Uniwersytet Jagielloński w Krakowie

Transkrypt

1 . Uniwesytet Jagielloński w Kakowie Wydział Fizyki, Astonomii i Infomatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Maiana Smoluchowskiego Andzej Sywid Uniwesalne elacje w układach femionowych paca licencjacka pod kieunkiem pof. d. hab. Kzysztofa Sachy Kaków 13

2 . Wydział Fizyki, Astonomii i Infomatyki Stosowanej Uniwesytet Jagielloński Oświadczenie Ja niżej podpisany Andzej Jan Sywid (n indeksu: ) student Wydziału Fizyki, Astonomii i Infomatyki Stosowanej Uniwesytetu Jagiellońskiego kieunku fizyka, oświadczam, że pzedłożona pzeze mnie paca licencjacka pt. Uniwesalne elacje w układach femionowych pzedstawia wyniki badań wykonanych pzeze mnie osobiście, pod kieunkiem pof. d. hab. Kzysztofa Sachy. Pacę napisałem samodzielnie. Oświadczam, że moja paca dyplomowa została opacowana zgodnie z Ustawą o pawie autoskim i pawach pokewnych z dnia 4 lutego (Dziennik Ustaw 1994 n 4 poz. 83 waz z późniejszymi zmianami). Jestem świadom, że niezgodność niniejszego oświadczenia z pawdą ujawniona w dowolnym czasie, niezależnie od skutków pawnych wynikających z ww. ustawy, może spowodować unieważnienie tytułu nabytego na podstawie tej pacy. Kaków, dnia podpis studenta

3 Wstęp Ultazimne gazy atomowe to kwantowe układy wielu ciał dające węcz niewyobażalne możliwości badania szeokiej gamy zagadnień, począwszy od zjawisk fizyki ciała stałego popzez komputey kwantowe, a skończywszy na kosmologii. W związku z tym stały się one niezwykle ważnym i zaazem inteesującym obiektem badań współczesnej fizyki, zaówno teoetycznej jak i ekspeymentalnej. W niniejszej pacy pzedstawiono, zapoponowane pzez Shina Tana [1], [], nowatoskie podejście do analitycznego ozwiązywania poblemów fizycznych w układach oddziałujących kontaktowo femionów. Jego efektem było wypowadzenie niezwykle ważnych, uniwesalnych w tych systemach, matematycznych zależności. Relacje te doczekały się już potwiedzenia ekspeymentalnego [3], [4], [5]. Paca składa się ze wstępu, czteech ozdziałów, podsumowania, dodatków oaz bibliogafii. Piewszy ozdział zawiea omówienie najważniejszych zagadnień z fizyki kwantowej, niezbędnych do zozumienia dalszej części pacy. Zapezentowano w nim pzede wszystkim metodę pseudopotencjału, wypowadzenie funkcji falowej pzy oddziaływaniu kontaktowym oaz podstawy fomalizmu dugiej kwantyzacji dla femionów. Rozdziały dugi i tzeci zawieają szczegółowe wypowadzenia własności dystybucji Λ( k) oaz L( k), jak ównież ich tansfomat Fouiea λ( ) i l( ). W ozdziale tzecim wpowadzono także pojęcie selektoów kótkiego zasięgu i zdefiniowano selekto η( k). W ozdziale czwatym sfomułowano twiedzenie o enegii, waz ze szczegółowym dowodem. Zdefiniowano ównież tzw. kontakt C i pzedstawiono jedną z fizycznych konsekwencji twiedzenia o enegii. Dodatek A. zawiea wypowadzenie funkcji Geena dla ównania Helmholtza, a dodatek B. wypowadzone własności dystybucji Λ( k), L( k), λ( ), l( ) i selektoów kótkiego zasięgu. W bibliogafii zastosowano kolejność według cytowań w pacy. Na zakończenie składam sedeczne podziękowanie pof. d. hab. Kzysztofowi Sacha za okazaną pomoc i niezmienną życzliwość w takcie powstawania kolejnych etapów pacy. 3

4 Spis teści Wstęp 3 1 Wpowadzenie teoetyczne Kwantowa teoia ozpaszania Modelowy pseudopotencjał Rozkład na fale pacjalne Oddziaływanie kontaktowe - s Fomalizm dugiej kwantyzacji dla femionów Dystybucja Λ( k) i jej tansfomata Fouiea λ( ) 14.1 Dystybucja Λ( k) Tansfomata Fouiea dystybucji Λ( k) Selektoy kótkiego zasięgu Dystybucja L( k) i jej tansfomata Fouiea l( ) Wpowadzenie do selektoów kótkiego zasięgu Selekto η Twiedzenie o enegii Sfomułowanie matematyczne Kontakt Konsekwencje fizyczne Podsumowanie 38 Dodatki 39 A. Funkcja Geena dla ównania Helmholtza B. Wypowadzone własności

5 Rozdział 1 Wpowadzenie teoetyczne 1.1 Kwantowa teoia ozpaszania Pzeanalizujmy wzajemne oddziaływanie dwóch atomów, o masach m 1 i m, opisane potencjałem V ( 1 ) [6], [7], [8]. Niezależne od czasu ównanie Schödingea dla takiego układu jest następujące ( ) m 1 1 m + V ( 1 ) Ψ( 1, ) EΨ( 1, ). (1.1) Możemy ozsepaować uch śodka masy oaz uch względny wpowadzając nowe zmienne R m m m 1 + m, 1, M m 1 + m, 1 R + m M, R m 1 M, µ m 1m M. Mamy tutaj R (X, Y, Z), (x, y, z), i (x i, y i, z i ) skąd otzymujemy X x i x i X + x x i x m i M X ( 1)i, i 1,, x x i ( mi M X ) ( 1)i x ( ) mi M X m i ( 1)i M X x +, i 1,, x m 1 x 1 m x 1 M X + 1 µ x, i analogicznie dla pozostałych zmiennych. Funkcja falowa Ψ( 1, ) spełniająca ównanie Schödingea (1.1) sepauje się na część zależną od uchu śodka masy ϕ( R) oaz część związaną z uchem względnym ψ( ). Równanie Schödingea w nowych zmiennych ma postać ( ) M R µ + V ( ) ϕ( R)ψ( ) Eϕ( R)ψ( ). (1.) Inteesujący nas uch względny jest opisywany pzez ( ) µ + V ( ) ψ( ) E ψ( ), (1.3) 5

6 gdzie E jest enegią uchu względnego. W tego typu poblemach zakłada się enegię ozpaszania i szuka ozwiązania ψ( ) pzy konketnych, zadanych waunkach bzegowych. Bioąc E k otzymujemy µ ( + k ) ψ( ) µ V ( )ψ( ). (1.4) Rozwiązanie powyższego ównania możemy zapisać w następującej postaci ψ( ) ψ ( ) + µ d 3 G( )V ( )ψ( ), (1.5) gdzie G( ) jest funkcją Geena ównania Helmholtza tj. zachodzi ówność ( + k ) G( ) δ( ), a ψ ( ) to fala padająca, spełniająca ównanie ( + k ) ψ ( ). Zakładamy, że ma ona postać fali płaskiej tzn. ψ ( ) e i k. Chcemy by nasze ozwiązanie dla miało postać fali kulistej ozchodzącej się z centum ozpaszania. Pzy takim waunku funkcja Geena pzyjmuje postać (wypowadzenie znaleźć można w dodatkach) Wstawiając funkcję Geena (1.6) do (1.5) otzymujemy G( ) eik 4π. (1.6) ψ( ) ψ ( ) µ 4π d 3 eik V ( )ψ( ). (1.7) Załóżmy, że potencjał V ( ) pzy szybciej niż 3 - ozważamy potencjały kótkozasięgowe. Całkowanie dla potencjałów o skończonym zasięgu pzebiega efektywnie po <. Rozważmy ψ( ). W tym celu wykonujemy następujące ozwinięcie ( ) + ˆ,. Wstawiając powyższe ozwinięcie do (1.7) dostajemy asymptotyczne wyażenie na ψ( ) ψ( ) ψ ( ) + A k (ˆ) eik, (1.8) gdzie A k (ˆ) µ d 3 e ikˆ V ( )ψ( ), (1.9) 4π to tak zwana amplituda ozpaszania. Jeśli ozpaszanie zachodzi pzy badzo niskich enegiach, to amplituda ozpaszania staje się niezależna od ˆ. Dobym pzykładem jest tutaj kondensacja Bosego-Einsteina. Enegia atomów w takim pzypadku jest zędu k B T w zwiazku z czym k 1. W ganicy k otzymujemy A k (ˆ) µ d 3 V ( )ψ( ) a. (1.1) 4π Widzimy zatem, że dla niskich enegii asymptotyczna fala ozposzona jest sfeycznie symetyczna nawet gdy potencjał V ( ) nie wykazuje symetii sfeycznej. W takim pzypadku mówimy o ozpaszaniu typu s - ozpaszanie zachodzi tylko gdy moment pędu uchu względnego wynosi l. Wato zauważyć, że jest tym samym co a tylko gdy mamy do czynienia z ozpaszaniem na sfeycznej nieskończonej studni potencjału, gdzie a. 6

7 1. Modelowy pseudopotencjał Jeśli zdezenia są niskoenegetyczne - A k (ˆ) a (czyli amplituda ozpaszania jest niezależna od kieunku ozpaszania) - to pełna infomacja o oddziaływaniu zawata jest w dlugości ozpaszania a. W takim wypadku nieistotna jest dokładna postać potencjału V ( ). W zasadzie możemy pzyjąć zupełnie dowolny potencjał V ( ) jeśli tylko w wyniku zamiany V V długość ozpaszania się nie zmieni - tzn. jeśli zachodzi µ 4π d 3 V ( )ψ( ) µ 4π Najpostszym potencjałem o tej własności jest d 3 V ( )ψ( ) a. V ( 1 ) g δ( 1 ). (1.11) Stosując pzybliżenie Bona w (1.9) - podstawiamy ψ( ) ψ ( ) e i k - otzymujemy a stąd A k (ˆ) µ 4π g a, (1.1) g 4π a µ 4π a m, (1.13) gdzie pzyjęto m 1 m m µ m. W pzypadku gdy dla 1, funkcja falowa ψ( 1, ) χ( 1 + ) 1 + f( 1, ), gdzie χ( 1 + ) jest funkcją śodka masy, a f( 1, ) to część egulana w, element maciezowy naszego potencjału 1, V ψ nie jest dobze okeślony. W związku z tym poblemem wpowadzamy pseudopotencjał [], [7] V ( ) 4π a m δ( ). (1.14) W pzypadku gdy ψ( 1, ) jest egulana w otzymujemy [ 1, V ψ 4π a m δ( ) ψ( ] 1, ) + ψ( 1, ) 4π a m δ( )ψ( 1, ), czyli nie ma żadnej zmiany. Dla członu nieegulanego χ( 1 + ) 1 otzymujemy [ χ( ] 1 + ). Znak długości ozpaszania a chaakteyzuje odzaj oddziaływania. Oddziaływania pomiędzy atomami, dla któych a > są odpychające, a te dla któych a < pzyciągające. 1.3 Rozkład na fale pacjalne Zapiszmy ównanie Schödingea dla cząstki swobodnej w zmiennych katezjańskich oaz w zmiennych sfeycznych ( ) µ x + y + ψ( ) Eψ( ), (1.15) z [ ( 1 ) + 1 µ sin θ ( sin θ ) + θ θ 7 1 sin θ ] ψ( ) Eψ( ). (1.16) ϕ

8 Rozwiązanie ównania (1.15), po ozsepaowaniu ψ(~) ψx (x)ψy (y)ψz (z), jest natychmiastowe (k µe/~ ) ~ ψ(~) eik ~. (1.17) Wyażenie (1.16) ozwiązujemy sepaując funkcję falową na część adialną i część kątową ψlm (~) Rl ()Ylm (θ, ϕ). Wato tutaj dodać, że " m L Yl (θ, ϕ) ~ 1 sin θ sin θ θ θ! # 1 + Y m (θ, ϕ) ~ l(l + 1)Ylm (θ, ϕ), sin θ ϕ l (1.18) co pozwala na zapisanie (1.16) w postszej postaci " ~ 1 µ! # l(l + 1) Rl () ERl (). (1.19) Otzymaliśmy w ten sposób adialne ównanie Scho dingea dla cząstki swobodnej. Jego ozwiązaniami są sfeyczne funkcje Bessel a jl (k) i yl (k). Dla funkcji tych zachodzą następujące wzoy ekuencyjne [9] jl (x) x 1 d x dx l yl (x) x l!l 1 d x dx sin x, x!l cos x. x Chcemy mieć ozwiązania egulane w,... zatem musimy odzucić funkcje yl (k) (patz wyk. 1). Rozwiązanie (1.16) możemy więc za-...wykes 1. Sfeyczne funkcje Bessel a jl (k) i yl (k) dla l, 1,. pisać w postaci następującej sumy ψ(~) X l X Clm jl (k)ylm (θ, ϕ). (1.) l m l Powóćmy do poblemu ozpaszania. Pzy założeniu niezależności ozpaszania od ϕ (co jest słuszne dla potencjałów sfeycznie symetycznych) - symetia cylindyczna dookoła osi wyznaczanej pzez ~k - otzymujemy ψ(~) X Cl jl (k)pl (cos θ), (1.1) l gdzie Pl (cos θ) jest wielomianem Legende a. Łącząc wyażenia (1.17) i (1.1) dostajemy i~k ~ e ik cos θ e X Cl jl (k)pl (cos θ). (1.) l Widzimy zatem, że fala padająca jest supepozycją stanów o wszystkich watościach momentu pędu. Kozystając z elacji [1] Z1 1 Z1 Pl (cos θ)pl (cos θ)d(cos θ) δll, l + 1 Pl (cos θ)eik cos θ d(cos θ) il jl (k), 1 8

9 otzymujemy współczynniki C l Cl (l + 1)i l. Zatem ównanie (1.) pzyjmuje postać e i k e ik cos θ (l + 1)i l j l (k)p l (cos θ). (1.3) l Dla dużych mamy j l (k) 1 sin ( ) ( k πl k 1 ik e i(k πl/) e i(k πl/)) [9], skąd e i k 1 ik (l + 1)i ( l e i(k πl/) e i(k πl/)) P l (cos θ). (1.4) l Jeśli włączymy potencjał to jedyną możliwą zmianą funkcji falowej, w ejonach gdzie V, może być jej pzesunięcie w fazie (postać funkcyjna nie ulega zmianie) ( sin k πl ) ( sin k πl ) + δ l(k). Dla pełnej funkcji falowej (1.8) możemy napisać analogicznie ψ( ) 1 ik (l + 1)i l l (k) ( e i(k πl/+δl(k)) e ) i(k πl/+δ l(k)) P l (cos θ), (1.5) l gdzie l (k) to pewna stała. W związku z tym, że potencjał ma wpływ jedynie na falę wychodzącą, to dla fali wchodzącej do centum ozpaszania pzesunięcie fazowe musi znikać. Waunek ten wyznacza stałą l (k) e iδ l(k). Zauważając jeszcze, że e iπl/ ( i) l ozpisujemy (1.5) 1 ik ψ( ) 1 ik (l + 1)i ( l e i(k πl/+δl(k)) e i(k πl/)) P l (cos θ) l (l + 1)i ( l e i(k πl/+δl(k)) e i(k πl/) + e i(k πl/) e i(k πl/)) P l (cos θ) l e i k + eik (l + 1) eiδl(k) 1 P l (cos θ). l ik Poównując powyższe wyażenie z postacią (1.8) otzymujemy A k (θ) (l + 1) eiδl(k) 1 P l (cos θ). (1.6) l ik W pzypadku niskich enegii, gdy A k a (mamy wtedy l ), dostajemy A k a eiδ (k) 1 ik Dla fali s ównanie (1.5) pzyjmuje zatem postać ψ s ( ) ψ s () e ika k Stąd otzymujemy waunek znikania fali s δ (k) k, δ (k) ka. (1.7) sin(k ka). (1.8) ψ s (a). (1.9) 9

10 1.4 Oddziaływanie kontaktowe - s Mówimy, że dwie nieelatywistyczne cząstki w tzech wymiaach oddziałują kontaktowo gdy nie ma żadnej bezpośedniej inteakcji, jeśli ich wzajemna odległość lub/i moment pędu w uchu względnym l. Ponadto składowa funkcji falowej uchu względnego odpowiadająca l powinna spełniać poste liniowe waunki bzegowe dla [1]. Rozważmy jeszcze az uch względny dwóch cząstek/atomów o masach m 1, m. Zapiszmy dla takiego układu adialne ównanie Schödingea ( 1 ) l(l + 1) µ + ψ l ( ) E ψ l ( ). (1.3) Pełna funkcja falowa jest sumą ψ( ) ψ l ( ). Dla malych E i elatywnie niewielkich możemy pominąć wyaz zawieający l enegię 1 ψ l(l + 1) l( ) + ψ l ( ). (1.31) Rozwiązaniem tego ównania, co łatwo spawdzić, są funkcje ψ l ( ) A l (ˆ) l + B l (ˆ) l 1. (1.3) Rozpatujemy jedynie fale s zatem współczynniki A l (ˆ) B l (ˆ), l. Z waunku znikania fal s w a (1.9) otzymujemy liniowy waunek bzegowy A + B a, (1.33) gdzie A i B nie zależą już od kątów ponieważ fale s są sfeycznie symetyczne. Zakładamy tutaj, że a. Łącząc ównania (1.3) i (1.33) oaz wpowadzając zależność od czasu otzymujemy ( 1 ψ(, t) B (t) a) 1 + O(). (1.34) Rozwiążmy jeszcze ównanie Schödingea w pzypadku fal s z pseudopotencjałem (1.14). Weźmy pzy tym funkcję falową ψ( ) u(), gdzie u() w ogólności może być óżne od. Pzepiszmy teaz laplasjan z ψ( ) jako [11] ( ) ( u() u() + ) u() u() 4πu()δ( ) + 1 d u(), (1.35) d ( ) gdzie skozystaliśmy z ówności 1 4πδ( ). Równanie Schödingea na u() pzyjmuje zatem postać d u() + 4π m d m u()δ( ) + 4π a m δ( )du() E u(). (1.36) d Dostajemy stąd dwa ównania Rozwiązując je otzymujemy d u() + Eu(), u() + a du() m d d. (1.37) u() e i Em, E ma. (1.38) 1

11 W pzypadku gdy a > (potencjał odpychający) ozwiązaniem jest stan związany (o enegii E zw /ma ), któego funkcja falowa, po unomowaniu, pzyjmuje postać ψ zw ( ) e /a 1 ( 1 πa πa 1 ) + O (), (1.39) a gdzie ozwinięto eksponente do piewszego zędu. Jak widzimy, w oddziaływaniu kontaktowym funkcja falowa stanu związanego (1.39) pzyjmuje dokładnie tą samą postać funkcyjną co funkcja falowa stanu ozposzeniowego (1.34). 1.5 Fomalizm dugiej kwantyzacji dla femionów Pzestzeń Hilbeta dla pojedynczego femionu ozpinają stany φ i ( ) - np. stany własne enegii (i oznacza zespół liczb kwantowych włącznie ze spinem). Gdy mamy do czynienia z układem N femionów można wpowadzić, postą w zastosowaniu, bazę w pzestzeni Hilbeta, okeślającą liczbę femionów w danym stanie jednocząstkowym φ i ( ) tzn. n 1, n, n 3,.... (1.4) Są to tzw. stany Focka. Załóżmy, że φ i ( ) są kolejnymi stanami własnymi enegii pojedynczej cząstki. W pzypadku baku oddziaływań pomiędzy femionami, stany (1.4) są stanami własnymi układu N femionów. Stany takie łatwo wygeneować używając opeatoów keacji i anihilacji femionów â i, â i. Spełniają one następujące związki {â i, â j } â i â j + â j â i, {â i, â j} δ ij. (1.41) Antysymetia ze względu na zamianę cząstek, wymagana dla femionów, wynika wpost z ówności {â i, â j } {â i, â j} â iâ j â jâ i (kolejność keowania femionów ma znaczenie!). Zauważamy ponadto, że z pzypadku i j wynika, że nie da się umieścić dwóch femionów w tym samym stanie jednocząstkowym. Działanie opeatoów â i, â i na stany (1.4) jest następujące â i n 1,..., n i,... ϑ i n i n 1,..., i,..., (1.4) gdzie â i n 1,..., n i,... ϑ i (1 n i ) n 1,..., 1 i,..., (1.43) i 1 ϑ i ( 1) ν i, ν i n j. (1.44) W związku z antysymetią ze względu na zamianę cząstek należy wpowadzić jakieś (dowolne) upoządkowanie. Pzyjmiemy, że odpowiada ono ułożeniu kolejno stanów jednocząstkowych z osnącą enegią pojedynczej cząstki. W pzypadku stanu podstawowego - obsadzone są wszystkie stany jednocząstkowe, aż do enegii Femiego - mamy j1 1 1, 1,..., 1 N, N+1,... â 1â... â N, (1.45) gdzie jest stanem póżni. Działając na (1.45) opeatoem â N+k, k > dostajemy â N+k 1 1, 1,..., 1 N, N+1,... ( 1) N 1 1, 1,..., 1 N, N+1,..., N+k 1, 1 N+k, N+k+1,.... Wpowadzamy teaz opeatoy pola femionowego ˆψ σ ( ) φ k ( )â k,σ, (1.46) k1 11

12 gdzie wskaźnik i podzielono na pzestzenne k i spinowe σ stopnie swobody. Opeato pola femionowego ˆψ σ ( ) anihiluje femion o spinie σ w punkcie. Podobnie opeato ˆψ σ( ) keuje w punkcie femion o spinie σ. Z ówności (1.41) otzymujemy { ˆψσ ( ), ˆψ σ ( ) } {, ˆψσ ( ), ˆψ σ ( ) } δ( )δ σσ. (1.47) Zapiszmy hamiltonian dla układu N cząstek o masie m spułapkowanych w potencjale U( i ) o wzajemnym oddziaływaniu opisywanym potencjałem V ( i j ) (poniższe ozważania są słuszne zaówno dla femionów jak i bozonów) Ĥ N i1 [ ] ˆp i m + U( i) + 1 N i j1 V ( i j ). (1.48) Wiedząc, że ˆn i â iâ i jest opeatoem liczby cząstek na i-tym poziomie enegetycznym pojedynczej cząstki, hamiltonian (1.48) możemy zapisać w innej postaci - pzy wykozystaniu opeatoów â i, â i Ĥ E i â iâ i + 1 V i,j;i i1,j â iâ jâ i â j, (1.49) i,j,i,j gdzie E i i φ i ( ) to odpowiednio enegia oaz stan własny pojedynczej cząstki w pułapce, a V i,j;i,j wynosi V i,j;i,j φ i, φ j V φ i, φ j d 3 d 3 φ i ( )φ j( )V ( )φ i ( )φ j ( ). (1.5) Element maciezowy V i,j;i,j można taktować, jako amplitudę ozposzczenia dwóch cząstek ze stanów φ i, φ j do stanów φ i, φ j. Piewsza suma w wyażeniu (1.49) jest oczywista. O popawności dugiego członu można się pzekonać analizując pzykład dla N. Najkótszy achunek można pzepowadzić dla bozonów, dlatego też w tym pzypadku wyjątkowo posłużymy się układem bozonowym. Weźmy najpostszy stan bazowy w epezentacji położeń, dla układu dwóch bozonów ψ {,,...} 1,,,... φ 1 ( 1 )φ 1 ( ). (1.51) Od azu widać óżnicę pomiędzy bozonami a femionami - dwa bozony, w pzeciwieństwie do femionów, mogą znajdować się w jednym stanie. Element maciezowy V pomiędzy stanami,,... wynosi,,... V,,... d 3 1 d 3 ψ{,,...}v ( 1 )ψ {,,...} Zachodzi ponadto 1 d 3 1 d 3 φ 1( 1 )φ 1( )V ( 1 )φ 1 ( 1 )φ 1 ( ) V 1,1;1,1. i,j,i,j V i,j;i,j,,... ˆb iˆb jˆb i ˆbj,,... 1 V 1,1;1,1,,... ˆb 1ˆb 1ˆb 1ˆb1,,... V 1,1;1,1, gdzie skozystaliśmy z działania bozonowych opeatoów keacji i anihilacji na stany Focka ˆbi..., n i,... n i..., n i 1,..., (1.5) ˆb i..., n i,... n i , n i + 1,..., (1.53) W ten sposób można spawdzić ównież inne elementy maciezowe. Wacamy do femionów. Kozystając z opeatoów pola femionowego (1.46) możemy pzepisać hamiltonian (1.49) w zwatej postaci 1

13 Ĥ [ ] d 3 ˆψ σ( ) σ m + U σ ( ) ˆψ σ ( ) + 1 d 3 d 3 ˆψ σ ( ) ˆψ σ ( )V ( ) ˆψ σ ( ) ˆψ σ ( ). (1.54) σ,σ Zwóćmy uwagę na to, że wymaganie hemitowskości Ĥ nie pozwala nam zmienić położenia żadnego opeatoa bez zmiany znaku pzy nim stojącego, dlatego, że na pzykład ˆψ σ( ) ˆψ σ ( ) ˆψ σ ( ) ˆψ σ( ). Ewolucja czasowa opeatoów ˆψ σ ( ) jest opisywana pzez ównanie Heisenbega i ˆψ σ ( ) [ ˆψσ ( ), t Ĥ]. (1.55) Zajmijmy się jeszcze pzez chwilę opeatoami pola femionowego (1.46). Pokażemy najpiew skąd wynika duga z ówności (1.47) { ˆψσ ( ), ˆψ σ ( ) } φ k ( )φ k ( ){â k,σ, â (1.41) k,σ } φ k ( )φ k ( )δ kk δ σσ k,k k,k k φ k ( )φ k( )δ σσ k φ k φ k δ σσ k φ k φ k δ σσ δ( )δ σσ. Piewsza z ówności (1.47) jest wynikiem znikania antykomutatoa {â k,σ, â k,σ }. Skonstuujmy jeszcze stan składający się z N n+m femionów w położeniach 1,,..., n, s 1, s,..., s m, z któych n ma spin σ, a m spin σ 1,..., n, s 1,..., s m 1 n!m! 1 n!m! 1 n!m! k 1,...,k n,q 1,...,q m φ k1,..., φ kn, φ q1,..., φ qm 1,..., n, s 1,..., s m φ k1,..., φ kn, φ q1,..., φ qm k 1,...,k n,q 1,...,q m φ k 1 ( 1 )... φ k n ( n )φ q 1 ( s 1 )... φ q m ( s m ) φ k1,..., φ kn, φ q1,..., φ qm k 1,...,k n,q 1,...,q m φ k 1 ( 1 )... φ k n ( n )φ q 1 ( s 1 )... φ q m ( s m )â k 1,σ... â k n,σâ q 1,σ... â q m,σ. Wykozystując opeatoy pola femionowego otzymujemy 1,..., n, s 1,..., s m Czynnik nomalizacyjny wyznaczono kozystając z waunku 1 n!m! ˆψ σ ( 1 )... ˆψ σ( n ) ˆψ σ ( s 1)... ˆψ σ ( s m). (1.56) 1,..., n, s 1,..., s m 1,..., n, s 1,..., s m δ( 1 1 )... δ( s m s m ). Otzymujemy kolejno k 1,...,k n,q 1,...,q m t 1,...,t n,f 1,...,f m φ k1,...,k n, φ q1,...,q m 1,...,n, s 1,...,m 1,...,n, s 1,...,m φ t1,...,t n, φ f1,...,f m φ t1,...,t n, φ f1,...,f m φ k1,...,k n, φ q1,...,q m n!m! φ k1,...,k n, φ q1,...,q m 1,...,n, s 1,...,m 1,...,n, s 1,...,m φ k1,...,k n, φ q1,...,q m k 1,...,k n,q 1,...,q m n!m! φ k1 ( 1)φ k 1 ( 1 )... φ kn ( n)φ k n ( n )φ q1 ( s 1)φ q 1 ( s 1 )... φ qm ( s m)φ q m ( s m ) k 1,...,k n,q 1,...,q m n!m! k 1 φ k1 ( 1)φ k 1 ( 1 )... q m φ qm ( s m)φ q m ( s m ) n!m! k 1 φ k1 φ k q m φ qm φ qm s m s m n!m!δ( 1 1 )... δ( s m s m ). 13

14 Rozdział Dystybucja Λ( k) i jej tansfomata Fouiea λ( ).1 Dystybucja Λ( k) Rozpatzmy dwa identyczne femiony w póżni (o óżnych zutach spinu). Poblem ten spowadza się do ozwiązania następującego ównania Schödingea ( ) m + V ( ) ψ( ) E ψ( ), (.1) gdzie E jest enegią uchu względnego. Zakładając, że zasięg potencjału jest dużo mniejszy niż pojawiające się w poblemie wielkości o wymiaze długości (ównież amplituda ozpaszania a), możemy V zastąpić pseudopotencjałem postaci (1.14) V ( ) 4π a m δ( ), (.) gdzie jest odległością między dwiema oddziałującymi cząstkami. Oczywiście potencjał ten jest sfeycznie symetyczny. W ganicy pzy zachowaniu a pseudopotencjał (.) jest dokładny. Kozystając z tansfomaty Fouiea ψ( ) 1 (π) 3 ψ( k)e i k, (.3) oaz ównania (.1), z zastąpionym V pzez pseudopotencjał (.), otzymujemy ( E k m ) ψ( k)e i k 4π a m ψ( k)δ( ) ( e i k ). (.4) Zdefiniujmy teaz δ( ) ( e i k ) δ( )Λ( k), (.5) gdzie Λ( k) jest pewną nieznaną dystybucją k. Scałkujmy ównanie (.5) po pzestzeni d 3 δ( ) Skąd całka z lewej stony ( e i ) k d 3 δ( )Λ( k) Λ( k) d 3 δ( ) Λ( k), ( e i ) k ( ) e ik cos θ e ik cos θ (1 + ik cos θ) e i k (1 + i k ). 14

15 d 3 δ( )e i k (1 + i k ) 1, k <. Otzymujemy zatem Λ( k) 1, k <. (.6) Zauważmy ponadto, że Λ( k) jest bezwymiaowa co widać wpost z ówności definiującej (.5). Pomnóżmy teaz obustonnie ównanie (.5) pzez 1/k i scałkujmy po pzestzeni k Rozpisujemy lewą stonę k δ( ) ( e i ) k δ( ) Λ( k) k. k δ( ) ( e i ) k δ( ) d 3 k k ei k δ( ) Wykonując najpiew całki po kątach otzymujemy π dϕ 1 1 d(cos θ) e ik cos θ dk 4π Ostatnią całkę liczymy w następujący sposób π dϕ 1 1 sin(k) dk. k d(cos θ) e i k dk. sin(k) k dk 1 sin(k) k dk sgn() sin x x dx, gdzie sgn() pojawia się ze względu na ewentualną zmianę ganic całkowania (odwócenie ganic dla < ). Zauważamy, że ( ) ( ) sin x e iz ze iz x I lim I. z ε z + ε Mamy bieguny (w ±iε) pzy czym kontu całkowania obejmuje jedynie biegun w +iε. Wykozystując twiedzenie o esiduach otzymujemy wynik całki sin(k) k πsgn(). W naszym poblemie sgn() 1 skąd ostatecznie otzymujemy k δ( ) ( e i ) k π δ( ) ( ). Powadzi to nas do związku Λ( k). (.7) k Łącząc ównania (.6) i (.7) wydaje się, że otzymujemy spzeczność. Uwidacznia się ona jeśli założymy, że całka z Λ( k)/k po całej pzestzeni k jest ganicą lim V R 3 V Λ( k) k R 3 d 3 Λ( k k) k. 15

16 By jednocześnie spełnione były ównania (.6) oaz (.7) musimy zezygnować z powyższego założenia, któe de facto, jest dla znanych funkcji standadową matematyczną definicją całki po całej pzestzeni. Zauważmy, że Λ( k) oaz Λ( k)/k nie muszą spełniać tych samych eguł. Dla późniejszej wygody zapostulujemy ponadto, że Λ( k) Λ( k), (.8) co nie jest spzeczne z ównaniami (.6) i (.7). Zwacamy pzy okazji uwagę na to, że Λ ( k) oaz Λ(ξ k) (dla ξ, ξ R) spełniają dokładnie te same ównania (.6) - (.8) co Λ( k) skąd wyciągamy następujące wnioski Λ ( k) Λ( k), (.9) Λ(ξ k) Λ( k). (.1) Zbadajmy teaz całkę d 3 Λ( k k) ( k k ) + α dla stałego, skończonego wektoa k oaz α R. Kozystając z ównań (.7) i (.8) możemy zapisać kolejno d 3 Λ( k [ k) ( k k ) + α Λ( 1 k) ( k k ) + α + β ] k [ Λ( 1 k) ( k k ) + α + 1 ( k k ) + α + β ] k [ Λ( k) k ( k k ) + ( k + k ) + α ] + β [ ( k k ) + α ] [ ( k + k ) + α ] [ ] [ ]. k ( k k ) + α ( k + k ) + α Bioąc stałą β 1 dostajemy Λ( k) 16( k k ) 4(k + α )(k + k + α ) k [ ( k k ) + α ] [ ( k + k ) + α ]. Ułamek w całce dla dużych k zanika jak 1/k 4 zatem całkowanie można oganiczyć do skończonej pzestzeni k. W takim pzypadku zgodnie z ównaniem (.6) Λ( k) 1. Nasz poblem spowadza się więc do znalezienia watości wyażenia (wykozystujemy fakt, że całki z naszego wyażenia podcałkowego po sfeach o nieskończonym pomieniu dają ) π lim dϕ q 1 1 q d(cos θ) [ k dk ( k k ) + α + k ] ( k + k ) + α 1, gdzie układ współzędnych najlepiej dobać tak by k ẑ k czyli tak by kąt θ był kątem pomiędzy wektoami k i k. Po długim achunku otzymujemy wynik d 3 Λ( k k) ( k k ) + α π α. (.11) Z ównania (.11) wyciągamy inteesujący wniosek. Mianowicie, całkując po całej pzestzeni dystybucję Λ( k)/[( k k ) + α ], któa dla skończonych k jest dodatnia, otzymujemy wynik ujemny! Kozystając z ównania (.11) z α i poównując z (.7) oaz (.1) dostajemy Λ(ξ k k ) Λ( k), (.1) dla ξ, ξ R oaz stałego skończonego k. Rozpatzmy teaz całkę z wyażenia (.7) jako sumę całek po kuli o pomieniu K oaz dopełnieniu pzestzeni k 16

17 Λ( k) k k<k Λ( k) k + k>k Λ( k) k. Całka po kuli jest oczywiście ówna 4πK zaś całkę po dopełnieniu możemy zapisać jako całkę po całej pzestzeni z użyciem dystybucji Θ(k K). Wykozystując ponadto ówność (.7) otzymujemy k>k Λ( k) k Θ(k K) Λ( k) k Λ( k) k (Θ(k K) + β). Bioąc β 1 i zauważając, że Θ(k K) 1 Θ(K k) otzymujemy k>k Skąd ostatecznie Λ( k) k Λ( k) k k<k Θ(K k) Λ( k) k Λ( k) k + k>k k<k Λ( k) k 4πK. Λ( k) k 4πK 4πK, co jest wynikiem zgodnym z całką po całej pzestzeni (.7). Rachunek ten można powtózyć bioąc dowolne dwie (lub więcej), dopełniające się wzajemnie do całej pzestzeni podpzestzenie, jeśli tylko nieskończony wekto k zawaty jest w tylko jednej z podpzestzeni (pokazać to można definiując dystybucję działającą dla tych podpzestzeni dokładnie tak samo jak Θ Heaviside a w pzypadku, wybanych pzez nas dla postoty, kuli i jej dopełnienia). W ogólności, całki po całej pzestzeni k zawieające dystybucję Λ( k) są ówne sumie całek po podpzestzeniach, któe dopełniają się do całej pzestzeni k, pzy czym znów tylko jedna z nich może zawieać nieskończony k. Zbiezmy ównania okeślające dystybucję Λ( k) oaz ważniejsze wyniki, któe za ich pomocą otzymaliśmy: i) δ( ) ( e i k ) δ( )Λ( k), ii) Λ( k) 1, k <, iii) Λ( k) k, iv) Λ( k) Λ( k), v) Λ ( k) Λ( k), vi) Λ(ξ k k ) Λ( k), ξ, ξ R, k <, vii) d 3 Λ( k k) ( k k ) + α π α, α R, k <. 17

18 . Tansfomata Fouiea dystybucji Λ( k) Weźmy tansfomatę Fouiea dystybucji Λ( k) λ( ) (π) 3 Λ( k)e i k. (.13) Zauważamy, że jeśli k jest wektoem falowym to wymiaem λ( ) jest [długość] 3. Wiedząc, że Λ(ξ k) Λ( k) dla ξ, ξ R, co jest ównością vi) z k, dostajemy λ(ξ ) d 3 k (π) Λ( k)e iξ k 3 (π) 3 Λ(ξ k)e iξ k }{{} ξ k 1 k ξ 3 (π) 3 Λ( k )e i k, gdzie moduł pojawia się w wyniku znoszenia się znaku ξ z ewentualnym odwóceniem ganic (dla ξ < ). Mamy zatem następującą ówność λ(ξ ) ξ 3 λ( ), (.14) dla ξ, ξ R. W szczególności kładąc ξ 1 otzymujemy pazystość λ λ( ) λ( ). (.15) Kozystając teaz jeszcze z zeczywistości Λ( k) - własność v) - mamy λ ( ) (π) 3 Λ ( k)e i k co w połączeniu z (.15) daje zeczywistość λ (π) 3 Λ( k)e i k λ( ), λ ( ) λ( ). (.16) Weźmy własność vii) z α i wstawmy doń odwotną tansfomatę Fouiea Mamy wtedy kolejno Λ( k) d 3 λ( )e i k. (.17) d 3 Λ( k k) ( k k ) d 3 λ( ) k ( k k ) e i }{{} k k k d 3 λ( )e i k e i k k. Obliczmy całkę po pzestzeni k (całkę taką liczyliśmy już wcześniej pzy wypowadzaniu własności iii)) e i k k π dϕ 1 1 d(cos θ) dk e ik cos θ π sgn() π. Widzimy stąd, że własność vii) (dla α ) możemy pzedstawić w pzestzeni w następujący sposób d 3 λ( ) e i k. (.18) Rozwijając eksponentę dostajemy 18

19 d 3 λ( ) d 3 λ( ) e i k i q d 3 λ( ) k ˆ i d 3 λ( ) ( ik ) q q! d 3 λ( )( k ˆ)( k ) (.19) W związku z tym, że powyższa ówność ma być spełniona dla każdego skończonego k, wszystkie kolejne całki powinny się zeować. Mamy zatem na pzykład d 3 λ( ), (.) d 3 λ( )ˆ. (.1) Rozważmy funkcję φ( ), o któej założymy, że jest dobze okeślona w. Zapisując tę funkcję w postaci całki z jej tansfomaty Fouiea φ( ) φ( (π) k)e i k φ() 3 (π) 3 φ( k) π dϕ 1 1 d(cos θ) k φ( k)dk, zauważamy, że doba okeśloność funkcji φ( ) w zeze wymusza znikanie φ( k) szybciej niż 1/k 3. Całkę z iloczynu λ( )φ( ) możemy napisać jako całkę z iloczynu ich tansfomat d 3 λ( )φ( ) (π) Λ( k ) φ( k) 3 (π) Λ( k) φ( k) 3 d 3 (π) 3 ei( k+ k ) (π) Λ( k) φ( k) lim 3 K k K (π) 3 Λ( k ) φ( k)δ( k + k ) (π) 3 φ( k) φ(), gdzie skozystaliśmy z pazystości Λ( k) oaz z tego, że φ( k) znika szybciej niż k 3 co pozwala na wykozystanie, zastosowanego już wcześniej manewu z oganiczaniem całkowania do skończonej pzestzeni k gdzie zgodnie z własnością ii) Λ( k) 1. Te zabiegi dopowadzają nas do następującej ówności d 3 λ( )φ( ) φ(). (.) Równość (.) pociąga za sobą natychmiastowe konsekwencje λ( ),, (.3) d 3 λ( ) 1. (.4) Patząc na ozwinięcie (.19) zauważamy, że dla wszystkich funkcji χ( ), gładkich w obszaze zawieającym, zachodzi d 3 λ( ) χ( ). (.5) Widać to gdy zastosujemy ozwinięcie funkcji χ( ) w szeeg Tayloa w (dlatego funkcje te muszą być gładkie w tym obszaze). Możemy napisać np. χ( ) α + β + O( ) i poównać z (.) oaz (.1). Równania (.) i (.3) pokazują, że istnieje wyaźne podobieńswto pomiędzy funkcjami λ( ) a δ( ). Znaleźliśmy ównież istotne óżnice: d 3 λ( ) gdy d 3 δ( ) jest ozbieżna, a także d 3 λ( )ˆ podczas gdy d 3 δ( )ˆ jest niezdefiniowana. Równości (.) oaz (o φ( ) zakładamy dodatkowo, że d 3 δ( ) (φ( )) jest dobze zdefiniowana) 19

20 implikują d 3 δ( ) (φ( )) d 3 δ( ) φ( ) d 3 δ( ) (φ( )) + d 3 δ( )φ( ) φ(), d 3 λ( )φ( ). (.6) Wycałkujmy i) obustonnie po pzestzeni d 3 δ( ) ( e i ) k d 3 δ( )Λ( k) Λ( k). Bioąc φ( ) e i k i kozystając z (.6) otzymujemy Λ( k) d 3 λ( )e i k, (.7) co jest zgodne z (.13) ponieważ Λ( k) Λ( k). Zbiezmy, podobnie jak popzednio, wszystkie własności λ( ) (funkcje φ( ) i χ( ) okeślono w dyskusji powyżej): viii) λ(ξ ) ξ 3 λ( ), ξ, ξ R, ix) λ( ) λ( ), x) λ ( ) λ( ), xi) xii) xiii) d 3 λ( ) e i k, k <, d 3 λ( ), d 3 λ( )φ( ) φ(), xiv) λ( ),, xv) d 3 λ( ) 1, d 3 λ( )ˆ, xvi) d 3 λ( ) χ( ).

21 Rozdział 3 Selektoy kótkiego zasięgu 3.1 Dystybucja L( k) i jej tansfomata Fouiea l( ) Jeśli odzucimy założenie, że całka po całej pzestzeni jest ganicą lim f( k) f( k), V R 3 V to, opócz Λ( k), może istnieć inna dystybucja L( k) o następujących własnościach R 3 L( k), k <, (3.1) (π) 3 L( k) k 1, (3.) L( k) L( k). (3.3) Równość (3.) pociąga za sobą wymia L( k) (jeśli tylko k jest wielkością wymiaową). W pzypadku gdy k jest wektoem falowym L( k) ma wymia długości (pamiętamy pzy tym, że Λ( k) jest bezwymiaowa). Omówmy pokótce inne własności L( k). Zauważamy od azu, że dla dowolnej zwykłej funkcji f( k), dla któej poniższa ganica jest dobze okeślona, zachodzi (π) L( k) f( k) 3 L( k) f( (π) 3 k k k) lim k f( k) k (π) 3 L( k) k, bo z (3.1) całka po całej pzestzeni spowadza się do całki po sfeze w nieskończoności. Wykozystując jeszcze (3.) otzymujemy (π) 3 L( k) f( k) lim k k f( k). (3.4) Pozostaje jeszcze dookeślenie funkcji f( k). By ganica z ównania (3.4) była dobze okeślona f( k) musi znikać conajmniej jak f( k) γ k + O(k 3 ), gdzie γ jest stałą. Zastępując w (3.) L( k) pzez L(ξ k), ξ, ξ R, zmieniając zmienne k 1 ξ k oaz pamiętając o ewentualnym odwóceniu ganic (dla ujemnych ξ) otzymujemy 1

22 L(ξ k) ξ 1, (π) 3 k skąd od azu dostajemy kolejną własność (w oczywisty sposób zgodną z (3.3)) L(ξ k) ξ 1 L( k), ξ, ξ R. (3.5) Widzimy ównież, że spzężenie zespolone spełnia te same ównania zatem L ( k) L( k). (3.6) Pzesunięcie o stały, skończony wekto k nie zmienia całki (3.) ze względu na ówność (3.1), a więc L( k k ) L( k). (3.7) W oczywisty sposob widać, że całkę z (3.) możemy ozbić na całkę po skończonej kuli i dopełnieniu do całej pzestzeni k. Z własności (3.1) całka po kuli o skończonym pomieniu znika. Z kolei całka po dopełnieniu skończonej kuli ówna jest całce po całej pzestzeni co powadzi nas do tego samego wyniku - (3.). W ogólności, tak jak w pzypadku Λ( k), całki po całej pzestzeni k zawieające L( k) możemy zapisywać jako sumę całek po dopełniających się wzajemnie do całej pzestzeni k podpzestzeniach, jeśli nieskończony wekto k jest elementem całkowania po tylko jednej z tych podpzestzeni. Weźmy teaz tansfomatę Fouiea dystybucji L( k) l( ) (π) 3 L( k)e i k. (3.8) Wstawiając do (3.) tansfomatę odwotną L( k) d 3 l( )e i k, (3.9) otzymujemy kolejno L( k) (π) 3 k d 3 k 1 (π) 3 k d 3 l( )e i k d 3 (π) l( ) 3 e i k k 1. Całka po k była już pzez nas obliczana pzy okazji omawiania własności dystybucji Λ( k) i wykozystywana pzy badaniu jej tansfomaty Fouiea λ( ) dlatego podamy tylko jej wynik:. Uwzględniając ten wynik w powyższym ównaniu widzimy, że zachodzi następująca ówność π d 3 l( ) Zauważmy, że możemy zapisać ciąg następujących ówności d 3 l( )f( ) (π) L( k ) f( k)δ( k + k) (3.3) 3 (π) L( k ) f( k) 3 4π. (3.1) d 3 (π) 3 ei( k + k) (π) 3 L( k) f( k) (3.4) lim k k f( k) γ. Mamy ponadto f( ) f( (π) k)e i k 3 d 3 [ k γ )] (π) 3 k + O(k 3 e i k γ 4π + h( ),

23 gdzie Otzymaliśmy kolejno d 3 l( )f( ) lim h( ). [ ] γ d 3 l( ) 4π + h( ) γ + (π) 3 L( k) f( k) lim k k f( k) γ, d 3 l( )h( ), d 3 l( )f( ) (π) L( k) f( k) 3 d 3 l( )h( ) lim h( ). Zauważając jeszcze, że d 3 l( )f( ) [ ] γ d 3 l( ) 4π + h( ) dostajemy ważną własnośc dystybucji l( ) Rozpisując całkę z wyażenia (3.11) w następujący sposób wyciągamy wniosek o nośniku l( ) d 3 l( ) γ 4π (3.1) γ lim 4πf( ), d 3 l( )f( ) lim 4πf( ). (3.11) d 3 l( )f( ) d 3 l( ) 4π 4πf( ), l( ),. (3.1) Bioąc teaz f( ) 1 dostajemy d 3 l( ). (3.13) Z postaci (3.8) oaz z pazystości L( k) otzymujemy a także (postępując jak w każdym innym tego typu pzypadku) l ( ) l( ) l( ), (3.14) l(ξ ) ξ l( ), ξ, ξ R. (3.15) Gdy k to wekto falowy wymiaem l( ) jest [długość]. Jak popzednio zbieamy wszystkie własności L( k) oaz l( ) xvii) L( k), k <, xviii) xix) L( k) 1, (π) 3 k (π) 3 L( k) f( k) lim k k f( k), xx) L(ξ k) ξ 1 L( k), ξ, ξ R, 3

24 xxi) L ( k) L( k), xxii) L( k k ) L( k), xxiii) xxiv) d 3 l( ) 4π, d 3 l( )f( ) lim 4πf( ), xxv) l( ),, xxvi) d 3 l( ), xxvii) l ( ) l( ) l( ), xxviii) l(ξ ) ξ l( ), ξ, ξ R. 3. Wpowadzenie do selektoów kótkiego zasięgu Weźmy dwie zwykłe funkcje f 1 ( k) oaz f ( k) spełniające następujące ówności Weźmy ponadto f ( k) 1 k + ( k), (π) 3 f 1( k) 1, (3.16) (π) 3 ( k). (3.17) s 1 ( k) Λ( k), s ( k) L( k). (3.18) By ównania (3.16) i (3.17) mogły być spełnione, funkcje f 1 ( k) oaz ( k) muszą pzy k znikać szybciej niż k 3. Funkcje f 1 ( k) oaz f ( k) są liniowo niezależne i ozpinają pzestzeń liniową F. Podobnie s 1 ( k) i s ( k) (de facto Λ( k) i L( k)) napinają inną pzestzeń liniową S. Kozystając z ówności (3.16) - (3.18) oaz własności iii), xviii), a także xix) zauważamy, że następujące całki wynoszą (kozystamy ównież zeczywistości dystybucji Λ( k) i L( k) oaz z zachowania f 1 ( k) i ( k) dla k ) (π) 3 s 1( k)f 1 ( k) (π) Λ( k)f 3 1 ( k) lim K k K (π) 3 f 1( k) 1, (π) 3 s ( k)f ( k) (π) L( k)f 3 ( k) d 3 ( k 1 (π) L( k) 3 k + ( k)) 1 + lim k ( k) 1, k (π) 3 s 1( k)f ( k) (π) Λ( k)f 3 ( k) Λ( k) + lim (π) 3 k K k K (π) 3 ( k), (π) 3 s ( k)f 1 ( k) (π) 3 L( k)f 1 ( k) lim k k f 1 ( k). 4

25 Powyższe wyniki możemy zapisać w zwatej postaci (π) 3 s i ( k)f j ( k) δ ij. (3.19) Widzimy zatem, że F i S są wzajemnie dualne. Weźmy dowolną funkcję f( k) z pzestzeni F f( k) c i f i ( k). i1 Zgodnie z (3.19) używając s j ( k) (czyli zdefiniowanych pzez nas elementów z S) możemy wydobyć współczynniki c j (π) 3 s j( k)f( k) c j. Z tego powodu elementy pzestzeni S nazywać będziemy selektoami. Weźmy jeszcze tansfomaty Fouiea funkcji f i ( k) i selektoów s i ( k) Ponieważ f i ( ) (π) f i( k)e i k, s 3 i ( ) d 3 s i ( ) f j ( ) (π) 3 s i ( k )f j ( k) na mocy ówności (3.19) otzymujemy (π) 3 s i( k)e i k. d 3 (π) 3 ei( k k ) (π) 3 s i ( k)f j ( k), d 3 s i ( ) f j ( ) δ ij. (3.) Powyższa ówność jest oczywiście spójna z własnościami tansfomat selektoów Oczywiście zachodzi ównież d 3 λ( ) xiii) 1, d 3 l( ) xxvi), d 3 λ( ) 4π d 3 l( ) 4π xii), (3.1) xxiv) 1. (3.) s i ( ),. (3.3) Widzimy stąd, że s( ) pozwalają na wyodębnienie własności funkcji f( ) w okolicach (efektywnie w ). Z tego powodu elementy te nazywać będziemy selektoami kótkiego zasięgu. Poniżej zebano najważniejsze wyniki xxix) (π) 3 f 1( k) 1, xxx) f ( k) 1 k + ( k), xxxi) s 1 ( k) Λ( k), xxxii) s ( k) L( k), (π) 3 s i ( k)f j ( k) δ ij, (π) 3 ( k), 5

26 xxxiii) xxxiv) xxxv) xxxvi) (π) 3 s j( k)f( k) c j, f( k) d 3 s i ( ) f j ( ) δ ij, f i ( ) d 3 λ( ) 1, d 3 l( ), xxxvii) s i ( ),. 3.3 Selekto η d 3 λ( ) 4π, d 3 l( ) 4π 1, Definiujemy selekto η( k) jako Jego tansfomata Fouiea to oczywiście η( ) c i f i ( k), i1 (π) f i( k)e i k, s 3 i ( ) (π) 3 s i( k)e i k, η( k) Λ( k) + L( k) 4πa. (3.4) (π) η( k)e i k λ( ) + l( ) 3 4πa. (3.5) Wycałkujmy po całej pzestzeni ównanie (1.34) z selektoem η( ) [ ( 1 d 3 η( ) B (t) a) 1 ] + O() B (t) d 3 ( λ( ) + l( ) 4πa λ( ) a l( ) ) + 4πa ( d 3 λ( ) + l( ) ) O(). 4πa Piewsza całka wpost z dwóch własności xii), xv) dystybucji λ( ) oaz dwóch własności xxiii), xxvi) dystybucji l( ) wynosi zeo. Podobnie duga całka znika z własności xiii) i xxiv). Otzymujemy zatem badzo istotną własność selektoa η( ) d 3 η( )ψ s ( ) [ ( 1 d 3 η( ) B (t) a) 1 ] + O(). (3.6) Widzimy bowiem, że selekto η( ) anihiluje funkcję falową uchu względnego pzy oddziaływaniach kontaktowych (patz punkt 1.4). Kozystając jeszcze az z własności xiii) i xxiv) oaz zakładając, że funkcja f( ) jest dobze okeślona w otoczeniu dostajemy ( d 3 η( )f( ) d 3 λ( ) + l( ) ) f( ) f(). (3.7) 4πa Otzymujemy stąd od azu kolejną własność, wynikającą oczywiście także z ówności (3.5) - nośnik dystybucji λ( ) i l( ) η( ),. (3.8) Podobnie z zeczywistości i pazystości λ( ) i l( ), a także własności xii) i xxvi) otzymujemy η ( ) η( ) η( ), (3.9) 6

27 d 3 η( )ˆ. (3.3) Bioąc wyażenie (3.4) oaz własności ii) i xvii) zauważamy, że Ponadto z iii) oaz xviii) dostajemy kolejną ówność dla η( k) η( k) 1, k <. (3.31) (π) 3 η( k) k 1 4πa. (3.3) Na koniec ozważmy jeszcze następującą całkę (π) 3 η( k)f( k) k<k (π) 3 η( k)f( k) + k>k (π) 3 η( k)f( k), gdzie ozbicie na całki po kuli o pomieniu K i jej dopełnieniu do pełnej pzestzeni k jest upawnione pzez własności dystybucji Λ( k) i L( k). Załóżmy ponadto odpowiednie zachowanie funkcji f( k) - znikanie jak k lub szybciej - (patz punkt 3.1). W związku z ównością (3.31) oaz zachowaniem f( k) mamy k>k k<k (π) 3 η( k)f( k) (π) 3 η( k)f( k) k>k k<k gdzie K jest duże. Do dugiej całki dodajmy zeo postaci k<k (π) η( k) γ 3 k Otzymujemy kolejno k>k (π) 3 η( k)f( k) k>k k<k Λ( (π) k) + L( k) 3 4πa (π) η( k) γ (3.31) 3 k (π) 3 f( k), d 3 [ k γ (π) η( k) )] 3 k + O(k 3, k<k d 3 [ k γ (π) η( k) )] 3 k + O(k 3 + γ k k<k (π) η( k) γ 3 k k<k d 3 k γ (π) 3 k + Z własności iii) całka z dystybucją Λ( k) znika. Mamy zatem k<k (π) η( k) γ 3 k k>k γ (π) 3 k. k<k (π) 3 η( k)o(k 3 ). (π) 3 γ k k>k (π) η( k)f( k) 3 L( k) γ (π) 3 4πa k k<k d 3 k γ (π) 3 k + k>k (π) η( k)o(k 3 ) xviii) 3 γ 4πa k<k d 3 k γ (π) 3 k + k>k (π) 3 η( k)o(k 3 ). Możemy pzy tym zapisać γ lim k k f( k). Łącząc otzymane wyażenia dostajemy 7

28 (π) 3 η( k)f( k) γ 4πa + k<k [f( (π) k) γ ] 3 k + k>k (π) 3 η( k)o(k 3 ). Kozystając z tego, że K (jest to upawnione gdyż f( k) γ/k znika nie wolniej niż k 3 ) otzymujemy (π) η( k)f( k) γ 3 4πa + lim [f( K (π) k) γ ]. (3.33) 3 k k<k Poniżej zestawiamy otzymane własności η( k) i η( ) xxxviii) η( k) Λ( k) + L( k) 4πa, xxxix) η( ) xl) xli) (π) 3 η( k)e i k λ( ) + l( ) 4πa, d 3 η( )ψ s ( ) d 3 η( )f( ) f(), xlii) η( ),, xliii) η ( ) η( ) η( ), xliv) d 3 η( )ˆ, xlv) η( k) 1, k <, [ ( 1 d 3 η( ) B (t) a) 1 ] + O(), xlvi) xlvii) (π) 3 η( k) k 1 4πa, (π) 3 η( k)f( k) γ 4πa + lim K k<k [f( (π) k) γ ], γ lim k f( 3 k k). k 8

29 Rozdział 4 Twiedzenie o enegii 4.1 Sfomułowanie matematyczne Pzed podaniem twiedzenia zdefiniujemy ułatwiające zapis wielkości C lim k k 4 n k lim k k 4 n k, n kσ â kσ â kσ, (4.1) gdzie â kσ to standadowy opeato anihilacji dla femionów o wektoze falowym k i spinie σ. Widzimy, że z definicji n kσ jest śednią liczbą femionów o liczbach kwantowych k i σ w stanie, w któym znajduje się układ. Wielkość C, któą wypowadzamy w następnym punkcie 4. to tzw. kontakt. Pokazujemy w nim ównież, że C nie zależy od σ. Twiedzenie o enegii Niech układ, znajdujący się w gładkim potencjale zewnętznym V ext ( ), składa się z femionów o ównych masach m, zapełniających dwa stany spinowe (, ) w kontaktowym oddziaływaniu z długością ozpaszania ówną a. Niech ponadto wyażenie (maciez gęstości) ˆρ α i φ i φ i, φ i φ j δ ij, i1 α i 1, (4.) i1 spełnia dwa waunki: 1. φ i są liniowymi kombinacjami stanów własnych hamiltonianu układu (stanów własnych enegii) ze współczynnikami ozkładu zanikającymi wystaczająco szybko dla wysokich enegii - tak by funkcja falowa φ i w epezentacji położeń nie miała innych osobliwości niż te wynikające z oddziaływań pomiędzy femionami,. pawdopodobieństwo α i zanika wystaczająco szybko ze wzostem i tak, że C α i C i, (4.3) i1 gdzie C i C i, zdefiniowane pzez (4.1), są powiązane odpowiednio z ˆρ i φ i popzez ówności okeślające n kσ oaz n i, kσ n kσ α i φ i â kσ â kσ φ i, (4.4) i1 n i, kσ φ i â kσ â kσ φ i. (4.5) 9

30 W pzypadku spełnienia powyższych założeń oczekiwana enegia układu jest ówna E k,σ k m η( k)n kσ + σ d 3 V ext ( )ρ σ ( ), (4.6) gdzie η( k) to selekto zdefiniowany pzez (3.4) (patz punkt 3.3), a ρ σ ( ) jest pzestzennym ozkładem gęstości. Dowód Zauważamy, że wyażenie (4.6) składa się z dwóch członów. Człon σ d 3 V ext ( )ρ σ ( ) odpowiada enegii oddziaływania układu z polem V ext ( ). Wystaczy się zatem zająć wyażeniem k,σ η( k)n kσ k /m. Jest to enegia wewnętzna E int, któa fizycznie jest sumą enegii kinetycznych femionów oaz enegii oddziaływań między nimi. Obie sumy są ozbieżne w ganicy oddziaływań kontaktowych (o zeowym zasięgu). Jednakże enegia E int jest jednoznacznie okeślona w ganicy jeśli użyjemy metody pseudopotencjału (patz punkt 1.) - wtedy a jest ustalone. Rozważmy pzypadek, w któym układ znajduje się w czystym stanie własnym enegii φ (bądź takiej supepozycji stanów, że nie ma innych osobliwości niż te wynikajace z oddziaływania kontaktowego), w któym dokładnie N femionów ma spin skieowany w góę, a dokładnie M femionów ma spin skieowany w dół φ d d 3 N d 3 s 1... d 3 s M 1,..., N, s 1,..., s M φ 1,..., N, s 1,..., s M. (4.7) Funkcja 1,..., N, s 1,..., s M φ 1 N!M! φ( 1,..., N, s 1,..., s M ), (4.8) jest całkowicie antysymetyczna ze względu na zamianę każdych dwóch femionów w tym samym stanie spinowym. Jest ona ównież popawnie znomalizowana 1 N!M! Kozystając ponadto z (1.56) otzymujemy φ 1 N!M! d d 3 N d 3 s 1... d 3 s M φ( 1,..., N, s 1,..., s M ) 1. (4.9) d d 3 N d 3 s 1... d 3 s M φ( 1,..., N, s 1,..., s M ) ˆψ ( 1)... ˆψ ( N ) ˆψ ( s 1)... ˆψ ( s M), (4.1) gdzie ˆψ σ ( ) jest opeatoem pola femionowego (1.46) (patz punkt 1.5). Oczywiście w związku z nomalizacją 1,..., N, s 1,..., s M oaz 1,..., N, s 1,..., s M φ zachodzi ównież φ φ 1. Wspomiana wcześniej ozbieżność enegii kinetycznej w ganicy oddziaływań kontaktowych, wynika z działania opeatoa enegii kinetycznej (popocjonalnej do 3N + 3M wymiaowego laplasjanu) na funkcję falową (1.34), bo ( ) 1 m 4π δ( ). (4.11) m By usunąć osobliwość, pojawiającej się w powyższym wyażeniu delty Diaca stosujemy metodę pseudopotencjału. Pokażemy to wpost ozpisując lewą stonę (1.3) z pseudopotencjałem (1.14) i funkcją falową dla oddziaływań kontaktowych (1.34) w pzypadku dwóch femionów o masie m i pzeciwnych zutach spinu 3

31 ( m + 4π a m δ( ) ) [ ( 1 B 1 ) a 4π B δ( ) m 4π m O() B m ] + O() δ( ) m O(). W związku ze znoszeniem się istotnych w wkładów od enegii kinetycznej oaz potencjalnej oddziaływania kontaktowego możemy oganiczyć się do wyażania watości oczekiwanej enegii E int φ Ĥ φ nie jako całki po całej pzestzeni z pełnego hamiltonianu Ĥ ˆT + ˆV a jedynie do E int 1 N!M! E int 1 N!M! lim ɛ d 3N +3M Rφ ( R ) [ ˆT + ˆV ] φ ( R ), D(ɛ) d 3N +3M Rφ ( R ) ˆT φ ( R ), gdzie R 1,..., N, s 1,..., s M, a D(ɛ) jest 3N + 3M wymiaową podpzestzenią konfiguacyjną, nie zawieającą egionów, w któych dowolne dwa femiony z pzeciwnymi spinami zbliżają się do siebie na dystans mniejszy niż ɛ. Opeato enegii kinetycznej ˆT w epezentacji położeń ma postać ˆT m 3N +3M, (4.1) gdzie 3N +3M jest 3N +3M wymiaowym opeatoem Laplace a. Zapisujemy zatem ostatecznie m E int 1 N!M! lim ɛ Zdefiniujmy teaz pewną wielkość X D(ɛ) d 3N +3M Rφ ( R ) 3N +3M φ ( R ). (4.13) m X 1 d 3N +3M Rd 3 x η( x)φ ( 1,..., N, s 1,..., s M ) N!M! N φ( 1,..., j 1, j + x, j+1,..., N, s 1,..., s M ) x j1 M + φ( 1,..., N, s 1,..., s q 1, s q + x, s q+1,..., s M ). (4.14) q1 Pokażemy, że X E int. W tym celu w wyażeniu (4.14) dzielimy 3N + 3M wymiaową pzestzeń R na podpzestzeń D(ɛ) oaz jej dopełnienie I(ɛ). Całka po podpzestzeni D(ɛ) jest skończona i ciągła dla każdego x, ównież gdy x < ɛ. Zauważmy pzy tym, że selekto η( x), dla funkcji dobze okeślonych w otoczeniu x, zachowuje się jak δ( x) - własność xli). Całkując zatem pawą stonę (4.14), oganiczoną do podpzestzeni D(ɛ), po d 3 x otzymujemy pawą stonę (4.13). Dowód ówności X E int wymaga jeszcze wykazania, że w ganicy ɛ, całka po podpzestzeni I(ɛ) znika. Zauważmy najpiew, że podpzestzeń I(ɛ) odpowiada ejonom, dla któych i s j < ɛ, i 1,..., N, j 1,..., M. W pzypadku dowolnych watości ɛ ejony te mogą się oczywiście pzecinać, co badzo utudnia wyznaczenie objętości podpzestzeni I(ɛ). W pzypadku dostatecznie małych watości ɛ pzecięcia te pzestaną mieć znaczenie, a w inteesującej nas ganicy ɛ znikną zupełnie. Wtedy objętość podpzestzeni I(ɛ) będzie 31

32 popocjonalna do ɛ 3. W związku z niezależnością ejonów i s j < ɛ możemy je wyekstahować z I(ɛ) dokonując w ten sposób dalszego podziału naszej podpzestzeni konfiguacyjnej - I(ɛ) dzielimy na N M takich samych ejonów i s j < ɛ, i 1,..., N, j 1,..., M. Zauważmy ponadto, że w ganicy temodynamicznej, pzy dostatecznie małych ɛ, pay { i, s j } są wystaczająco daleko od siebie by każdą paę femionów o pzeciwnych spinach móc taktować niezależnie. Powyższa dyskusja powadzi nas do wniosku, że wystaczy zająć się jedynie jednym z takich samych N M ejonów, powiedzmy 1 s 1 < ɛ, gdyż wyniki dla każdego z nich są identyczne, a postępowanie pzy wyboze innych ejonów jest w pełni analogiczne. W pzypadku całki (4.14) z wyodębnionym ejonem 1 s 1 < ɛ tylko dwa elementy z dużego nawiasu moga dawać niezeowy wkład. Są to elementy, w któych 1 zastąpiono pzez 1 + x oaz s 1 zastąpiono pzez s 1 + x (całki po wszystkich innych elementach są całkami zawieającymi wyażenia typu φ( 1, s 1 ) d 3 1 d 3 s 1, któe znikają w ganicy ɛ ). W celu wykonania achunku pzepowadzamy zamianę zmiennych 1 s 1, 1 + s 1, i dla uposzczenia notacji zapisujemy esztę zmiennych jako: R,..., N, s,..., s M. Będziemy wykonywać najpiew całkę po, dla < ɛ (ze względu na oganiczenie ejonu), a następnie kolejno po x, oaz R. Funkcję φ ( R ) φ ( R,, ) możemy ozwinąć zgodnie z postacią (1.34) do wyażenia Definiujemy jeszcze następującą wielkość K ( R,, x ) d 3 [ φ ( R,, ) A ( ) R ( 1, 1 ) + O(). (4.15) a <ɛ A ( R, + x/ ) ( 1 + x 1 ) a [ A ( ) R ( 1, 1 ) ] + O() a + O( + x ) ], (4.16) dzięki któej zapisujemy naszą całkę w zwatej postaci Y d 3N +3M 6 R d 3 d 3 x η( x) xk ( R,, x ). (4.17) Pzed wykonaniem całki po x ozwiniemy K ( R,, x ) w otoczeniu x. Ze względu na własność xlii) możemy taktować x jako dużo mniejsze niż ɛ. W związku z ozpatywaną pzez nas ganicą ɛ, pominiemy wszystkie człony owinięcia zawieające ɛ podniesiony do dowolnej dodatniej potęgi. Pomijamy ponadto wyazy zędu x 3 i wyższe, ponieważ z własności xli) nie wnoszą one nic do całki d 3 x η( x) x[...]. Pzed ozwinięciem K ( R,, x ) wykonamy całkowanie po K ( R,, x ) πa ( R, ) A ( R, + x/ ) ɛ d [( 1 + x + x cos θ 1 ) ] + O( + x ). a 1 1 [( 1 d(cos θ) a) 1 ] + O() Ze względu na inteesującą nas ganicę ɛ opuszczamy wyazy O() i O( + x ). Całkowanie najpościej wykonać najpiew po cos θ, a następnie po 3

33 K ( R,, x ) A ( ) ( R, A R, + x/ ) π ɛ [ d(a ) ( + x) xa Całka w powyższym wyażeniu wynosi ɛ [ d(a ) ( + x) ( x) x ]. a ( x) x ] 1 ( [ (ɛ x) a 6a aɛ 3a ɛ + 3a x axɛ ax ) +3a ɛ aɛ 3 + 6a xɛ 9axɛ + 4xɛ 3 3a x + ax 3] ( aɛ ɛ + ɛ3 3a ) x ax + x3 3 + O ( x 4), gdzie wykonaliśmy ozwinięcie względem x. W związku z ganicą ɛ pozostawiamy jedynie wyażenia występujące pzy ɛ. W takim azie lim K ( R,, x ) 4πA ( ) ( R, A R, + x/ ) ( ) x ɛ x + O ( x 3). 6a Rozwijamy jeszcze A ( R, + x/ ) względem x A ( R, + x/ ) A ( R, ) + x ˆx A ( R, ) + O ( x ). Jeśli, zgodnie z wcześniej pzepowadzoną dyskusją, pominiemy wyazy zędu x 3 i wyższe to otzymamy lim K ( R,, x ) 4π ( ) A R, ɛ co po zadziałaniu laplasjanem w x daje x ( ) x x x πa ( ) R, ˆx A ( ) R,, (4.18) 6a [ lim K ( R,, x )] 4π ( ) A R ( 1, ɛ x 1 ) 6πA ( ) R, ˆx A ( ) R,. (4.19) a Kozystając z własności xl) oaz xliv) widzimy, że w ganicy ɛ, całka po x występująca w wyażeniu (4.17) jest ówna. Wykazaliśmy zatem, że w ganicy ɛ całka (4.14) po pzestzeni I(ɛ) znika. Zatem faktycznie zachodzi ówność X E int. (4.) Pzepiszmy teaz wyażenie (4.14) w fomaliźmie dugiej kwantyzacji - kozystając z opeatoów pola femionowego (1.46) m X φ d 3 d 3 x η( x) ˆψ σ( ) x ˆψ σ ( + x) φ. (4.1) Stany własne opeatoa pędu pojedynczego femionu to po postu σ φ k ( ) 1 Ω e i k, (4.) gdzie Ω jest objętością pzestzeni dostępnej dla femionu. Kozystając z otogonalności funkcji φ k ( ) oaz wyażenia na tansfomatę odwotną η( x) otzymujemy kolejno m X 1 φ d 3 d 3 x η( x) Ω xe i( k k ) e i k xâ kσ â k σ φ σ k, k 33

34 φ k,σ d 3 x η( x) xe i k xâ kσ â kσ φ φ k,σ d 3 x η( x)e i k x k â kσ â kσ φ φ η( k)k â kσ â kσ φ η( k)k φ â kσ â kσ φ. k,σ k,σ Bioąc jeszcze definicję n kσ (4.1) oaz uwzględniając ówność (4.) otzymujemy E int k,σ k m η( k)n kσ. (4.3) W ten sposób udowodniliśmy ówność (4.6) dla czystego stanu kwantowego z ustaloną liczbą femionów w dwóch stanach spinowych (, ). Niech teaz układ znajduje się w stanie mieszanym, epezentowanym pzez opeato gęstości ˆρ (4.), pzy czym dla óżnych stanów czystych z ˆρ twiedzenie jest spełnione. Niech ponadto spełniony jest waunek. Wtedy ównież dla zespołu statystycznego tych stanów twiedzenie jest popawne, co kończy dowód. Zamiana sumy po dysketnym zbioze wektoów falowych na całkę po ciągłym zbioze k wymaga wpowadzenia gęstości stanów G( k), któa po nałożeniu na tójwymiaowy układ peiodycznych waunków bzegowych wynosi G( k) Ω (π) 3, (4.4) gdzie Ω, w pzypadku jednoodnego gazu atomowego, jest objętością pzezeń zajmowaną. Jeśli gaz jest ściśnięty to Ω jest dowolną objętością znacznie pzekaczającą objętość gazu. Wykozystując ówność (4.4) możemy zapisać (...) G( k)(...) k a zatem (4.3) możemy pzepisać jako Ω (π) 3 (...), (4.5) E int Ω σ (π) 3 k m η( k)n kσ. (4.6) Kozystając z własności xlvii), definicji (4.1) oaz uwzględniając, w piewszym członie, sumowanie po zbioze spinów σ {, } dostajemy 4. Kontakt E int ΩC 4πam + lim K k <K,σ k m (n kσ C k 4 ). (4.7) Rozwińmy wielkość ρ σ (, + x) ˆψ σ ( ) ˆψ σ ( + x) względem małego x pozostawiając jedynie wyazy piewszego zędu w x. W tym celu dokonajmy podziału pzestzeni na podpzestzenie I(ɛ) i D(ɛ) - jak w dowodzie twiedzenia o enegii 34