Pojęcia podstawowe. Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier. Jak porównać dwa porządki?

Transkrypt

1 Pojęcia podstawowe Teoria zbiorów przybliżonych i teoria gier Decision Support Systems Mateusz Lango 5 listopada 16 problem decyzyjny decydent analityk model preferencji (3 rodzaje) zbiór wariantów/alternatyw kryterium koszt zysk Jak porównać dwa porządki? Jak porównać dwa porządki? Definition (Korelacja Kendalla (Tau Kendalla)) Definition (Korelacja Kendalla (Tau Kendalla)) τ = P[(x 1 x 2 )(y 1 y 2 ) > 0] P[(x 1 x 2 )(y 1 y 2 ) < 0] τ = P[(x 1 x 2 )(y 1 y 2 ) > 0] P[(x 1 x 2 )(y 1 y 2 ) < 0] τ = # zgodnych # niezgodnych # wszystkich par τ = # zgodnych # niezgodnych # wszystkich par

2 Jak porównać dwa porządki? Jak porównać dwa porządki? 1 PP 2 AMU 3 UEP 4 UM 1 PP 2 UEP 3 AMU 4 UM Podstawowe relacje w WD nierozróżnialność preferencja dominacja Definition Wariant a jest niezdominowany w sensie słabym (słabo Pareto-optymalny) wtw. gdy nie ma innego wariantu b takiego, że g i (b) jest ściśle lepsze niż g i (a) na każdym kryterium. Definition Wariant a jest niezdominowany w sensie silnym (Pareto-optymalny) wtw. gdy nie ma innego wariantu b takiego, że g i (b) jest lepsze lub równe jak g i (a) na każdym kryterium oraz na przynajmniej jednym kryterium j, g j (b) jest ściśle lepsze niż g j (a).

3 CRSA illustration of formal definitions CRSA illustration of formal definitions Objects in condition attribute space attribute 1 (Investment) a 1 Indiscernibility sets attribute 2 (Sales) 0 0 a 2 Quantitative attributes are discretized according to perception of the user CRSA illustration of formal definitions CRSA illustration of formal definitions Granules of knowlegde are bounded sets I P (x) Lower approximation of class High a 1 a 1 0 a 2 0 a 2 21

4 CRSA illustration of formal definitions CRSA illustration of formal definitions Upper approximation of class High Lower approximation of class Medium a 1 a 1 0 a 2 0 a CRSA illustration of formal definitions CRSA illustration of formal definitions Upper approximation of class Medium Boundary set of classes High and Medium a 1 a 1 0 a 2 0 a

5 CRSA illustration of formal definitions Lower = Upper approximation of class Low a 1 0 a 2 26

6 Algorytmy indukcji reguł decyzyjnych Algorytmy indukcji reguł decyzyjnych działają tak samo niezależnie od tego, na postawie którego elementu (dolne lub górne przybliżenia albo brzegi klas) są tworzone - różnica polega na interpretacji uzyskanych reguł: Reguły deterministyczne (pewne) wyznaczamy, dając na wejście algorytmu dolne przybliżenie zbioru X - w części decyzyjnej ńa pewno klasa X Reguły możliwe wyznaczamy, dając na wejście algorytmu górne przybliżenie zbioru X - w części decyzyjnej być może klasa X Reguły przybliżone wyznaczamy, dając na wejście algorytmu brzegi klas X i Y i... - w części decyzyjnej klasa X lub klasa Y lub... Algorytm LEM2 Procedure LEM2 (input: zbiór B, output: pojedyncze lokalne pokrycie T dla zbioru B); begin G:= B; {zbiór przykładów nie pokrytych dotychczas przez koniunkcje T T} T:= ; {zbiór koniunkcji T tworzący aktualne pokrycie zbioru BG} while G begin T:= ; {koniunkcja warunków elementarnych będąca kandydatem na część warunkową reguły} T(G):= {t : [t] G }; {zbiór potencjalnych warunków while T = or [T] B do elementarnych dla nie pokrytych przykładów} 35

7 Algorytm LEM2 Algorytm LEM2 while T = or [T] B do begin wybierz warunek t T(G) taki, że wyrażenie [T {t}] G ma wartość maksymalną; jeśli więcej niż jeden z warunków maksymalizuje powyższe wyrażenie, to wybierz ten, dla którego [T {t}] ma wartość minimalną; w przypadku niejednoznaczności wybierz pierwszy z rozważanych warunków; T:= T {t}; {dołącz najlepszy warunek t do koniunkcji T} G:= G [t]; {ogranicz zbiór przykładów dostarczających nowych warunków elementarnych} T(G):= {w : [w] G }; {uaktualnij listę potencjalnych warunków elementarnych} T(G):= T(G) T; {usuń z listy warunki elementarne już wybrane do tworzonej koniunkcji} end {while [T] B} Heurystyczny algorytm LEM2 Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) Wybór warunków do reguły przeprowadza się do momentu, w którym pokrywane są tylko przykłady z interesującego nas zbioru Po uzyskaniu pojedynczej reguły należy sprawdzić, czy nie ma ona warunków nadmiarowych (i ew. je usunąć) Jeśli pojedyncza reguł nie wystarczy do opisu całego zbioru przykładów (dolne lub górnego przybliżenia albo brzegu klas), algorytm stosuje się ponownie do tych, które jeszcze nie zostały pokryte Po uzyskaniu całego zbioru reguł należy sprawdzić, czy nie istnieje jakaś reguła nadmiarowa 36 end {while [T] B} for każdy warunek elementarny t T do if [T {t}] B then T:= T {t}; {usuń nadmiarowe warunki} T:= T {T}; G:= B T T [T]; end {while G } for każda koniunkcja T T do if K T-{T} [K] = B then T:= T {T}; {usuń nadmiarowe reguły} utwórz zbiór reguł R na podstawie wszystkich koniunkcji T T; end {procedure} Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) 37

8 Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) jeżeli SiAD=5... jeżeli SiAD=4,5... jeżeli SK=5... Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) jeżeli SiAD=5... (1 przykład) jeżeli SiAD=4,5...(1 przykład) jeżeli SK=5...(2 przykłady) Wybór warunków do reguły przeprowadza się do momentu, w którym pokrywane są tylko przykłady z interesującego nas zbioru jeżeli SK=5... Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) jeżeli SK=5...

9 Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) jeżeli SK=5... i SiAD=5... i SiAD=4,5... Przy wyborze warunków do reguły bierze on pod uwagę dwa czynniki w porządku leksykograficznym: liczba pokrywanych przykładów z interesującego nas zbioru (ma być jak największa) oraz liczba pokrywanych przykładów ogółem (ma być jak najmniejsza) jeżeli SK=5... i SiAD=5... (1 przykład) i SiAD=4,5...(1 przykład) Wybór warunków do reguły przeprowadza się do momentu, w którym pokrywane są tylko przykłady z interesującego nas zbioru jeżeli SK=5 i SiAD=5... Po uzyskaniu pojedynczej reguły należy sprawdzić, czy nie ma ona warunków nadmiarowych (i ew. je usunąć) jeżeli SK=5 i SiAD=5 to Stypendium=T

10 Po uzyskaniu pojedynczej reguły należy sprawdzić, czy nie ma ona warunków nadmiarowych (i ew. je usunąć) jeżeli SiAD=5 to Stypendium=T Jeśli pojedyncza reguł nie wystarczy do opisu całego zbioru przykładów (dolne lub górnego przybliżenia albo brzegu klas), algorytm stosuje się ponownie do tych, które jeszcze nie zostały pokryte jeżeli SiAD=5 to Stypendium=T P (T ) = {3} Po uzyskaniu całego zbioru reguł należy sprawdzić, czy nie istnieje jakaś reguła nadmiarowa P (T ) = {3} jeżeli SiAD=5 to Stypendium=T jeżeli SiAD=4,5 to Stypendium=T

11

12 Raporty Teoria gier 2 raporty dostępne na stronie Kolejne terminy (dane+zbiory), (Assess+UTA), (Electre) Należy zachować sobie wyniki ze zrealizowanych raportów Można np. wypełnić i zeskanować (czytelnia) Badanie optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów (lub konieczności współpracy) Wywodzi się z badania gier hazardowych Gra: dowolna sytuacja konfliktowa (strategiczna) wraz z jej formalnym opisem Gracz: dowolny uczestnik tej sytuacji (człowiek, grupa, przedsiębiorstwo, zwierzę) podejmujący decyzje; w grę zazwyczaj zaangażowanych jest wielu graczy Czy loterie są sprawiedliwe? L(50, 0.5, -50) L(50, 0.5, 0) L(50, 1 6, -10) L(15, 2 3, -30) Polowanie na Jelenia 2 myśliwych może polować na jelenia lub na zające. Ich decyzje zapadają jednocześnie i niezależnie, tzn. bez wiedzy o decyzji drugiego. Jeleń ma wartość 4, zające po 1. Każdy ma 2 akcje do wyboru: J, Z. Jesli obaj zapolują na jelenia (akcje J) to upoluja go, otrzymujac po 2. Jeśli jeden wybierze J, drugi Z, to pierwszy nic nie upoluje (otrzymuje 0), drugi upoluje zająca (otrzymuje 1). Jeśli obaj wybiora Z, to otrzymuja po 1. Przedstawimy możliwe rezultaty polowania w postaci macierzy wypłat graczy: i=1: J Z J 2 0 Z 1 1 J J 2,2 0,1 Z 1,0 1,1 i=2: J Z J 2 1 Z 0 1 Z

13 Polowanie na Jelenia 2 myśliwych może polować na jelenia lub na zające. Ich decyzje zapadają jednocześnie i niezależnie, tzn. bez wiedzy o decyzji drugiego. Jeleń ma wartość 4, zające po 1. Każdy ma 2 akcje do wyboru: J, Z. Jesli obaj zapolują na jelenia (akcje J) to upoluja go, otrzymujac po 2. Jeśli jeden wybierze J, drugi Z, to pierwszy nic nie upoluje (otrzymuje 0), drugi upoluje zająca (otrzymuje 1). Jeśli obaj wybiora Z, to otrzymuja po 1. Przedstawimy możliwe rezultaty polowania w postaci macierzy wypłat graczy: i=1: J Z J 2 0 Z 1 1 J J 2,2 0,1 Z 1,0 1,1 i=2: J Z J 2 1 Z 0 1 Z Polowanie na Jelenia 2 myśliwych może polować na jelenia lub na zające. Ich decyzje zapadają jednocześnie i niezależnie, tzn. bez wiedzy o decyzji drugiego. Jeleń ma wartość 4, zające po 1. Każdy ma 2 akcje do wyboru: J, Z. Jesli obaj zapolują na jelenia (akcje J) to upoluja go, otrzymujac po 2. Jeśli jeden wybierze J, drugi Z, to pierwszy nic nie upoluje (otrzymuje 0), drugi upoluje zająca (otrzymuje 1). Jeśli obaj wybiora Z, to otrzymuja po 1. Przedstawimy możliwe rezultaty polowania w postaci macierzy wypłat graczy: i=1: J Z J 2 0 Z 1 1 J J 2,2 0,1 Z 1,0 1,1 i=2: J Z J 2 1 Z 0 1 Z Gra W Monety (Gra Orzeł-Reszka, Matching Pennies) Gra W Monety (Gra Orzeł-Reszka, Matching Pennies) Dwaj gracze pokazują jednocześnie stronę monety (O lub R). Jeżeli pokażą takie same strony monety to gracz 1 dostaje 1 złoty od gracza 2. Jeśli pokażą różne monety to gracz 2 dostaje 1 złoty od gracza 1. Dwaj gracze pokazują jednocześnie stronę monety (O lub R). Jeżeli pokażą takie same strony monety to gracz 1 dostaje 1 złoty od gracza 2. Jeśli pokażą różne monety to gracz 2 dostaje 1 złoty od gracza 1. O R O 1,-1-1,1 R -1,1 1,-1 Czy nie można uprościć zapisu tej macierzy? Dlaczego?

14 Gra W Monety (Gra Orzeł-Reszka, Matching Pennies) Dwaj gracze pokazują jednocześnie stronę monety (O lub R). Jeżeli pokażą takie same strony monety to gracz 1 dostaje 1 złoty od gracza 2. Jeśli pokażą różne monety to gracz 2 dostaje 1 złoty od gracza 1. O R O 1,-1-1,1 R -1,1 1,-1 O R O 1-1 R -1 1 Wybór strategii optymalnej Ćwiczenie 1 Ćwiczenie ze strony internetowej Definition (Gra o sumie stałej) Gra o sumie stałej (jej szczególny przypadek to gra o sumie zerowej) to gra, w której zysk jednego gracza oznacza stratę drugiego. Dylemat więźnia Dylemat więźnia Dwóch podejrzanych A i B zostało zatrzymanych przez policję. Policja, nie mając wystarczających dowodów do postawienia zarzutów, rozdziela więźniów i przedstawia każdemu z nich tę samą ofertę: jeśli będziesz zeznawać (confess) przeciwko drugiemu, a drugi będzie milczeć, to wyjdziesz na wolność (0 lat w więzieniu), jeśli będziesz milczeć, a drugi zezna przeciwka tobie, spędzisz 5 lat w więzieniu, jeśli obaj będziecie zeznawać, obaj dostaniecie wyrok w wysokości 3 lat. Jeżeli obaj by miczeli to policja oskarży ich o droobne przewinienia i dostaną wyrok 1 rok. Każdy z nich musi podjąć decyzję niezależnie i żaden nie dowie się, czy drugi milczy, czy zeznaje, aż do momentu wydania wyroku. zdrada współpraca zdrada 2/2 5/0 współpraca 0/5 4/4

15 Definition (Strategia dominująca) Strategia zawsze nie gorsza od jakiejkolwiek innej strategii (prowadzi do niegorszego zysku), niezależnie od wyboru strategii przez przeciwnika i zdarzeń losowych. Podaj przykłady dylematu więźnia w rzeczywistych problemach WD Definition (Strategia dominująca) Strategia zawsze nie gorsza od jakiejkolwiek innej strategii (prowadzi do niegorszego zysku), niezależnie od wyboru strategii przez przeciwnika i zdarzeń losowych. Podaj przykłady dylematu więźnia w rzeczywistych problemach WD Definition (Równowaga Nasha) Profil strategii, po jednej dla każdego z graczy, takich że żaden gracz nie może poprawić swojego zysku jednostronnie odchodząc od obranej strategii W równowadze żaden z graczy nie ma powodów jednostronnie odstępować od strategii równowagi.

16 Strategie mieszane Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 1,2 2,1 B (1-p) 1,8 5,5 Policz oczekiwany zysk gracza 1 przy założeniu p = 0, 75 i q = 0, 1 Strategie mieszane Strategie mieszane Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 1,2 2,1 B (1-p) 1,8 5,5 Policz oczekiwany zysk gracza 2 przy założeniu p = 0, 75 i q = 0, 1 Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 1,2 2,1 B (1-p) 1,8 5,5 Z jakim prawdopodobieństwem swoje strategie powinien wybierać gracz 2, żeby gracz 1 był nierozróżnialny wobec swoich strategii? (spodziewany zarobek gracza 1 byłby taki sam)

17 Strategie mieszane Strategie mieszane Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 0,0 8,1 B (1-p) 1,8 5,5 Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 0,0 8,1 B (1-p) 1,8 5,5 Policz oczekiwany zysk gracza 1 przy założeniu p = 0, 5 i q = 1 Policz oczekiwany zysk gracza 2 przy założeniu p = 0, 5 i q = 1 Strategie mieszane Definition (Strategia mieszana) w jakiejkolwiek sytuacji decyzję jaki ruch wykonać gracz podejmuje losowo. Strategia mieszana zdefiniowana jest przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych. L (q) R (1-q) T (p) 0,0 8,1 B (1-p) 1,8 5,5 Z jakim prawdopodobieństwem swoje strategie powinien wybierać gracz 2, żeby gracz 1 był nierozróżnialny wobec swoich strategii? (spodziewany zarobek gracza 1 byłby taki sam) Gra z naturą Definition (Gra z naturą) W tej grze przeciwnik (los, przypadek,...) nie jest zainteresowany wynikiem rozgrywki (nie maksymalizuje swojego zysku), oznacza to, że gracz nie musi skupiać się na minimalizowaniu swoich ewentualnych strat (nie musi prowadzić rozgrywki defensywnej) Sztorm (10%) Duży wiatr(%) Bezwietrznie(50%) Zastawić na brzegu Wyciągnąć Definition (Kryterium Bayes a) Wybierz ten wariant, który maksymalizuje wartość oczekiwaną zysku

18 Loteria - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdarzeń x Równoważnik pewności - zdarzenie pewne, które jest uznawane przez decydenta za równoważne loterii Metoda Assess to metoda porządkowania Czym jest problem porządkowania? Będziemy szukać równoważników pewności dla loterii Assess opiera się o funkcję użyteczności w której zakładamy, że globalna użyteczność to ważony iloczyn użyteczności poszczególnych kryteriów