Gry z naturą 1. Przykład
|
|
- Michał Marcinkowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Gry z naturą 1 Gry z naturą to gry dwuosobowe, w których przeciwnikiem jest natura. Przeciwnik ten nie jest zainteresowany wynikiem gry, a więc grę rozwiązuje się z punktu widzenia jednego z graczy. Optymalną strategię można uzyskać stosując jedną z reguł decyzyjnych: 2 Kryterium Walda (reguła max-min) kryterium ostrożne, zakłada, że zajdzie sytuacja najmniej korzystna dla podejmującego decyzję 3. Kryterium Hurwicza pozwala znaleźć rozwiązanie, które nie jest nazbyt ryzykanckie (np. reguła max-max) lub asekuranckie (np. reguła Walda). Wykorzystuje się tu współczynnik ostrożności oznaczany symbolem, który jest liczbą z przedziału [0,1] opisującą niechęć decydenta do podjęcia ryzyka. 1 oznacza skrajną awersję do ryzyka (skrajny pesymizm), 0 skrajna skłonność do ryzyka (skrajny optymizm). minimalna wypłata dla decyzji i - maksymalna wypłata dla decyzji i Kryterium Bayesa strategia, która daje największą przeciętną wygraną (stopę zysku) obliczanej dla każdej strategii jako zwykłą średnią arytmetyczną (wszystkie stany natury są jednakowo prawdopodobne) Kryterium optymistyczne (reguła max-max) polega na określeniu dla każdej strategii maksymalnej wygranej (stopy zysku) i wyborze strategii, dla której wygrana ta jest największa Kryterium Savage a (reguła minimalnego żalu) punktem wyjścia jest chęć zminimalizowania utraconych korzyści, związanych z podjęciem decyzji, która okazała się nietrafna w kontekście zrealizowanego stanu natury. (Znajdujemy dla każdej kolumny maksymalną wygraną, od której odejmujemy pozostałe wygrane w tej kolumnie tworzymy macierz żalu Z. Macierz Z interpretujemy jako miarę strat poniesionych w wyniku podjęcia nietrafnej decyzji w stosunku do zaistniałego później stanu natury. Z wierszy macierzy Z wybieramy wartości maksymalne, a potem spośród tych wartości wybieramy te minimalizują stratę). Przykład Rolnik może zdecydować się na uprawę owsa, pszenicy albo jęczmienia, przy czym jego zysk (w tys. zł) zależy nie tylko od wyboru uprawy, ale także od stanu pogody. Dane na ten temat podaje tabela: 1 Na podstawie: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, red. K. Kukuła, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2011, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, T. Trzaskalik, PWE, Warszawa W wymienionych regułach zakładamy, że macierz wypłat składa się z elementów oznaczających zyski (dochody), które decydent chce maksymalizować. 3 W przypadku macierzy wypłat, gdzie kolejne wiersze oznaczają straty (koszty) wykorzystuje się regułę minmax.
2 Pogoda (stan natury) \ Uprawa Owies Pszenica Jęczmień S S S Które zboże powinien uprawiać rolnik, jeżeli: a) pragnie zagwarantować sobie pewien minimalny poziom przychodu, b) pragnie zminimalizować względną stratę wynikającą z wyboru nieoptymalnej decyzji, c) przy wyborze uprawy pragnie wziąć zarówno najlepsze jak i najgorsze możliwe warianty. Wariant najgorszy ma czterokrotnie wyższy wpływ na jego decyzję, d) pragnie realizować swoją decyzję przez najbliższe pięć lat. Rozwiązanie: a) Rolnik wybierze najlepszą uprawę według kryterium Wybrane zboże:.. b) W tym przypadku do wyznaczenia optymalnej decyzji posłuży kryterium... Wybrane zboże:... c) Skoro rolnika interesują najwyższe i najniższe zyski dla poszczególnych upraw, musi zastosować kryterium... Ze względu na fakt, że najniższy zysk jest czterokrotnie ważniejszy od najwyższego, współczynnik ostrożności musi wynieść... (wtedy ). Należy wybrać uprawę... d) Rolnik będzie uprawiał wybrane zboże przez kilka kolejnych lat, a więc musi brać pod uwagę średnie zyski przynoszone przez poszczególne uprawy wybierze kryterium... Najwyższy średni dochód gwarantuje wybór, a więc właśnie to zboże powinien wybrać rolnik. Rozwiązanie w STORM: 1) uruchom program STORM, wybierz moduł (17) Decision Analysis i utwórz nowy model (Create a new data set). 2) wprowadź parametry do sekcji górnej: title rolnik number of alternatives 3 number of indicators 0 number of states 3 sample information cost 0 objective type - MAX 3) wpisz dane z tabeli do tablicy głównej, pamiętaj o nazwaniu kolumn i wierszy, zwróć uwagę na ich rozmieszczenie w STORM, w wierszu STATE PROB wpisz prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów natury, np.: 0.3, 0.3, 0.4 4) rozwiąż model (F7) 5) opcje wyników: Deterministic analysis: Detailed report: y
3 Summary report: y Optimistic parameter (alpha): ) oczytaj rozwiązania dla określonych w zadaniu kryteriów podejmowania decyzji (kryterium Walda maximin, kryterium Savage a minimax regret, kryterium Hurwicza uwaga tutaj współczynnik to współczynnik optymizmu!, kryterium Bayesa equally likely). Zadania do rozwiązania Zadanie 1 Rolnik może wykorzystać pole pod jedną z następujących upraw: żyto, pszenica, rzepak, buraki i len. Zyski są uzależnione od stanów pogody. Opierając się na danych z tabeli wybierz, wykorzystując znane kryteria, najbardziej opłacalną uprawę (w metodzie Hurwicza przyjmij współczynnik ostrożności 0,75): a) gdy rolnik podejmuje decyzję raz na rok, b) gdy rolnik podejmuje decyzję raz na kilka lat. Uprawa Żyto Pszenica Rzepak Buraki Len Stan I Stan II Stan III Stan IV Zadanie 2 Strategia będzie realizowana tylko jeden raz. Tablica dochodów zależnych od podjętej decyzji i od zaistniałego stanu natury jest następująca: Dezycja\Stan natury S1 S2 S3 D D D D D D a) na podstawie reguły Bayesa, Savage a, Walda i Hurwicza ( wyznaczyć najodpowiedniejszą decyzję, jaką należy podjąć w celu maksymalizacji dochodów. Które decyzje można wykluczyć? Czy można jednoznacznie ustalić najlepszą decyzję? b) czy zmiana współczynnika ostrożności na ułatwiłaby decydentowi wybór najlepszej strategii? 4 UWAGA! w STORM przeciętna wygrana liczona jest według formuły: weigthed payoff = alpha * Maximal payoff + (1-alpha) * Minimal Payoff, gdzie alpha to współczynnik optymizmu (stąd należy wpisać 0.2 a nie 0.8)
4 Zadanie 3 Wytwórnia majonezu zamierza wprowadzić na rynek nowy produkt. Opracowano cztery receptury nowych gatunków majonezu: A, B, C i D, z których tylko jeden będzie produkowany. Przeprowadzono badania marketingowe rynku, które pozwalają ustalić spodziewane wielkości zysku (w mln zł) dla każdego gatunku w zależności od sytuacji, jaka będzie panowała na rynku. Zyski te przedstawiono w tabeli: A B C D S1 1,3 1,6 2,2 1,4 S2 4,3 1,3 1,1 2,5 S3 3,0 2,1 1,5 2,7 a) ustalić, jaki gatunek majonezu należy wprowadzić na rynek zgodnie z regułą maximin b) sprawdzić, czy ten wybór ulegnie zmianie, jeżeli zastosujemy regułę Savage a. Zadanie 4 Mamy możliwość zakupu akcji jednej z trzech spółek: A, B lub C. Spodziewane zyski zależą od stanu gospodarki (tabela, tys. zł): Stan gospodarki \ spółka A B C S S S a) uszereguj spółki według atrakcyjności, posługując się metodą Hurwicza (przyjmij współczynnik ostrożności równy 0,5) b) uszereguj spółki, posługując się regułą Walda c) wyznacz wskaźniki metody Hurwicza bez wykorzystania komputera Zadanie 5 Zrzeszenie przedsiębiorstw zamierza zwiększyć swój potencjał przemysłowy dzięki wybodowaniu nowego zakładu. Istnieją cztery warianty planu inwestycyjnego: 50, 100, 150 i 200 tys. zł, które w zależności od wielu czynników losowych mogą dać różne przyrosty produkcji. Wyróżniono cztery stany natury. Jako kryterium przyjęto uzyskanie możliwie wysokiego przyrostu produkcji w stosunku do poniesionych nakładów inwestycyjnych. Warianty i nakłady inwestycyjne (w tys. zł) Szacowany udział rocznego przyrostu produkcji w poniesionych nakładach inwestycyjnych w przypadku wystąpienia stanu natury I II III IV I 50 0,5 0,6 0,4 0,5 II 100 0,1 0,7 0,4 0,7 III 150 0,8 0,2 0,5 0,5 IV 200 0,1 0,8 0,5 0,7
5 Który z wariantów inwestycyjnych powinien wybrać dyrektor zrzeszenia: a) będąc pesymistą, b) będąc optymistą? Zadanie 6 Poszukiwanie uszkodzenia odbiornika radiowego można rozpocząć od jednego z czterech układów: A, B, C i D. W tabeli podano procent udanych prób uruchomienia odbiorników w określonym czasie w zależności od kolejności szukania uszkodzeń oraz miejsca występowania uszkodzenia. Układy A B C D A B C D Ustalić kolejność szukania uszkodzenia, jeżeli zależy nam, aby: a) przeciętna liczba udanych prób była największa, b) zminimalizować względne straty w stosunku do najlepszego możliwego stanu rzeczy, c) zastosować kryterium Hurwicza (. Zadanie 7 Rolnik ma wybrać jeden z trzech możliwych terminów siewów: I, II, III. Plony z ha w zależności od przyszłego możliwego stanu pogody: A, B, C, D, oraz terminu siewu podaje tabela: Terminy siewów Stan natury (pogody) A B C D I II III Podjąć decyzję o wyborze terminu siewu, jeśli rolnikowi zależy na: a) jak największym przeciętnym plonie z 1 ha, b) jak najmniejszej stracie w stosunku do najlepszej możliwej sytuacji.
Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2
Badania operacyjne Lista zadań projektowych nr 2 1. Trzy PGR-y mają odstawić do czterech punktów skupu pszenicę w następujących ilościach: PGR I - 100 ton, PGR II - 250 ton, PGR III - 100 ton. Punkty skupu
Bardziej szczegółowoPODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI 5.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoPrzedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2
Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 2 Reguły podejmowania decyzji w warunkach niepewności Wybór spośród A1, A2,, Am alternatyw (decyzji dopuszczalnych, opcji, działań), gdzie relatywna użyteczność
Bardziej szczegółowo8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności
8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności Wcześniej, losowość (niepewność) nie była brana pod uwagę (poza przypadkiem ubezpieczenia życiowego). Na przykład, aby brać pod uwagę ryzyko że pożyczka nie zostanie
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne i teorie optymalizacji
Badania operacyjne i teorie optymalizacji dr Zbigniew Karwacki Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Badań Operacyjnych Centrum Informatyczno-Ekonometryczne pok. E-137 Środa, 16.30-18.00 zakarwacki@uni.lodz.pl
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik
Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji
Bardziej szczegółowo1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna
-. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla
Bardziej szczegółowodr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006
dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 26 Gra z naturą polega na tym, że przeciwnikiem jest osoba, zjawisko naturalne, obiekt itp. nie zainteresowany wynikiem gry. Strategia, którą podejmie przeciwnik ma charakter
Bardziej szczegółowoProblemy oceny alternatyw w warunkach niepewności
Problemy oceny alternatyw w warunkach niepewności Statystyczne metody oceny alternatyw Rozpatrzmy sytuacje, w których decyzja pociąga za sobą korzyść lub stratę Tę sytuację nazywać będziemy problemem decyzyjnym,
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoDane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:
Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną
Bardziej szczegółowoSkowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoOptymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1
1 Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1,x 2,,x k ], który spełnia warunki ograniczające: g i (x) 0 (i = 1 m), h i (x) = 0 (i = 1 p) oraz optymalizuje
Bardziej szczegółowoCzym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych
Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowoPODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM. cz. 6. dr BOŻENA STARUCH
PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM cz. 6 dr BOŻENA STARUCH bostar@matman.uwm.edu.pl Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia
Bardziej szczegółowoCzynniki determinujące opłacalność produkcji wybranych produktów rolniczych w perspektywie średnioterminowej
Czynniki determinujące opłacalność produkcji wybranych produktów rolniczych w perspektywie średnioterminowej Konferencja nt. WPR a konkurencyjność polskiego i europejskiego sektora żywnościowego 26-28
Bardziej szczegółowoRozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI 5.3. ZADANIA Wykorzystując
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoO regularyzacji rozwiązań niejednoznacznych w grze przeciwko naturze
Zaprezentowano kilka znanych z literatury kryteriów wyboru strategii w grach przeciwko naturze i wykazano użyteczność lub nieużyteczność określonych regularyzacji. regularyzacja, kryteria wyboru strategii,
Bardziej szczegółowoKalkulacje rolnicze. Uprawy polowe
.pl https://www..pl Kalkulacje rolnicze. Uprawy polowe Autor: Maria Czarniakowska Data: 20 stycznia 2016 Kalkulacje rolnicze są podstawowym narzędziem rachunku ekonomicznego, które pozwalają na określenie
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoMateriały wykładowe (fragmenty)
Materiały wykładowe (fragmenty) 1 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA JEDNOSTADIALNEGO STEROWANIA WIELKOŚCIĄ ZAPASU W LOGISTYCZNYCH SYSTEMACH ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI
POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Inżynierii Materiałowej i Metalurgii KATEDRA INŻYNIERII PRODUKCJI OPTYMALIZACJA JEDNOSTADIALNEGO STEROWANIA WIELKOŚCIĄ ZAPASU W LOGISTYCZNYCH SYSTEMACH ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoKOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA
KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA PODSTAWOWE POJĘCIA Przedsiębiorstwo - wyodrębniona jednostka gospodarcza wytwarzająca dobra lub świadcząca usługi. Cel przedsiębiorstwa - maksymalizacja zysku Nakład czynniki
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoPrognozy zbiorów rzepaku i zbóż w ciągu ostatnich 10 lat oraz rzeczywiste wielkości zbiorów w tym samym okresie
Warszawa, 10 stycznia 2017 r. BAS- WASGiPU - 2404/16 Pan Poseł Jarosław Sachajko Przewodniczący Komisji Rolnictwa i Rozwoju Wsi Prognozy zbiorów rzepaku i zbóż w ciągu ostatnich 10 lat oraz rzeczywiste
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoNr Informacja. Przewidywana produkcja głównych upraw rolniczych i ogrodniczych w 2004 r. KANCELARIA SEJMU BIURO STUDIÓW I EKSPERTYZ
KANCELARIA SEJMU BIURO STUDIÓW I EKSPERTYZ WYDZIAŁ ANALIZ EKONOMICZNYCH I SPOŁECZNYCH Przewidywana produkcja głównych upraw rolniczych i ogrodniczych w 2004 r. Wrzesień 2004 Dorota Stankiewicz Informacja
Bardziej szczegółowoZmiany cen wybranych produktów rolnych w latach Krystyna Maciejak Dz. ekonomiki i zarządzania gospodarstwem rolnym r.
Zmiany cen wybranych produktów rolnych w latach 2010-2016 Krystyna Maciejak Dz. ekonomiki i zarządzania gospodarstwem rolnym 15.12.2017 r. Na podstawie przeciętnych cen wybranych produktów rolnych uzyskiwanych
Bardziej szczegółowoOcena sytuacji rynku sprzedaży zbóż
- 1 - AgriNet24 Internetowe sondaże Ocena sytuacji rynku sprzedaży zbóż lipiec 2014, Wrocław - 2 - Informacje o badaniu Grupa docelowa Technika wywiadów Internauci, Użytkownicy Agrofoto.pl CAPI Liczebność
Bardziej szczegółowoRealizacja mechanizmu Dopłat do materiału siewnego w województwie pomorskim.
Realizacja mechanizmu Dopłat do materiału siewnego w województwie pomorskim. Mechanizm dopłat do materiału siewnego wykorzystywanego w produkcji od samego początku funkcjonowania tj. od 2007 roku cieszy
Bardziej szczegółowoRozmyte drzewa decyzyjne jako narzędzie zarządzania ryzykiem projektów rolnych. Dorota Kuchta Ewa Ptaszyńska Politechnika Wrocławska
Rozmyte drzewa decyzyjne jako narzędzie zarządzania ryzykiem projektów rolnych Dorota Kuchta Ewa Ptaszyńska Politechnika Wrocławska Spis treści Ryzyko w projektach, narzędzia wspomagające zarządzanie ryzykiem
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii finansów
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Życie gospodarcze Psychologia inwestora Grzegorz Kowerda Uniwersytet w Białymstoku 7 listopada 2013 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL Podstawy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zadanie 1.
Statystyka Zadanie 1. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników
Bardziej szczegółowoZbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).
PROGRAMOWANIE LINIOWE Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). Problem. Przedsiębiorstwo przewozowe STAR zajmuje się dostarczaniem lodów do sklepów. Dane dotyczące
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoHalina Piotrowska. Rozwiązywanie problemów decyzyjnych w nauczaniu fizyki
Halina Piotrowska Rozwiązywanie problemów decyzyjnych w nauczaniu fizyki 1 Problemy decyzyjne pojawiają się podczas czynności wyboru działania. Rozwiązywanie problemów decyzyjnych składa się z całego szeregu
Bardziej szczegółowoWykład VII. Pokusa nadużycia, poprawność motywacyjna
Wykład VII Pokusa nadużycia, poprawność motywacyjna Ryzyko niewłaściwych zachowań; pokusa nadużycia (ang. moral hazard) Brak dbałości ex post o efekt będący przedmiotem transakcji ex ante; ukryte działanie
Bardziej szczegółowoTYDZIEŃ 42/2016 (17-23 PAŹDZIERNIKA 2016)
Strona 1 z 5 Sparks Polska Od: "Sparks Polska" Wysłano: 17 października 2016 23:12 Temat: Raport pogodowy Sparks Polska i kondycja upraw w Polsce i na świecie - 42/2016 TYDZIEŃ
Bardziej szczegółowoZałącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12
Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 6 1. Nazwa przedmiotu: PROCES PODEJMOWANIA DECYZJI KIEROWNICZYCH 2. Kod przedmiotu: 3. Karta przedmiotu
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoSystemy Wspomagania Decyzji
Teoria decyzji Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności February 5, 2016 1 Definicje 2 Normatywna teoria decyzji 3 Opisowa teoria decyzji 4 Naturalistyczny model podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoPodjęte środki, zabezpieczenia i działania w zapewnieniu dostawy materiału siewnego na najbliższe zasiewy przez przemysł nasienny
Podjęte środki, zabezpieczenia i działania w zapewnieniu dostawy materiału siewnego na najbliższe zasiewy przez przemysł nasienny Grzegorz Piechowiak Przewodniczący Zarządu Komitetu Firm Nasiennych PIN
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach ryzyka. Tomasz Brzęczek Wydział Inżynierii Zarządzania PP
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka Tomasz Brzęczek Wydział Inżynierii Zarządzania PP Ryzyko decyzyjne. Przez ryzyko decyzyjne rozumiemy zmienność wyniku decyzji przedsiębiorstwa spowodowaną losowością
Bardziej szczegółowoBiomasa uboczna z produkcji rolniczej
Biomasa uboczna z produkcji rolniczej dr Zuzanna Jarosz Warsztaty Systemy informacji o wpływie zmian klimatu i zasobach biomasy Puławy, 01 grudnia 2015 r. Głównym postulatem Unii Europejskiej, a także
Bardziej szczegółowoLista 7 i 8 Zysk księgowy i alternatywny Koszty alternatywne Koszty i utargi krańcowe Koszty produkcji w krótkim i długim okresie czasu
Zadanie 1. Pan Smith prowadzi prywatny biznes. W ubiegłym roku jego utarg wyniósł 55000, a koszty bezpośrednie 27000. Kapitał finansowy włożony w działalność zakładu wynosił przez cały rok 25000. Stopa
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoCena zboża - jakiej można się spodziewać po zbiorach?
.pl https://www..pl Cena zboża - jakiej można się spodziewać po zbiorach? Autor: Ewa Ploplis Data: 17 września 2017 W br. zostało zebrane więcej ziarna niż w roku ubiegłym. Więcej będzie: pszenicy, jęczmienia
Bardziej szczegółowoPROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE
PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE OPTYMALNA STRUKTURA PRODUKCJI Na podstawie: J. Wermut, Rachunkowość zarządcza, ODDK, Gdańsk 2013 1 DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE Decyzje krótkookresowe to takie, które dotyczą
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII ZADANIA DO CZĘŚCI 1-4 dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Zadanie 1 Dwie konkurencyjne firmy X i Y są dealerami dobrze znanej marki
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoZarządzanie finansami. Dr Rafał Cieślik
Zarządzanie finansami Dr Rafał Cieślik Egzamin: 1) Minimum 20 pytań testowych (wielokrotnego wyboru) 2) Zadania problemowe 3) Projekt badawczy Cele finansów przedsiębiorstwa Problem: Menedżerowie Boeinga,
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoMariusz Próchniak Katedra Ekonomii II Szkoła Główna Handlowa w Warszawie WARTOŚĆ INFORMACJI. Ekonomia menedżerska
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II Szkoła Główna Handlowa w Warszawie WARTOŚĆ INFORMACJI Ekonomia menedżerska 1 2 Przykład Problem poszukiwacza ropy Firma poszukująca ropy musi zdecydować, czy rozpocząć
Bardziej szczegółowoMateriały wykładowe (fragmenty)
Materiały wykładowe (fragmenty) 1 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7
Bardziej szczegółowoAzot w glebie: jak go ustabilizować?
.pl https://www..pl Azot w glebie: jak go ustabilizować? Autor: mgr inż. Dorota Kolasińska Data: 27 lutego 2017 Rośliny uprawne w zależności od gatunku i odmiany mają odmienne wymagania pokarmowe, jednak
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5
Bardziej szczegółowoWspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02
Optymalizacja całkowitoliczbowa Przykład. Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Firma stolarska produkuje dwa rodzaje stołów Modern i Classic, cieszących się na rynku dużym zainteresowaniem,
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoWielkość ekonomiczna a efekty gospodarowania i możliwe zagrożenia gospodarstw polowych w Polsce
Wielkość ekonomiczna a efekty gospodarowania i możliwe zagrożenia gospodarstw polowych w Polsce Konferencja Międzynarodowa pt. Gospodarstwa industrialne versus drobnotowarowe konkurenci czy partnerzy IERiGŻ-PIB,
Bardziej szczegółowoZbiory kukurydzy w deszczu
Zbiory kukurydzy w deszczu Autor: Małgorzata Chojnicka Data: 27 grudnia 2017 1/6 2/6 Zbiory kukurydzy są udane. Jednak rolnikom nie udało się zebrać wszystkich plonów. Kukurydza została na polach, bo nie
Bardziej szczegółowo1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania
1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoPostawy wobec ryzyka
Postawy wobec ryzyka Wskaźnik Sharpe a przykład zintegrowanej miary rentowności i ryzyka Konstrukcja wskaźnika odwołuje się do klasycznej teorii portfelowej Markowitza, której elementem jest mapa ryzyko
Bardziej szczegółowoRys. 1. Ceny zbóż w Polsce w zł/t (wg IERiGŻ)
Jerzy Grabiński Produkcja zbóż w Polsce-stan obecny i perspektywy Według szacunków GUS produkcja zbóż w Polsce w 29 roku wyniosła 29,8 mln ton i była o 7,8% wyższa niż w roku poprzednim. Taka produkcja
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania
Bardziej szczegółowoZad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto
Zad.1. Przedsiębiorstwo może wytwarzać trzy typy maszyn: tokarki, piły, frezarki zużywając dwa ograniczone zasoby: energię elektryczną i siłę roboczą w następujących proporcjach: energia (KWH / jedn.)
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności W stronę teorii decyzji 2011-12-29 Zdzisław Dzedzej 1 2011-12-29 Zdzisław Dzedzej 2 Rybołówstwo na Jamajce W.C. Davenport, Jamaican fishing: a game theory analysis,
Bardziej szczegółowoH. Sujka, Wroclaw University of Economics
H. Sujka, Wroclaw University of Economics Zarządzanie ryzykiem w tworzeniu wartości na przykładzie spółki z branży włókienniczej i tekstylnej Working paper Słowa kluczowe: Zarządzanie wartością i ryzykiem
Bardziej szczegółowoEkonomiczny Uniwersytet Dziecięcy
ŻYCIE GOSPODARCZE Psychologia inwestora Agnieszka Finneran Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 8 czerwca 2015 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL Praktyczna typologia oparta
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoNIERUCHOMOŚCI INWESTYCYJNE. efektywne inwestowanie na rynku nieruchomości komercyjnych
NIERUCHOMOŚCI INWESTYCYJNE efektywne inwestowanie na rynku nieruchomości komercyjnych Rynek nieruchomości komercyjnych w Polsce ma przed sobą olbrzymie perspektywy. Silna pozycja polskiej gospodarki, najmniejsze
Bardziej szczegółowoCele i zadania gospodarki leśnej na tle struktury Państwowego Gospodarstwa Leśnego Lasy Państwowe
Cele i zadania gospodarki leśnej na tle struktury Państwowego Gospodarstwa Leśnego Lasy Państwowe Dr inŝ. Marian Pigan Dyrekcja Generalna Lasów Państwowych Spis treści 1. Pojęcie ryzyka 2. Źródła i kategorie
Bardziej szczegółowoMaksymalizacja zysku
Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek
Bardziej szczegółowoDZIAŁALNOŚĆ GOSPODARCZA PRZEDSIĘBIORSTW O LICZBIE PRACUJĄCYCH DO 9 OSÓB W 2008 R.
Warszawa, 2009.10.16 DZIAŁALNOŚĆ GOSPODARCZA PRZEDSIĘBIORSTW O LICZBIE PRACUJĄCYCH DO 9 OSÓB W 2008 R. W Polsce w 2008 r. prowadziło działalność 1780 tys. przedsiębiorstw o liczbie pracujących do 9 osób
Bardziej szczegółowoKOSZTY, PRZYCHODY, WYNIK EKONOMICZNY. dr Sylwia Machowska
KOSZTY, PRZYCHODY, WYNIK EKONOMICZNY dr Sylwia Machowska 1 NIE MA DZIAŁAŃ BEZ KOSZTÓW Koszty stanowią zawsze punkt wyjścia myślenia ekonomicznego dlatego, że każde działanie podmiotów jest związane z ponoszeniem
Bardziej szczegółowoCena rzepaku, co czeka rolników w tym sezonie?
.pl https://www..pl Cena rzepaku, co czeka rolników w tym sezonie? Autor: Ewa Ploplis Data: 23 maja 2017 Relatywnie wysoka cena rzepaku w minionym roku przełożyła się na istotny wzrost zainteresowania
Bardziej szczegółowoPrzedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 1
Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 1 Zaliczenie Obecność Reguły gry: - Obecność obowiązkowa - kartkówki tylko w nagłych wypadkach (w wypadku niepożądanej aktywności) - Prace domowe (oddawane
Bardziej szczegółowoInnowacyjność polskich gospodarstw rolnych w warunkach wygasania kryzysu
Innowacyjność polskich gospodarstw rolnych w warunkach wygasania kryzysu Marcin Adamski Marek Zieliński Zakład Ekonomiki Gospodarstw Rolnych Warszawa, 08 października 2010 roku Treść wystąpienia 1 Innowacyjność
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoTYDZIEŃ 36/2016 (5-11 WRZEŚNIA
Strona 1 z 8 Sparks Polska Od: "Sparks Polska" Wysłano: 6 września 2016 00:26 Temat: Raport pogodowy Sparks Polska i kondycja upraw w Polsce i na świecie - 36/2016 + sierpniowe
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE KOSZTÓW PRODUKCJI JĘCZMIENIA JAREGO I OZIMEGO W WYBRANYCH GOSPODARSTWACH WOJ. ZACHODNIOPOMORSKIEGO
Inżynieria Rolnicza 10(108)/2008 PORÓWNANIE KOSZTÓW PRODUKCJI JĘCZMIENIA JAREGO I OZIMEGO W WYBRANYCH GOSPODARSTWACH WOJ. ZACHODNIOPOMORSKIEGO Jan Jurga, Tomasz K. Dobek Zakład Budowy i Użytkowania Urządzeń
Bardziej szczegółowoQuantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowo