Wykład 1. Przestrzeń Hilberta
|
|
- Amelia Cieślik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające warunek f(x) 2 dx < +, (czyli funkcje całkowalne z kwadratem). Z punktu widzenia zastosowań to bardzo interesująca przestrzeń sygnałów. Jeżeli f(x) oznacza, na przykład napięcie jakiegoś przebiegu elektrycznego, to warunek całkowalności z kwadratem oznacza, że sygnał ma skończoną całkowitą energię - bardzo rozsądne założenie. ) L 2 ([ π, π]), przestrzeń funkcji okresowycho okresie 2π (czyli f(x +2π) f(x)), całkowalnychz kwadratem w okresie π π f(x) 2 dx < +. Podobnie jak poprzednio ten warunek oznacza, że wartość energii sygnału w okresie jest skończona. Długość okresu nie jest szczególnie ważna, gdyż poprzez proste przeskalowanie można nasze rozważania przenieść na sygnały o innychokresach. Okres 2π wybrany jest dla wygody (to jest okres funkcji trygonometrycznych, których będziemy używali). Przestrzeń tę będziemy też oznaczali przez L 2 (T), gdzie T oznacza okrąg jednostkowy, czyli odcinek [ π, π] z utożsamionymi końcami. ) Ogólniej, L 2 (R n ) to funkcje n - zmiennychrzeczywistych, całkowalnychz kwadratem. Szczególnie interesujący jest przypadek n 2, sygnały takie reprezentują obrazy. ) Ogólniej L 2 (T n ), funkcje n - zmiennych, okresowe w każdej zmiennej o okresie 2π: f(x 1,...,x i +2π,...,x n )f(x 1,...,x i,...,x n ), i 1,...,n, i całkowalne z kwadratem po swoim okresie: π π π π f(x 1,...,x n ) 2 dx 1 dx n < +. Również tutaj najbardziej interesujący (oprócz n 1)jestprzypadekn 2. Sygnały dyskretne (cyfrowe). ) L 2 (Z) to przestrzeń ciągów podwójnie nieskończonych {f k },sumowalnychz kwadratem f k 2 < +. k Przestrzeń tą często będziemy też oznaczać l 2. ) L 2 (Z p ) to przestrzeń ciągów podwójnie nieskończonych {f k } okresowycho okresie p, czyli f k+p f k k Z, sumowalnychz kwadratem po okresie: p 1 f k 2 < +. k0 Tą przestrzeń będziemy też oznaczać l 2 p. ) Ogólniej, L 2 (Z n )il 2 (Z n p ) to przestrzenie ciągów n - wymiarowychokresowychlub nie, sumowalnych z kwadratem, w przypadku L 2 (Z n p ) tylko po okresie. Jak poprzednio, najciekawsze są te przestrzenie dla n 2. 1
2 2 Uwagi. a) Sygnały występujące w rzeczywistości (w naturze) są najczęściej ciągłe. Sygnały dyskretne pojawiają się jako wynik próbkowania sygnałów występującychw rzeczywistości, i to one pojawiają się w algorytmachnumerycznych. Poznamy fundamentalne (ale bardzo proste) twierdzenie mówiące kiedy sygnał ciągły można całkowicie odtworzyć z ciągu próbek (mówiąc w skrócie, sygnał musi mieć skończone widmo częstotliwościowe, a próbkowanie musi być wystarczająco częste). W przypadku kiedy sygnału nie da się zrekonstruować z próbek (na przykład z jakichś powodów próbkowanie jest zbyt rzadkie) dowiemy się jak przygotować sygnał do próbkowania, aby uzyskać najlepszy efekt rekonstrukcji (będzie to tak zwany filtr antyaliasowy). b) Zauważmy, że wszystkie rozważane przestrzenie sygnałów mają pewne wspólne cechy, ważne z punktu widzenia teorii. Tworzą je funkcje (o wartościachzespolonych) na jakimś zbiorze, całkowalne lub sumowalne na tym zbiorze z kwadratem. Ta wspólna cecha pozwoli nam wprowadzić w tych przestrzeniach strukturę przestrzeni Hilberta, nasze podstawowe narzędzie. Drugą cechą wspólną rozważanych przestrzeni sygnałów jest to, że zbiór na którym te sygnały są rozważane (R n, T n, Z n, Z n p ) ma strukturę grupy abelowej, na przykład Z p z dodawaniem modulo p. To z kolei pozwala nam korzystać z naszego drugiego podstawowego narzędzia - transformaty Fouriera - w jej wielu wcieleniach, transformaty ciągłej, dyskretnej czy szeregu Fouriera. Przestrzeń Hilberta. Przypomnijmy krótko pojęcie przestrzeni liniowej, przestrzeni metrycznej i przestrzeni zupełnej. Przestrzeń liniowa to taka, której elementy można dodawać, odejmować i mnożyć przez skalary (w naszym przypadku skalarami są liczby zespolone). Przestrzeń metryczna to taka, w której określona jest funkcja odległości d(x, y) (metryka) dzięki której można zdefiniować zbieżność ciągu: x n x jeżeli d(x n,x) 0. Otrzymujemy przestrzeń topologiczną, można mówić o ciągłości funkcji. Przestrzeń metryczna zupełna to taka przestrzeń w której każdy ciąg Cauchy ego jest zbieżny, czyli jeżeli ɛ>0 N N n, m Nd(x n,x m ) <ɛ to istnieje x takie, że x n x. Zupełność przestrzeni jest ważna z punktu widzenia teorii matematycznej. Wszystkie przestrzenie które będziemy rozważać są zupełne. Przypomnijmy też funkcję wykładniczą zmiennej zespolonej e iϕ cosϕ + i sin ϕ. Jeżeli funkcję wykładniczą zdefiniujemy przy pomocy szeregu potęgowego e z z n, z - liczba zespolona, n! n0 to powyższa własność natychmiast wyjdzie po skorzystaniu z faktu, że i 2 1, rozdzieleniu składników zawierającychi nie zawierającychi i zastosowaniu rozwinięć Taylora funkcji sin x i cosx. Def. Przestrzeń liniowa E nazywa się przestrzenią Hilberta, jeżeli istnieje w niej iloczyn skalarny, to znaczy funkcja x, y (o wartościachzespolonych) o następującychwłasnościach (a) x, y y, x (jest antysymetryczny), (b) x + y, z x, z + y, z, αx, y α x, y (liniowy względem pierwszej zmiennej), (c) x, y + z x, y + x, z, x, αy α x, y (antyliniowy względem drugiej zmiennej), (d) x, x 0i x, x 0 x 0. (x, y, z to dowolne elementy E, α jest dowolną liczbą zespoloną, a α jest liczbą sprzężoną do α). Dodatkowo E musi być zupełna, wyjaśnimy to za chwilę. Mając w przestrzeni Hilberta iloczyn skalarny wprowadzamy tak zwaną normę (długość) x x, x. Zauważmy, że dzięki własności (d) iloczynu skalarnego pierwiastek można zawsze obliczyć.
3 3 Tw. (Nierówność Schwarza). Dla dowolnych x, y x, y x y. dowód. Ustalmy x, y E i dowolną liczbę rzeczywistą λ. x + λy 2 x + λy, x + λy x, x + λy + λ y, x + λy x, x + λ x, y + λ y, x + λ 2 y, y λ 2 y 2 +2λR x, y + x 2, (R - część rzeczywista). Rozważane wyrażenie jest więc (dla ustalonych x i y) funkcją kwadratową zmiennej rzeczywistej λ, o współczynnikach y 2,2R x, y i x 2. Wyrażenie nie może być ujemne, więc funkcja kwadratowa może mieć co najwyżej jeden rzeczywisty pierwiastek. A więc wyróżnik funkcji kwadratowej musi być ujemny: (2R x, y ) 2 4 y 2 x 2 0, czyli R x, y x y. Jeżeli x, y jest liczbą rzeczywistą to dowód jest zakończony. Jeżeli nie, to pozostaje jeszcze jeden trik: niech ϕ będzie liczbą rzeczywistą taką, że x, y e iϕ x, y. Taką liczbę zawsze można znaleźć, e iϕ jest znakiem zespolonym liczby x, y. Wtedy e iϕ x, y x, e iϕ y jest liczbą rzeczywistą. Wykorzystaliśmy tu równości Z udowodnionej już części twierdzenia wynika, że 1 e iϕ e iϕ e iϕ. x, e iϕ y x e iϕ y. W końcu, skoro, jak łatwo sprawdzić e iϕ 1,mamy x, y e iϕ x, y, i e iϕ y y. Uwaga. Przyglądając się przedstawionemu wyżej dowodowi zauważmy, że równość (w nierówności Schwarza) zachodzi tylko jeżeli x i y są współliniowe (w sensie zespolonym), to znaczy istnieje liczba zespolona α taka, że x αy.
4 4 Tw. (Własności normy). (a) x 0 i x 0 x 0, (b) ax a x dla każdej liczby a ielementux E, (c) x + y x + y (nierówność trójkąta). dowód. Własności (a) i (b) wynikają wprost z definicji normy i własności iloczynu skalarnego. Sprawdźmy tylko nierówność trójkąta x + y 2 x + y, x + y x, x + x, y + y, x + y, y x 2 + x, y + y, x + y 2 x 2 + x, y + y, x + y 2 x 2 +2 x y + y 2 ( x + y ) 2. Po drodze skorzystaliśmy z nierówności trójkąta dla liczb zespolonych a + b a + b, oraz z nierówności Schwarza. Norma umożliwia nam wprowadzenie w E metryki d(x, y) x y. Wymagane własności metryki (a) d(x, y) d(y, x), (b) d(x, y) 0orazd(x, y) 0 x y, (c) d(x, y) d(x, z)+d(z,y), wynikają wprost z wyszczególnionychpowyżej własności normy. Metryka wprowadza w E topologię, można więc mówić o zbieżności w przestrzeni Hilberta ciągów czy szeregów i o ciągłości funkcji. Z nierówności Schwarza wynika, że iloczyn skalarny jest ciągłą funkcją dwóch zmiennych. W definicji przestrzeni Hilberta dokładamy założenie o którym wspomnieliśmy wcześniej: powstała przestrzeń metryczna jest zupełna. Przykłady. Wszystkie opisane przestrzenie sygnałów są przestrzeniami Hilberta. Żeby się o tym przekonać należy w każdej przestrzeni wprowadzić iloczyn skalarny i sprawdzić warunki (a) (d) definicji. Należy też udowodnić zupełność powstałej przestrzeni metrycznej. W każdym przypadku przy określeniu iloczynu skalarnego będziemy korzystać z następującej nierówności, prawdziwej dla dowolnychliczb zespolonych: 2 ab a 2 + b 2. L 2 (R n ). Jeżeli f,g L 2 (R n ) to funkcja f g jest absolutnie całkowalna na R n : f(x)g(x) f(x) 2 g(x) 2 +, 2 2 więc f(x)g(x) dx 1 f(x) 2 dx + 1 g(x) 2 dx < +. R 2 n R 2 n R n Możemy więc określić następująco iloczyn skalarny f,g f(x)g(x) dx. R n
5 5 L 2 (T n ). Podobnie możemy określić f,g 1 π π (2π) n f(x)g(x) dx x (x 1,...,x n ), π π gdyż całka zawsze istnieje. L 2 (Z n ). Mając dwa ciągi f {f m } i g {g m }, m (m 1,...,m n )określamy f,g L 2 (Z n p ). Podobnie dla ciągów okresowych f,g 1 p n m 1,...,m n p 1 m 1,...,m n0 f m g m. f m g m. W każdym z powyższychprzykładów sprawdzamy warunki (a) (d) definicji przestrzeni Hilberta. W przypadku przestrzeni sygnałów ciągłychwarunek (d) mówi, że f(x) 2 dx 0 f 0, R n lub 1 π π (2π) n f(x) 2 dx 0 f 0. π π Żeby ten warunek był spełniony, tak naprawdę w przypadku przestrzeni sygnałów ciągłychelementami nie są funkcje, ale klasy równoważności funkcji modulo funkcje o całce z kwadratu modułu równej 0. To jest szczegół techniczny, który w praktycznych zastosowaniach nie będzie miał dla nas znaczenia. Warto jednak o tym pamiętać. Dwie funkcje różniące się tylko w jednym albo w kilku punktachto z punktu widzenia przestrzeni sygnałów ten sam element. Istotnym punktem do sprawdzenia jest zupełność powstałychprzestrzeni metrycznych. W przypadku przestrzeni sygnałów dyskretnychjest to proste ćwiczenie, a w przypadku przestrzeni sygnałów ciągłych wynika to z własności całki Lebesgue a. To właśnie z tego powodu w definicji przestrzeni używamy całek Lebesgue a. Bazy i rozpięcia. Def. Zbiór elementów {e n } przestrzeni Hilberta E (skończony lub nieskończony) nazywamy bazą E jeżeli (a) jest liniowo niezależny, czyli α 1 e α k e k 0 α 1 α 2 α k 0, dla dowolnego k i dowolnychskalarów α 1,...,α k,oraz (b) jest zupełny w E, czyli x E ɛ>0 α 1,...,α k x α n e n <ɛ.
6 6 Mówiąc luźno, zbiór tworzy bazę jeżeli do każdego elementu przestrzeni E można podejść dowolnie blisko jakąś kombinacją linową elementów bazy (zupełność), i zbiór nie zawiera żadnychzbędnych elementów (liniowa niezależność). Uwaga. (a) Powyższa definicja różni się zasadniczo od pojęcia bazy przestrzeni liniowej wprowadzanego na wykładzie z algebry liniowej. W tamtej definicji każdy element przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową elementów bazy, a w tej definicji wystarczy żeby do każdego elementu przestrzeni można było dowolnie blisko podejść kombinacjami liniowymi elementów bazy. Dla uniknięcia zamieszania tamtą, algebraiczną bazę czasami nazywa się bazą Hamela, a tę bazą topologiczną. Na tym wykładzie będziemy korzystali tylko z baz topologicznych, i będziemy je po prostu nazywali bazami. W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowychoba pojęcia baz są identyczne. (b) Można udowodnić, że dwie bazy tej samej przestrzeni sąrównoliczne. Liczbę elementów bazy (może być nieskończona) nazywamy wymiarem przestrzeni. Def. Bazę {e n } przestrzeni E nazywamy bazą ortonormalną (o.n.) jeżeli { 0 n m e n,e m 1 n m. Zbiór elementów {e n }, niekoniecznie baza, spełniający powyższy warunek nazywa się układem ortonormalnym. Układ ortonormalny jest automatycznie liniowo niezależny, co łatwo sprawdzić. Stanowi bazę dla podprzestrzeni domkniętej, którą rozpina. Jeżeli jest zupełny, to rozpina całą przestrzeń E. Bazy o.n. stanowią bardzo wygodne narzędzie do badania przestrzeni Hilberta. Nie ma problemu ze znajdowaniem takichbaz, gdyż z dowolnej bazy można wytworzyć bazę o.n. przy pomocy tak zwanej procedury Gramma-Schmidta. Następujące fakty uzasadnią użyteczność baz o.n. Tw. Jeżeli {e n } jest bazą o.n. przestrzeni E to dla dowolnych liczb zespolonych α 1,...,α k i dowolnego x E zachodzi nierówność x x, e n e n x α n e n. dowód. x 2 α n e n x x x, e n e n + 2 ( x, e n α n ) e n 2 x, e n e n + +2R x x, e n e n, ( x, e m α m ) e m + m0 2 + ( x, e n α n ) e n. Powyższą równość otrzymaliśmy tak, jak zwykle: normę sumy do kwadratu zapisaliśmy jako iloczyn skalarny sumy przez siebie, i skorzystaliśmy z liniowości iloczynu skalarnego. Rozważmy drugi składnik uzyskanej sumy: ( ) x x, e n e n, ( x, e m α m ) e m x, e m α m x x, e n e n,e m ( ) ( x, e m α m x, e m ) x, e n e n,e m.
7 Zauważmy, że ostatni nawias 0, gdyż baza jest ortonormalna. Rozważmy teraz ostatni (trzeci) składnik sumy: 2 ( x, e n α n ) e n ( x, e n α n ) e n, ( x, e m α m ) e m ( x, e n α n ) x, e n α n 2. ( x, e m α m ) e n,e m 7 Tak więc w końcu x 2 α n e n x 2 x, e n e n + x, e n α n 2, awięc x x, e n e n x α n e n, co mieliśmy udowodnić i, co więcej, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α n x, e n dla wszystkich n 1,...,k. Z definicji bazy wynika, że do każdego elementu można dowolnie blisko podejść jakąś kombinacją liniową elementów bazy. Powyższe twierdzenie mówi, że jeżeli baza jest ortonormalna, to najlepszymi kombinacjami liniowymi są kombinacje x, e n e n. Mamy więc konkretny wzór na współczynniki tych najefektywniejszych kombinacji. Wniosek. Jeżeli {e n } jest bazą o.n. przestrzeni E to: (a) dla dowolnego x E x x, e n e n, (rozkład x względem bazy) (b) jeżeli dla jakiegoś ciągu współczynników α 1,α 2,... zachodzi x α n e n, to współczynniki muszą być iloczynami skalarnymi α n x, e n (jednoznaczność rozkładu), (c) dla dowolnego x E x 2 x, e n 2 (równość Plancherela).
8 8 W powyższym wniosku przyjęliśmy, że baza jest nieskończona. Oczywiście, jeżeli jest skończona, to wniosek też jest prawdziwy a wszystkie sumy nieskończone zastępujemy skończonymi dowód. (a) Podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia można pokazać, że jeżeli k m to x m x, e n e n x x, e n e n. Po prostu, można wziąć α n x, e n dla n 1,...,m i α n 0dlan m +1,...,k. Dalej, z definicji bazy wiemy, że dla każdego ɛ>0 istnieją współczynniki α 1,...,α k takie, że x α n e n <ɛ. Z poprzedniego twierdzenia i poprzedniej uwagi wynika w takim razie, że dla tego ɛ itegok mamy l x x, e n e n <ɛ l k, a więc szereg jest zbieżny do x. (b) Jeżeli x, e n e n, x α n e n, to stosując iloczyn skalarny i korzystając z jego ciągłości mamy x, e n α m e m,e n α m e m,e n α n. (c) Korzystając z ciągłości iloczynu skalarnego otrzymujemy x 2 x, x x, e n e n, x, e m e m x, e n x, e m e n,e m x, e n 2. Uwaga. (a) Równości w (a) i (b) są równościami w przestrzeni E i, na przykład, równość w (a) oznacza N lim N x x, e n e n 0. (b) Równość Plancherela x 2 x, e n 2 można rozumieć jako uogólnione (z przypadku 2-wymiarowego) twierdzenie Pitagorasa: kwadrat długości wektora jest sumą kwadratów jego składowychw kierunkachelementów bazy ortonormalnej.
9 Def. Bazę {e n } przestrzeni E nazywamy bazą Riesza jeżeli istnieją stałe A, B > 0 takie, że dla dowolnego ciągu liczb {α n } A α n 2 2 α n e n B α n 2. Baza Riesza jest pojęciem ogólniejszym niż baza ortonormalna (dla bazy o.n. A B 1). W zastosowaniachjest prawie tak samo wygodna jak baza o.n. Można pokazać, że dla bazy Riesza {e n } istnieje inna baza Riesza {f n } taka, że dla każdego x E x x, f n e n x, e n f n. Dla bazy Riesza również mamy więc jawny wzór na znajdowanie współczynników bazowych, musimy tylko wygenerować wcześniej bazę {f n }. Def. Zbiór elementów {e n } E zupełny (niekoniecznie liniowo niezależny) nazywamy rozpięciem dokładnym jeżeli dla każdego x E x 2 x, e n 2. Jeżeli {e n } jest rozpięciem dokładnym, to istnieje inne rozpięcie dokładne {f n } takie, że dla każdego x E x x, f n e n x, e n f n. W przypadku rozpięcia dokładnego również mamy więc sytuację, gdzie każdy x można przedstawić jako kombinację elementów rozpięcia, i są jawne wzory na współczynniki tego rozwinięcia. Mając bazę Riesza lub rozpięcie dokładne można wytworzyć z nichbazę o.n., przy pomocy wspomnianej już procedury Gramma-Schmidta. Przypomnijmy jeszcze kilka pojęć, z którychbędziemy korzystać. Jeżeli H E jest podprzestrzenią, to dopełnieniem ortogonalnym H nazywamy podprzestrzeń H {x E : x y y H}, (x y oznacza x, y 0). Jeżeli H E jest podprzestrzenią domkniętą to istnieje rzut prostopadły na H, czyli przekształcenie liniowe P : E H takie, że 9 Px x x H, Px 0 x H. P przypisuje dowolnemu x E najbliższy mu element podprzestrzeni H. Jeżeli w podprzestrzeni H mamy bazę o.n. {e n },to Px x, e n e n. Jeżeli G, H E są dwoma podprzestrzeniami, to mówimy, że E jest ortogonalnąsumąprostąpodprzestrzeni G i H jeżeli każdy element x E można jednoznacznie zapisać jako x x 1 + x 2, x 1 G, x 2 H,
10 10 oraz G H (czyli x y dla dowolnych x G i y H). Piszemy wtedy E G H. Uwaga. (a) Jeżeli E G H to żeby skonstruować bazę w E wystarczy osobno skonstruować bazy w G iwh. Ichsuma, jako zbiorów, będzie bazą E. Jeżeli te bazy w G i H są ortonormalne, to ichcuma też jest ortonormalna. (b) Jeżeli H jest domkniętą podprzestrzenią E, to E H H. Przypomnijmy jeszcze następujący bardzo przydatny fakt. Fakt. Zbiór {e n } E jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem x E prostopadłym do wszystkich e n jest 0.
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoLiczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2018 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo