GRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils

Transkrypt

1 GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J Z

2 Równowaga Nasha Jak grać? Przypisanie graczom strategii, tak iż żadnemu z graczy, przy ustalonych strategiach wszystkich innych graczy, nie opłaca się zmienić swojej strategii

3 Formalnie gra w jelenia i zająca (St,St) równowaga efektywna (H,H) równowaga bezpieczna średnia St - 5/2 średnia H - 3 problem wyboru równowagi

4 Dynamika populacji czas A i B - dwa możliwe zachowania, fenotypy, strategie osobników

5 Deterministyczna dynamika replikatorowa A B U = A a b B c d p A (t) liczba osobników grających strategią A w czasie t p B (t) liczba osobników grających strategią B w czasie t U A = ax + b(1-x) U B = cx + d(1-x) Proponujemy p A (t+ε)=(1-ε)p A (t) + εp A (t)u A (t) U av = xu A +(1-x)U B

6 Stochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 29 października 2015 Proseminarium licencjackie

7 p A (t+ε) = (1-ε)p A (t) + εp A (t)u A (t) p B (t+ε) = (1-ε)p B (t) + εp B (t)u B (t) p(t+ε) = (1-ε)p(t) + εp(t)u av (t)

8 dx/dt = x(1-x)(u A U B ) Polowanie na jelenia J Z J 5 0 Z 3 3 Gołąb - Jastrząb 0 3/ 5 1 wewnętrzny stan stacjonarny jest niestabilny J G J -1 2 G /2 1 wewnętrzny stan stacjonarny jest stabilny

9 Dlaczego opóźnienie czasowe może powodować powstawanie cykli Przykład Opóźnienia czasowe t=0,1, dynamika strzałkowa -m 0 m wprowadźmy opóźnienie warunki początkowe Pojawia się cykl stabilny o amplitudzie i okresie

10 Wprowadźmy stochastyczne zaburzenie z prawdopodobieństwem 1 - ε = z prawdopodobieństwem ε Otrzymaliśmy prosty przykład dynamiki stochastycznej z opóźnieniem czasowym

11 m = 20 = 9 ε = 0.1

12 Opóźnienia czasowe w grach ewolucyjnych Opóźnienie typu społecznego Zakładamy, że gracze w czasie t replikują się proporcjonalnie do średniej wypłaty w czasie t-τ Proponujemy x *

13 Odpowiednie równanie replikatorowe w czasie ciągłym ma następująca postać może być też zapisane jako Twierdzenie (Jan Alboszta i JM, J. Theor. Biol. 231: , 2004) x * jest asymptotycznie stabilny dla odpowiednio małego τ x * jest asymptotycznie niestabilny dla odpowiednio dużego τ

14 Opóźnienie czasowe typu biologicznego Zakładamy, że dzieci rodzą sięτjednostek czasu po tym jak ich rodzice grali i otrzymali wypłaty. Proponujemy Twierdzenie (JA i JM, JTB 2004) x * jest asymptotycznie stabilny dla każdego opóźnienia τ

15 Projekt 5 Zbadanie stabilności punktów stacjonarnych dynamiki replikatorowej z opóźnieniami czasowymi a)zależnymi od strategii w przypadku gier symetrycznych b) zależnymi od populacji w przypadku gier niesymetrycznych

16 Prosty model ewolucji Selekcja osobnicy oddziałują w parach grają w gry uzyskują wypłaty = liczba potomstwa Fenotypy są dziedziczone Potomstwo może mutować

17

18 Dobór osobników do gry każdy gra z każdym losowe spotkania graczy gry na grafach, populacje ze strukturą przestrzenną

19 Stochastyczna dynamika skończonych populacji n - liczba osobników z t - liczba osobników grających A w czasie t Ω ={0,,n} - przestrzeń stanów z t+1 > z t selekcja jeśli średnia z A > średnia z B mutacje Każdy osobnik może zmienić swoją strategię z prawdopodobieństwem ε

20 Łańcuchy Markowa zbiór stanów S= {1,2,,N} prawdopodobieństwa przejścia wzór na prawdopodobieństwo całkowite rozkład stacjonarny

21 Własność Markowa Przyszłość nie zależy od przeszłości, pod warunkiem że znana jest teraźniejszość

22 Dynamika deterministyczna reguła najlepszej odpowiedzi i Br(St,St)=St Br(H,H)=H Br(H,St)=Br(St,H)=H

23 Dynamika stochastyczna zaburzona najlepsza odpowiedź z prawdopodobieństwem, 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się

24 Łańcuch Markowa z jedyną miarą stacjonarną µ ε n

25 Stochastyczne modele ekspresji genów

26 Komórka biologiczna 500 nm Zakład Ultrastruktury Komórki Instytut Medycyny Doświadczalnej i Klinicznej PAN im. M. Mossakowskiego, Warszawa

27 Komórka biochemiczna

28 Komórka matematyczna DNA mrna Ø białko Ø

29 Poziom makroskopowy DNA mrna Ø białko Ø

30 Poziom mikroskopowy r - liczba cząsteczek mrna p - liczba cząsteczek białka prawdopodobieństwo zajścia w czasie (t,t+h) proces urodzin i śmierci

31 Równanie M f(r,p,t) - prawdopodobieństwo, że w czasie t będzie r cząsteczek mrna i p cząsteczek białka

32 Naszym celem jest obliczyć wartość średnią liczby cząsteczek białka <p> wariancję liczby cząsteczek białka Var(p) = <(p-<p>) 2 > = <p 2 >-<p> 2 czynnik Fano

33 Metoda funkcji tworzących

34

35 Otrzymujemy zamknięty układ równań różniczkowych zwyczajnych

36 Ostatecznie dostajemy analityczne wyrażenie na wariancję RNA i białka

37 Auto-represja genów w komórce

38

39 Równania Mistrzów prawdopodobieństwo, że w komórce jest n cząsteczek białka i gen jest odpowiednio w stanie 0 lub 1 w czasie t

40 Równania Mistrzów prawdopodobieństwo, że w komórce jest n cząsteczek białka i gen jest odpowiednio w stanie 0 lub 1 w czasie t

41 samo-uzgodniona średnia liczba cząsteczek białka mamy wzory na wartość oczekiwana i wariancję n

42 Dziękuję za uwagę