1 Funktory i kwantyfikatory

Transkrypt

1 Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi formuła Φ(x) p q negacja q 1 q koniunkcja p q min(p, q) p q alternatywa p q max(p, q) implikacja p q 1 p (1 q) równoważność p q 1 p q kreska Sheffera p q (p q) Uwaga: Spójnik Sheffera (NAND) jest funktorem uniwersalnym tzn z jego pomocą można zdefiniować wszystkie funktory zdaniotwórcze (jedno-, dwu- i więcej argumentowe) Np q = q q, p q = (p q) (p q) (Wystarczy używać bramek logicznych NAND, choć to nieekonomiczne) Spójnik (dodawanie modulo 2 =operacja XOR) jest często wykorzystywany w kryptografii; np jako one time pad (OTP) Operator konsekwencji Σ = A α A Σ = α, Σ = α (α jest konsekwencją semantyczną zbioru zdań Σ) α jest prawdziwa dla wszystkich wartościowań zmiennych, przy których zdania z Σ są prawdziwe, = α (α jest tautologią rachunku zdań) = α (α jest prawdziwe przy wszystkich wartościowaniach zmiennych) α (α jest twierdzeniem syntaktycznym) daje się wyprowadzić za pomocą reguły modus ponens σ, (MP) σ τ τ z systemu 14 aksjomatów Hilberta dla funktorów klasycznego rachunku zdań (KRZ) Twierdzenie o pełności: α = α Twierdzenie o rozstrzygalności: O każdym zdaniu klasycznego rachunku zdań (KRZ) można rozstrzygnąć, czy jest tautologią (twierdzeniem KRZ) Dowód: Wystarczy sprawdzić (w skończonej liczbie kroków), czy zdanie jest zawsze (=przy wszystkich wartościowaniach) prawdziwe Przykłady teorii nierozstrzygalnych: 1 arytmetyka Peano liczb naturalnych oraz każda bazująca na niej teoria (Gödel & Cohen); np twierdzenie Goodsteina jest nierozstrzygalne, ale można je wyprowadzić w bogatszej teorii (dopuszczającej pewne nieskończone liczby porządkowe); 2 teoria mnogości min ze względu na hipotezę continuum (CH) W teorii nierozstrzygalnej nie ma algorytmu pozwalającego stwierdzić prawdziwość bądź fałszywość dowolnego jej zdania 2 Relacje R X 1 X 2 X 3 X m relacja m-członowa Przykłady 1) (m = 3) X 1 kobiety, X 2 dzieci, X 3 mężczyźni; (x 1, x 2, x 3 ) R (x 1, x 2 i x 3 są ze sobą w relacji R) x 2 jest dzieckiem x 1 i x 3

2 2 Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 2) (m = 4) X 1 = X 2 = X 3 = X 4 zbiór odcinków na płaszczyźnie; (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R odcinki x 1, x 2, x 3 i x 4 są (różnymi) bokami (tego samego) czworokąta 3) (m = 2) X 1 = X 2 zbiór serwerów; (x 1, x 2 ) R serwery x 1 i x 2 komunikowały się w tym roku, w któryś czwartek pomiędzy godz 20 a 21 4) (m = 2) X 1 = X 2 = { kamień, nożyce, papier }; (x 1, x 2 ) R x 1 bije x 2 5) (m = 2) X 1 dziedzina, X 2 przeciwdziedzina; f : X 1 X 2 (f jest funkcją z X 1 do X 2 ) relacja f X 1 X 2 spełnia: (i) (pełność dziedziny): x X1 y X2 (x, y) f, (ii) (prawostronna jednoznaczność): x X1 y,ŷ X2 [(x, y) f (x, ŷ) f y = ŷ]; piszemy y = f(x) (x, y) f Dalej koncentrujemy się na przypadku relacji dwuczłonowych na tym samym zbiorze: m = 2, X 1 = X 2 = X; piszemy x 1 Rx 2 (x 1, x 2 ) R Def Relacja R X X jest (Z) zwrotna x X xrx, (S) symetryczna x,ˆx X [xrˆx ˆx x], (A) antysymetryczna x,ˆx X [xrˆx ˆxRx x = ˆx], (P) przechodnia x,ˆx, x X [xrˆx ˆxR x xr x], (L) spójna (= liniowa) x,ˆx X (xrˆx ˆxRx) Słownie: (Z) głosuję na siebie, jestem nie gorszy od siebie (S) ręka rękę myje, Jak Kuba Bogu, tak Bóg Kubie, (A) masz szefa i mu szefujesz? czyli to ty, ojciec swego ojca nie istnieje, (P) klątwy się dziedziczą, przyjaciele moich przyjaciół są moimi przyjaciółmi, (L) albo my ich, albo oni nas, ktoś musi być gorszy 3 Relacja równoważności X X relacja równoważności (Z) (S) (P ) Zbiór ilorazowy [a] = {x X : x a} klasa abstrakcji elementu a (elementy podobne do a w sensie ); X/ = {[a] : a X} zbiór ilorazowy (=zbiór klas abstrakcji); (Zasada Abstrakcji) X = [a], a,â X ([a] = [â] [a] [â] = ) a X Słownie: relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy elementów Przykłady: 1 (Baza danych) X zbiór osób w bazie danych osoba oczy włosy KL niebieskie szatyn JM szare brunet ZR zielone blond AR niebieskie blond

3 Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 3 (a) x o 1 x 2 x 1 i x 2 mają ten sam kolor oczu Np (KL) o (AR), (ZR) o (AR), (b) x w 1 x 2 x 1 i x 2 mają ten sam kolor włosów Np (ZR) w (AR), (KL) w (AR); [AR]w = {AR, ZR} =,, blondyni Słownie: wyszukujemy ludzi posiadających tę samą cechę 2 (Arytmetyka modularna) X = Z zbiór liczb całkowitych; niech m Z, m > 1 x 1 x 2 m x 1 x 2 x 1 x 2 mz x 1 i x 2 dają tę samą resztę z dzielenia przez m; piszemy: x 1 x 2 (mod m) X/ = Z/mZ = Z m = {0, 1,, m 1} reszty z dzielenia przez m; Z = [x] = [0] [1] [m 1] rozbicie na liczby dające różne reszty z dzielenia x Z 4 Relacja porządku X X relacja (częściowego) porządku (Z) (A) (P) X X relacja porządku liniowego (Z) (A) (P) (L) Przykłady: 1) (Porządki liniowe) (a) X zbiór słów; x 1 x 2 słowo x 1 poprzedza w słowniku x 2 (lub jest tym samym słowem); np lista osób (b) X = R, x 1 x 2 zwykłe porównywanie liczb 2) (Porządki częściowe) (a) X katalogi; x 1 x 2 x 1 jest podkatalogiem x 2 (lub tym samym katalogiem); tzw drzewo katalogowe Porządek nie jest liniowy, bo podkatalogi mogą leżeć w różnych katalogach (b) X = N; x 1 x 2 x 1 x 2 (x 1 dzieli x 2 ) Porządek nie jest liniowy, bo ( ) (c) X = 2 V (=podzbiory zbioru V ); A B A B (=zawieranie=inkluzja) Porządek nie jest liniowy, bo ({v 1 } {v 2 } {v 1 } {v 2 }), gdy v 1 v 2, v 1, v 2 V (jednak jeśli V 1, to porządek jest liniowy) 3) (Porządek dobry) X = N; x 2 x 2 (Zasada Minimum) Każdy podzbiór N ma element najmniejszy (Zasada Indukcji Matematycznej) (Φ(0) n N [Φ(n) Φ(n + 1)]) n N Φ(n), gdzie Φ jest dowolną formułą zdaniową zawierającą n jako zmienną wolną Zasada Indukcji Matematycznej Zasada Minimum (na gruncie pozostałych aksjomatów Peano)

4 4 Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj Diagramy Hassego Min-max x 1 x 2 wierzchołek x 2 jest powyżej x 1 (i po krawędziach można się przedostać z jednego do drugiego) ξ β 1 β 2 β 3 β 4 µ 3 ν 3 µ 2 ν 2 µ 1 ν 1 α µ i, ν i (i = 1, 2, 3) elementy minimalne ξ element największy α element najmniejszy β i (i = 1, 2, 3, 4) elementy maksymalne ω 1 ω 2 ψ φ 1 φ 2 ψ, φ i (i = 1, 2) elementy minimalne π ψ, ω i (i = 1, 2) elementy maksymalne π element max ψ jednocześnie min i max nic powyżej max min nic poniżej największy wszystko poniżej wszystko powyżej najmniejszy elem największy najmniejszy jedyny elem max min w drugą stronę nie zachodzi; przykład z π 5 Moc zbioru 1 Def X = Y (zbiory X i Y są tej samej mocy = są równoliczne) f : X Y bijekcja 2 Def N = ℵ 0 (alef zero), R = c (kontinuum); X przeliczalny nieprzeliczalny X ℵ 0 > ℵ 0 3 Tw Z = Q = ℵ 0 4 Tw [0, 1] = R \ Q = c = 2 ℵ 0 = 2 N ℵ 0 5 Tw (Cantora) X < 2 X 6 0 < 1 < 2 < < ℵ 0 < 2 ℵ 0 = c < 2 c = 2 2ℵ 0 < 2 22ℵ 0 <

5 Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 5 7 (CH) Hipoteza continuum: ℵ 0 < k c k = c Słownie: kontinuum występuje bezpośrenio po alef zero