14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier"

Transkrypt

1 14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier Klasyczna teoria gier zakłada że gracze tylko interesują się swoimi wypłatami, a nie wypłatami innych graczy. W dodatku, z założenia gracze maksymalizują swoją wypłatę oczekiwaną przy warunku że inni gracze zachowują się racjonalnie. Lekceważy to dwa następujące czynniki: a) gdy nie znamy preferencji innych graczy (np. mogą wziąć wypłaty innych graczy pod uwagę), jakie zachowanie będzie racjonalne? b) Zwykle, gracze ma awersję do ryzyka i więc mogą woleć pewną ustaloną wypłatę od losowej wypłaty o wyższej wartości oczekiwanej. W tym rozdziale, wypłata tylko odnosi się do wypłat pieniężnych określonych w znanych jednostkach. Użyteczność opisuje poziom zadowolenia wynikiem danej gry. 1 / 31

2 Gra Ultimatum 20zł należy podzielić pomiędzy dwoma graczami. Obaj gracze wiedzą ile jest pieniędzy. Pierwszy gracz (proponent) składa propozycję drugiemu graczowi (zakładamy że kwota otrzymana przez obu graczy musi być całkowitą liczbą złotówek). Drugi gracz może przyjąć tę propozycję - w tym przypadku gracze otrzymują wypłaty według podziału zaproponowanego. Gdy drugi gracz odrzuca propozycję, żaden gracz nic nie dostaje. 2 / 31

3 Gra Ultimatum - Racjonalni Gracze Skoro jest to gra z doskonałą informacją (drugi gracz obserwuje decyzję pierwszego gracza), należy wyznaczyć rozwiązanie za pomocą rekursji. Niech zaproponowany podział będzie (x, y), gdzie x jest kwotą otrzymaną przez gracza 1, a y kwotą otrzymaną przez gracza 2 oraz x + y = 20. Gracz 2 powinnien przyjąć każdą dodatnią kwotę, skoro inaczej on nic nie dostaje. Wynika z tego że gracz 1 powinien zaproponować najmniejszą dodatnią kwotę z możliwych (czyli 1zł). Intuicyjnie, gracz 1 ma mocniejszą pozycję targową. 3 / 31

4 Gra Ultimatum - Racjonalni Gracze Natomiast, wyniki eksperymentów poprowadzonych w różnych krajach pokazują że często takie oferty zostają odrzucone. W dodatku, w prawie wszystkich krajach zachodnich większość proponentów sugeruje stosunkowo równy podział puli (najczęściej żądają 50-60%). Prawie każdy proponent żąda co najmniej 50%. Z drugiej strony, gdy proponent żąda powyżej 80%, często drugi grucz odrzuca propozycję. Wyniki otrzymane w badaniach wśród plemienia amazońskiego były całkiem odmienne. Najczęściej, proponent zaoferował 20-25% kwoty do podziału, a takie oferty nigdy nie zostały odrzucone. 4 / 31

5 Gra Ultimatum - Wpływ Kultury Więc widać że kultura ma duży wpływ na zachowanie graczy w tej grze. W zachodnim świecie, gra jest interpretowana jako metoda ustalenia podziału pewnej kwoty między dwoma graczami i normy dotyczące równości/nierówności były bardzo istotnymi czynnikami określającymi zachowanie w tej grze. Dokładny kontekst też jest bardzo istotny. Na przykład, gdy rola proponenta nie jest przypisana graczowi w sposób losowy, ale według jakiegoś konkursu, wtedy proponent średnio żąda więcej. W dodatku, drugi gracz rzadziej odrzuca daną ofertę y. 5 / 31

6 Gra Ultimatum - Wpływ Kultury Można zinterpretować odrzucenie danej propozycji jako odwzajemnieinie negatywne (czyli akcja typu, gdy zrobisz mi coś niemiłego, wtedy zrewanżuję ). Wysokie żądania są częściej odrzucone z dwóch powodów: a) są mniej fair, b) koszt karania (który wynosi y) maleje gdy kwota żądana rośnie. Wydaje się że czkłonkowie plemienia amazońskiego inaczej zinterpretowali grę. Kwota zaproponowana graczowi 2 była zinterpretowana jako prezent. Więc kwestia równości nie wstępowała. 6 / 31

7 Gra Ultimatum - Inne Czynniki Prawdopodobieństwo odrzucenia propozycji że respondent dostaje p% maleje względem ilości pieniędzy w puli. Wynika to z faktu że bezwzględny koszt karania takiej propozycji rośnie względem ilości pieniędzy w puli. Natomiast, proporcja zaoferowana przez proponenta respondentowi nie zmienia się względem ilości pięniędzy w puli (chociaż proponent średnio zyskałby więcej gdyby wymagał więcej pieniędzy). Prawdopodobnie wynika to z awersji do ryzyka, która jest bardziej widoczna gdy mamy do czynienia z większymi kwotami. 7 / 31

8 Model Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Skoro gracz 1 ma mocniejszą pozycję targową, zakładamy że on żąda x, gdzie x jest co najmniej 50% puli, czyli gdy 20zł jest do podziału, x 10. Niech parametr α opisuje stosunek gracza 1 do nierówności, gdzie α 0.5. Użyteczność gracza 1 wyraża się wzorem u 1 (x, y) = x α(x y) = (1 α)x + αy, gdzie x jest wypłatą gracza 1, a y wypłata gracza 2. Więc zakładamy że użyteczność gracza 1 jest średnią ważoną z wypłat obu graczy. 8 / 31

9 Model Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Gdy α = 0, gracz 1 bierze pod uwagę tylko swoją wypłatę, czyli jest samolubny. Gdy α = 0.5, gracz 1 przypisuje tę samą wagę wypłacie gracza 2 co swojej wypłacie, czyli jest maksymalnie altruistyczny. Zakładamy że gdy α = 0.5, gracz 1 automatycznie proponuje równy podział. Gdy α < 0, gracz 1 ma użyteczność z faktu że otrzymuje większą wypłatę niż gracz 2, czyli jest złośliwy/skłonny do rywalizacji. Im większa wartość α, im większa awersja gracza 1 do nierówności. 9 / 31

10 Model Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Analogicznie, użyteczność gracza 2 wyraża się wzorem u 2 (x, y) = y β(x y) = (1 + β)y βx, gdzie β > 0 (skoro zakładamy że gracz zawsze czuje dyskomfort wynikający z nierówności gdy jego wypłata jest mniejsza niż wypłata drugiego gracza). Średnio, β będzie większe niż α (ogólnie ludzie czują więcej dyskomfortu z nierówności gdy dostają względnie małą wypłatę niż gdy dostają względnie dużą wypłatę). Natomiast, w poszczególnych grach jest możliwe że α > β, skoro dwaj różni gracze biorą udział w grze. 10 / 31

11 Interpretacja Modelu Użyteczność gracza wynika nie tylko z pieniędzy, które on dostaje, ale też z pieniędzy otrzymanych przez innych graczy. Składowa funkcji użyteczności, która zależy od różnicy między wypłatami może wyniknąć z norm społecznych, czyli gracze czują się winni gdy mają większe wypłaty niż inni, a złość/zazdrość gdy mają mniejsze wypłaty niż inni. Sportowcy często traktują takie gry jako konkurs i więc fakt że mają większe wypłaty niż inni podnosi ich użyteczność, nawet gdy ich wypłata jest względznie mała. 11 / 31

12 Interpretacja Modelu Normy społeczne oraz stosunek do nierówności wpływają na zachowanie gracza. Z drugiej strony, ta relacja jest często niejasna. Intuicyjnie, im więcej żąda gracz 1, tym bardziej prawdopodobne jest to że gracz 2 odrzuca ofertę. Więc jeżeli gracz 1 proponuje równy podział, może to wyniknąć z a) awersji do ryzyka, b) awersji do nierówności, c) kombinacja tych dwóch czynników. Więc to samo zachowanie może wyniknąć z różnych norm/mechanizmów. 12 / 31

13 Racjonalność Bayesowka Idea racjonalności Bayesowskiej polega na założeniu że gracze zachowują się optymalnie według swoich funkcji użyteczności oraz swoich opinii dotyczących zachowania innych graczy (należy zanotować że często sensownie jest założyć iż inni gracze nie zachowują się racjonalnie w sensie ekonomicznym). W grze Ultimatum, opinie gracza 2 dotyczące zachowania gracza 1 nie grają roli, skoro gracz 2 obserwuje akcję gracza 1. Natomiast, gdy gracz 1 podejmuje swoją decyzję, powinien brać pod uwagę swoje opinie dotyczące zachowania gracza / 31

14 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Skoro decyzje są podjęte w sekwencji, rozwiązujemy tę grę za pomocą rekursji, czyli najpierw rozważamy decyzję gracza 2 przy danej propozycji gracza 1. Należy zauważyć że niezależnie od stosunku gracza 2 do nierówności, woli on równy podział [wektor wypłat (10; 10)] od odrzucenia propozycji [wektor wypłat (0; 0)]. Czyli respondent zawsze przyjmuje równy podział. Inaczej, gracz 2 powinien przyjąć propozycję gdy jego użyteczność z tego podziału jest większa niż ta z odrzucenia propozycji, czyli u 2 (x, y) > u 2 (0, 0). Należy zauważyć że gdy gracz 2 odrzuca ofertę, obaj gracze otrzymują użyteczność / 31

15 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Wynika z tego że gdy gracz 1 oferuje graczowi 2 kwotę y = 20 x, należy przyjąć ofertę wtedy i tylko wtedy gdy (1 + β)y β(20 y) > 0 y 20β 1 + 2β, gdzie β opisuje poziom awersji do nierówności gracza 2. Jeżeli β jest małe, gracz 2 tylko odrzuca propozycję gdy gracz 1 żąda bardzo dużej proporcji puli. Gdy β jest duże, gracz 2 tylko przyjmuje równy podział. 15 / 31

16 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Gdy gracz 1 nie jest maksymalnie altruistyczny, czyli α < 0.5, oraz wie jaki jest stosunek do nierówności gracza 2, wtedy należy zaproponować graczowi 2 najmniejszy podział, który jest gotów przyjąć. Na przykład, gdy β = 1, wtedy gracz 2 przyjmuje propozycję wtedy i tylko wtedy gdy y 20β 1+2β 6, 67. Więc, gdy obaj gracze muszą dostać całkowitą liczbę dolarów, wtedy gracz 2 przyjmuje propozycję, przy której dostaje co najmniej 7zł. Gracz 1 powinien zaproponować graczowi 2 dokładnie tę sumę (czyli żądać 20-7 = 13zł). 16 / 31

17 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Z drugiej strony, ogólnie gracz 1 nie wie jaki stosunek ma gracz 2 do nierówności. W tym przypadku, gracz 1 używa estymatora rozkładu stosunków do nierówności w populacji, który można opisać za pomocą zbiór prawdopodobieństw tego że dana propozycja zostaje przyjęta. Rozważamy następujący przykład gdzie istnieją dwa typy respondentów. Pierwszy typ tylko przyjmuje równy podział, a drugi typ tylko przyjmuje propozycję, przy której dostaje co najmniej 5zł. Zakładamy że 30% graczy jest typu 1, a 70% jest typu / 31

18 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi W takim wypadku, gracz 1 powinien albo zaproponować równy podział lub żądać 15zł (jeżeli gracz 2 przyjmuje 9zł, wtedy też przyjmuje 5zł, więc nie opłaca się graczowi 1 oferować graczowi 2 między 6zł a 9zł). Wynika z tych założeń że gracz 2 zawsze przyjmuje równy podział, a przyjmuje ofertę kwoty 5zł z prawdopodobieństwem 0,7. Roważamy dwa typy proponentów: a) samolubny, czyli interesuje gracza 1 tylko swoja wypłata, b) gracz 1 ma pewną awersję do nierówności opisaną funkcją użyteczności u 1 (x, y) = 0, 8x + 0, 2y. W obu przypadkach, zakładamy że gracz 1 maksymalizuje swoją oczekiwaną użyteczność (w przypadku samolubnego gracza jest to równoważne maksymalizacji swojej wypłaty oczekiwanej). 18 / 31

19 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Samolubny gracz 1 maksymalizuje swoją wypłatę oczekiwaną. Oczekiwana wypłata z propozycji równego podziału wynosi 10 (propozycja taka na pewno zostaje przyjęta). Oczekiwana wypłata z żądania kwoty 15zł wynosi 15 0, , 3 = 10, 5. Więc samolubny gracz powinien żądać 15zł. 19 / 31

20 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Gdy u 1 (x, y) = 0, 8x + 0, 2y, użyteczność gracza 1 z równego podziału wynosi 0, , 2 10 = 10. Skoro gracz 2 zawsze przyjmuje taki podział, oczekiwana użyteczność gracza 1 wynosi 10. W tym przypadku, użyteczność z podziału (15; 5) wynosi 0, , 2 5 = 13. Skoro gracz 2 przyjmuje taki podział z prawdopodbieństwem 0,7, oczekiwana użyteczność gracza 1 wynosi 13 0, , 3 = 9, / 31

21 Rozwiązanie Gry Ultimatum z Graczami Społecznymi Wynika z tego że gdy gracz 1 ma taki poziom awersji do nierówności, powinien zaproponować równy podział. Należy zauważyć że podejście to zakłada że proponent maksymalizuje swoją użyteczność oczekiwaną. W szczególności samolubny gracz maksymalizuje swoją wypłatę oczekiwaną. Natomiast, samolubny gracz, który ma awersję do ryzyka może też zaproponować równy podział. Więc, różne mechanizmy/normy mogą prowadzić do tej samej propozycji. 21 / 31

22 Gra Zaufanie W grze Zaufanie, gracz 1 (inicjator) ma 10zł i może przekazać całkowitą liczbę złotych graczowi 2 (respondent) Oznaczamy tę wartość przez x. Przelew ten jest pomnożony przez 3. Więc gracz 2 dostaje 3x. Gracz 2 może przekazać z powrotem graczowi 1 całkowitą liczbę złotych (między 0 a 3x). Oznaczamy tę wartość przez y. Wynika z tego że wypłaty graczy przy decyzjach (x, y) wynoszą v 1 (x, y) = 10 x + y, v 2 (x, y) = 3x y, gdzie 0 x 10 oraz 0 y 3x. 22 / 31

23 Gra Zaufanie z Graczami Racjonalnymi w Sensie Ekonomicznym Skoro decyzje są podjęte w sekwencji, rozwiązujemy tę grę za pomocą rekursji. Poprzez przelewanie pieniędzy z powrotem graczowi 1 gracz 2 obniża swoją wypłatę, więc gracz 2 nie powinien przekazać graczowi 1 żadnych pieniędzy. Wynika z tego że gracz 1 też nie powinien przekazać graczowi 2 pieniędzy, skoro to obniża swoją wypłatę końcową. Więc w równowadze żaden gracz nie przelewa pieniędzy i wektor wypłat wynosi (10; 0). 23 / 31

24 Gra Zaufanie - Gracze Społeczne W tej grze, gracze mogą osiągnąć równy podział, który maksymalizuje sumę wypłat (czyli jest optymalny w sensie społecznym), gdy pierwszy gracz przekazuje wszystkie 10zł drugiemu graczowi (czyli gracz 2 otrzymuje 30zł) i potem gracz 2 oddaje 50% tej sumy (15zł) z powrotem graczowi 1. Natomiast, aby osiągnąć taki wektor wypłat: 1. Gracz 1 musi wierzyć że gracz 2 odwzajemnia (czyli gracz 1 musi wierzyć że gracz 2 jest godny zaufania). 2. Gracz 2 musi odwzajemniać. 24 / 31

25 Gra Zaufanie - Gracze Społeczne Trudniej zinterpretować grę Zaufanie z punktu widzenia optymalności społecznej oraz nierówności. W grze Ultimatum, jedyne sensowne rozwiązanie egalitarnane jest równym podziałem (10; 10). W grze Zaufanie, równe wypłaty można uzyskać różnymi sposobami. W dodatku, aby osiągnąć równy podział, który maksymalizuje sumę wypłat, (15; 15), gracz 1 musi okazać wysoki poziom zaufania graczowi / 31

26 Gra Zaufanie - Gracze Społeczne Generalnie, fakt że ktoś nie okazuje zaufania jest bardziej do przyjęcia niż brak odwzajemnienia pozytywnego (bycie niegodnym zaufania) lub zachowanie, które jest wyraźnie nie fair, np. żądanie wysokiej proporcji puli w grze Ultimatum. Z tego powodu, oczekujemy bardziej szerokiego zakresu zachowania w grze Zaufania niż w grze Ultimatum. Oczekujemy że zachowanie gracza 1 (inicjator) zależy od jego stosunku do nierówności (wstępny podział pieniędzy jest nie fair ) oraz jego poziomu zaufania. Zachowanie gracza 2 zależy od normy odwzajemnienia, której używa. Normy te odzwierciedlają stosunki do nierówności, ale przede wszystkim co to znaczy być (nie)godnym zaufania. 26 / 31

27 Gra Zaufanie - Inicjatorzy Zachowanie inicjatorów można podzielić na cztery grupy: 1. Nie przekazać żadnych pieniędzy - decyja racjonalna w sensie ekonomicznym. 2. Przekazać 2zł lub 3zł - Zapewnia (w przybliżeniu) równy podział po pierwszym przelewie. Tacy gracze mają awersję do nierówności, ale są nieufni. 3. Przekazać 50%. Gracze ci okazują ograniczone zaufanie. 4. Przekazać 10zł. Gracze ci są ufni. 27 / 31

28 Gra Zaufanie - Inicjatorzy Należy zauważyć że popularność akcji przekazać 50% (największa proporcja studentów przekazała tyle) może wyniknąć z efektu centrowania. Inicjatorzy mogą szybko zanalizować wybory ekstremalne i zdecydować że nie chcą przekazać 10zł, skoro mogą zostać frajerami, lub nic nie przekazać, bo jest to nie fair. Skoro te ekstremalne decyzje są złe z różnych powodów, bez głębszych analiz initacjor może wnioskować że środek przedziału będzie dobrym wyborem. 28 / 31

29 Gra Zaufanie - Respondenci Analiza wyników z naszych eksperymentów sugeruje że większość respondentów używa jednej z czterech następujących norm: 1. Nie przekazać żadnych pieniędzy - norma racjonalna w sensie ekonomicznym. 2. Oddać jedną trzecią - W ten sposób gracz 1 nie traci. 3. Oddać 50%. Podziela zyski z pierwszego przelewu. 4. Wyrównać wypłaty - gdy gracz 2 ma więcej pieniędzy niż gracz 1. Inaczej nie oddać żadnych pieniędzy. 29 / 31

30 Gra Zaufanie - Respondenci Należy zauważyć że różne normy odwzajemnienia mogą prowadzić do tej samej decyzji w określonych sytuacjach, np. 1. Przy racjonalnej normie oraz normie wyrównania wypłat, respondent nie oddaje żadnych pieniędzy gdy inicjator przekazuje 2zł lub mniej. 2. Przy normie oddać 33% oraz normie wyrównania wypłat, 5zł jest oddane gdy inicjator przekazuje 5zł. 3. Przy normie wyrównania wypłat oraz normie oddać 50%, 15zł jest oddane gdy inicjator przekazuje 10zł. Więc analiza tych wyników musi brać to pod uwagę. 30 / 31

31 Gra Zaufanie - Respondenci W naszych badaniach, inicjatorzy, którzy przekazali całą sumę, średnio dostali większą wypłatę niż pozostali gracze. Wynikało to z faktu że proporcja respondentów, którzy oddali 50% lub korzystali z zasady wyrównania wypłat, przeważyła nad proporcją respondentów, którzy nic nie oddali. Z drugiej strony, inicjatorzy ci byli wystawieni na wyższy stopień ryzyka niż ci, którzy nic nie przekazali. 31 / 31

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne

6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne 6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne

Bardziej szczegółowo

8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności

8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności 8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności Wcześniej, losowość (niepewność) nie była brana pod uwagę (poza przypadkiem ubezpieczenia życiowego). Na przykład, aby brać pod uwagę ryzyko że pożyczka nie zostanie

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

5. Teoria Podaży i Popytu - Popyt

5. Teoria Podaży i Popytu - Popyt 5. Teoria Podaży i Popytu - Popyt Popyt na dobro maleje względem ceny (o ile dobro jest tak zwane normalne, a nie luksusowe). Zakładamy że firma ustala cenę danego dobra p, która obowiązuje wszędzie. Niech

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

5. Teoria Popytu. 5.1 Różne Rodzaje Konkurencji

5. Teoria Popytu. 5.1 Różne Rodzaje Konkurencji 5. Teoria Popytu. 5.1 Różne Rodzaje Konkurencji a. Konkurencja doskonała Producenci sprzedają nierozróżnialne towary, e.g. zboże pierwszej klasy. Zakładamy że jest dużo producentów, a żaden nie ma wpływu

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań z R:

Szkice rozwiązań z R: Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

7. Podatki Podstawowe pojęcia

7. Podatki Podstawowe pojęcia 7. Podatki - 7.1 Podstawowe pojęcia Podatki są poddzielone na dwie kategorie: 1. Bezpośrednie - nałożone bezpośrednio na dochód z pracy. 2. Pośrednie - nałożone na wydatki, np. na różne towary. 1 / 35

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych 9 października 2008 ...czyli definicje na rozgrzewkę n-elementowa próba losowa - wektor n zmiennych losowych (X 1,..., X n ); intuicyjnie: wynik n eksperymentów realizacja próby (X 1,..., X n ) w ω Ω :

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

Krytyka założenia o racjonalności podmiotów na rynku a behawioralna szkoła ekonomicznej analizy prawa - seminarium PSEAP 31 maja 2010 roku.

Krytyka założenia o racjonalności podmiotów na rynku a behawioralna szkoła ekonomicznej analizy prawa - seminarium PSEAP 31 maja 2010 roku. Krytyka założenia o racjonalności podmiotów na rynku a behawioralna szkoła ekonomicznej analizy prawa - seminarium PSEAP 31 maja 2010 roku. Marek Niedużak Law & Economics to nurt filozoficzno prawny, który

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Postawy wobec ryzyka

Postawy wobec ryzyka Postawy wobec ryzyka Wskaźnik Sharpe a przykład zintegrowanej miary rentowności i ryzyka Konstrukcja wskaźnika odwołuje się do klasycznej teorii portfelowej Markowitza, której elementem jest mapa ryzyko

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania

1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania 1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów Ekonomia Wykład dla studentów WPiA Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów Gospodarka z lotu ptaka. Dobra i usługi finalne Wydatki na dobra i usługi (konsumpcja, C) Gospodarstwa domowe: dysponują czynnikami

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 9

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 9 LEKCJA 9 Oligopol równoczesnej konkurencji cenowej przy wyborze zdolności produkcyjnych (model Kreps a) Jeżeli zdolności produkcyjne co najmniej jednej z firm są ograniczone, to na rynku będziemy obserwować

Bardziej szczegółowo

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe

Aukcje groszowe. Podejście teoriogrowe Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem 3. Dorota Kuchta

Zarządzanie ryzykiem 3. Dorota Kuchta Zarządzanie ryzykiem 3 Dorota Kuchta Pojęcie użyteczności paradoks petersburski Bernoulli paradoks petersburski: Rzucamy kostką aż do momentu, kiedy po raz pierwszy wypadnie orzeł W tym momencie gracz

Bardziej szczegółowo

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH ZADANIE. Mamy trzech konsumentów, którzy zastanawiają się nad nabyciem trzech rożnych programów komputerowych. Właściwości popytu konsumentów przedstawiono w następującej tabeli:

Bardziej szczegółowo

EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993)

EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993) Ekonomia Eksperymentalna Dr Tomasz Kopczewski EKSPERYMENT PRACODAWCA PRACOWNIK oparty na eksperymencie Gift Exchange Game (Fehr, Kirchsteiger and Riedl 1993) SPIS TREŚCI Wstęp 3 Podstawowe informacje o

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej,

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej, Szacownie nieznanych wartości parametrów (średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego, itd.) w populacji generalnej na postawie wartości tych miar otrzymanych w próbie (punktowa, przedziałowa) Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, Czerwiec 2002. Mała Giełda

Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, Czerwiec 2002. Mała Giełda Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, Czerwiec 2002 Mała Giełda Opis eksperymentu na zajęcia z Ekonomii Eksperymentalnej prowadzone przez dr Tomasza Kopczewskiego. Wykonali: Krzysztof

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj! Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 7

Uniwersytet Warszawski Mikroekonomia zaawansowana Studia zaoczne dr Olga Kiuila LEKCJA 7 LEKCJA 7 ZDOLNOŚCI PRODUKCYJNE Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm. W

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne Czyli jak bardzo jesteśmy pewni że parametr oceniony na podstawie próbki jest

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Teoria wyboru konsumenta (model zachowań konsumenta) Gabriela Przesławska Uniwersytet Wrocławski Instytut Nauk Ekonomicznych Zakład Polityki

Teoria wyboru konsumenta (model zachowań konsumenta) Gabriela Przesławska Uniwersytet Wrocławski Instytut Nauk Ekonomicznych Zakład Polityki Teoria wyboru konsumenta (model zachowań konsumenta) Gabriela Przesławska Uniwersytet Wrocławski Instytut Nauk Ekonomicznych Zakład Polityki Gospodarczej Analiza postępowania konsumenta może być prowadzona

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Test U Manna-Whitneya : Test H Kruskala-Wallisa Test Wilcoxona

Test U Manna-Whitneya : Test H Kruskala-Wallisa Test Wilcoxona Nieparametryczne odpowiedniki testów T-Studenta stosujemy gdy zmienne mierzone są na skalach porządkowych (nie można liczyć średniej) lub kiedy mierzone są na skalach ilościowych, a nie są spełnione wymagania

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).

TEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników). TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA. Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania

EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA. Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania EKONOMIA wykład 3 TEORIA WYBORU KONSUMENTA Prowadzący zajęcia: dr inż. Magdalena Węglarz Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania PLAN WYKŁADU 1. Model wyboru konsumenta 1. Dochód konsumenta

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Competence analysis of trainers and educators and confirmation of Strategic Management Virtual Game topics. Polish version

Competence analysis of trainers and educators and confirmation of Strategic Management Virtual Game topics. Polish version Competence analysis of trainers and educators and confirmation of Strategic Management Virtual Game topics Polish version Wyniki badań ankietowych Opis próby badawczej Analizując możliwości rozwoju gier

Bardziej szczegółowo

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.

LEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Jestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy)

Jestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy) MATEMATYKA STOSOWANA 5, 2004 Bolesław Kopociński (Wrocław) Jestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy) 1. Wprowadzenie. Przytoczone wyżej powiedzenie prezydenta

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo