WYBRANE ZAGADNIENIA MECHANIKI USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH

Transkrypt

1 WYBRANE ZAGADNIENIA MECHANIKI USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2010/2011 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Maria Radwańska

2 Ogólna klasyfikacja Reprezentantem jest płaszczyzna środkowa tarcze płyty Reprezentantem jest powierzchnia środkowa powłoki bezmomentowe powłoki w stanie membranowo-giętnym W. Kolendowicz. Mechanika budowli dla architektów. Arkady, Warszawa, 1993.

3 Ogólna klasyfikacja Dźwigar powierzchniowy jest specyficznym ciałem odkształcalnym, w którym jeden wymiar (grubość) jest wyraźnie mniejszy od dwóch pozostałych. Tarcza jest dźwigarem powierzchniowym, który można traktować go jako plik warstw. W dowolnej warstwie (na płaszczyźnie środkowej P 0 i równo oddalonej) panuje płaski stan naprężenia. Rozkład naprężeń po grubości tarczy jest stały. Płyta jest dźwigarem powierzchniowym, na który może działać obciążenie zgodne z kierunkiem prostopadłym do płaszczyzny środkowej P 0. Takie obciążenie wywołuje ugięcia. Rozkład naprężeń po grubości płyty nie jest stały. Powłoka jest ustrojem powierzchniowym zakrzywionym (mówimy o powierzchni środkowej P 0 ) i może w niej panować złożony stan naprężenia.

4 Przejście pomiędzy powierzchnią środkową i równo oddaloną na przykładzie wycinka płyty P P 0 h z y σ y(z) τyz(z) τyx(z) τ xy(z) τ xz(z) σ x(z) x y m y t y m yx m xy t x m x x z Model 3D np. σ x = 12mx h z np. m 3 x = Model 2D (2.5D) +h/2 h/2 σ x z dz

5 Główne założenia dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych A Obowiązuje zasada zesztywnienia, tzn. przemieszczenia są na tyle małe, że równania rownowagi można odnosić do nieodkształconego ustroju. Obowiązują liniowe związki geometryczne Cauchy ego między prze mieszczeniami i odkształceniami. B Materiał jest liniowo sprężysty, tzn. obowiązuje uogólnione prawo Hooke a. Kiedy stosuje się teorię cienkich dźwigarów powierzchniowych? płyty h < 1 L 10 powłoki h R min <

6 Założenia zawężające rozważania dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych a Dźwigar jest jednorodny (w szczególności nieuwarstwiony) o stałej grubości h(ξ 1, ξ 2 ) = const., gdzie ξ 1 i ξ 2 są współrzędnymi powierzchniowymi. b Materiał jest izotropowy o stałych: E moduł Younga ν współczynnik Poissona α t - współczynnik rozszerzalności cieplnej c Rozpatrywane są zagadnienia przy obciążeniach przykładanych statycznie, tzn. będziemy pomijali siły bezwładności i energię kinetyczną.

7 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Zagadnienie brzegowe tarczy Płaski stan naprężenia (PSN), kartezjański układ współrzędnych Obliczane wielkości dla punktu P 0 (x, y, 0) z płaszczyzny środkowej: Pole przemieszczeń uogólnionych: przesunięcia: u n (x, y) = {u x, u y } T = {u, v} T [m] Pole odkształceń uogólnionych: e n (x, y) = {ɛ x, ɛ y, γ xy } T [ ] Pole naprężeń uogólnionych: siły tarczowe: s n (x, y) = {n x, n y, n xy } T [N/m] Siły tarczowe wypadkowe składowych wektora (tensora) naprężenia: +h/2 +h/2 n x = σ x dz = σ x h n y = σ y dz = σ y h n xy = h/2 +h/2 h/2 τ xy dz = τ xy h = τ yx h = n yx h/2

8 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Sformułowanie lokalne układ równań Zapis macierzowy Równania kinematyczne (3) e n = [3 1] [3 2] Ln [2 1] un, gdzie: Ln = [3 2] x 0 0 y y x Równania równowagi (2) (L n ) T s n = [2 3] [3 1] pn, gdzie: p n wektor obciążenia (nie brzegowego!) [ N m ] 2 [2 1] Równania fizyczne (3) s n = [3 1] [3 3] Dn D n = E h 1 ν 2 e n [3 1], gdzie: Dn = [3 3] Dn [N/m] sztywność tarczowa 1 ν 0 ν ν 0 0 2

9 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Warunki brzegowe ν = x lub y, s = x lub y kinematyczne: u ν = û ν, u s = û s statyczne: n ν = ˆp ν, n νs = ˆp s mieszane: 1 w.b. kinematyczny + 1 w.b. statyczny Różnica pomiędzy obciążeniem działającym w obszarze tarczy i obciążeniem działającym na brzegu: ˆp s obciążenie: p n = {p x, p y } T [N/m 2 ] p y p x ˆp ν x obciążenie brzegowe: ˆp n b = {ˆp ν, ˆp s } T [N/m] y

10 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Siły tarczowe główne i ich kierunki Wartości ekstremalnych sił tarczowych n I,II = 1 2 (n x + n y ) ± 1 2 (n x n y ) 2 + 4n 2 xy Kierunki główne Wartość kąta α pomiędzy osią Ox a kierunkiem maksymalnej siły n I : tg(2α) = 2nxy n x n y

11 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Tarcza sformułowanie lokalne i globalne Sformułowanie lokalne Przemieszczeniowe ( ) równania równowagi: 2 x + 1 ν y u + 1+ν 2 v 2 2 x y = px D n 1+ν 2 ( 2 u x y + 2 y ν 2 ) 2 x v = px 2 D n + odpowiednie warunki brzegowe Sformułowanie globalne zasada prac wirtualnych Energia odkształcenia tarczowego: U wew = 1 2 (en ) T D n e n da A Praca obciążeń zewnętrznych: W = p n u n da + ˆp n b ûn da A A σ Całkowita energia potencjalna: Π = U wew W

12 Tarczowe elementy skończone Trójkąt - aproksymacja biliniowa ES tarczowy (PSN, ale także PSO, stan osiowo-symetryczny bryły) Przemieszczeniowe stopnie swobody q e u = N i (x, y) u i + N j (x, y) u j + N k (x, y) u k v = N i (x, y) v i + N j (x, y) v j + N k (x, y) v k u n = N q e [ ] Ni 0 N N = j 0 N k 0, q 0 N i 0 N j 0 N e = k u i v i u j v j u k v k Element CST (Constant Strain Triangle)

13 Tarczowe elementy skończone Funkcje kształtu dla trójkąta Interpolacja klasy ciągłości C 0 Ogólne własności funkcji kształtu { 1 w węźle i N i = 0 w pozostałych węzłach LW i=1 N i = 1, gdzie dla CST LW = 3

14 Tarczowe elementy skończone Obliczanie wektora odkształcenia Związki kinematyczne: e n [3 1] = Ln [3 2] un [2 1] Aproksymacja pola odkształceń e n = L n N q e = B q e stąd B = L n N B = N i,x 0 N j,x 0 N k,x 0 0 N i,y 0 N j,y 0 N k,y N i,y N i,x N j,y N j,x N k,y N k,x Na granicach międzyelementowych: ciągłość pola przemieszczeń klasy C 0 skoki wartości składowych wektora odkształcenia (naprężenia) ciągłość klasy C 1

15 Tarczowe elementy skończone Najprostszy element czworokątny Przemieszczeniowe stopnie swobody q e N = u n = N q e [ ] Ni 0 N j 0 N k 0 N l 0, 0 N i 0 N j 0 N k 0 N l q e = {u i v i u j v j u k v k u l v l } T Element Q4 (LSSE = 8)

16 Tarczowe elementy skończone Bazowy element wzorcowy dla elementu Q4 Element wzorcowy służy np. do wyznaczania macierzy sztywności Element wzorcowy: ξ, η [ 1, 1] { x, y } { ξ, η } Macierz ] Jacobiego - relacja między pochodnymi ] [ x y ξ ξ, gdzie: J = [ ξ η = J [ x y x η y η ]

17 Tarczowe elementy skończone Funkcje kształtu dla Q4 Element bazowy interpolacja klasy ciągłości C N 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η) N 2 = 1 4 (1 + ξ)(1 η) N 3 = 1 4 (1 + ξ)(1 + η) N 4 = 1 4 (1 ξ)(1 + η)

18 Tarczowe elementy skończone Izoparametryczność Aproksymacja geometrii Kiedy element jest izoparametryczny? P Ω e : x P (ξ, η) = N(ξ, η) x e, gdzie: x i y i [ ] x j xp x P =, x y e = y j P x k y k x l y l Jeśli do aproksymacji geometrii i pola przemieszczeń wykorzystujemy te same funkcje kształtu. x(ξ, η) = N(ξ, η) x e u(ξ, η) = N(ξ, η) q e

19 Przykład obliczeniowy Krótki wspornik naprężenie σ xx Wyniki mapy warstwicowe Bez wygładzania Z wygładzaniem CST Q4

20 Przykład obliczeniowy Wygładzanie funkcji wybranej składowej wektora naprężenia gdzie: σ h funkcja bezpośrednio z rozwiązania MES σ funkcja uzyskana po wygładzaniu R. Lackner, H.A. Mang. Adaptive FEM for the analysis of concrete structures. Proc. of EURO-C 1998 Conference, Balkema, Rotterdam, 1998.

21 ES wyższych rzędów ES wyższych rzędów Przykłady 2D Typ: LST Q8 Q LSSE =

22 ES wyższych rzędów Całkowanie numeryczne Kwadratura Gaussa 1 1 k e = B T D n B h da = B(ξ, η) T D n B(ξ, η) h det J dξdη A e 1 1 n m w i w j B T (i,j) Dn B (i,j) h det J (i,j) i=1 j=1 Całkowanie Q4 Q8 pełne (FI) zredukowane (RI)

23 Hipotezy Kirchhoffa-Love a Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza kinematyczna Odcinek po deformacji pozostaje prosty: u(x, y, z) = ϑ x (x, y, 0) z, v(x, y, z) = ϑ y (x, y, 0) z, prostopadły do odkształconej powierzchni środkowej: ϑ x (x, y, 0) = w x, oraz niewydłużony: ε z (x, y, z) = 0. Płaszczyzna Oxz: ϑ y (x, y, 0) = w y, γ xz = γ yz = 0 Płaszczyzna Oyz analogicznie

24 Hipotezy Kirchhoffa-Love a Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza statyczna Naprężenie σ z jest tak małe w porównaniu z pozostałymi składowymi tensora naprężeń, że dla wszystkich punktów płyty (powłoki) można przyjąć w związkach fizycznych: σ z (ξ 1, ξ 2, z) 0.

25 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Zagadnienie brzegowe płyty Kartezjański układ współrzędnych Obliczane wielkości dla punktu P 0 (x, y, 0) z płaszczyzny środkowej: Pole przemieszczeń uogólnionych: u m (x, y, 0) = {u z } = {w} [m] Pole odkształceń uogólnionych: e m (x, y, 0) = {κ x, κ y, χ xy } [1/m] e t (x, y, 0) = {0, 0} Pole naprężeń uogólnionych: momenty zginające s m (x, y, 0) = {m x, m y, m xy } [Nm/m] siły poprzeczne s t (x, y, 0) = {t x, t y } [N/m] Dane jest pole obciążeń powierzchniowych: ˆp = {ˆp z } [N/m 2 ]. Momenty zginające wypadkowe składowych wektora (tensora) naprężenia: +h/2 +h/2 +h/2 m x = σ x z dz, m y = σ y z dz, m xy = τ xy z dz, h/2 h/2 h/2 Siły poprzeczne wypadkowe składowych wektora (tensora) naprężenia: +h/2 +h/2 t x = τ xz dz, t y = τ yz dz h/2 h/2

26 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Sforumułowanie lokalne układ równań dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej zapis macierzowy Równania kinematyczne (3) e m = [3 1] [3 1] Lm [1 1] um, gdzie: Lm = [3 1] 2 / x 2 2 / y / x y Równania równowagi (3) (L m ) T s m = ˆp [1 3] [3 1] [1 1] i relacje pomiędzy m x, m xy a t x oraz m y, m xy a t y Równania fizyczne (3) s m = [3 1] [3 3] Dm D m = e m [3 1] Eh3 12(1 ν 2 ), gdzie: Dm = [3 3] Dm [Nm] sztywność płytowa 1 ν 0 ν ν 0 0 2

27 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Zastępcza siła poprzeczna i siła narożna Zastępcza siła poprzeczna t n = t n + mns s Siła narożna A = m ns + m + ns

28 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Płyta warunki brzegowe Warunki kinematyczne, statyczne lub mieszane dla podstawowych typów brzegów płyty x y z brzeg swobodny nieobciążony: t n = 0, m n = 0 s w n ϑ n brzeg zamocowany (utwierdzony): brzeg przegubowo podparty (zawiasowo): w = 0, ϑ n = 0 w = 0, m n = 0 naroże K K podparte: w = 0 swobodne: A = 0

29 Opis w kartezjańskim układzie współrzędnych Momenty główne i ich kierunki Główne momenty zginające: m I,II = 1 2 (m x + m y ) ± 1 2 (m x m y ) 2 + 4m 2 xy Kierunki główne: tg(2α) = 2mxy m x m y

30 Płytowy ES prostokątny Prostokątny ES 4-węzłowy, dostosowany Stopnie swobody w węźle q w = {w, ϕ x, ϕ y, χ} w = {w, w/ y, w/ x, 2 w/ x y} w [4 1] Stopnie swobody w elemencie q e = {q 1, q 2, q 3, q 4 } = {w 1, ϕ x1, ϕ y1, χ 1 w χ 4 } [16 1]

31 Klasyfikacja, podstawowe założenia Tarcze Płyty Powłoki Literatura Płytowy ES prostokątny Funkcje kształtu dla pierwszego węzła (element bazowy) N11 odpowiadająca w1 N12 odpowiadająca ϕx1 N13 odpowiadająca ϕy 1 N14 odpowiadająca χ1

32 Płytowy ES prostokątny Aproksymacja pól wtórnych odkształceń i momentów Odkształcenia: e m = [3 1] [3 1] Lm N [1 16] qe [16 1] = B e [3 16] qe = [16 1] = [B 1, B 2, B 3, B 4 ] {q T 1, qt 2, qt 3, qt 4 } B i = L m N i = 2 / x 2 2 / y 2 [3 4] [3 1][1 4] 2 2 / x y [ N 1 i N 2 i N 3 i N 4 i ] Momenty zginające: s m = [3 1] [3 3] Dm [3 1] em = [3 3] Dm [3 16] Be qe [16 1] Pole odkształceń stanu giętnego jest opisane pochodnymi cząstkowymi rzędu n = 2. Wymagana jest ciągłość pochodnej ugięcia rzędu n 1 = 1. Ciągłość C 1 (ciągłość ugięcia i ciągłość pierwszych pochodnych) jest zagwarantowana w elementach dostosowanych.

33 Płytowy ES prostokątny ES płytowe dostosowane i niedostosowane Elementy dostosowane mają zapewnioną ciągłość funkcji ugięcia i ciągłość pochodnych normalnej i stycznej. Elementy niedostosowane mają zapewnioną ciągłość funkcji ugięcia i pochodnej stycznej (jedynie!). 1 2 Dla elementów niedostosowanych powierzchnia w(x, y) nie jest gładka, a załomy na styku ES mogą prowadzić w konsekwencji do rozwiązania odpowiadającego bardziej wiotkiej konstrukcji.

34 Przykład obliczeniowy Płyta balkonowa narożna (L) Dane, przyjęte siatki długość boku modułu L = 4.0 m grubość płyty h = 0.12 m moduł Younga E = kpa współczynnik Poissona ν = 0.17 Deformacja Siatka regularna Siatka zagęszczona w narożu

35 Przykład obliczeniowy Płyta narożna (L) wybrane wyniki Momenty m x Siatka regularna Siatka zagęszczona w narożu

36 Przykład obliczeniowy Do jakiego stopnia zagęszczać siatkę? Siatka Naroże wklęsłe [ elementowa m x,max = m knm ] y,max m regularna zagęszczenie jednokrotne zagęszczenie wielokrotne

37 Klasyfikacja ES dla ustrojów powierzchniowych Klasyfikacja ES 2D Klasyfikacja ES 2D ze względu na analizowane zadania ustrojów powierzchniowych: płaskie ES dla tarcz (PSN), płaskie ES dla zginanych płyt cienkich/umiarkowanie grubych, płaskie ES dla powłok cienkich/umiarkowanie grubych, krzywoliniowe ES dla powłok cienkich/umiarkowanie grubych. Elementy powłokowe krzywoliniowe izoparametryczne (elementy dwuwymiarowe zanurzone w przestrzeni trójwymiarowej) LSSW = 6 LW = 6 LSSE = 36 LSSW = 6 LW = 8 LSSE = 48

38 Diagram zależności: P P 0 E U P P 0 E U σ E +h/2 h/2...z dz (L) T s ˆp fp e F K D ( ) k e Q=F N A ɛ z e L u N q e A 1 Q ( ) oznacza równanie(a) przemieszczeniowe A oznacza symbol agregacji, A 1 oznacza powrót z U do E

39 Klasyfikacja, podstawowe założenia Tarcze Płyty Powłoki Literatura Nieliniowa analiza żelbetowej powłoki chłodni kominowej Powłoka chłodni kominowej Modelowanie konstrukcji Modele geometrii: idealna powłoka hiperboloidalna (zgodnie z projektem), powłoka o rzeczywistym kształcie, odtworzonym na podstawie geodezyjnych pomiarów odchyłek od idealnej powierzchni środkowej, powłoka o rzeczywistym kształcie odtworzonym na podstawie geodezyjnych pomiarów, dodatkowo z wprowadzonym otworem technologicznym. Górny pierścień zamodelowany przez pogrubienie powłoki. Brzeg dolny powłoki przegubowo nieprzesuwnie podparty (bez uwzględnienia słupowej strefy podporowej).

40 Nieliniowa analiza żelbetowej powłoki chłodni kominowej Powłoka chłodni kominowej z otworem Uproszczony model materiału Beton: strefa rozciągania koncepcja rys rozmytych strefa ściskania liniowe związki fizyczne Zbrojenie: pręty zbrojenia południkowego i równoleżnikowego, zewnętrzne i wewnętrzne zastąpione równoważnymi warstwami rozmytego zbrojenia stal symetryczne własności sprężysto-plastyczne Wybrane wyniki rysy na zewnętrznej warstwie betonowej

41 Nieliniowa analiza żelbetowej powłoki chłodni kominowej Powłoka chłodni kominowej z otworem Modelowanie procesu obciążania Ustalony ciężar własny g Obciążenia rosnące monotonicznie: wiatrowe w zewnętrzne parcie lub ssanie technologiczne ssanie wewnętrzne s Program obciążania: g + λ(w + s), gdzie λ jest monotonicznie rosnącym parametrem obciążenia. Wybrane wyniki siła południkowa n 1

42 Nieliniowa analiza żelbetowej powłoki chłodni kominowej Powłoka chłodni kominowej z otworem Algorytm nieliniowej analizy MES Analiza nieliniowa: geometrycznie, materiałowo. Przyrostowo-iteracyjna procedura, z sekwencyjnym przechodzeniem między różnymi poziomami analizy: U E P 0 P P 0 E U

43 Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, Cz. Cichoń, W. Cecot, J.Krok, P. Pluciński. Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji. Wybrane zagadnienia. Skrypt PK, Kraków, 2010, wydanie drugie. A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, Z.Waszczyszyn, E.Pabisek, J.Pamin, M.Radwańska. Nonlinear analysis of a RC cooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. Engineering Structures, 2, , 2000.