WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB VIII ASSESS

Transkrypt

1 WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI AB VIII ASSESS. oteria oteria = rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdarzeń x (możliwych ocen wariantu) - odpowiada mu rozkład użyteczności. W praktyce, loteria = zdarzenie losowe, którego konsekwencją jest zdarzenie x z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie x 2 z prawdopodobieństwem (-p). Oznaczamy ją (x,p,x 2 ). p -p x x 2 np. p =.7 x = 4zł x 2 = zł Równoważnik pewności = zdarzenie pewne x 3, które jest uznawane przez decydenta za równoważne loterii (x,p,x 2 ), co zapisujemy: x 3 ~ (x,p,x 2 ) Stąd na mocy własności liniowości: U(x 3 ) = p U(x ) + (-p) U(x 2 ). x 3 = 25 zł ~ p p- x x 2 np. p =.7 x = 4zł x 2 = zł Wykład: własność substytucji, rzeczy pewnych, liniowości prawdopodobieństw, ciągłości (zajrzyj) 2. Metoda Assess Metoda porządkowania (tworzenia rankingu) w oparciu o funkcję użyteczności: K U x n, x2,..., xn ) + = ( K ki ui ( xi ) + ) i= (, x i =g i (x) jest oceną wariantu x na i-tym kryterium, k i - wagą i-tego kryterium, K współczynnikiem skalującym, u i - użytecznością cząstkową, U(x,,x n )=U(x) użytecznością (globalną) wariantu x. Etap : Konstrukcja cząstkowych funkcji użyteczności u i (x i ) dla każdego kryterium g i, i ocen g i (a)= x i, i =,,n, gdzie a A Etap 2: Wyznaczanie wag kryteriów k i oraz współczynnika skalującego K Cechy: Funkcja użyteczności postać Keeney a Raiffy; Zakres wartości: o u i (x i ) [, ] -> u i (x * ) =, u i (x * ) = o U(X) [, ] -> U(x *,... x n* ) =, U(x *,... x n *) = Funkcje cząstkowe użyteczności są odcinkami liniowe; Założenie o niezależności kryteriów w sensie preferencji (aksjomat I); Użyteczność równoważnika pewności jest równa sumie ważonej użyteczności zdarzeń możliwych do osiągnięcia w ramach loterii (aksjomat II). - -

2 3. Niezależność kryteriów w sensie preferencji Niech G będzie rodziną kryteriów, a J oraz K będą podzbiorami kryteriów dopełniającymi się do G. J jest niezależne w sensie preferencji w zbiorze G jeśli, mając dane cztery warianty a, b, c, d takie, że: g ( a ) = g ( b ), j K g ( c ) = g ( d ), j K g ( a ) = g ( c ), i J i g ( b ) = g ( d ), i J i j j i i j j mamy: apb cpd (lub aib cid). Cena Jakość obrazu Jakość dźwięku Gwarancja A 5 B.D. B.D. D B D. B.D. D C 5 B.D. Ś. N.D. D D. Ś. N.D. Aby zbiór kryteriów J={cena, jakość obrazu} był niezależny w sensie preferencji w G, preferencja a nad b musi pociągać za sobą preferencję c nad d (decydent preferuje zapłacić 5 a dostać bardzo dobry obraz niż zapłacić i dostać tylko dobry obraz, jakiejkolwiek wartości nie miałyby jakość obrazu i gwarancja. Na kryterium i-tym użyteczność odpowiadająca danej ocenie nie zmienia się wraz ze zmianą oceny na innym (różnym od i) kryterium. Przy okazji (niezwiązane z Assessem) Dana jest funkcja użyteczności wyrażona za pomocą sumy ważonej ocen wariantu na poszczególnych kryteriach: U(g, g 2 ) = k g + k 2 g 2 Jaka zmiana na kryterium g 2 jest w stanie zrekompensować zmianę o jednostkę na kryterium g? U(g, g 2 ) = U(g +, g 2 - x) k g + k 2 g 2 = k (g + ) + k 2 (g 2 x) x= k /k 2-2 -

3 Etap W systemie Assess zaimplementowano cztery sposoby konstrukcji cząstkowych funkcji użyteczności: poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem, poszukiwanie równoważnika pewności ze zmiennym prawdopodobieństwem, porównywanie loterii, porównywanie prawdopodobieństw. Podstawą wszystkich sposobów jest dialog. W trzech sposobach (z wyłączeniem porównywania loterii) decydent porównuje sytuację pewnego otrzymania określonej wartości kryterium z loterią, w której może otrzymać korzystniejszą wartość danego kryterium z prawdopodobieństwem p bądź mniej korzystną z prawdopodobieństwem (-p): dialog prowadzi do określenia przez decydenta równoważnika pewności dla danej loterii, tj. takiej wartości kryterium, dla której jest mu obojętne czy ją otrzyma na pewno, czy też będzie brał udział w loterii; wartości równoważnika pewności dla danej loterii poszukuje się iteracyjnie zmieniając propozycje x, x 2, x 3 i p stosownie do udzielanych odpowiedzi; zmiany te są analogiczne do poszukiwania miejsc zerowych funkcji metodą połowienia przedziału; cały dialog powtarza się kilka razy w celu znalezienia większej liczby punktów cząstkowej funkcji użyteczności - 3 -

4 u Poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem (prawdopodobieństwo p jest zadane i nie zmienia się w kolejnych iteracjach, zdarzenia x i x 2 są zmieniane w kolejnych iteracjach, x 3 równoważnik pewności jest poszukiwany, więc zmienia się w ramach pojedynczej iteracji) Załóżmy, że p=.? x 3 = OTTERY INDIFFERENT u 5 5 u Decydent skłonny do ryzyka x 3 = 5 ~ ~ u i (x 3 ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) u i (5) = + = u i (x 3 ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) u i () = + = 5 5 SURE u 5 5 Decydent unikający ryzyka x 3 = 5 ~ ~ 5 5 u i (x 3 ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) u i (5) = + = 5? x 3 = ? x 3 = Stosunek do ryzyka: - skłonność (risk seeking) - neutralność - awersja (risk averse) - 4 -

5 (,, )? 8.75 (,, )? S I (,, )? 5 (, ) (,, )? 5 I S I S (,, )? 7.5 (5, ) (,, )? 2.5 (,, )? 7.5 (5, ) (,, )? 2.5 I (7.5, ) S (,, )? 6.25 (,, )? 3.75 I (2.5, ) S (,, )?

6 Poszukiwanie równoważnika pewności ze zmiennym prawdopodobieństwem Prawdopodobieństwo p jest zadane, ale zmieniane w każdej iteracji, szukany jest równoważnik pewności x (zmienia się w ramach pojedynczej iteracji), a zdarzenia x *, x * możliwe do osiągnięcia w ramach loterii są stałe. (x *,p,x * ) ~ x u i (x ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) np. p = u i (x ) = + = (x *,p 2,x * ) ~ x u i (x 2 ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) np. p 2 = u i (x 2 ) = + = (x *,p 3,x * ) ~ x 2 u i (x 3 ) = p u i (x * ) + (-p) u i (x * ) np. p 3 = u i (x 3 ) = + =? x 3 = ? x 3 =

7 Porównywanie prawdopodobieństw Dla zadanego równoważnika pewności x (stały w ramach pojedynczej iteracji, zmienia się w kolejnych iteracjach) i loterii poszukuje się równoważącej wartości prawdopodobieństwa p (zmienia się w każdej pojedynczej iteracji), wartości zdarzeń w loterii nie zmieniają się (zdarzenia x *, x * są stałe)..? x 3 = x 3 = ~ ~ u OTTERY u 5 5 INDIFFERENT 5 5 SURE u 5 5 x 3 = ~ ~ ` ? x 3 = ? x 3 =

8 Porównywanie loterii Podczas dialogu porównuje się dwie loterie, a nie równoważnik pewności z loterią. (x I, p, x * )? (x *, p, x * ) - z lewej podprzedział z zadanym p (najczęściej /2) sukcesu (równe szanse na wartości skrajne), - z prawej cały przedział z szukanym prawdopodobieństwem p (nierówne szanse na wartości skrajne). x* - najlepsze u i (x * ) =, x * - najgorsze u i (x * ) = w I etapie x I = (x* + x * )/2 Poszukuje się wartości prawdopodobieństwa p, dla którego loterie są równoważne. Obliczenie użyteczności dla x I p u i (x I ) + (-p) u i (x * ) = p u i (x * ) + (-p ) u i (x * ) u i (x * ) = u i (x * ) = u i (x I ) = p /p (gdzie p > p, bo dotyczy mniejszej maksymalnej wygranej) w II etapie: (x II, p, x * )? (x *, p, x * ) gdzie x II = (x * + x I )/2 u i (x II ) = p /p w III etapie: (x III., p, x * )? (x *, p, x * ) gdzie x III = (x I + x * )/2 u i (x III. ) = p /p itd

9 Etap 2 Dla każdego kryterium g i z osobna, przedstawia się decydentowi loterię, w której: zdarzenie najbardziej korzystne x * składa się z najlepszych wartości na wszystkich kryteriach, zdarzenie najmniej korzystne x * składa się z najgorszych wartości na wszystkich kryteriach. Równoważnik pewności x składa się z najlepszej wartości na kryterium g i =x i* i z najgorszych wartości na kryteriach g j =x j*, j i. Szuka się wartości prawdopodobieństwa p równoważącego x i loterię. W wyniku: k i = p Wyprowadzenie: U(x *,, x i *,, x n* ) = p U(x *,, x i *,, x n * ) + (-p) U(x *,, x i*,, x n* ) Aby uzyskać użyteczność równoważnika pewności: K U(x *,, x i *,, x n* ) + = K k i u i (x i *) + U(x *,, x i *,, x n* ) = k i u i (x i *) = k i Czyli z lewej strony mamy k i Aby uzyskać użyteczność loterii: p U(x *,, x i *,, x n * ) + (-p) U(x *,, x i*,, x n* ) = p + (-p) = p Czyli z prawej mamy p Ostatecznie k i = p Przykład: Kupno mieszkania Cena kryterium (koszt - 7-3) Powierzchnia kryterium 2 (zysk - -5) Dla wyznaczenia wagi ceny k =p : (7, )? ((7, 5), p, (3,)) Dla wyznaczenia wagi powierzchni k 2 =p 2 : (3, 5)? ((7, 5), p 2, (3,)) Współczynnik skalujący K oblicza się po podstawieniu do wzoru na użyteczność najbardziej korzystnych wartości na wszystkich kryteriach. Ostatecznie: K + = i (Kk i + ) - 9 -

10 ASSESS - ĆWICZENIA. Jaki równoważnik pewności poda decydent: a) unikający ryzyka, b) skłonny do ryzyka, c) neutralny względem ryzyka dla loterii: i) (,, ), j) (,, )? Zwróć uwagę na kierunek preferencji kryterium. Oblicz użyteczność dodanego punktu, korzystając z własności liniowości. Narysuj funkcję użyteczności po udzieleniu odpowiedzi. 2. W ramach metody Assess przeprowadzono procedurę dialogową dla kryterium typu zysk, którego dziedzina zmienia się od do. Jakich odpowiedzi udzielił decydent na początku dialogu: - w wersji ze stałym prawdopodobieństwem jeżeli wybrano punkt o współrzędnych (75, )? - w wersji ze zmiennym prawdopodobieństwem) jeżeli wybrano punkt o współrzędnych (75, )? - w wersji z porównywaniem prawdopodobieństw i prawdopodobieństwem początkowym równym ), jeżeli wybrano punkt o współrzędnych (5, )? Jakiej musiałby udzielić odpowiedzi, gdyby było to kryterium typu koszt? 3. W ramach metody Assess przeprowadzono procedurę dialogową dla kryterium typu zysk, którego dziedzina zmienia się od do. Określ przed jakim wyborem stoi teraz użytkownik, jeśli dla dwóch pierwszych porównań udzielił kolejno odpowiedzi Sure i ottery: - dla wersji ze stałym prawdopodobieństwem; - dla wersji ze zmiennym prawdopodobieństwem; - dla wersji z porównywaniem prawdopodobieństw. Jak brzmiałyby odpowiedź dla kryterium typu koszt? 4. Jak będą wyglądały równoważnik pewności oraz loteria porównywane ze sobą przez użytkownika w czasie, gdy ma on wyznaczyć wagę kryterium K2, jeśli: - K (, -5) - K2 (, -7) - K3 (, -5) 5. Potencjalne zadanie: dla danych wykresów użyteczności cząstkowych, danego K oraz wag kryteriów k i oblicz ostateczny ranking (użyteczności) wariantów a, b, c oraz d o następujących ocenach na poszczególnych kryteriach (odczytaj użyteczności cząstkowe z wykresów; podstaw wszystko do wzoru). 6. Udowodnij, że k i = p. 7. Oblicz U(x ), jeśli wiadomo, że (x, p, x * ) ~ (x *, p, x * ). 8. Wiedząc, że wagi poszczególnych kryteriów to k=, k2=.4 i, oblicz współczynnik skalujący K. - -

11 9. Dla kryterium typu zysk/koszt, którego dziedzina zmienia się od 5 do 5, jakich udzielono odpowiedzi na początku dialogu, jeśli wybrano punkty: a) (25, ), a potem (68.75,) dla wersji poszukiwania równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem? b) (25, ), a potem (68.75,) dla zysku lub (68.75,) dla kosztu dla wersji poszukiwania równoważnika pewności ze zmiennym prawdopodobieństwem? c) (, ), a potem (25,.825) dla zysku i (25,.875) dla kosztu dla wersji z porównywaniem prawdopodobieństwem? Zapisz kolejne kroki. Zwróć uwagę, które elementy zmieniają się w ramach pojedynczego etapu, a które w kolejnych etapach? Rozwiązanie a) zysk: (5,,5) > ; (5,,5) ~ 25, (25,,5) < 87.5, (25,,5) ~ koszt: (5,,5) < ; (5,,5) ~ 25, (5,,25) > 87.5, (5,,25) ~ b) zysk: (5,,5) > ; (5,,5) ~ 25, (5,,5) < 87.5, (5,,5) ~ koszt: (5,,5) < ; (5,,5) ~ 25, (5,,5) > 87.5, (5,,5) ~ c) zysk: (5,,5) < ; (5,,5) ~, (5,.875,5) > 25, (5,.825,5) ~ 25 koszt: (5,,5) < ; (5,,5) ~, (5,.375,5) > 25, (5,.875,5) ~

12 ASSESS PROFESSIONA - ĆWICZENIA Z PROGRAMEM [3 MINUT]. Ściągnij program Assess Professional ze strony Rozpakuj archiwum i uruchom program. 2. Utwórz nowy problem (Problem New Problem), zostawiając w pierwszym oknie, które się pojawi wszystkie wartości bez zmian. 3. Dodaj (przycisk New) sześć kryteriów o Min value = oraz Max value = tak, by każde kryterium dotyczyło innej kombinacji wartości typu kryterium (Utility type={cost, Gain}) oraz metody oceny (Method of evaluation = {Constant_probability, Variable_probability, Probability_comparison}). Nazwij każde kryterium tak, żebyś wiedział, z jakiej metody oceny korzysta

13 4. [Przeczytaj cały punkt zanim zaczniesz go realizować] System będzie prosił kolejno o utworzenie funkcji użyteczności dla kryteriów zgodnie z wybraną wcześniej metodą. Dla każdego kryterium utwórz funkcję użyteczności (przejście do kolejnego kryterium przez wybranie migającego przycisku Stop). Dwukrotne kliknięcie na wyróżnionym obszarze wykresu powoduje wyświetlenie dotyczącego go okna dialogu. Zdefiniuj co najmniej dwa punkty dla każdego wykresu. Wybierając przycisk Sure, ottery lub Indifferent, staraj się przewidzieć, jak zmienią się liczby zaproponowane na ekranie. (Teraz nie chodzi o to, by oddać własne preferencje, ale by zobaczyć jak odpowiedzi przekładają się na kształt funkcji przykład poniżej dla kryterium typu koszt i poszukiwania równoważnika ze zmiennym prawdopodobieństwem) Wybieram cały obszar (-). Program proponuje porównanie wartości,5 (a więc środkowej w wybranym przedziale) z loterią (,, ) - oznaczenie loterii w nawiasie zawsze kolejność jest następująca: (lepsza_wartość, prawdopodobieństwo_jej_uzyskania, gorsza_wartość). Wybieram ottery (preferuję ryzyko - wolę zaryzykować, by mieć szansę na dostanie lepszej wartości). W rezultacie program proponuje lepszą wartość (jest ona mniejsza niż, bo to kryterium typu koszt), bo chce sprawdzić do jakiego stopnia będę ryzykował. Wybieram Indifferent, czyli ~ (,, ). Na wykresie zostaje oznaczony punkt (, ). Gdybym zamiast Indiffirent wcisnął ottery proponowany równoważnik pewności wynosiłby.25, a gdybym wcisnął Sure.375. Wybieram obszar ( ). Program proponuje porównanie wartości,625 z loterią (,,.). Zgodnie z metodą zmieniła się wartość prawdopodobieństwa (teraz jest ) i proponowany równoważnik pewności środek wybranego przedziału, czyli.625. Wybieram Sure (unikam ryzyka wolę wziąć coś pewnego niż ryzykować loterię). W rezultacie program proponuje jeszcze gorszą wartość.82 (jest ona większa niż.625, bo to kryterium typu koszt), bo chce sprawdzić do jakiego stopnia będę unikał ryzyka

14 Wybieram Indifferent, czyli.82 ~ (,, ). Na wykresie zostaje oznaczony punkt (.82, ). 5. Po zdefiniowaniu funkcji użyteczności dla wszystkich funkcji pojawi się nowe okno. Wybierz Exit. 6. Przejdź do zdefiniowania nowego problemu (Program New Problem). Zdefiniuj trzy kryteria: COMFORT (typu zysk, przedział wartości -3) PRICE (typu koszt, przedział 2-3) TIME (typu koszt, przedział -4). Wybierz też metodę, zgodnie z którą chcesz tworzyć funkcje użyteczności na kryteriach. Postaraj się, by była ona inna dla każdego kryterium. 7. Zdefiniuj funkcje użyteczności dla każdego kryterium zgodnie z własnymi preferencjami

15 8. Po zdefiniowaniu wszystkich funkcji użyteczności program pokaże okno dialogowe do wyznaczenia wag kryteriów. Wróć do informacji o Etapie 2 metody Assess, żeby zobaczyć, jaka jest jego procedura. Poniżej przedstawiono zrzut ekranu dla kryterium pierwszego - COMFORT. W czerwonych ramkach zaznaczono najgorsze wartości na kryteriach, a w zielonych najlepsze. Jako waga kryterium brana jest wartość, która znajdzie się ostatecznie w obszarze zaznaczonym żółtą ramką. 9. W oknie, które pojawi się po określeniu wag, zdefiniuj warianty zgodnie z poniższym rysunkiem. Po uzupełnieniu tabeli zamknij okno i zachowaj zmiany.. Program wyświetli postać funkcji użyteczności i wagi kryteriów. Zapoznaj się z nimi i wybierz OK

16 . Wybierz ikonę z obrazem podium (Show ranking) i zobacz, jak zostały uporządkowane warianty zgodnie z utworzoną przez Ciebie funkcją. Jest to ostateczny wynik działania metody