Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe

Transkrypt

1 Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe Równania Maxwella roth rot D t B t = = przy czym tym razem wektor indukcji elektrycznej D ε + = ( ) Wektor polaryzacji jest nieliniową funkcją natężenia pola elektrycznego

2 Wektor polaryzacji składowa liniowa = ε χ + składowa nieliniowa Równanie falowe dla jednej ze składowyc z v t = Φ gdzie źródło Φ = µ ropagująca się fala (t) w ośrodku generuje dodatkowo inną falę związaną z funkcją (t) t Część nieliniową można rozłożyć w szereg ( ) () (3) 3 t = χ + 4χ... + nieliniowości różnego rzędu χ (m) (m =,,..) - współczynniki podatności elektrycznej

3 Generalna uwaga Zespolona postać równania armonicznej exp(iωt) była wygodna w optyce liniowej Teraz z powodu potęgowania ( t) =Re[ exp( iωt) ] Ale dla funkcji zespolonej Z [ ] ( Re Z =.5 Z + Z ) a więc ( t) = Re[ exp( iωt) ] =.5 exp( iωt) +.5 exp( iωt)

4 Nieliniowość drugiego rzędu χ () Zastosowania: Generowanie drugiej armonicznej Zjawisko elektrooptyczne Mieszanie fal OO przestrajalny laser

5 Generowanie drugiej armonicznej Fala padająca ( t) =Re[ exp( iωt) ] = χ Fala wywołana [ ] ( ).5 exp( iωt) +.5 exp( iωt) = Re = χ { [ exp( i t) ]} () χ ω [ ] x ( ).5 exp( iωt) +.5 exp( iωt) = χ + onieważ ( ) ( ) = gdzie stała ( ) () ( t) = ( ) + Re[ ( ω) exp( iωt) ] () amplituda drugiej armonicznej ( ) = χ () ω = χ

6 Generowanie drugiej armonicznej cd oglądowe wyjaśnienie (t) (t) Fala padająca ( t) ( ) = ( t) =Re[ ( ω) exp( iωt) ]

7 Generowanie drugiej armonicznej cd Φ () = µ 4 = µ ω χ Re ω t [ ( ω) exp( i t) ] [ ] 4 () Intensywność drugiej armonicznej I ω χ ( ω) I gdzie I (ω) intensywność fali padającej Fala wygenerowana I ω i padająca I (ω) są koerentne i mają różną prędkość fazową ω

8 Generowanie drugiej armonicznej cd I ω Druga armoniczna I ω I ω Wzmocnienie następuje przy zgodności faz obu fal Wtedy wysoka sprawność przemiany łytki kryształów dwójłomnyc mają odpowiednią grubość i są ustawione pod odpowiednimi kątami

9 Metody generowania drugiej armonicznej

10 = χ () Zjawisko elektrooptyczne ołączenie stałego pola elektrycznego z padającą falą armoniczną = [ exp( iωt) ] = +.5 exp( iωt) +.5 exp( i t) + Re ω Dla składowej nieliniowej wektora polaryzacji χ ( ) = +.5 exp( iωt) +.5 exp( iωt) + exp ( iωt) + exp( iωt) + + χ ( ) = + + 4Re[ exp( iωt) ] + Re exp( iωt) [ ]

11 Zjawisko elektrooptyczne cd Składowa nieliniowa wektora polaryzacji ( t) = ( ) + Re[ ( ω) exp( iωt) ] + Re[ ( ω) exp( iωt) ] gdzie )[ ( ( ) ] = χ + ( ) ( ω) = 4χ ( ) ( ω) = χ χ = 4χ ( ) ( ) dla >> omijalnie małe Wektor ma trzy składowe o częstotliwościac ω i ω i odpowiednic amplitudac

12 Zastosowanie Gdyby >> Zjawisko elektrooptyczne cd amplituda fali propagującej się jest pomijalnie mała w porównaniu z wartością stałego pola elektrycznego ( ) + Re[ ( ω) exp( iωt) ] gdzie ( ) ( ) χ ( ) ( ω) = 4χ () oglądowe wyjaśnienie (t)

13 Zastosowanie cd onieważ wektor polaryzacji padająca fala to dla propagującej się armonicznej o częstotliwości ω więc ( ) ( t) ε χ + 4χ pomija się () Zjawisko elektrooptyczne cd ( t) = ε χ( t) + ( t) ( t) =Re exp( i t) [ ] ω, ω = Re ( ) ( ω) = 4χ [ ] 4χ = Re[ exp ( iωt) ] = ε χ + Re ε ( ) [ ( ω) exp( iωt) ] [ exp ( i t) ] ω ( t) = ε ( χ + χ) Re[ exp( i t) ] ω gdzie zmiana podatności elektrycznej zależy od wartości stałego pola χ = ( ) 4χ ε

14 Zastosowanie cd χ = ale znany związek współczynnika załamania ( ) 4χ ε n = + χ. z podatnością elektryczną lub n =+ χ rzyłożenie stałego pola elektrycznego o wartości powoduje zmianę współczynnika załamania o wartość n n n = χ = ( ) 4χ ε Ostatecznie n = χ nε ( ) (t) Zmiana fazy fali (t) za pomocą pola elektrycznego Jak modulator ockelsa

15 Mieszanie dwóc fal armonicznyc = χ ( t) =Re[ exp( iω t) + exp( i t) ] ω () [ ] ( t) =.5 exp( iω t) + exp( iω t) + exp( iω t) + exp( i t) ω 4 = exp + ( iωt) + exp( iωt) + exp( iωt) + exp( iωt) + [ ( ω + ω ) ] + [ ( ω ω ) ] + exp i t exp i t exp[ i( ω ω ) t] + exp[ i( ω + ω ) t] + + Więc po uporządkowaniu wyrazów χ () = + Re + [ ( )] exp iω t + Re exp( iω t) [ i( ω ω ) t] [ ] { [ t] } { exp } + Re exp i( ω + ω ) + Re +

16 Nieliniowość drugiego rzędu dc Mieszanie dwóc fal padającyc = χ () χ () = + Re + [ ( )] exp iω t + Re exp( iω t) [ ( ω ω ) t] [ ] { [ t] } { exp i } + Re exp i( ω + ω ) + Re + Wektor Nl ma pięć składowyc o częstotliwościac ω ω ω - ω ω + ω i odpowiednic amplitudac

17 Mieszanie fal arametryczny oscylator optyczny OO Optical arametric Oscillator ompowanie laserem ω 3 generuje wiązkę w rezonatorze ω w wyniku mieszania wyprowadzana wiązka ω Zmiana ω zmiana ω = ω - ω 3 przestrajalny laser OO

18 Nieliniowość trzeciego rzędu Trzecia armoniczna i efekt Kerra χ (3) 3 = 4 o podniesieniu (t) = Re[exp(iωt)] do trzeciej potęgi i uporządkowaniu wyrazów χ (3) = 3 cos ( ωt) + 3 cos( 3ωt) (3) Trzecia armoniczna = 3χ cos( 3ωt) 3 (3) 3 fekt Kerra = χ cos( ωt),k Niska sprawność przetwarzania zmiana współczynnika załamania

19 Nieliniowość trzeciego rzędu Zmiana współczynnika załamania Z liniowej elektrodynamiki więc teraz ε n = = + χ ε ( 3) 3χ = εχ + Nl = ε χ + ε 3χ ε ( ω) ( ω) = ε χ 3χ ε = ε [ χ + χ] ( ω) χ = ( ω) = I( ω) (3) I(ω) intensywność fali padającej (3)

20 Zmiana współczynnika załamania onieważ n = + χ n n = χ.5 ε n (3) n = χ I( ω) Współczynnik załamania jest funkcją gęstości mocy padającego promieniowania ( I) n n I n + = gdzie I [W/cm ] n =.5 ε n χ (3) Materiał szkła szkła domieszkowane półprzewodniki n [cm /W]

21 Samomodulacja fazowa I Fala płaska o intensywności I Ośrodek nieliniowy d I Zmiana fazy fali płaskiej po przejściu przez ośrodek całkowicie przezroczysty o grubości d ϕ = k nd = k( n + n I)d Zmiana fazy zależy od gęstości mocy I propagującej się fali Gdyby ośrodek był absorpcyjny nieliniowa zmiana fazy wraz z odległością z propagującej się fali w ośrodku

22 Gaussowski rozkład intensywności fali Samoogniskowanie ognisko Ośrodek nieliniowy Wyższa intensywność generuje wyższy współczynnik załamania Ogniskowanie wiązki gaussowskiej Destrukcyjny wpływ ogniska cieplny wpływ

23 rzestrzenne solitony w ϑ + Ośrodek nieliniowy Rozbieżność wiązki gaussowskiej w ośrodku liniowym + samoogniskowanie wiązki gaussowskiej w ośrodku nieliniowym Może nastąpić wzajemna kompensacja

24 w = const rzestrzenne solitony cd Kompensacja rozbieżności przez samoogniskowanie Rozwiązanie teoretyczne Rozkład amplitud na czole fali V Falowód samoogniskujący ( ρ,z) = V exp i ρ cos w z kw Rozkład intensywności podobny do wiązki gaussowskiej roblem: utrzymanie odpowiednio dużej i stałej mocy wiązki

25 Optyczne solitony Impuls gaussowski U n Fala nośna o częstotliwości kołowej ω z Zmodulowana fala sygnałem A dla z = i t = Rozkład intensywności w impulsie dla z = i t = AUn A O z z

26 Impuls gaussowski w ośrodku dyspersyjnym Impuls ( z, t) = A( z, t) U exp{ i[ ω t k( ) z] } U ω modulacja Harmoniczna o częstotliwości kołowej ω = ω a - ω ( ω) = a(, ω ) exp{ i[ ωt k( ) z] } u a ω rędkość fazowa armonicznej fala nośna z zależności u ω πνλ νλ v = = = k π n Wzrost częstotliwości ν zmniejszanie λ : ( ω) FT [ U( z, t) ] Ośrodek przezroczysty: rośnie n i maleje prędkość fazowa v W paśmie absorpcyjnym (laserowego wzmocnienia) dyspersja anomalna: maleje n i rośnie prędkość v Harmoniczne o różnyc częstotliwościac wzajemnie się przesuwają = c n ( ν)

27 Impuls gaussowski w ośrodku dyspersyjnym cd odczas propagacji armoniczne o różnyc częstotliwościac wzajemnie się przesuwają onieważ rozkład amplitud i faz w odległości z jest sumą propagującyc się armonicznyc + ( z, t) = u( ω) FT [ u( ω) ] podczas propagacji impuls się poszerza U.5 I (z) a z

28 Optyczne solitony Utrzymanie podczas propagacji stałej szerokości impulsu w czasie Kompensacja Zmiana fazy + armonicznyc wraz z λ Samomodulacja fazy wraz z mocą I impulsu dyspersja prędkości grupowej ropaguje się wtedy samotny impuls z angielskiego solitary pulse

29 Optyczne solitony cd W liniowym ośrodku dyspersyjnym w obszarze dyspersji anomalnej promieniowanie o krótszej długości fali propaguje się szybciej Ośrodek liniowy dyspersja anomalna n = n = n t t armoniczna o wyższej częstotliwości (mniejszy okres) dociera szybciej niż armoniczna o większym okresie

30 Optyczne solitony cd Zmiana fazy podczas propagacji impulsu na odległość z ( ) = ω t k [ n + n I( z, t) ] z ϕ n > t Cwilowa częstotliwość kołowa Ośrodek nieliniowy bezdyspersyjny ω i dϕ = dt = ω k n ( z, t) di z dt I impuls Obszar wzrostu I ( z, t) ω i ω di > ωi dt odpowiada mniejszej częstotliwości ω i < ω t Obszar spadku I ( z, t) di dt < ω większa częstotliwość ω i i > ω

31 Ośrodek nieliniowy bezdyspersyjny cd n = n = n t t Wzrost I większy okres armonicznej szybsza propagacja Spadek I mniejszy okres armonicznej wolniejsza propagacja

32 Optyczne solitony Dyspersyjny ośrodek nieliniowy n = n = n t t Wzajemna kompensacja dyspersji prędkości grupowej i samomodulacji fazy Impuls podczas propagacji w ośrodku nie zmienia się

33 Generator solitonów laser Doświadczalnie potwierdzono wynik dla światłowodów pompa Modulator dla syncronizacji fazy sprzęgacz Wyjście: ciąg jednakowyc pikosekundowyc impulsów Ośrodek nieliniowy światłowód Światłowód domieszkowany erbem - wzmacniacz Wzmocnienie w celu podtrzymania mocy propagującego się w pętli solitonu Straty w światłowodac i na wyjście solitonów