LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA,

Transkrypt

1 Wykład VIII LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA, ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW ROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO

2 POSTACI LICZB ZESPOLONYCH Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyźnie zespolonej, stają się liczbami zespolonymi. Noszą one nazwy wartości skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i napięcia. Z = a + jb a = Re Z - cześć rzeczywista liczby zespolonej b = Im Z - cześć urojona liczby zespolonej

3 LICZBY ZESPOLONE Porównanie dwóch liczb zespolonych:

4 LICZBY ZESPOLONE Liczby sprzężone : Liczba sprzężona z Z : Wynikiem takiej operacji jest liczba rzeczywista, bo: j = 1

5 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ przy czym: moduł, wartość wektora zespolonego :

6 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ PRZYKŁAD 1 Zamienić na postać trygonometryczną: a. Z = 1+j b. Z = 4 -j6

7 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ PRZYKŁAD 2 Przedstawić w postaci - algebraicznej, - trygonometrycznej. Rozwiązania :

8 LICZBA SPRZĘŻONA

9 POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ PRZYKŁAD: Przedstawić liczbę Z = 1+j w postaci wykładniczej :

10 LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE Jeżeli funkcja sinusoidalna napięcia chwilowego u(t) jest postaci: to wartość chwilowa zespolona tego napięcia jest postaci: lub zatem: jest wartością chwilową zespoloną gdzie: - amplituda zespolona, - napięcie skuteczne zespolone w postaci wykładniczej, - napięcie skuteczne zespolone w postaci trygonometrycznej, - napięcie skuteczne zespolone w postaci algebraicznej.

11 LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE Wyróżnia się zatem trzy postaci elektrycznych wielkości zespolonych: a. postać wykładnicza b. postać trygonometryczna c. postać algebraiczna

12 IMPEDANCJA ZESPOLONA Zapis impedancji zespolonej:

13 REZYSTANCJA ZESPOLONA Zapis rezystancji zespolonej:

14 REAKTANCJA INDUKCYJNA ZESPOLONA Zapis reaktancji indukcyjnej zespolonej: Jeśli wiadomo, że: Zatem: - jest operatem obrotu wektora zespolonego stąd: - oznacza potwierdzenie warunku, że napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90 o np. w postaci czasowej.

15 REAKTANCJA POJEMNOŚCIOWA ZESPOLONA Zapis reaktancji pojemnościowej zespolonej: w postaci symbolicznej: Jeśli wiadomo, że: - oznacza potwierdzenie warunku, że prąd na cewce wyprzedza napięcie o 90 o w przestrzeni czasowej

16 MOC ZESPOLONA Jeżeli: oraz: to moc zespolona jest równa iloczynowi napięcia razy prąd sprzężony. Definicja : Stąd również : jeśli : Zatem : a w postaci algebraicznej:

17 ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ Przedstawienie analityczne napięć i prądów w zapisie dla wartości chwilowych, amplitud zespolonych i zespolonych wartości skutecznych. Elementarny obwód RLC Rezystor Cewka Kondensator

18 ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ Bilans napięć w oczku: Równanie różniczkowo-całkowe bilansu napięć: Równanie zespolone bilansu napięć w oczku: -> -> jeśli: to: Prawo Ohma w postaci zespolonej dla układu prądu przemiennego

19 ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ PRZYKŁAD 1 Dla zaznaczonych oczek podanego układu ułożyć równania napięciowe, zgodnie z II prawem Kirchhoffa, stosując metodę symboliczną, w postaci algebraicznej. Rozgałęziony układ RLC z zaznaczonymi obiegami konturowymi w wybranych oczkach niezależnych.

20 PRZYKŁAD 1

21 ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO METODĄ SYMBOLICZNĄ PRZYKŁAD 2 Rozwiązać układ metodą prądów oczkowych. Rozgałęziony układ RLC z dwoma źródłami DANE: E E X 1 2 C R = X = 100V = 100 e = 5Ω j90 1 = = 2Ω ω C L

22 PRZYKŁAD 2 Podstawowy układ równań (*): (*) Gdzie: - Prądy oczkowe impedancje oczkowe i między-oczkowe Po podstawieniu do układu ( ), otrzymujemy układ ( )

23 PRZYKŁAD 2 Wyznacznik główny układu równań (**) Podwyznacznik pierwszy układu (**) Podwyznacznik drugi układu (**) Obliczanie prądów oczkowych i prądów gałęziowych układu:

24 Podoski Roman ( ) Pionier elektryfikacji polskich kolei urodził się w Dąbrowicach k. Lwowa. W celu uniknięcia służby wojskowej, rodzice wysłali go na naukę do szkoły księży Pijarów w Tarnopolu. Po ukończeniu tej szkoły studiował początkowo na Politechnice Lwowskiej, a następnie na Wydziale Elektromechanicznym w Zurichu. Po ukończeniu studiów w 1897 r. został asystentem, a następnie pracował w firmie "Helios" w Kolonii. W 1899 r. firma wysłała go do Como we Włoszech Północnych, gdzie prowadził budowę pierwszej linii tramwajowej, po czym został kierownikiem budowy tramwajów w Katanii na Sycylii. Po powrocie do Kijowa założyl przedsiębiorstwo elektrotechniczne, które zajmowało się budową elektrownii w różnych miastach Rosji. W 1907 roku rozpoczęto elektryfikację tramwajów w Warszawie, podczas której Podoski był naczelnikiem służb: eksploatacji, szkolenia kadr, warsztatów i budowy sieci. Pierwszą linię tramwająwą uruchomiona w 1908 r., na której tramwaje jeździły z prędkością 25 km/godz. Zbudowana w Warszawie sieć tramwajowa jak na tamte czasy była bardzo gęsta, gdyż tramwaje stanowiły jedyny środek transportu publicznego. W 1918 r. opracował pierwszy projekt elektryfikacji kolei w Polsce, zaś w 1929 r. opracował szczegółowy projekt elektryfikacji kolejowego węzła warszawskiego zasilanego prądem stałym o napięciu 3000 wolt. Po II wojnie światowej brał udział w opracowywaniu perspektywicznego planu elektryfikacji kolei w Polsce.

25 KONIEC WYKŁADU VIII