dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311"

Daria Stefańska
7 lat temu
Przeglądów:

1 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Darth Vader i liczby zespolone Postać widma w wyjątkowo niekorzystnych sytuacjach wskazuje na istnienie dodatkowych komplikacji, których nie można wytłumaczyć cyfrowym efektem powielenia. W rozważaniach dotyczących tego zagadnienia wygodne jest wykorzystanie kilku koncepcji ze świata liczb zespolonych. 2

3 Luke Skywalker idzie do nieba* Pewnego dnia Luke Skywalker zaciął się mieczem świetlnym i umarł. Trafił do nieba i w poczekalni widzi mnóstwo zegarów, z których każdy pokazuje inną godzinę. A cóż to? Pyta Świętego Piotra. Każdy człowiek przy urodzeniu dostaje zegar ustawiony na godzinę 12. Za każdym razem, gdy człowiek skłamie, wskazówka przesuwa się o minutę. O, tu jest zegar Mistrza Yody, cały czas wskazuje 12:00. No dobra, a gdzie są zegary Lorda Vadera, komandora Tarkina i Dartha Maula? pyta Luke. A, tych używamy jako wentylatorów w świetlicy. *Ta opowiastka pochodzi z czasów PRL tyle, że występowali w niej ówcześni partyjni włodarze.

4 Dobry vs zły W wyidealizowanym eksperymencie myślowym wskazówka (wektor wodzący) spoczywa na 12:00. Zegar mistrza Yody reprezentuje sygnał stały. Położenie wektora wodzącego w tym zegarze zmienia się i jest parametryzowane, jest wystąpieniem zdarzenia, czyli kłamstwem. 4

5 Dyskretny Vader Kąt zmienia się z kolejnymi kłamstwami. Nie przemieszcza się płynnie, tylko po każdym kłamstwie przeskakuje o taką samą wartość. Taki eksperyment myślowy od razu narzuca dyskretną dziedzinę sygnału (nie rozróżniamy połowy kłamstwa). Zatem kolejne intrygi Vadera można ponumerować liczbami naturalnymi n. n 1 n 2 n 3 n 4 czas Położenie wektora wodzącego zależne jest od wystąpienia pewnego zdarzenia, ale brakuje relacji czasowej pomiędzy kolejnymi zdarzeniami. 5

6 CV Dartha Vadera Vader kłamie pierwszy raz w życiu: zegar przeskakuje o minutę......z tym, że przez dwadzieścia lat jest szlachetnym Anakinem i nie kłamie. stan ustalony Gdy przechodzi na Ciemną stronę i zaczyna łgać, wskazówka przeskakuje o jedną minutę po dwudziestu latach... Po pierwszym kłamstwie Vader pogrąża się całkowicie w szerzeniu intryg imperium zła. Wskazówka zaczyna tykać w stałym tempie. Podobna sytuacja obserwowana jest przy osiąganiu przez układy stanu ustalonego. 6

7 Sygnały przejściowe Stabilizacja układ poprzedzona jest stanem nieustalonym o różnym kształcie, w tym przypadku są to oscylacje. Oscylacyjne wzbudzenia sondy AFM dyskwalifikują obraz pod względem jakości. Tego typu zjawisko często występuje w systemach ze sprzężeniem zwrotnym i jest przyczyną niedogodności w sensie metrologicznym. 7

8 Sygnały niestacjonarne Sygnał z liniową zmianą częstotliwości wymyka się tradycyjnym narzędziom analizy widmowej. Długość fali zmienia się w czasie, a widmo nie pokazuje kiedy sygnał miał jej konkretną wartość. 8

9 Vader w stanie ustalonym Wprowadzając dodatkowe założenie dotyczące ustalonych warunków stacjonarnego sygnału, dokonujemy synchronizacji zegara. Tyka on ze stałą częstotliwością, np. 1 min -1. Innymi słowy: częstotliwość sygnału wynosi 1 min -1. Indeks n służy do numerowania równych odstępów czasu. Kąt zależy od czasu wprost: ( t) 2 f t n 1 n 2n 3 n 4 Częstotliwość jest współczynnikiem proporcjonalności między czasem a kątem fazowym i miarą tego, jak szybko wiruje wektor wodzący. Dla sygnałów, którymi będziemy się zajmować, częstotliwość jest stała. 9

10 Ciężar gatunkowy z 1 z 2 z 3 Dodatkowo kłamstwo kłamstwu nierówne. Kolejne wypowiedzi Vadera mogą mieć różną wagę. Niech długość wektora wodzącego, czyli jego moduł z, określa tę właśnie wielkość. z 1 z2 z3 Jeśli Vader będzie stale wydawał z siebie równie podłe kłamstwa, wektor wodzący zakreślać będzie okrąg. 10

11 Biorytm w swojej głowie w oczach kolegów czas Wektor wodzący w układzie współrzędnych i jedna jego składowa w danym momencie czasu. Darth Vader popełnia w równych odstępach czasu złe uczynki o stałym stopniu podłości. Wyznaczają one jego ścieżkę kariery w imperialnych kadrach (sygnał). Wprowadzając układ współrzędnych, można dokonać wyrażenia wektora za pomocą jego składowych w tym układzie. Dodając układ współrzędnych, w którym określać będziemy niezależnie od siebie samopoczucie psychiczne Vadera i jego pozycję wśród kolegów i przełożonego, określamy biorytm psychiczny. Aby przytoczony sposób widzenia sygnału był użyteczny, warto, by płaszczyzna, na której znajduje się wektor, miała charakter zespolony. 11

Liczby zespolone Giorlamo Cardano (1501-1576). Przewidział datę swojej śmierci, a gdy nie nadchodziła w wybranym dniu, popełnił samobójstwo. Dlaczego używać tylko części rzeczywistej i urojonej?

12 Liczby zespolone Giorlamo Cardano ( ). Przewidział datę swojej śmierci, a gdy nie nadchodziła w wybranym dniu, popełnił samobójstwo. Dlaczego używać tylko części rzeczywistej i urojonej? Istnieją rozszerzenia liczb zespolonych, w których używa się 4 składowych (kwaterniony, tessariny, kokwaterniony), 8 składowych (oktoniony, bikwaterniony) i 16 (sedeniony). Liczby zespolone tworzą ciało algebraicznie domknięte, czyli taką strukturę algebraiczną, w której każdy wielomian jednej zmiennej stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek. Przejawem tego, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte jest fakt, że równanie x2+1=0 nie ma w nim rozwiązania. Tak samo dla rozszerzeń liczb zespolonych można znaleźć wielomiany, które nie będą miały w nich rozwiązań. 12

13 Przykład techniczny W przedstawionym układzie prąd stały będzie płynął tylko do momentu naładowania kondensatora. Wyrażenie łączące prąd i napięcie dla tego elementu wyrażone jest przez równanie różniczkowe w funkcji czasu. i t du C dt Jeśli obwód zasilony zostanie napięciem przemiennym, prąd popłynie, a opór kondensatora będzie malał ze wzrostem jego częstotliwości. Opór kondensatora ma inny charakter niż opór rezystora dlatego wyrażenie opisujące go zawiera jednostkę urojoną (j). j 2fC Liczby zespolone są użyteczne w rozwiązywaniu równań różniczkowych, w szczególności równań cząstkowych, takich jak równanie dyfuzji. t c( t, x, y, z) 2 D c( t, x, y, z) t 13

14 oś urojona oś urojona Interpretacja graficzna b z a bi z b z z a oś rzeczywista a oś rzeczywista Na płaszczyźnie zespolonej każda liczba wyznaczana jest jednoznacznie przez wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i końcu w punkcie z. Wektor wodzący może być opisany przez podanie jego składowych a i b, jak również przez podanie modułu z i kąta fazowego. Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich wektory są równe, nie definiujemy pojęcia większa i mniejsza liczba. 14

15 oś urojona Dodawanie b z1 z2 1 b 2 b 2 z 2 b 1 z 1 a 2 a 1 a1 a 2 oś rzeczywista Liczby zespolone dodaje się tak, jak wektory, to znaczy osobno suma części rzeczywistych i osobno urojonych. Jest to znana reguła równoległoboku. 15

16 oś urojona oś urojona Mnożenie b z algebraicznie Przed narysowaniem mnożenia, warto przypomnieć sobie alternatywny sposób oznaczania liczb zespolonych. z a a bi z 1 z 2 z exp z 1 i geometrycznie wykonujemy obrót wektora i skalowanie jego długości. z 1z2 z1 z2 exp i1 i2 1 2 z 2 oś rzeczywista 16

17 Liczby zespolone w LabVIEW Środowisko LabVIEW umożliwia posługiwanie się liczbami zespolonymi. Zmienne zespolone można deklarować za pomocą pozycji representation w menu kontekstowym. Panel operacji zespolonych znajduje się w Programming/Numeric/Complex. 17

18 Liczby zespolone i widmo Istnienie związku analizy widmowej z liczbami zespolonymi mogliśmy przeczuwać już przy okazji prezentacji funkcji służącej do analizy widma. widmo amplitudowe widmo fazowe Omawialiśmy wykorzystanie końcówki generującej widmo amplitudowe, kompletnie lekceważąc widmo fazowe. Tymczasem rezultat działania ma dwie składowe, tak samo jak liczba zespolona. Modułowo-kątową reprezentację liczby można zamienić na postać kanoniczną, tak jak można współrzędne biegunowe zamienić na kartezjańskie. Ważną różnicą jest fakt, że widmo zdefiniowane jest w dziedzinie częstotliwościowej, a krążenia w przestrzeni zespolonej są zależne od parametru czasowego. 18

19 oś urojona urojona rzeczywista Funkcje zespolone W dalszych rozważaniach użyteczne będą funkcje przybierające wartości zespolone w funkcji zmiennej niezależnej, którą jest czas. Spośród wielu funkcji, wyrażanych w różny sposób: z( t 2 ) z( t 1 ) z( t 4 ) z( t 3 ) a(t) b(t) oś rzeczywista czas Interesować nas będą tylko obiegi ze stałą szybkością po okręgu: t 2t 3t 4t 5t 19

Kolejne zagadnienie Widmo sygnału ma związek z liczbami zespolonymi. Z drugiej strony widmo jest częstotliwościową charakterystyką sygnału.

20 Kolejne zagadnienie Widmo sygnału ma związek z liczbami zespolonymi. Z drugiej strony widmo jest częstotliwościową charakterystyką sygnału. Wirowanie w przestrzeni zespolonej może być użyte do charakteryzowania sygnału, ale nie wiemy, jaki jest pomiędzy nimi związek. Rzuty wartości sinusoidy odpowiadające równym odstępom na osi czasu. Kąt między kolejnymi położeniami wektora wodzącego jest taki sam. 20

21 Podsumowanie Sygnał może być reprezentowany przez ruch wektora wodzącego na płaszczyźnie zespolonej (płaszczyźnie Gaussa lub Arganda). Odległość punktu od początku układu współrzędnych to moduł liczby zespolonej. Kąt między osią rzeczywistą to kąt fazowy (faza). Obie te wielkości mogą być funkcjami czasu dyskretnego lub ciągłego. Ważnym sygnałem jest krążenie punktu po okręgu ze stałą prędkością. 21

Podobne dokumenty

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie