MATHCAD Obliczenia symboliczne

Transkrypt

1 MATHCAD Obliczenia symboliczne Przekształcenia algebraiczne UWAGA: Obliczenia symboliczne można wywoływać na dwa różne sposoby: poprzez menu Symbolics poprzez przyciski paska narzędziowego Symbolic Pierwszy sposób, choć może trochę łatwiejszy w użyciu, jest o wiele mniej elastyczny, dlatego w niniejszym opracowaniu ograniczamy się do podania przykładów z zastosowaniem paska narzędziowego Symbolic (można też korzystać z klawiatury ale wygodniejsze w tym przypadku jest używanie myszy) Wzór f := i i = f ( ) ( ) ( ) Opis definicja funkcji zwykłe obliczenie symboliczne (f(), Ctrl) X := 4 f( X) 6 UWAGA: jeżeli zmienna X została zdefiniowana (tak jak tutaj) to w wyrażeniach symbolicznych będzie niestety używana jej wartość a nie symbol X X := X Aby zapobiec takiej sytuacji należy zastosować rekurencyjną definicję zmiennej f( X) ( X ) ( X ) ( X ) teraz znów jest OK!!!! Słowa kluczowe - modyfikatory obliczeń symbolicznych W wielu przypadkach standardowy operator obliczeń symbolicznych -> jest niewystarczający i musimy "podpowiedzieć" Mathcadowi w jakiej postaci chcemy otrzymać wzór Poniżej przedstawiamy listę najczęściej stosowanych modyfikatorów (zob pasek Symbolic) epand - rozwinięcie na składniki f epand 6 6 factor - faktoryzacja - rozkład na czynniki 6 6 factor ( ) ( ) ( ) /9

2 factor [( ) ( ) ] simplify - uprość wyrażenie ( ) ( ) Jeżeli mogą wystąpić potencjalne osobliwości to Mathcad nie upraszcza wyrażeń automatycznie simplify Musimy mu podpowiedzieć żeby starał się możliwie najlepiej uprościć wyrażenie Materiał dodatkowy ( ) simplify Czasami należy pomóc jeszcze bardziej poprzez ograniczenie dziedziny simplify, assume=real - mówi że zmienne są liczbami rzeczywistymi simplify, assume=realrange(a,b) - lub ograniczone w pewnym przedziale csgn simplify, assume = real signum simplify, assume = RealRange 0, Podobnie, ale bardziej precyzyjnie działa klucz assume bo pozwala określać dziedzinę pojedynczej zmiennej Przykład podajemy na końcu tego punktu Do przekształceń trygonometrycznych przydatny jest modyfikator simplify, trig - wykorzystaj ogolnie znane tożsamości trygonometryczne sin sin cos simplify, trig sin tu nie wie co z tym chcemy zrobić tu upraszczamy ale otrzymujemy rozwiązanie w dziedzinie zespolonej dla liczb rzeczywistych - już bez kłopotów podpowiadamy, że jest nieujemne co pozwala jeszcze lepiej uprościć wyrażenie float,m - podaj wynik w postaci liczb rzeczywistych z m cyframi znaczącymi liczba m może być z zakresu przykład - wyznaczenie 0 cyfry po przecinku liczby π m 0!!! π float, /9

3 Materiał dodatkowy f coeffs, coeffs - podaj współczynniki wielomianu f ( ) ( ) ( ) 6 6 Pozostałe modyfikatory stosowane są w bardziej zaawansowanych obliczeniach Część z nich poznamy w dalszej części materiału Przydatnym skrótem klawiaturowym jest CtrlShift (drugi przycisk), który pozwala na wprowadzanie dowolnych modyfikatorów z klawiatury - trzeba jednak wiedzeć co wpisać UWAGA: w jednym regionie można zrealizować serię obliczeń symbolicznych po kolei lub poprzez grupowanie modyfikatorów ( π) porównaj współczynniki poniżej f epand, 6 π factor π float, ( 4) ( 4) 6 π factor ( 4) ( 4) float, grupowanie - klikaj kolejne modyfikatory i dopiero potem je redaguj Materiał dodatkowy assume X=real - X jest liczbą rzeczywistą assume X=RealRange(a,b) - X jest liczbą rzeczywistą z przedziału (a,b) assume, = RealRange(, 0) uprość wyrażenie przy założeniu że simplify 0 Ćwiczenie : Przedstaw funkcje podane poniżej w standardowej postaci (wielomianowej) Następnie rozłóż je na czynniki i sprawdź jakie są pierwiastki rzeczywiste! k k a) F := b) W := i k! ( k)! i k = 0 i = 0 Uprość wyrażenia: a) 4 b) c) cos( a) sin() a 4 Spróbuj otrzymać znane wzory trygonometryczne na sin(a) i sin(ab) 4 Uprość pierwiastki i 4 4 dla dodatnich (sprawdź wynik dla ujemnych) Rozwiń liczbę e =7 do 40 miejsc po przecinku /9

4 Granice, pochodne i całki Wzór Opis 0 sin CtrlL, sin()/, tab,, tab, 0, Ctrl d d 0 ( sin ) e d π cos Shift/, 'apostrof, ^, spacja,, sin(), tab,, Ctrl Shift7, e^-^, tab,, tab, 0, tab, CtrlShiftZ, Ctrl series,x=0,n - rozwiń funkcję w szereg Taylora rozwinięcie względem X w otoczeniu punktu 0 do rzędu X N sin series,, Ponieważ temat jest dobrze znany a cała zabawa polega na wywoływaniu odpowiednich symboli z paska narzędziowego "Calculus" lub używaniu odpowiednich skrótów klawiaturowych przechodzimy do ćwiczeń Ćwiczenie Oblicz granice: ( ) ( ) ( ) a) 0 c) f) n n i n n = n Zdefiniuj funkcję: f i d) i 0 b) ln( sin ) ln( sin ) g) ( ) ( ) ( ) e) 0 ln := Narysuj jej wykres w przedziale od - do Oblicz e lewo- i prawostronną granicę f() dla = Sprawdź zwykłą granicę (co odpowie Mathcad?) 4/9

5 Mathcad?) Oblicz pochodne pierwszego i drugiego stopnia po i uprość otrzymane wyrażenia do możliwie związłej postaci: a) b) ( ) ( ) ( ) (tu rozwiń do zwykłej postaci) c) ln d) sin ln ( ) e) tan f) sin cos g) asin() h) ln 4 Oblicz całki (oznaczone lub nieoznaczone): a) sin d b) tan d c) a d (dla a > 0) d) uprość i porównaj wyniki z e) i f) 0 (tu Mathcad daje mały błąd!!! Jaki???) e e) d f) d g) ( y ) d dy 0 Rozwiń w szereg Taylora nastepujące funkcje: a) cos() b) c) a (dla a > 0) d Obliczenia symboliczne na macierzach ORIGIN := b A := a A c d A ad bc d ( ad bc ) c ( ad bc ) b ( ad bc ) a ( ad bc ) Przy okazji pokazujemy przykład zastosowania modyfikatora substitute A subtitute,wyr=wyr - podstaw wyr zamiast wyr substitute, ad bc = d c b a /9

6 inny przykład C := cos sin sin cos macierz funkcyjna C cos sin tu też często trzeba dopomóc w upraszczaniu wyrażeń C simplify teraz OK C simplify cos sin sin cos T cos( α) sin( α) C α sin α cos α Jeżeli potrafimy obliczyć symbolicznie macierz odwrotną, to tym samym potrafimy symbolicznie rozwiązywać liniowe układy równań Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą UWAGA: w równaniach nie używamy zwykłago znaku = tylko Ctrl= Można nie podawać prawej strony jeśli jest =0 ale zmniejsza to czytelność zapisu, dlatego nie polecamy tego uproszczenia a solve, - znajdź rozwiązanie równania względem zmiennej b c = 0 solve, ( a ) ( a ) b b 4a c b b 4a c Często wynik jest na tyle skomplikowany, że mathcad nie potrafi podać rozwiązania w zwięzłej postaci, jeśli wynik zależy od kilku parametrów Na przykład, jeżeli podobną do opisanej wyżej metody zastosujemy do ogólnego równania -go stopnia to natrafimy na problem!!! Dużo łatwiej otrzymać rozwiązanie, gdy operujemy na konkretnych liczbach, ale wynik też może być bardzo "rozlazły" a b c d = 0 solve, ( 6) 6/9

7 4 = 0 solve, ( i i Jeżeli wystarczają nam konkretne wartości liczbowe, to warto dodatkowo zastosować modyfikator float,n 4 = 0 solve, float, i 4687i Gdy mamy równanie przestępne to nie jest mozliwe otrzymanie zwięzłego rozwiązania w postaci wzoru W takich sytuacjach Mathcad podaje rozwiązanie numeryczne z 0 cyframi znaczącymi Jeżeli nie potrzebujemy aż takiej dokładności to znów przydatny jest modyfikator float,n Przykład: Znaleźć punkty przecięcia wykresów y = cos() i y = graficzna ilustracja do tego przykładu cos = solve, cos = solve, 7908 float, 6 cos 0 Niestety dla równań przestępnych (nawet najprostszych) Mathcad podaje pierwsze znalezione rozwiązanie 7/9

8 Nieco zmodyfikowane zadanie ma trzy pierwiastki, ale Mathcad podaje tylko jedno graficzna ilustracja do tego przykładu cos = 0 solve, podobnie nie ma co liczyć aby Mathcad podał nam rodzinę rozwiązań np dla funkcji okresowych cos 0 0 cos = 0 solve, π a nie π kπ WNIOSEK: Nie wszystko rozwiąże za nas Mathcad automatycznie W wielu przypadkach musimy mu umiejętnie pomagać, co wymaga od nas dostatecznego rozumienia zagadnienia i znajomości matematyki w tym zakresie Musimy też poznać nieco bardziej zaawansowane techniki w Mathcadzie Do problemu wrócimy w kolejnych ćwiczeniach Aby liczyć na sukces to niestety trzeba matmę choć trochę znać Rozwiązywanie nierówności - przykład > solve, < ( < ) ( < ) To rozwiązanie czytamy następująco: (, ) (, ) 4 Jak widać z przedstawionych wykresów Mathcad dobrze wywiązał się z tego zadania Na piechotę mielibyśmy trochę liczenia: różne równania kwadratowe (tu akurat dwa z nich są tylko liniowe) dla różnych zakresów zmiennej, a po rozwiazaniu jeszcze weryfikacja pierwiastków, czy zawierają się w założonym przedziale - w sumie żmudne i podatne na błedy rachunki, których można uniknąć stosując Mathcada Ćwiczenie Rozwiąż równania i sporządź odpowiednie wykresy: a) = 0 b) e = Zamień w powyższych dwóch przykładach znak = na > i rozwiąż odpowiednie 8/9

9 nierówności Poszukaj w helpie informacji na temat tajemniczych funkcji W() i W(n,) otrzymanych b) 9/9