżzerowe iwektorytemogąbyćzapisanewpostaci v T = α [v T, e T j ], v T 2 = α 2 [v T 2, e T j ], gdzie α, α 2 > 0.Wiemy,że Av = Av 2 = 0zatemmamy 0 = Av = [BN]α [v T, et j ]T = α (Bv T + NeT j ) = α (Bv T + at j ), stąd v = B a j.podobnie v 2 = B a j,mamywięc v = v 2,aw konsekwencji v = λv 2,gdzie λ = α α 2.Ostatecznieotrzymujemy,żewektor v jest ekstremalny. Niech vbędziewektoremekstremalnym, v = [v, v 2,...,v k, 0,...,0, v j, 0,..., 0] T, v i > 0dla i =, 2,..., koraz i = j.pokażemy,żekolumny a, a 2,...,a k macierzy Asąliniowoniezależne.Załóżmy,żetakniejesttzn. istnieją λ, λ 2,...,λ k Rtakie,że k i= λ2 i 0, k i= λ ia i = 0. Niech λ = [λ, λ 2,..., λ k, 0, 0,..., 0] T.Rozpatrzmywektory v () = v+rλ, v (2) = v rλ,gdzie r > 0, v (), v (2) 0, r = min i=,2,...,k { v i λ i ; λ i > 0} = v j λ j. Zauważmy, że Av (i) = A(v + ( ) i rλ) = Av + ( ) i raλ = 0 + ( ) i r k a i λ i = 0, i= Ponieważ r > 0,to v () v (2) v.zatem v = 2 v() + 2 v(2),coprzeczytemu,że vjestwektoremekstremalnym.czylikolumny a, a 2,...,a k sąliniowo niezależne.dodatkoworz (A) = m,stąd k mwięcmożemywybrać m k wektorówzezbioru {a i ; i = k +, k + 2,..., m, i j},którerazemzkolumnami a, a 2,...,a k sąliniowoniezależne.oznaczmy B = [a, a 2,...,a m ]

15 2. METODA SYMPLEKSOWA 5 C(A).Zauważmy,że a j B,bo a, a 2,...,a k, a j sąliniowozależne.mamy 0 = Av = [BN]v [ = ] Bv B + Nv N = Bv B + a j v j,astąd v B = v j ( B a j ), B czyli v = v a j j.ponieważ v 0, v e j > 0więc B a j 0. j Wniosek 2..Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz(a) = m.zbiór Xposiadaskończeniewielekierunków ekstremalnych. Twierdzenie2.2(oreprezentacji).Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = m.niech x, x 2,...,x k będą wszystkimipunktamiekstremalnymizbioru X,natomiast v, v 2,..., v l wszystkimi wektorami ekstremalnymi zbioru X. Wówczas x X wtedy i tylko wtedy,gdyistniejątakieliczby λ, λ 2,...,λ k 0,którychsumajestrówna jedenoraztakieliczby µ, µ 2,...,µ l 0,że x = k λ i x i + i= l µ i v i. i= Dowód. Niech Y = {x R n ; λ,λ 2,...,λ k 0, P k i= λ i=, µ,µ 2,...,µ l 0 x = k λ i x i + i= l µ i v i }. i= Pokażemy,że X = Y.Zauważmy,że Y,boztwierdzenia2.8istniejeco najmniej jeden punkt ekstremalny. (i) Y X.Niech x Y, x = k i= λ ix i + l i= µ iv i, λ i, µ j 0, k i= λ i =, i =, 2,..., k, j =, 2,...,l.Mamy x = k i= λ ix i X.Niech x i = x i + µ iv i,gdzie x 0 = x.wówczas i x i Xczyli x = x l X. (ii) X Y.Zauważmy,że Y jestwypukłyidomknięty.załóżmy,że X \ Y iniech z X \ Y,czyli z Y.NamocyTwierdzenia3.8 istniejąwówczas:wektor p R n i α > 0takie,że p T z > αoraz k ( ) p T ( λ i x i + i= l µ i v i ) α, i= dladowolnych λ i, µ j takich,że k i= λ i =, λ i, µ j 0, i =, 2,..., k, j =, 2,..., l.ponieważ µ j możnawybraćdowolnieduże,tonierówność ( )

16 2. METODA SYMPLEKSOWA 6 jestprawdziwatylkowtedy,gdy p T v i 0dla i =, 2,..., l.kładąc µ i = 0 dlawszystkich i, λ i = iλ j = 0dla j idostajemyz( ),że p T x i α dla i =, 2,..., k.ponieważ p T z > α,to p T z > p T x i dladowolnego i.z powyższych rozważań wynika, że istnieje niezerowy wektor p, dla którego zachodzą następujące nierówności: ( ) p T z > p T x i dla i =, 2,..., k, ( ) p T v i 0 dla i =, 2,..., l. Rozważmy punkt ekstremalny x określony następująco: p T x = max i k pt x i. [ B Ponieważ x jest punktem ekstremalnym, to z Twierdzenia 2.6 x = b 0 gdzie A = [BN]oraz B b 0.Ponieważ z X,to Az = boraz z 0. Zatem Bz B + Nz N = biz B = B (b Nz N ) = B b B Nz N.Niech z T = [zb T, zt N ].Z( )mamy pt z p T x > 0,ponadtoniech p T = [p T B, pt N ]. Wówczas 0 < p T z p T x = p T Bz B + p T Nz N p T Bx B p T Nx N = p T B(B b B Nz N )+ p T N pt B B b = p T B B b p T B B Nz N + p T N pt B B b = (p T N pt B B N)z N, bo z N 0, z X.Wobectegoistniejeindeks i 0 > mtaki,że z i0 > 0oraz p i0 p T B B a i0 > 0.Pokażemy,żenierówność B a i0 0niejestprawdziwa.Załóżmy,że B a i0 0.Wówczas vi T 0 = (( B a i0 ) T, e T i 0 ),gdzie e i0 jest wektorem o n m współrzędnych z jedynką(jako jedynym niezerowym elementem)namiejscuoindeksie i 0,jestekstremalnymwektoremkierunkowymzbioru XnamocyTwierdzenia2.0.Z( )wynika,że p T v i0 0 czyli p i0 p T B B a i0 0,codajesprzeczność.Zatem B a i0 0.Zdefiniujmy wektor x następująco: [ ] [ ] B x = b B + λ a i0, 0 e i0 gdzie λ = min i m { b i y ij ; y ij > 0} = br y rj > 0, b = B b, y i0 = B a i0. Zauważmy, że x posiada nie więcej niż m dodatnich współrzędnych oraz x r = 0, x i0 = λ.wektor x X,ponieważmamy Ax = [BN]x = BB b + λ( BB a i0 + Ne i0 ) = BB b = b. ],

17 2. METODA SYMPLEKSOWA 7 Zauważmy,żeukład a, a 2,...,a r, a r+, a r+2,...,a m, a i0 jestliniowoniezależny.mamy y i0 = B a i0 zatem a i0 = By i0.wówczas a i0 = α a + α 2 a α m a m oraz α r 0. Zatemzbiórwektorów {a, a 2,...,a m }\{a r }, a i0 jestliniowoniezależny.niech B = [a, a 2,...,a r, a r+, a r+2,...,a m, a i0 ].Mamy B C(A), A = [B, N], b = Ax = [B, N]x = Bx B + Nx N = Bx B. [ ] Stąd x B = B B b 0.Zatem x = b iztwierdzenia2.6 xjestpunktem 0 ekstremalnym. Ponadto [ ] b p T x = [p T B, pt N ] λyi0 = p T B λe (b λy i 0 ) + p T N λe i 0 = p T B b λpt B y i 0 + λp i0 = i0 = p T BB b + λ(p i0 p T BB a i0 ) = p T Bx + λ(p i0 p T BB a i0 ). Ponieważ λ > 0oraz p i0 p T B B a i0 > 0,to p T x > p T x i0.zatemskonstruowaliśmypunktekstremalny x,dlaktórego p T x > p T x,codajesprzeczność, ponieważ p T x = max i k p T x i. Wniosek 2.3(o istnieniu kierunkowych wektorów ekstremalnych). Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz(a) = m. Wówczas X posiada kierunkowy wektor ekstremalny wtedy i tylko wtedy, gdy X jest nieograniczony. Dowód. Oczywiście jeśli zbiór X posiada kierunkowy wektor ekstremalny, to X jest nieograniczony. Pokażemy implikację przeciwną. W tym celu załóżmy, że X nie posiada kierunkowych wektorów ekstremalnych. Niech x X, x = k i= λ ix i, k i= λ i =, λ i 0orazniech x, x 2,...,x k będą punktami ekstremalnymi. Mamy x = k λ i x i i= k i= λ i x i max i k { x i }. Zatem X jest ograniczony. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że zbiór X posiada kierunkowy wektor ekstremalny.

18 2. METODA SYMPLEKSOWA 8 Twierdzenie2.4.Niech X = {x R n ; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m,rz (A) = miniech x, x 2,..., x k będąwszystkimipunktamiekstremalnymi,zaś v, v 2,...,v l wszystkimiwektoramiekstremalnymi zbioru X, c R n.wówczas inf{c T x; x X} R j=,2,...,l c T v j 0.Jeżeli j=,2,...,l c T v j 0,to i {,2,...,k} inf{c T x; x X} = c T x i. Dowód. Z Twierdzenia 2.2 wiemy, że dowolny element x spełnia warunki Ax = b, x 0wtedyitylkowtedy,gdy x = k i= λ ix i + l j= µ jv j, λ i, µ j 0, k i= λ i =, i =, 2,..., k, j =, 2,..., l.zatem c T x = c T ( k i= λ ix i + l j= µ jv j ),gdzie λ i, µ j 0, k i= λ i =, i =, 2,..., k, j =, 2,..., l.jeślidlapewnego j, c T v j < 0,tonaszewyrażeniejestnieograniczone,ponieważ µ j możemywybraćdowolnieduże.zatem inf{c T x; x X} Rwtedyitylkowtedy,gdy c T v j 0dladowolnego j =, 2,..., l. Jeśli c T v j 0dladowolnego j =, 2,...,l,towceluosiągnięcianajmniejszejwartościmożemyprzyjąć µ j = 0dla j =, 2,..., l.zatem inf{c T ( k λ i x i + i= l k µ j v j )} = inf{c T λ i x i ; λ i 0, j= i= k λ i = }. Niech λ i0 = oraz λ i = 0dla i i 0,gdzieindeks i 0 jesttaki,że c T x i0 = min i k {c T x i }.Wówczas c T x i0 k i= λ ic T x i,cokończydowód. Niech X = {x R; Ax = b, x 0},gdzie A M m n (R), b R m, rz (A) = m.zajmiemysięszukaniem inf{c T x; x X}.Niech xbędziepunktem ekstremalnym zbioru X. Z Twierdzenia [ ] 2.6 wiemy, że istnieje B [ C(A), ] B B b 0oraz A = [BN], x = b xb.weźmydowolny x X, x =. [ ] 0 x N xb Wówczas Ax = btzn. [BN] = b,skąddostajemy Bx B + Nx N = b. x N Zatem x B = B b B Nx N.Policzmy c T x c T x = c T Bx B + c T Nx N = c T B b c T BB Nx N + c T Nx N = c T Bx B + c T Nx N + Przypadek : i= c T BB Nx N + c T Nx N = c T x + (c T N c T BB N)x N. c T N ct B B N 0.Ponieważ x 0,to x N 0iwkonsekwencji c T x c T x. Zatem x jest szukanym punktem.

19 2. METODA SYMPLEKSOWA 9 Przypadek 2: c T N ct B B N 0.Wszczególnościniechdlapewnegoindeksu jbędzie c T j ct B B a j < 0(stąd c T x < c T x). Przypadek 2a: Zakładamy,że B a j 0.Wówczasbiorąc v j = [ B a j e j ],gdzie e j jest wektoremon mwspółrzędnychmającymjedynkęnamiejscu j,anapozostałych miejscach zero, otrzymujemy kierunkowy wektor ekstremalny. Wobectego x = x + v j, x X.Zrówności c T x = c T x + c T v j oraz c T x = c T x + (c T N ct B B N)x N dostajemy c T v j = (c T N ct B B N)x N = c T j ct B B a j < 0, czyli problem nie posiada rozwiązania. Przypadek 2b: Zakładamy,że B a j 0.Weźmy v j = [ ] B a j ioznaczmy y = B e a j, j b = B b.niech λ = min i m { b i y i ; y i > 0} = b i 0 y i0, x = x + λv j.pokażemy,że [ ] B x X.Wiemy,że Ax = b,natomiast Av j = [BN]v j = [BN] a j = a j + a j = 0,zatem Ax = b.musimyjeszczeudowodnić,że x 0.Dla i =, 2,..., mmamy e j x = x i + λ(v j ) i = (B b) i + b i 0 y i0 ( B a j ) i = b i b i 0 y i0 y i. Rozważmy dwa przypadki:.jeśli y i 0,tooczywiście x i 0, 2.jeśli y i > 0,to b i y i b i 0 y i0,astąd x i 0. Dla i = m +, m + 2,..., noraz i jmamy x i = 0.Dla i = jmamy x i = λ > 0. Wektor x posiada niezerowe współrzędne co najwyżej na miejscach, 2,..., i 0, i 0 +,..., m, j.pokażemy,że a, a 2,...,a i0, a i0 +,...,a m, a j są liniowo niezależne. Wówczas x będzie punktem ekstremalnym. Załóżmy,

20 2. METODA SYMPLEKSOWA 20 że i {,...,m,j}\{i 0 } α ia i = 0,mamy 0 = i {,...,m,j}\{i 0 } = α i a i = i {,...,m}\{i 0 } i {,...,m}\{i 0 } α i a i +α j a j = m α i a i + α j y i a i = i= i {,...,m}\{i 0 } m (α i + α j y i )a i, i= α i a i +α j By = gdzie α i0 = 0.Wtedy α i + α j y i = 0oraz α j y i0 = 0.Zatem α j = 0,astąd α i = 0. Niech B = [a, a 2,...,a i0, a i0 +,...,a m, a j ]oraz A = [B [ N ].Wówczas ] B Ax = b,stąd b = B x B +N x N = B x B,czyli x B = B btzn. b oraz 0 B b 0.Ponadto [ ] B c T x = c T (x + λv j ) = c T x + c T λv j = c T x + λc T a j = c T x+ e j 2.3. Metoda sympleksowa +λ(c T j c T BB a j ) c T x. Przypomnijmy,żechcemyzminimalizować c T xprzywarunkach Ax = b, x 0. Algorytm sympleks Krok.Wziąćdowolnypunktekstremalny xzbioru Xozmiennychbazowych x B. Krok2.Wyliczyć α = c T B B N c T N.Jeżeli α 0,tozakończyćalgorytm(punkt x jest szukanym punktem). W przeciwnym wypadku przejść do kroku 3. Krok 3. Wybrać maksymalną dodatnią współrzędną α. Niech tą współrzędnąbędzie α j,zatem α j = c T B B a j c T j.jeśli y j = B a j 0,to zakończyć algorytm(brak rozwiązania). W przeciwnym wypadku przejść do

21 2. METODA SYMPLEKSOWA 2 kroku 4. Krok 4. Skonstruować nowy punkt ekstremalny o zmiennych bazowych x B zgodniezopisanympowyżejprocesem.przejśćdokroku2. Przykład2.5.Znaleźćminimumfunkcji f(x, x 2 ) = 2x 9x 2 przy warunkach x + x 2 6, x + 3x 2 3, x 0, x 2 0. Zmianawarunkówfunkcji f(x, x 2 ) = 2x 9x 2 : x + x 2 + x 3 = 6, x + 3x 2 + x 4 = 3, x 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, gdzie x 3, x 4 sązmiennymidopełniającymi.mamy [ ] [ ] 0 6 A =, b =, c = [2, 9, 0, 0] T [ ] 0 Szukamymacierzy B,dlaktórej B b 0.Weźmy B = [a 3, a 4 ] =, 0 wówczas B = Bi B b = b 0.Liczymy c T B B N c T N : [ ][ ] 0 c T B B N c T N = [0, 0] [2, 9] = [ 2, 9] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 Obliczamy y 2 = B a 2 = =.Ponieważ 0,tokonstruujemy nowy punkt ekstremalny. Mamy { } { bi 6 λ = min ; y 2i > 0 = min i=3,4 y 2i i=3,4, 3 } =, 3 [ ] e v 2 = 2 B, x = x + λv a 2 = =

22 Teraz B = [a 2, a 3 ] = c T B B N c T N : 2. METODA SYMPLEKSOWA 22 [ ],wówczas B 3 0 = c T B B N c T N = [ 9, 0] [ [ ][ ] [ 0 Obliczamy y = B a = 3 = konstruujemy kolejny punkt ekstremalny. Mamy [ ] 0 3. Ponownie liczymy 3 ][ ] 0 [2, 0] = [, 3] 0. ].Ponieważ { } { } bi 5 λ = min ; y i > 0 = min i=2,3 4 = 5 y i 4, 3 0 x = x + λv = Terazprzyjmujemy B = [a, a 2 ] = Liczymy c T B B N c T N : c T BB N c T N = [2, 9] [ [ [ ] 3 4 0,to 3 = ] [ 3,wobectego B = 4 4 ][ ] 0 [0, 0] = [ 3 0 4, 4 ] < 0. Zatemkończymyobliczeniaiotrzymujemywartośćoptymalną f(x, x 2 ) = 2x 9x 2 = = 5 4. Lemat2.6.Niech B, B M m m (R)będąmacierzaminieosobliwymi różniącymisięjednąkolumną,tzn. B = [a, a 2,...,a l, a l, a l+,...,a m ], B = [a, a 2,...,a l, a k, a l+,...,a m ]orazniech B a k = y = [y, y 2,...,y m ] T. Wówczas B = FB,gdziemacierz Fposiadajedynkinagłównejprzekątnej, l-tąkolumnępostaci f l = y l [ y, y 2,..., y l,, y l+,..., y m ] T,a na pozostałych miejscach zera. Dowód. B = B + (a k a l )e T l = B + (a k Be l )e T l = B(I + B (a k Be l )e T l ) = B(I + (B a k e l )e T l ) = B(I + (y e l)e T l ),zatem B = (I + (y Ie l )e T l ) B. 4 4 ].

23 2. METODA SYMPLEKSOWA 23 Trzebapokazać,że F = (I + (y Ie l )e T l ).Zauważmy,że I + (y Ie l )e T l jestmacierząjednostkowązl-tąkolumną y.ponadto det(i + (y Ie l )e T l ) = y l 0. Przykład2.7.Znaleźćmaksimumfunkcji f(x, x 2 ) = x + 2x 2 przy warunkach x + x 2 5, x + x 2 0, 3x + 7x 2 27, x 0, x 2 0. Przeformułowanie i zmiana warunków funkcji: znaleźć minimum funkcji f(x, x 2 ) = x 2x 2 przywarunkach x + x 2 + x 3 = 5, x x 2 + x 4 = 0, 3x + 7x 2 + x 5 = 27, x 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, gdzie x 3, x 4, x 5 sązmiennymidopełniającymi.mamy A = 0 0, b = 0, c = [, 2, 0, 0, 0] T Szukamymacierzy B,dlaktórej B b 0.Weźmy B = [a 3, a 4, a 5 ] = ,wówczas B = Bi B b = b 0, x T = [0, 0, 5, 0, 27].Liczymy 0 0 c T B B N c T N : 0 0 c T BB N c T N = [0, 0, 0] 0 0 [, 2] = [, 2]

24 2. METODA SYMPLEKSOWA Obliczamy y 2 = B a 2 = 0 0 =. Ponieważ 0, to konstruujemy nowy punkt ekstremalny. Mamy { } { bi 5 λ = min ; y 2i > 0 = min i=3,4,5 y 2i, 27 } = , [ ] e v 2 = 2 0 B, x = x + λv a 2 = = Terazzamiast B = [a 2, a 3, a 4 ] = 0, możemy rozważać łatwiejszą dodalszychobliczeńmacierz B = [a 3, a 4, a 2 ] = 0.Mamy B = FB 7 = F = 0 7, B 7 7 b = = 27 7, l = 3, y l = Przykład 2.8. Przedstawimy rozwiązanie zagadnienia z Przykładu. wykorzystując tablice sympleksowe. Nasz PL-model ma następującą postać. Znaleźćmaksimumfunkcji f(x, x 2 ) = 3x + 2x 2 przywarunkach x + x 2 + x 3 = 9, 3x + x 2 + x 4 = 8, 3x + x 5 = 7, 3x 2 + x 6 = 6, x 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0, gdzie x 3, x 4, x 5, x 6 sązmiennymidopełniającymi.mamy A = , b = 8 7, c = [3, 2, 0, 0, 0, 0]T

25 2. METODA SYMPLEKSOWA 25 Tablica sympleksowa dla powyższego zagadnienia wygląda następująco: Początkowymrozwiązaniemdopuszczalnymjest x = 0, x 2 = 0, x 3 = 9, x 4 = 8, x 5 = 7, x 6 = 6.Ponadto B = [a 3, a 4, a 5, a 6 ] = , N = [a, a 2 ] = 3 0.Największymdodatnimwspółczynnikiemfunkcjicelujest 3,zatem x wchodzidonowychzmiennychbazowych.abysprawdzić, 0 która ze zmiennych opuszcza zbiór zmiennych bazowych liczymy odpowiednieminimum: min{ 9, 8, 7} = 8 = 6.Zatem x 3 3 4opuszczazbiórzmiennych bazowych.mamyteraz B = [a, a 3, a 5, a 6 ]oraz N = [a 2, a 4 ] Stosując eliminację Gaussa oraz dokonując odpowiednich uproszczeń otrzymujemy następującą tablicę sympleksową: Jedynymdodatnimwspółczynnikiemfunkcjicelujestteraz 2,czyli x 2 wchodzi do zbioru nowych zmiennych bazowych. Liczymy odpowiednie minimum: min{ 9 2, 8, 6 } = 9 2.Zatemzmienna x 3opuszczazbiórzmiennychbazowych. Mamyteraz B = [a, a 2, a 5, a 6 ]oraz N = [a 3, a 4 ].

26 2. METODA SYMPLEKSOWA Stosując eliminację Gaussa oraz dokonując odpowiednich uproszczeń otrzymujemy następującą tablicę sympleksową: Ponieważ nie ma już dodatnich współczynników funkcji celu otrzymujemy wartośćoptymalną f(x, x 2 ) = 3x + 2x 2 = 3(4 2 ) + 2(4 2 ) = Problem znalezienia pierwszego punktu ekstremalnego Przypomnijmy,żeszukamy min c T x,przyzałożeniach Ax = b, x 0,rz(A) = m, b R m. W podanym wcześniej algorytmie sympleks w kroku pierwszym zakładamy istnienie punktu ekstremalnego. Z Twierdzenia 2.6 wynika, że znalezienie początkowego punktu ekstremalnego związane jest z rozbiciem macierzy A na macierze Boraz Ntak,aby B b 0.WPrzykładach2.5i2.7mieliśmy napoczątku B = I, b 0. Dwuetapowy sposób znajdowania pierwszego punktu ekstremalnego(bazowego) Zakładamy,że b 0.Jeśli b i < 0,tomnożymyodpowiednierównanieprzez [ ] x -. Rozpatrzmy pomocnicze zagadnienie minimalizacji. Mamy [AI] = bi y szukamy następującego minimum ( ) min m y i, i=

27 2. METODA SYMPLEKSOWA 27 gdzie Ax + Iy = b, x 0, y 0.Dorozwiązaniazagadnienia ( )stosujemy metodę sympleks, ponieważ ma ono początkowe [ ] rozwiązanie dopuszczalne. 0 Zaczynamynastępująco B = I, B b =, x = 0, y = b.jeśliznajdziemy b optymalnerozwiązaniebazowedla ( ),takieże m i= y i = 0,tootrzymamy takżebazędającąrozwiązanie x B (czyli Ax = b).jeśli ( )posiadadodatnie minimum,toniemarozwiązaniadopuszczalnegodla Ax = b, x 0.Mamy Etap I- znalezienie rozwiązania dopuszczalnego dla Ax = b, x 0 lub stwierdzenie, że nie istnieje takie rozwiązanie. Etap II- użycie rozwiązania z etapu pierwszego do rozwiązania następującegozagadnienia:znaleźćminimum c T xprzywarunkach Ax b, x 0. Mamy Przykład 2.9. Niech dany będzie następujący układ równań: 2x + x 2 + 2x 3 = 4, 3x + 3x 2 + x 3 = 3, x 0, x 2 0, x 3 0. A = [ ] 2 2, b = 3 3 [ ] 4. 3 Rozważmy pomocnicze zagadnienie minimalizacji. Znaleźć minimum funkcji f(y, y 2 ) = y + y 2 przywarunkach Mamy [AI] [ ] x = y 2x + x 2 + 2x 3 + y = 4, 3x + 3x 2 + x 3 + y 2 = 3, x 0, x 2 0, x 3 0, y 0, y 2 0. [ ] x x 2 x 3 y y 2 = [ ] 4 = b, c = [0, 0, 0,, ] T. 3

28 Ponadto B = c T N : 2. METODA SYMPLEKSOWA 28 [ ] 0,wówczas B 0 = Bi B b = b 0.Liczymy c T B B N [ ][ ] c T B B N c T N = [, ] [0, 0, 0] = [5, 4, 3] Obliczamy y = [ ] 2 0,tokonstruujemynowypunkteks- 3 tremalny. Mamy Teraz B = [ ] 2.Ponieważ 3 [ ] 2,wówczas B 3 0 = [ 0 c T B B N c T N = [0, ] ][ ] [ { 4 λ = min 2, 3 } =, x = = [ ] oraz 3 ][ ] 2 0 [0, 0, ] = [, 4 3 3, 5 3 ] 0. [ ] Obliczamy y 2 = 3 = 0, zatem konstruujemy kolejny punkt ekstremalny. Mamy 0 0 λ =, x = = [ ] [ ] 2 0 Teraz B =,wobectego B 0 = oraz 2 [ ][ ] c T B B N c T N = [0, ] [0, 0, ] = [ 4, 5, 3] <

29 2. METODA SYMPLEKSOWA 29 Zatemkończymyobliczeniaiotrzymujemywartośćoptymalną f(y, y 2 ) = y + y 2 = = 3.Ponieważotrzymaliśmydodatnieminimum,toniema rozwiązaniadopuszczalnegodla Ax = b, x 0. Przykład2.20.Znaleźćminimumfunkcji f(x, x 2, x 3 ) = 2x + x 2 2x 3 przy warunkach x + 2x 2 + x 3 = 7, Mamy 2x + 3x 2 + x 3 = 2, x 0, x 2 0, x 3 0. A = [ ] [ ] 2 7, b = Rozważmy pomocnicze zagadnienie minimalizacji. Znaleźć minimum funkcji f(y, y 2 ) = y + y 2 przywarunkach Mamy [AI] Ponadto B = [ ] x = y x + 2x 2 + x 3 + y = 7, 2x + 3x 2 + x 3 + y 2 = 2, x 0, x 2 0, x 3 0, y 0, y 2 0. [ ] x x 2 x 3 y y 2 = [ ] 7 = b, c = [0, 0, 0,, ] T. 2 [ ] 0,wówczas B 0 = Bi B b = b 0.Liczymy c T B B N c T N : [ ][ ] 0 2 c T B B N c T N = [, ] [0, 0, 0] = [3, 5, 2] [ ] [ ] 2 2 Obliczamy y 2 =.Ponieważ 0,tokonstruujemynowypunktekstremalny. Mamy { λ = min 2, 2 } = 7 3 2,

30 2. METODA SYMPLEKSOWA x = = [ ] [ 2 0 ] Teraz B =,wówczas B 3 0 = 2 3 oraz 2 [ ][ ] c T BB N c T 0 N = [0, ] 2 3 [0, 0, ] = [ , 2, 5 2 ] 0. [ ][ ] [ 0 Obliczamy y = 2 ] 3 = 2 0, zatem konstruujemy kolejny punkt ekstremalny. Mamy λ = 3, x = = Teraz B = [ ] 2,wobectego B 2 3 = c T B B N c T N = [0, 0] [ [ ] 3 2 oraz 2 ] [ ] 0 [0,, ] = [0,, ] < 0. 0 Otrzymujemywartośćoptymalną f(y, y 2 ) = y + y 2 = = 0.Zatem mamyrozwiązaniedopuszczalnedla Ax = b, x 0. Powróćmy do rozwiązania zagadnienia początkowego. Wykorzystując powyższe obliczenia mamy [ ][ ] 3 2 c T B B N c T N = [2, ] [ 2] = [] 0. 2 [ ][ ] [ ] 3 2 Obliczamy y 3 = = 0, zatem konstruujemy kolejny 2 punkt ekstremalny. Mamy 3 5 λ = 2, x = =

31 Teraz B = 2. METODA SYMPLEKSOWA 3 [ ] [ ],wobectego B 2 = oraz 2 [ ][ ] 2 c T B B N c T N = [2, 2] [] = [ ] < Zatemkończymyobliczeniaiotrzymujemywartośćoptymalną f(x, x 2, x 3 ) = 2x + x 2 2x 3 = 0 4 = 6. Zbieżność i złożoność czasowa Metoda sympleks opiera się na fakcie, że optymalna wartość programu liniowego, jeśli istnieje, jest zawsze osiągnięta w rozwiązaniu bazowym. Niezdegenerowanym bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym nazywamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne, w którym wszystkie zmienne bazowesądodatnie(x B > 0).Przyzałożeniu,żewszystkiebazowerozwiązania dopuszczalne są niezdegenerowane, metoda sympleks znajduje rozwiązanie optymalne w skończonej liczbie iteracji, ponieważ liczba możliwych baz jest skończona i żadna z nich nie powtarza się. W przypadku degeneracji możemy spotkaćciągiteracji,generującytakiciągbaz B i, B i+,...,b j,żewszystkie odpowiadają temu samemu bazowemu rozwiązaniu dopuszczalnemu i tej samejwartościfunkcjicelu.możesięrównieżzdarzyć,że B i = B j imetoda sympleks wejdzie w cykl nieskończony. Dodajmy również, że istnieją przykłady pokazujące, iż złożoność czasowa metody sympleks nie jest ograniczona wielomianowo. Dolne ograniczenie czasu działania tej metody jest wykładnicze Dualna metoda programowania liniowego Szukamy przy założeniach maxy T b y T A c T, y R m (niezakładasię,że y 0). Zauważmy,że y T b = y T Ax c T x, x 0.Załóżmy,że y T b = c T x, Ax = b, A T y cdlapewnych xoraz x.wtedy(ćwiczenia) y, xsąrozwiązaniami

32 2. METODA SYMPLEKSOWA 32 optymalnymidlaodpowiednichzagadnień(xdlaszukaniaminimum c T xprzy warunkach Ax = b, x 0,aydlaszukaniamaksimum y T bprzywarunkach y T A c T ). Zagadnienie min c T x, Ax = b, x 0,będziemynazywaćprymalnym. Znane jest nastepujące twierdzenie. Twierdzenie 2.2. Jeśli jedno z zadań programowania liniowego(prymalne lub dualne) posiada skończone rozwiązanie, to takie rozwiązanie posiada drugie z tych zadań. Ponadto wartości funkcji celu obu powyższych zagadnień są takie same. Załóżmy,że x B = B b jestrozwiązaniem(dopuszczalnymioptymalnym)dlazagadnieniaprymalnego(min c T x, Ax = b, x 0).Niech y T = c T B B.Wiemy,że c T N ct B B N 0stąd c T B B N c T N.Okazujesię,że wektor y T = c T B B jestrozwiązaniemoptymalnymzagadnieniadualnego. Mamy y T A = y T [BN] = [c T B B B, c T B B N] [c T B, ct N ] = ct jak również równość funkcji celu y T b = c T B B b = c T B x B = c T B x B + c T N x N = [ ] = [c T B, ct N ] xb = c T x. x N Zatemjeślizagadnienieprymalneposiadarozwiązanieoptymalne x B = B b, tozagadnieniedualnemarozwiązanieoptymalne y T = c T B B,któremożna bez trudności policzyć, ponieważ macierz odwrotna do bazy jest znana. Związek pomiędzy rozwiązaniami optymalnymi x oraz y podaje następujące twierdzenie. Twierdzenie 2.22(o różnicach dopełniających). Jeżeli x, y są odpowiednio punktami ekstremalnymi dla zagadnienia prymalnego i dualnego, to są one rozwiązaniami optymalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i spełnione są warunki (i)jeśli x i > 0,to y T a i = c i (ii)jeśli y T a i < c i,to x i = 0, gdzie a i oznacza i-tąkolumnęmacierzy A. Z powyższego twierdzenia bezpośrednio wynika następujący fakt.

33 2. METODA SYMPLEKSOWA 33 Wniosek Jeżeli x, y są odpowiednio rozwiązaniami optymalnymi dla zagadnienia prymalnego i dualnego, to (c T y T A)x = 0. Algorytm dualny sympleks Danejestrozwiązaniebazowe x B = B btakie,żewektor y T = c T B B spełnianierówność c T N yt N 0. Krok.Jeśli x B 0,to x B jestrozwiązaniemoptymalnymiobliczenia sązakończone.wprzeciwnymraziewybraćujemnąskładową x B,niechtą składowąbędzieskładowaonumerze l(zmienna x l zostajeusuniętazezbioru zmiennych bazowych, a l-ta kolumna w macierzy A zostaje usunięta z bazy B). Krok2.Obliczyć b l a j = u lj dla j = m+, m+2,...,n,gdzie b l jest l-tym wierszemmacierzy B, a j j-tąkolumnąmacierzy A.Jeśliwszystkie u lj 0, to zagadnienie dualne nie ma skończonego rozwiązania. W przeciwnym razie dlawszystkich j = m +, m + 2,...,ntakich,że u lj < 0obliczyć z j = y T a j = c T B B a j oraz wyznaczyć Niech ε = z k c k u lk macierzy A). ε = min{ z j c j u lj ; u lj < 0}. (k-takolumnamacierzy Azastępujewbazie l-tąkolumnę Krok3.Obliczyćnowywektor y T wnastępującysposób: y T = y T εb l. Krok4.Uaktualnićodwrotnąmacierzbazową B orazobliczyćnowe rozwiązanie x B = B b. Krok 5. Wrócić do kroku pierwszego.

34 2. METODA SYMPLEKSOWA 34 Uwaga2.24.Nowązmienną ymożnaobliczyćtakjakwkroku3lub wykorzystujączależność y T = c T B B potym,gdymacierz B zostałauaktualniona.wartośćdualnejfunkcjicelu y T bjestzwiększanawkażdejkolejnej iteracji. Procedura dualna sympleks zostaje zakończona po skończonej liczbie kroków,gdy x B Elementy programowania całkowitoliczbowego Rozważmy zagadnienie optymalizacji z kawałkami liniowym ograniczeniem lub funkcją celu jednej zmiennej przedstawione na poniższym rysunku f(y) y y 2 y 3 y n-2 y n- y n y Dowolnawartość yleżącapomiędzy y oraz y n możebyćprzedstawiona wpostaciwypukłejkombinacjizmiennych y i oraz y i+ wnastępującysposób: y = λ i y i + λ i+ y i+,gdzie λ i + λ i+ =, λ i, λ i+ 0.Podobnie f(y) = λ i f(y i ) + λ i+ f(y i+ ).Zapomocązmiennychcałkowitoliczbowych możemywyrazić f(y)wcałymprzedziale [y, y n ]wnastępującysposób: f(y) = n λ i f(y i ), i= gdzie n λ i y i = y, i= n λ i =, λ i 0, i =, 2,..., n, λ x, λ i x i + x i, i= i = 2, 3,..., n, λ n x n, n x i =, x i = 0 lub x i =, i =, 2,..., n. i=

35 2. METODA SYMPLEKSOWA 35 Tylkojednazmienna x i możeprzyjąćwartośćrówną,astądtylko λ i oraz λ i+ mogąbyćniezerowe,czyli λ i + λ i+ =.Mamyzatemdoczynienia zezmiennymizero-jedynkowymi x, x 2,...,x n,któreokreślająprzedział zawierający yorazzezmiennymiciągłymi λ, λ 2,..., λ n,któredokładnie określają wartość y. Powyższa technika może być użyta do przybliżania funkcji nieliniowych funkcjami kawałkami liniowymi i do przekształcania zagadnień z nieliniowymi funkcjami celu do zagadnień całkowitoliczbowych programowania liniowego. W przypadku ogólnym nie można rozwiązywać zagadnień całkowitoliczbowych za pomocą metody sympleks i należy posługiwać się specjalnymi technikami obliczeniowymi. Poniżej przedstawimy jedną z nich, a mianowicie metodę dualną Gomory ego. Metoda ta jest bezpośrednim rozwinięciem dualnej metody sympleks. Różnica polega na tym, że w metodzie całkowitoliczbowej wiersz zawierający element główny jest generowany w każdej iteracji i wartość tego elementu wynosi-. Zapewnia to całkowitoliczbowość dualnej metody sympleksowej. Algorytm redukuje obszar dopuszczalności do takiego, aby jego wierzchołek optymalny był całkowitoliczbowy. Leksykograficzna postać dualnej metody sympleks Rozważmy następującą dualną tablicę sympleksową Zmienna Stała x m+ x m+2... x k... x n x 0 p 00 p 0,m+ p 0,m+2... p 0k... p 0n x p 0 p,m+ p,m+2... p k... p n x l p l0 p l,m+ p l,m+2... p lk... p ln x m p m0 p m,m+ p m,m+2... p mk... p mn x m x m x k x n

36 2. METODA SYMPLEKSOWA 36 gdzie x l jestzmiennąopuszczającąbazę, x k zmiennąwchodzącądobazy, natomiast p lk jestelementemgłównym.powyższatablicaodpowiadazagadnieniu całkowitoliczbowemu w postaci: ( )znaleźćminimum x 0,przywarunkach x i = p i0 + j J p ij ( x j ), x i 0, x i Z, i =, 2,..., n, natomiast J jest zbiorem wskaźników niebazowych zmiennych. W powyższej tablicy wygodnie jest założyć, że pierwsze m zmiennych jest bazowych. Zapiszmy nasze zagadnienie w postaci wektorowej, mamy: znaleźćminimum x 0,przywarunkach x = p 0 + j J p j ( x j ), x i 0, x i Z, i =, 2,..., n. Wektor v 0 nazywamy leksykograficznie dodatnim(ujemnym), jeśli pierwsza jego niezerowa składowa jest dodatnia(ujemna). Gdy wektor v jest leksykograficzniedodatni(ujemny),topiszemy v > l 0(v < l 0).Wektor vjest leksykograficzniewiększy(mniejszy)odwektora w,jeżeli v w > l 0 (v w < l 0).Ciągwektorów v t, t =, 2,...nazywamyleksykograficznie malejącym(rosnącym),jeśli v t v t+ > l 0(v t v t+ < l 0).Zatemwleksykograficznym algorytmie dualnym zagadnienie ( ) przedstawiamy w sposób następujący: znaleźć leksykograficzne minimum x, przy warunkach x = p 0 + j J p j ( x j ), x 0. Zmienną x l opuszczającąbazęwyznaczasiętaksamojakwzwykłejmetodzie dualnej tzn. p l0 = min{p i0 ; p i0 < 0, i m}. Zmienną x wchodzącą do bazy znajdujemy za pomocą testu p lk p k = lex max{ p lj ; p lj < 0, m + j n},

37 2. METODA SYMPLEKSOWA 37 gdzie lex max oznacza maksimum leksykograficzne. Przekształcenie elementarnewzględem p lk przekształcapowyższątablicęwnowątablicęzkolumnami ( ) p j = p j p lj p lk p k, dla j k, p k = p lk p k. Jeżeli początkowa tablica jest dualnie dopuszczalna w sensie leksykograficznym(tzn.wektory p j, j = m+, m+2,..., nsąleksykograficznieujemne), towzory ( )gwarantują,żenowewektorykolumnowe p j sąrównieżleksykograficznie ujemne. Uwaga2.25.Możnapokazać,żerozwiązaniebazowe p 0 jestściślerosnące(w sensie leksykograficznym) w każdej iteracji oraz że żadna baza nie powtórzy się. Zarys metody dualnej Gomory ego. Metoda Gomory ego rozpoczyna działanie od tablicy całkowitoliczbowej i leksykograficznie dualnie dopuszczalnego rozwiązania, to znaczy wektory p j, j = m +, m + 2,...,nsąleksykograficznieujemnedlazagadnienia minimalizacji oraz dodatnie dla zagadnienia maksymalizacji. Algorytm jest następujący: Krok.Wybraćwierszonumerze r,wktórym p r0 < 0, r 0.Jestto wiersz generujący tzw. cięcie. Jeżeli wiersza takiego nie ma, to bieżące rozwiązanie jest optymalne. Krok2.Znaleźćkolumnę p k zelementemgłównym,którajestnajwiększa wsensieleksykograficznymwśródkolumn,dlaktórych p rj < 0.Jeślitakiej kolumny nie ma, to brak jest dopuszczalnego rozwiązania całkowitoliczbowego. Krok 3. Utworzyć nierówność(tzw. odcinającą) z wiersza r-tego, który nie jest spełniony przez bieżące rozwiązanie prymalne. Nowy wiersz jest dołączonynadoletablicyijesttowierszzelementemgłównymrównym-. Krok 4. Wykonać jedno przekształcenie elementarne dualnej metody sympleks.

38 2. METODA SYMPLEKSOWA 38 Krok 5. Usunąć dodany wiersz, który jest teraz trywialny(x = ( x)) iwrócićdokroku. Sposób otrzymania nierówności odcinającej Przypuśćmy, że wybrano wiersz o numerze r w tablicy dualnej, jako generujący cięcie(przez cięcie rozumiemy dodatkowe ograniczenie posiadające tę własność, że odcina część zbioru rozwiązań dopuszczalnych nie gubiąc przy tym żadnego rozwiązania całkowitoliczbowego) x r = p r0 + j J p rj ( x j ). Niech λ będzie liczbą dodatnią. Każda liczba p spełnia równość [ p (i) p = λ + R, λ] gdzieprzez [z]oznaczamyczęśćcałkowitąliczby zoraz 0 R < λ.po zastosowaniu (i) do wiersza generującego, otrzymujemy (ii) [ pr0 ] R j x j +R r x r = R 0 +λ( + [ prj ] [ ] ( x j )+ ( x r )) = R 0 +λx. λ λ λ j J j J Dla dowolnego nieujemnego rozwiązania spełniającego (ii) wartość [ pr0 ] (iii) x = + [ prj ] [ ] ( x j ) + ( x r ) λ λ λ j J musi być całkowita, ponieważ wszystkie współczynniki w (iii) są całkowite. Ponadto x 0,bo 0 R 0 < λijeśli xjestujemnąliczbącałkowitą,to R 0 + λx < 0.Jednakostatnianierównośćniejestmożliwa,ponieważlewa stronaw(ii)jestnieujemna.zatem x 0.Gdywybierzemy λ,wówczas nierówność x 0 uprości się do postaci (iv) [ pr0 λ ] + j J [ prj λ ] ( x j ) 0.

39 2. METODA SYMPLEKSOWA 39 Niech π rj = [ p rj ] λ,wówczascałkowitoliczbowecięciegomory egookreślone jest następująco: (v) x = π r0 + π rj ( x j ) 0. j J Ograniczenie (v) jest wierszem głównym, a x jest nową nieujemną zmienną dodatkową. Wyznaczymy teraz wartość λ. Wyznaczanie wartości λ. Krok.Znaleźćkolumnęgłówną ktak,aby p k = lex max{p j ; j J}, gdzie J = {j; p rj < 0, j 0},ar-tywierszgenerujecięcie. Krok2.Wyznaczyćnajwiększąliczbęcałkowitą e j,takąże Ponadtoniech e k =. e j p j l p k, j J, j k. Krok3.Przyjąć λ = max{λ j = p rj e j ; j J}. Uwaga 2.26.(i) Wyprowadzając zależność (iv) założyliśmy, że λ. Nierównośćtajestspełniona,ponieważ λ λ k = p rk.jeśli λ =, to wiersz generujący jest wierszem zawierającym element główny i nie ma nowego ograniczenia. (ii) Zgodnie z wyprowadzeniem, λ nie musi być całkowite. Wybierając taką wartość λ, otrzymamy jako element główny oraz wiersz główny, który dajenajwiększyleksykograficzniewzrostkolumny p 0. Całkowitoliczbowy algorytm dualny Gomory ego. Zakładamy,żekolumny p j, j = m +, m + 2,...,nsąleksykograficznie dualnie dopuszczalne. Krok.Jeśli p 0 0,torozwiązanieprymalnejestdopuszczalneioptymalne, a obliczenia się kończą. W przeciwnym razie wybrać taki wiersz generującycięcie,że p r0 < 0.

40 2. METODA SYMPLEKSOWA 40 Krok2.Znaleźćtakąkolumnęgłówną p k, m + k n,abybyłaonaleksykograficznienajwiększawśródkolumn,dlaktórych p rj < 0. Jeżeliwszystkie p rj 0,towówczasnieistniejedopuszczalnerozwiązanie całkowitoliczbowe. W przypadku przeciwnym przejść do kroku 3. Krok3.Dlakażdego j J, j kznaleźćnajwiększąliczbęcałkowitą e j taką,że e j p j p k.następniepodstawić e k = orazobliczyć λ = max{ p rj e j ; j J}. Krok 4. Do tablicy dualnej dołączyć ograniczenie x = π r0 + j J π rj ( x j ) 0. Krok 5. Wybrać jedno dualne przekształcenie elementarne używając π rk = jakoelementugłównego. Krok 6. Usunąć dodane ograniczenie, które stało się trywialne i wrócić dokroku. Uwaga W kroku powyższego algorytmu do wyznaczenia wiersza generującegocięciemożnawybraćnajmniejsze p i0 < 0. Przykład2.28.Znaleźćminimumfunkcji f(x, x 2 ) = x 0 = 3x + 5x 2 przy warunkach x 3 = 5 + x + 4x 2 0, x 4 = 7 + 3x + 2x 2 0, x, x 2, x 3, x 4 0, x, x 2, x 3, x 4 Z. Dualna tablica sympleksowa dla powyższego zagadnienia wygląda następująco: Zmienna Stała x x 2 x x x

41 2. METODA SYMPLEKSOWA 4 Trywialne ograniczenia z pojedyńczym elementem równym- zostały pominięte.niechwierszemgenerującymbędziewiersz,któryzawiera x 4,akolumną głównąkolumnapierwsza(k = ).Wartości e j sąnastępujące e =, e 2 =. Zatem λ = max{ p rj e j ; j J} = max{ 3, 2 } = 3. Liczymy dodatkowe ograniczenie [ ] [ ] 7 3 x 5 = + ( x ) Nasza tablica ma następującą postać: [ 2 x 5 = 3 + x + x 2 0. Zmienna Stała x x 2 x x x x ] ( x 2 ) 0, Wymieniamyterazzmienną x nazmienną x 5,czylijesttoprzekształcenie elementarnezelementemgłównym p 5 =.Mamy x 0 = 9+3x 5 +2x 2, x = 3+x 5 x 2, x 3 = 2+x 5 +3x 2, x 4 = 2+3x 5 x 2. Nowa tablica wygląda zatem następująco: Zmienna Stała x 5 x 2 x x 3 x x Po usunięciu dodanego ograniczenia mamy: Zmienna Stała x x 2 x x x 4 2 3

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Justyna Kosakowska i Piotr Malicki. Badania operacyjne. (Kurs letni 2009) Materiały dydaktyczne dla studentów I-go roku matematyki

Justyna Kosakowska i Piotr Malicki. Badania operacyjne. (Kurs letni 2009) Materiały dydaktyczne dla studentów I-go roku matematyki Justyna Kosakowska i Piotr Malicki Badania operacyjne (Kurs letni 2009) Materiały dydaktyczne dla studentów I-go roku matematyki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 2009

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo