Rozpraszanie i dyfrakcja promieniowania X

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozpraszanie i dyfrakcja promieniowania X"

Danuta Wolska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Rozpraszanie i dyfrakcja promieniowania X

2 Przypomnienie rozpraszanie Thomsona na swobodnym elektronie Padająca fala płaska Emitowana jest fala kulista Klasyczny promień elektronu Będziemy używać przybliżenia skalarnego [zaniedbujemy czynniki polaryzacyjne]

3 Geometria rozproszenia k R-r r (0,0,0) r(r) R Obiekt rozpraszający opisany przez rozkład ładunku [elektronów] Padająca fala płaska Całkowite pole obliczamy całkując po objętości Z każdego punktu emitowana jest fala kulista 2009

4 Aproksymacja wykładnika fazowego k R-r Dla dużych R ta fala kulista w małym wycinku to fala płaska r r(r) R Dla dużych R wektory R-r i R są praktycznie równoległe Detekcja następuje w dużej odległości od obiektu: Rozwinięcie Taylora

5 Aproksymacja wykładnika fazowego k R-r R r r(r) Dla wektory R-r oraz są praktycznie równoległe Wprowadzamy nowy wektor Widać, że: R Dlatego wykładnik możemy zapisać jako: Jednocześnie, w mianowniku: Tutaj nie musimy być subtelni!

6 Aproksymacja wykładnika fazowego k R-r R r r(r) Z poprzednich slajdów: Dla promieniowania X ten czynnik oscyluje b. szybko zarówno w czasie i pozycji. Zostanie uśredniony w każdym detektorze. [stała] Możemy zależność od R zamienić na zależność od k i k. R będzie tylko parametrem Zwykła zależność od odległości do detektora [stała]

Wektor rozproszenia q q kąt rozproszenia, czyli kąt pomiędzy wektorami k i k k q q k Wektor rozproszenia, przekaz wektora falowego Dla danej długości fali q mieści się w kuli o promieniu:

7 Wektor rozproszenia q q kąt rozproszenia, czyli kąt pomiędzy wektorami k i k k q q k Wektor rozproszenia, przekaz wektora falowego Dla danej długości fali q mieści się w kuli o promieniu: Jego długość: Uwaga: w krystalografii naturalnymi wielkościami są q/4p i q/2 Wszelkie dane tablicowe są podane w funkcji tych wielkości a nie q i q. rozproszenie w przód rozproszenie w tył

8 Związek z transformacją Fouriera k r R k q q r(r) k Obraz dyfrakcji (rozproszenia) proporcjonalny do transformaty Fouriera rozkładu ładunku. Zmiennymi sprzężonymi są q i r

9 Natężenie promieniowania rozproszonego Dla fal E-M definiuje się wektor Poyntinga: Natężenie dane jest przez: [ uśrednianie po czasie jest automatyczne w zapisie zespolonym] W używanym na wykładzie przybliżeniu skalarnym przyjmujemy, że: Zatem: Na razie będziemy jednak zainteresowani zespoloną amplitudą rozproszenia. Konsekwencje wynikające z braku fazy będą rozpatrywane w kontekscie problemu fazowego na następnych wykładach

10 Rozproszenie na obiektach dwuwymiarowych (2D) Transformacja w pełnej formie: k x z Kwazi-dwuwymiarowy obiekt Modelowe przedstawienie dyfrakcji X lub niskoenergetycznych elektronów na powierzchni

11 Rozproszenie na obiektach dwuwymiarowych (2D) Całka po dz jest bardzo przyjemna : Brak zależności od składowej z-owej wektora rozproszenia q z. Powyższe wyrażenie opisuje dwuwymiarową transformację Fouriera Dyfrakcje na obiektach kwazi-dwuwymiarowych można ilustrować poprzez transformatę Fouriera obrazów.

12 Wizualizacja zespolonych funkcji 2D Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz] Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza

13 Sposób 1 Sposób k y -1 k x 0 1 2p -1 0 Nie widać amplitudy Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [ p/2,p/2] lub [-p/p]

Model HSV RGB [red,blue,green] mieszanie kolorów podstawowych Alternatywny sposób opisu kolorów HSV (hue, saturation,value) barwa, nasycenie, jasność Odzwierciedla fizyczną

14 Model HSV RGB [red,blue,green] mieszanie kolorów podstawowych Alternatywny sposób opisu kolorów HSV (hue, saturation,value) barwa, nasycenie, jasność Odzwierciedla fizyczną percepcję kolorów Barwa Widmo światła widzialnego Nasycenie Kolor nasycony [czysty czerwony] wąskie widmo Długość fali [nm] Długość fali [nm] Kolor nienasycony [prawie biały] szerokie widmo

15 Prezentacja HS(V=1) Im f f f Re f f odpowiada saturacji [zero to biały] f odpowiada barwie 0 - rzeczywiste, dodatnie rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego] 90 - urojone, dodatnie urojone, ujemne

16 Przykłady rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus

17 W tym obszarze brak koloru białego Funkcja nie ma zer!

Czysto zespolone wartości! Mała symetria.

18 Trochę bardziej skomplikowana funkcja Superpozycja prostopadłych fal Re F Prążki: tylko odległość. F F Brak zer w tym kierunku! Czysto zespolone wartości! Mała symetria. Zera (biały): sinus lub cosinus. Symetria względem tej prostej! k y k x Im F f

19 Od atomu do (nano)kryształu 1) Używamy bardzo prostego modelu w 2D. Jednak pewne generalne wnioski mogą być łatwo uogólnione na rozpraszanie w obiektach 3D. 2) Nie omawiamy zagadnień związanych z symetrią kryształów. [lit. z zakresu krystalografii i fizyki ciała stałego/materii skondensowanej] 3) Oznaczania: r i q na następnych slajdach są wektorami 2D

20 Atom Dla uproszczenia zakładamy, że nasz atom ma gaussowski rozkład ładunku Atomowy czynnik struktury 1 y (0,0) q y 0 x q x Rozmiar w przestrzeni odwrotnej jest odwrotnie proporcjonalny do rozmiaru w przestrzeni rzeczywistej

21 Molekuła Dla dowolnej funkcji: 1 Struktura molekuły y 0 kształt pozycja x Delta Diraca w 2D

samych atomów: q x Obwiednia: atomowy czynnik struktury

22 Molekularny czynnik struktury Molekularny czynnik struktury Twierdzenie o splocie 2D Zatem: q y Dla takich samych atomów: q x Obwiednia: atomowy czynnik struktury Obraz dyfrakcyjny zanika dla dużych q Detale: superpozycja harmonicznych

23 Kryształ - sieć Dwuwymiarowy kryształ; dla prostoty sieć prostokątna. Wektory translacji: Struktura kryształu: jest to zawsze funkcja parzysta (wynika to z definicji) komórka elementarna a y 1 y a x 0 x

24 Czynnik struktury sieci: Czynnik struktury sieci Wektory sieci odwrotnej b y Z własności grzebienia Diraca: a y 1 b y b x a x y q y 0 x q x - funkcja rzeczywista

25 Warunek dyfrakcji Lauego * Czynnik struktury sieci [piki dyfrakcyjne]: Warunek dyfrakcji Lauego k q B q q k Warunek Bragga(ów) sieć krystaliczna przestrzeń rzeczywista *Pamietamy, że rozpraszanie jest 2D

26 W każdym punkcie sieci umieszczamy molekułę Sieć + baza ( molekuła ) a y 1 b y b x a x y q y 0 x q x

27 Obraz dyfrakcyjny (zoom) Struktura Kryształ: wzmocniona transformata Fouriera molekuły jest próbkowana w węzłach sieci odwrotnej czyli dla q=g Molekuła (baza) Sieć Kryształ * =. =

28 Nanokryształ funkcja kształtu Na poprzednich slajdach liczone były, w ścisły sposób, czynniki struktury dla nieskończonego kryształu. Jednocześnie, pokazywane były obrazy liczone numerycznie (MATLAB ) dla małych obiektów [ czyli właściwie dla nanokryształów]. W ścisłych obliczeniach można także uwzględnić skończony rozmiar obiektu. Struktura małego kryształu Funkcja kształtu Jej transformata: Czynnik struktury małego kryształu

29 Czynnik struktury skończonego kryształu Nanokryształ czynnik struktury Czynnik struktury nieskończonego kryształu Transformata funkcji kształtu przesunięta o G Po postawieniu: Przypomnijmy definicję splotu: Dokładne rozpisanie: Czynnik struktury molekuły dla wektora G Zatem:

30 Nanokryształ prostokątny Weźmy prostą funkcję kształtu Z poprzedniego wykładu Liczba molekuł = N 2 Rozmiary L x L y =Na x Na y = N 2 A Jej transformatę Fouriera łatwo obliczyć. Pełna separacja w x i y

31 Nanokryształ prostokątny

32 Amplituda i szerokość piku AMPLITUDA W pobliżu pojedynczego wektora G: bo sin(kx)/kx=1 dla x=0 N 2 wzmocnienie sygnału od molekuły [czyli równe liczbie molekuł] N 4 dla natężenia SZEROKOŚĆ Generalny wniosek: szerokość piku w przestrzeni odwrotnej jest odwrotnie proporcjonalna do rozmiarów w obiektu [w danym kierunku]

33 Koherentna dyfrakcja - nanokryształy Yugang Sun and Younan Xia, Science (2003), srebro Refleks pochodzący od pojedynczego nanokryształu 2009

34 Rozdzielczość w przestrzeni rzeczywistej Obiekt molekuła Zespolony obraz dyfrakcyjny Rekonstrukcja = splot czyli rozmycie W(q) wąska to w(r) szeroka = słaba rozdzielczość

35 Rozdzielczość w przestrzeni rzeczywistej Dr q y q x y q x x Rozdzielczość zależy od maksymalnego przekazu wektora falowego:

36 Przydatne wzory w 2D

Podobne dokumenty

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie