Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 1. Przestrzeń Hilberta"

Transkrypt

1 Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające warunek f(x) 2 dx < +, (czyli funkcje całkowalne z kwadratem). Z punktu widzenia zastosowań to bardzo interesująca przestrzeń sygnałów. Jeżeli f(x) oznacza, na przykład napięcie jakiegoś przebiegu elektrycznego, to warunek całkowalności z kwadratem oznacza, że sygnał ma skończoną całkowitą energię - bardzo rozsądne założenie. ) L 2 ([ π, π]), przestrzeń funkcji okresowycho okresie 2π (czyli f(x +2π) f(x)), całkowalnychz kwadratem w okresie π π f(x) 2 dx < +. Podobnie jak poprzednio ten warunek oznacza, że wartość energii sygnału w okresie jest skończona. Długość okresu nie jest szczególnie ważna, gdyż poprzez proste przeskalowanie można nasze rozważania przenieść na sygnały o innychokresach. Okres 2π wybrany jest dla wygody (to jest okres funkcji trygonometrycznych, których będziemy używali). Przestrzeń tę będziemy też oznaczali przez L 2 (T), gdzie T oznacza okrąg jednostkowy, czyli odcinek [ π, π] z utożsamionymi końcami. ) Ogólniej, L 2 (R n ) to funkcje n - zmiennychrzeczywistych, całkowalnychz kwadratem. Szczególnie interesujący jest przypadek n 2, sygnały takie reprezentują obrazy. ) Ogólniej L 2 (T n ), funkcje n - zmiennych, okresowe w każdej zmiennej o okresie 2π: f(x 1,...,x i +2π,...,x n )f(x 1,...,x i,...,x n ), i 1,...,n, i całkowalne z kwadratem po swoim okresie: π π π π f(x 1,...,x n ) 2 dx 1 dx n < +. Również tutaj najbardziej interesujący (oprócz n 1)jestprzypadekn 2. Sygnały dyskretne (cyfrowe). ) L 2 (Z) to przestrzeń ciągów podwójnie nieskończonych {f k },sumowalnychz kwadratem f k 2 < +. k Przestrzeń tą często będziemy też oznaczać l 2. ) L 2 (Z p ) to przestrzeń ciągów podwójnie nieskończonych {f k } okresowycho okresie p, czyli f k+p f k k Z, sumowalnychz kwadratem po okresie: p 1 f k 2 < +. k0 Tą przestrzeń będziemy też oznaczać l 2 p. ) Ogólniej, L 2 (Z n )il 2 (Z n p ) to przestrzenie ciągów n - wymiarowychokresowychlub nie, sumowalnych z kwadratem, w przypadku L 2 (Z n p ) tylko po okresie. Jak poprzednio, najciekawsze są te przestrzenie dla n 2. 1

2 2 Uwagi. a) Sygnały występujące w rzeczywistości (w naturze) są najczęściej ciągłe. Sygnały dyskretne pojawiają się jako wynik próbkowania sygnałów występującychw rzeczywistości, i to one pojawiają się w algorytmachnumerycznych. Poznamy fundamentalne (ale bardzo proste) twierdzenie mówiące kiedy sygnał ciągły można całkowicie odtworzyć z ciągu próbek (mówiąc w skrócie, sygnał musi mieć skończone widmo częstotliwościowe, a próbkowanie musi być wystarczająco częste). W przypadku kiedy sygnału nie da się zrekonstruować z próbek (na przykład z jakichś powodów próbkowanie jest zbyt rzadkie) dowiemy się jak przygotować sygnał do próbkowania, aby uzyskać najlepszy efekt rekonstrukcji (będzie to tak zwany filtr antyaliasowy). b) Zauważmy, że wszystkie rozważane przestrzenie sygnałów mają pewne wspólne cechy, ważne z punktu widzenia teorii. Tworzą je funkcje (o wartościachzespolonych) na jakimś zbiorze, całkowalne lub sumowalne na tym zbiorze z kwadratem. Ta wspólna cecha pozwoli nam wprowadzić w tych przestrzeniach strukturę przestrzeni Hilberta, nasze podstawowe narzędzie. Drugą cechą wspólną rozważanych przestrzeni sygnałów jest to, że zbiór na którym te sygnały są rozważane (R n, T n, Z n, Z n p ) ma strukturę grupy abelowej, na przykład Z p z dodawaniem modulo p. To z kolei pozwala nam korzystać z naszego drugiego podstawowego narzędzia - transformaty Fouriera - w jej wielu wcieleniach, transformaty ciągłej, dyskretnej czy szeregu Fouriera. Przestrzeń Hilberta. Przypomnijmy krótko pojęcie przestrzeni liniowej, przestrzeni metrycznej i przestrzeni zupełnej. Przestrzeń liniowa to taka, której elementy można dodawać, odejmować i mnożyć przez skalary (w naszym przypadku skalarami są liczby zespolone). Przestrzeń metryczna to taka, w której określona jest funkcja odległości d(x, y) (metryka) dzięki której można zdefiniować zbieżność ciągu: x n x jeżeli d(x n,x) 0. Otrzymujemy przestrzeń topologiczną, można mówić o ciągłości funkcji. Przestrzeń metryczna zupełna to taka przestrzeń w której każdy ciąg Cauchy ego jest zbieżny, czyli jeżeli ɛ>0 N N n, m Nd(x n,x m ) <ɛ to istnieje x takie, że x n x. Zupełność przestrzeni jest ważna z punktu widzenia teorii matematycznej. Wszystkie przestrzenie które będziemy rozważać są zupełne. Przypomnijmy też funkcję wykładniczą zmiennej zespolonej e iϕ cosϕ + i sin ϕ. Jeżeli funkcję wykładniczą zdefiniujemy przy pomocy szeregu potęgowego e z z n, z - liczba zespolona, n! n0 to powyższa własność natychmiast wyjdzie po skorzystaniu z faktu, że i 2 1, rozdzieleniu składników zawierającychi nie zawierającychi i zastosowaniu rozwinięć Taylora funkcji sin x i cosx. Def. Przestrzeń liniowa E nazywa się przestrzenią Hilberta, jeżeli istnieje w niej iloczyn skalarny, to znaczy funkcja x, y (o wartościachzespolonych) o następującychwłasnościach (a) x, y y, x (jest antysymetryczny), (b) x + y, z x, z + y, z, αx, y α x, y (liniowy względem pierwszej zmiennej), (c) x, y + z x, y + x, z, x, αy α x, y (antyliniowy względem drugiej zmiennej), (d) x, x 0i x, x 0 x 0. (x, y, z to dowolne elementy E, α jest dowolną liczbą zespoloną, a α jest liczbą sprzężoną do α). Dodatkowo E musi być zupełna, wyjaśnimy to za chwilę. Mając w przestrzeni Hilberta iloczyn skalarny wprowadzamy tak zwaną normę (długość) x x, x. Zauważmy, że dzięki własności (d) iloczynu skalarnego pierwiastek można zawsze obliczyć.

3 3 Tw. (Nierówność Schwarza). Dla dowolnych x, y x, y x y. dowód. Ustalmy x, y E i dowolną liczbę rzeczywistą λ. x + λy 2 x + λy, x + λy x, x + λy + λ y, x + λy x, x + λ x, y + λ y, x + λ 2 y, y λ 2 y 2 +2λR x, y + x 2, (R - część rzeczywista). Rozważane wyrażenie jest więc (dla ustalonych x i y) funkcją kwadratową zmiennej rzeczywistej λ, o współczynnikach y 2,2R x, y i x 2. Wyrażenie nie może być ujemne, więc funkcja kwadratowa może mieć co najwyżej jeden rzeczywisty pierwiastek. A więc wyróżnik funkcji kwadratowej musi być ujemny: (2R x, y ) 2 4 y 2 x 2 0, czyli R x, y x y. Jeżeli x, y jest liczbą rzeczywistą to dowód jest zakończony. Jeżeli nie, to pozostaje jeszcze jeden trik: niech ϕ będzie liczbą rzeczywistą taką, że x, y e iϕ x, y. Taką liczbę zawsze można znaleźć, e iϕ jest znakiem zespolonym liczby x, y. Wtedy e iϕ x, y x, e iϕ y jest liczbą rzeczywistą. Wykorzystaliśmy tu równości Z udowodnionej już części twierdzenia wynika, że 1 e iϕ e iϕ e iϕ. x, e iϕ y x e iϕ y. W końcu, skoro, jak łatwo sprawdzić e iϕ 1,mamy x, y e iϕ x, y, i e iϕ y y. Uwaga. Przyglądając się przedstawionemu wyżej dowodowi zauważmy, że równość (w nierówności Schwarza) zachodzi tylko jeżeli x i y są współliniowe (w sensie zespolonym), to znaczy istnieje liczba zespolona α taka, że x αy.

4 4 Tw. (Własności normy). (a) x 0 i x 0 x 0, (b) ax a x dla każdej liczby a ielementux E, (c) x + y x + y (nierówność trójkąta). dowód. Własności (a) i (b) wynikają wprost z definicji normy i własności iloczynu skalarnego. Sprawdźmy tylko nierówność trójkąta x + y 2 x + y, x + y x, x + x, y + y, x + y, y x 2 + x, y + y, x + y 2 x 2 + x, y + y, x + y 2 x 2 +2 x y + y 2 ( x + y ) 2. Po drodze skorzystaliśmy z nierówności trójkąta dla liczb zespolonych a + b a + b, oraz z nierówności Schwarza. Norma umożliwia nam wprowadzenie w E metryki d(x, y) x y. Wymagane własności metryki (a) d(x, y) d(y, x), (b) d(x, y) 0orazd(x, y) 0 x y, (c) d(x, y) d(x, z)+d(z,y), wynikają wprost z wyszczególnionychpowyżej własności normy. Metryka wprowadza w E topologię, można więc mówić o zbieżności w przestrzeni Hilberta ciągów czy szeregów i o ciągłości funkcji. Z nierówności Schwarza wynika, że iloczyn skalarny jest ciągłą funkcją dwóch zmiennych. W definicji przestrzeni Hilberta dokładamy założenie o którym wspomnieliśmy wcześniej: powstała przestrzeń metryczna jest zupełna. Przykłady. Wszystkie opisane przestrzenie sygnałów są przestrzeniami Hilberta. Żeby się o tym przekonać należy w każdej przestrzeni wprowadzić iloczyn skalarny i sprawdzić warunki (a) (d) definicji. Należy też udowodnić zupełność powstałej przestrzeni metrycznej. W każdym przypadku przy określeniu iloczynu skalarnego będziemy korzystać z następującej nierówności, prawdziwej dla dowolnychliczb zespolonych: 2 ab a 2 + b 2. L 2 (R n ). Jeżeli f,g L 2 (R n ) to funkcja f g jest absolutnie całkowalna na R n : f(x)g(x) f(x) 2 g(x) 2 +, 2 2 więc f(x)g(x) dx 1 f(x) 2 dx + 1 g(x) 2 dx < +. R 2 n R 2 n R n Możemy więc określić następująco iloczyn skalarny f,g f(x)g(x) dx. R n

5 5 L 2 (T n ). Podobnie możemy określić f,g 1 π π (2π) n f(x)g(x) dx x (x 1,...,x n ), π π gdyż całka zawsze istnieje. L 2 (Z n ). Mając dwa ciągi f {f m } i g {g m }, m (m 1,...,m n )określamy f,g L 2 (Z n p ). Podobnie dla ciągów okresowych f,g 1 p n m 1,...,m n p 1 m 1,...,m n0 f m g m. f m g m. W każdym z powyższychprzykładów sprawdzamy warunki (a) (d) definicji przestrzeni Hilberta. W przypadku przestrzeni sygnałów ciągłychwarunek (d) mówi, że f(x) 2 dx 0 f 0, R n lub 1 π π (2π) n f(x) 2 dx 0 f 0. π π Żeby ten warunek był spełniony, tak naprawdę w przypadku przestrzeni sygnałów ciągłychelementami nie są funkcje, ale klasy równoważności funkcji modulo funkcje o całce z kwadratu modułu równej 0. To jest szczegół techniczny, który w praktycznych zastosowaniach nie będzie miał dla nas znaczenia. Warto jednak o tym pamiętać. Dwie funkcje różniące się tylko w jednym albo w kilku punktachto z punktu widzenia przestrzeni sygnałów ten sam element. Istotnym punktem do sprawdzenia jest zupełność powstałychprzestrzeni metrycznych. W przypadku przestrzeni sygnałów dyskretnychjest to proste ćwiczenie, a w przypadku przestrzeni sygnałów ciągłych wynika to z własności całki Lebesgue a. To właśnie z tego powodu w definicji przestrzeni używamy całek Lebesgue a. Bazy i rozpięcia. Def. Zbiór elementów {e n } przestrzeni Hilberta E (skończony lub nieskończony) nazywamy bazą E jeżeli (a) jest liniowo niezależny, czyli α 1 e α k e k 0 α 1 α 2 α k 0, dla dowolnego k i dowolnychskalarów α 1,...,α k,oraz (b) jest zupełny w E, czyli x E ɛ>0 α 1,...,α k x α n e n <ɛ.

6 6 Mówiąc luźno, zbiór tworzy bazę jeżeli do każdego elementu przestrzeni E można podejść dowolnie blisko jakąś kombinacją linową elementów bazy (zupełność), i zbiór nie zawiera żadnychzbędnych elementów (liniowa niezależność). Uwaga. (a) Powyższa definicja różni się zasadniczo od pojęcia bazy przestrzeni liniowej wprowadzanego na wykładzie z algebry liniowej. W tamtej definicji każdy element przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową elementów bazy, a w tej definicji wystarczy żeby do każdego elementu przestrzeni można było dowolnie blisko podejść kombinacjami liniowymi elementów bazy. Dla uniknięcia zamieszania tamtą, algebraiczną bazę czasami nazywa się bazą Hamela, a tę bazą topologiczną. Na tym wykładzie będziemy korzystali tylko z baz topologicznych, i będziemy je po prostu nazywali bazami. W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowychoba pojęcia baz są identyczne. (b) Można udowodnić, że dwie bazy tej samej przestrzeni sąrównoliczne. Liczbę elementów bazy (może być nieskończona) nazywamy wymiarem przestrzeni. Def. Bazę {e n } przestrzeni E nazywamy bazą ortonormalną (o.n.) jeżeli { 0 n m e n,e m 1 n m. Zbiór elementów {e n }, niekoniecznie baza, spełniający powyższy warunek nazywa się układem ortonormalnym. Układ ortonormalny jest automatycznie liniowo niezależny, co łatwo sprawdzić. Stanowi bazę dla podprzestrzeni domkniętej, którą rozpina. Jeżeli jest zupełny, to rozpina całą przestrzeń E. Bazy o.n. stanowią bardzo wygodne narzędzie do badania przestrzeni Hilberta. Nie ma problemu ze znajdowaniem takichbaz, gdyż z dowolnej bazy można wytworzyć bazę o.n. przy pomocy tak zwanej procedury Gramma-Schmidta. Następujące fakty uzasadnią użyteczność baz o.n. Tw. Jeżeli {e n } jest bazą o.n. przestrzeni E to dla dowolnych liczb zespolonych α 1,...,α k i dowolnego x E zachodzi nierówność x x, e n e n x α n e n. dowód. x 2 α n e n x x x, e n e n + 2 ( x, e n α n ) e n 2 x, e n e n + +2R x x, e n e n, ( x, e m α m ) e m + m0 2 + ( x, e n α n ) e n. Powyższą równość otrzymaliśmy tak, jak zwykle: normę sumy do kwadratu zapisaliśmy jako iloczyn skalarny sumy przez siebie, i skorzystaliśmy z liniowości iloczynu skalarnego. Rozważmy drugi składnik uzyskanej sumy: ( ) x x, e n e n, ( x, e m α m ) e m x, e m α m x x, e n e n,e m ( ) ( x, e m α m x, e m ) x, e n e n,e m.

7 Zauważmy, że ostatni nawias 0, gdyż baza jest ortonormalna. Rozważmy teraz ostatni (trzeci) składnik sumy: 2 ( x, e n α n ) e n ( x, e n α n ) e n, ( x, e m α m ) e m ( x, e n α n ) x, e n α n 2. ( x, e m α m ) e n,e m 7 Tak więc w końcu x 2 α n e n x 2 x, e n e n + x, e n α n 2, awięc x x, e n e n x α n e n, co mieliśmy udowodnić i, co więcej, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α n x, e n dla wszystkich n 1,...,k. Z definicji bazy wynika, że do każdego elementu można dowolnie blisko podejść jakąś kombinacją liniową elementów bazy. Powyższe twierdzenie mówi, że jeżeli baza jest ortonormalna, to najlepszymi kombinacjami liniowymi są kombinacje x, e n e n. Mamy więc konkretny wzór na współczynniki tych najefektywniejszych kombinacji. Wniosek. Jeżeli {e n } jest bazą o.n. przestrzeni E to: (a) dla dowolnego x E x x, e n e n, (rozkład x względem bazy) (b) jeżeli dla jakiegoś ciągu współczynników α 1,α 2,... zachodzi x α n e n, to współczynniki muszą być iloczynami skalarnymi α n x, e n (jednoznaczność rozkładu), (c) dla dowolnego x E x 2 x, e n 2 (równość Plancherela).

8 8 W powyższym wniosku przyjęliśmy, że baza jest nieskończona. Oczywiście, jeżeli jest skończona, to wniosek też jest prawdziwy a wszystkie sumy nieskończone zastępujemy skończonymi dowód. (a) Podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia można pokazać, że jeżeli k m to x m x, e n e n x x, e n e n. Po prostu, można wziąć α n x, e n dla n 1,...,m i α n 0dlan m +1,...,k. Dalej, z definicji bazy wiemy, że dla każdego ɛ>0 istnieją współczynniki α 1,...,α k takie, że x α n e n <ɛ. Z poprzedniego twierdzenia i poprzedniej uwagi wynika w takim razie, że dla tego ɛ itegok mamy l x x, e n e n <ɛ l k, a więc szereg jest zbieżny do x. (b) Jeżeli x, e n e n, x α n e n, to stosując iloczyn skalarny i korzystając z jego ciągłości mamy x, e n α m e m,e n α m e m,e n α n. (c) Korzystając z ciągłości iloczynu skalarnego otrzymujemy x 2 x, x x, e n e n, x, e m e m x, e n x, e m e n,e m x, e n 2. Uwaga. (a) Równości w (a) i (b) są równościami w przestrzeni E i, na przykład, równość w (a) oznacza N lim N x x, e n e n 0. (b) Równość Plancherela x 2 x, e n 2 można rozumieć jako uogólnione (z przypadku 2-wymiarowego) twierdzenie Pitagorasa: kwadrat długości wektora jest sumą kwadratów jego składowychw kierunkachelementów bazy ortonormalnej.

9 Def. Bazę {e n } przestrzeni E nazywamy bazą Riesza jeżeli istnieją stałe A, B > 0 takie, że dla dowolnego ciągu liczb {α n } A α n 2 2 α n e n B α n 2. Baza Riesza jest pojęciem ogólniejszym niż baza ortonormalna (dla bazy o.n. A B 1). W zastosowaniachjest prawie tak samo wygodna jak baza o.n. Można pokazać, że dla bazy Riesza {e n } istnieje inna baza Riesza {f n } taka, że dla każdego x E x x, f n e n x, e n f n. Dla bazy Riesza również mamy więc jawny wzór na znajdowanie współczynników bazowych, musimy tylko wygenerować wcześniej bazę {f n }. Def. Zbiór elementów {e n } E zupełny (niekoniecznie liniowo niezależny) nazywamy rozpięciem dokładnym jeżeli dla każdego x E x 2 x, e n 2. Jeżeli {e n } jest rozpięciem dokładnym, to istnieje inne rozpięcie dokładne {f n } takie, że dla każdego x E x x, f n e n x, e n f n. W przypadku rozpięcia dokładnego również mamy więc sytuację, gdzie każdy x można przedstawić jako kombinację elementów rozpięcia, i są jawne wzory na współczynniki tego rozwinięcia. Mając bazę Riesza lub rozpięcie dokładne można wytworzyć z nichbazę o.n., przy pomocy wspomnianej już procedury Gramma-Schmidta. Przypomnijmy jeszcze kilka pojęć, z którychbędziemy korzystać. Jeżeli H E jest podprzestrzenią, to dopełnieniem ortogonalnym H nazywamy podprzestrzeń H {x E : x y y H}, (x y oznacza x, y 0). Jeżeli H E jest podprzestrzenią domkniętą to istnieje rzut prostopadły na H, czyli przekształcenie liniowe P : E H takie, że 9 Px x x H, Px 0 x H. P przypisuje dowolnemu x E najbliższy mu element podprzestrzeni H. Jeżeli w podprzestrzeni H mamy bazę o.n. {e n },to Px x, e n e n. Jeżeli G, H E są dwoma podprzestrzeniami, to mówimy, że E jest ortogonalnąsumąprostąpodprzestrzeni G i H jeżeli każdy element x E można jednoznacznie zapisać jako x x 1 + x 2, x 1 G, x 2 H,

10 10 oraz G H (czyli x y dla dowolnych x G i y H). Piszemy wtedy E G H. Uwaga. (a) Jeżeli E G H to żeby skonstruować bazę w E wystarczy osobno skonstruować bazy w G iwh. Ichsuma, jako zbiorów, będzie bazą E. Jeżeli te bazy w G i H są ortonormalne, to ichcuma też jest ortonormalna. (b) Jeżeli H jest domkniętą podprzestrzenią E, to E H H. Przypomnijmy jeszcze następujący bardzo przydatny fakt. Fakt. Zbiór {e n } E jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem x E prostopadłym do wszystkich e n jest 0.

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Transformata Fouriera

Wykład 2. Transformata Fouriera Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2018 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych. Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Funkcje addytywne gorszego sortu

Funkcje addytywne gorszego sortu Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo