Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski

Transkrypt

1 Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski

2 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania. Chodzi tu o stwierdzenia tak ważne, jak na przykład: masa nie może powstawać z niczego ani też znikać; pęd jest zawsze zachowany; całkowity ładunek elektryczny jest niezmiennikiem. Równania różniczkowe cząstkowe, jakie powstają w wyniku zastosowania takich koncepcji, same z kolei nazywane są zachowawczymi. Omówimy kilka konkretnych przykładów naświetlających podejście.

3 1.1. Zachowanie masy. Aby masa w objętości V była zachowana, koniecznym jest, aby szybkość jej zmian w tej objętości była równa strumieniowi masy, przecinającemu powierzchnię S ograniczającą objętość V. Innymi słowy: V ϱdv = gdzie ϱ(r, t) jest gęstością masy, a u = v. S ϱu ds,

4 Korzystając teraz z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego dla drugiej całki dostajemy: ϱ ϱdv = (ϱu)dv, zatem V ϱ V + (ϱu) = 0.

5 1.2. Zachowanie pędu. Rozważmy zachowanie pędu w kierunku i. Całkowity pęd w kierunku i w objętości V wynosi ϱu i dv. Składowa i pędu w objętości V rośnie w czasie dzięki działaniu siły zewnętrznej F w kierunku i oraz konwekcji pędu: ϱ F i m dv ϱv i v ds, co prowadzi do równania: ϱu i dv = V V V V S ϱ F i m dv S ϱv i v ds.

6 Ponownie korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego dla ostatniej całki otrzymujemy relację: Zauważmy, że: (ϱu i ) = ϱ F i m ϱv iv. v i v j = (v i u i )(v j u j ) + v i u j + u i v j u i u j = (v i u i )(v j u j ) + u i u j Definiując tensor ciśnienia P ij = ϱ (v i u i )(v j u j ) i przepisując równanie na postać wektorową otrzymujemy: (ϱu) = ϱ m F ( ˆP + ϱuu)

7 1.3. Twierdzenie o zachowaniu. Twierdzenie o zachowaniu orzeka, że jeżeli χ jest dowolną wielkością zachowaną, to zachodzi nχ + χ nv i χ n v i n χ F i n Fi χ = 0, x i x i m v i m v i gdzie n(r, t) = f(r, v, t)d 3 v, f funkcja rozkładu. Jeśli założymy, że siły zewnętrzne nie zależą od prędkości, to ostatni wyraz możemy pominąć. Przy takich oznaczeniach oczywiście ϱ(r, t) = mn(r, t).

8 Twierdzenie o zachowaniu wynika wprost z równania kinetycznego Boltzmanna. Jeśli pomnożymy obie strony tego równania przez χ i scałkujemy po v otrzymamy ( d 3 vχ(r, v) + v i + 1 ) x i m F i f(r, v) = v i Jednakże z definicji całki zderzeń ( ) f d 3 vχ = d 3 v 1 zderz d 3 v 2 d 3 vχ ( f ) zderz dωσ(ω) v 2 v 1 χ 1 (f 1f 2 f 2 f 1 ). Całka ta nie ulegnie zmianie, jeśli w funkcji podcałkowej przestawimy v 1 i v 2 ponieważ przekrój czynny σ(ω) jest niezmienniczy względem tego przestawienia. Nie ulegnie zmianie również przy przestawieniu v 1 v 1, v 2 v 2..

9 Dodając tak otrzymane całki i dzieląc wynik przez 4 dostajemy: ( ) f d 3 vχ = zderz = 1 d 3 v 1 d 3 v 2 dωσ(ω) v 1 v 2 (f 4 1f 2 f 2 f 1 )(χ 1 + χ 2 χ 1 χ 2) 0. Zatem d 3 vχf + x i 1 m d 3 vχv i f d 3 v χ v i F i f 1 m d 3 v χ v i f + 1 x i m d 3 vχ F i f = 0 v i d 3 v v i (χf i f)+ Czwarty wyraz znika, jeśli założymy znikanie f(r, v, t) przy v. Definiując wartość średnią d 3 vaf A = d3 vf = 1 d 3 vaf n otrzymujemy poszukiwane twierdzenie o zachowaniu.

10 1.4. Zachowanie energii. Dla odmiany równanie opisujące zasadę zachowania energii wyprowadzimy z twierdzenia o zachowaniu. W tym celu weźmy χ = 1 2 m v u 2, co odpowiada energii kinetycznej ruchu cieplnego. Wtedy 1 2 ϱ v u ϱv i v u x i 2 ϱ v i v u 2 = 0. x i Zdefiniujemy temperaturę kt θ = 1 3 m v u 2 i gęstość strumienia cieplnego jako q = 1 2 mϱ (v u) v u 2. Mamy wtedy i 1 2 mϱ v i v v 2 = 1 2 mϱ (v i u i ) v u mϱu i v u 2 = q i ϱθu i ϱ v i (v j u j ) = ϱ (v i u i )(v j u j ) + ϱu i v j u j = P ij.

11 Zatem równanie na zachowanie energii możemy zapisać jako 3 2 Ponieważ P ij = P ji (ϱθ) + q i x i u j m mp ij = P ij x i 2 x i (ϱθu i ) + mp ij u j x i = 0. ( uj + u ) i x i x j P ji Λ ij. Zauważając, że (ϱθ) + u (ϱθ) = d(ϱθ) dt d(ϱθ) dt możemy ostatecznie zapisać = 2 3 q 2 3 ˆP : ˆΛ ϱθ u

12 2. Równanie Naviera-Stokesa Zakładając, że rozważany ośrodek (płyn) jest izotropowy, tak że nie ma różnicy między osiami x 1, x 2, x 3, powinno być P 11 = P 22 = P 33 p, gdzie p jest z definicji ciśnieniem hydrostatycznym. Stąd ogólnie ˆP można zapisać jako: ˆP = pî + ˆP, gdzie ˆP jest tensorem bezśladowym.

13 Wprowadzimy teraz do ˆP empiryczny związek między siłą ścinającą działającą na element płynu i szybkością odkształcania tego elementu. Siła ścinająca F na jednostkę powierzchni, działająca równolegle do ściany sześcianu płynu, dąży do rozciągnięcia sześcianu w równoległościan z szybkością odpowiadającą F = µ dϕ dt, gdzie µ jest współczynnikiem lepkości.

14 Rozważmy teraz wpływ P 12 na określony element cieczy: ( P 12 dϕ1 = µ dt + dϕ ) ( 2 u2 = µ + u ) 1. dt x 1 x 2

15 W ogólnym wypadku mamy P ij = µ ( ui + u ) j, i j. x j x i Aby tensor ˆP był bezśladowy, musimy przyjąć, że [( P ij ui = µ + u ) j 2 ] x j x i 3 δ ij u µû, gdzie Û to tensor Naviera-Stokesa. Możemy teraz zapisać ogólnie równanie ruchu dla cieczy ściśliwej: (ϱu) = ϱ F (ϱuu + pî µû) m

16 Aby otrzymać równanie cieczy nieściśliwej, musimy położyć + u ϱ = 0. Wtedy równanie ciągłości dϱ dt = ϱ ϱ co implikuje u = 0. ϱ + (ϱu) = + u ϱ +ϱ u = 0, }{{} =0 Przy założeniu nieściśliwości, dywergencja tensora Naviera-Stokesa Û = ( ui + u ) ( j 2 ) u i = + 2 u j x i x j x i x i x j x 2 = 2 u, i a dywergencja diady ϱuu (ϱuu) = oraz oczywiście u i (ϱu i u j ) = ϱu j x i x }{{ i } =0 (pî) = +u i (ϱu j ) x i x i (pδ ij ) = δ ij p x i = p. = (u )(ϱu),

17 Uwzględniając powyższe relacje można zapisać (ϱu) + (u )(ϱu) = ϱ m F p + µ 2 u i równanie Naviera-Stokesa dla płynu nieściśliwego przybiera postać du dt = F m 1 ϱ p + µ ϱ 2 u.

18 Bibliografia [1] Mechanika statystyczna K. Huang [2] Metody obliczeniowe fizyki D. Potter [3] Podstawy mechaniki płynów R. Gryboś