1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.
|
|
- Justyna Urban
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem o grach które mają nieskończenie wiele etapów tylko formalnie, bo na każdym z tych etapów jest rozgrywana ta sama gra jednoetapowa. Celem będzie stwierdzenie, czy grać w taką grę można się nauczyć, a jeśli można, to w jakim sensie do jakiego rozwiązania doprowadzi nas używanie odpowiednich, samouczących się algorytmów. Pomysł tego rodzaju, że równowagę w grze można znaleźć przy pomocy pewnej procedury uczenia się grania w tę grę, jest prawie równie stary jak sama teoria gier. Pierwszy algorytm tego rodzaju powstał na początku lat pięćdziesiątych, czyli w czasie, kiedy dopiero tworzono podstawowe pojęcia teorii gier. Przypominają sobie być może Państwo taką prostą procedurkę z 1. listy zadań, która polegała na tym, że gracze grający w pewną grę dwumacierzową zmieniali na przemian swoje strategie w ten sposób, że dostosowywali się do strategii poprzednika, zmieniając swoją strategię na najlepszą odpowiedź na to, co zagrał ostatnio przeciwnik, i tak na przemian. Jak sobie być może Państwo przypominają, taka prosta procedurka nie musiała być zbieżna, ale jeśli była, to kończyła się w równowadze Nasha. en mechanizm, choć niekiedy skuteczny, miał dwie zasadnicze wady: 1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych. 2. Nie wykorzystywał w żaden sposób tego, co się działo na poprzednich krokach jego działania, nie uczył się (przez co bardzo łatwo się zapętlał, nie prowadząc do żadnego rozwiązania). Na pomysł tego, jak udoskonalić tego typu algorytm tak, żeby nie miał powyższych mankamentów, wpadł Brown, a dowód zbieżności zaproponowanego przez niego algorytmu podała Robinson. Jest to algorytm dla gier macierzowych (czyli o sumie zerowej), opisanych macierzą A rozmiaru n m. Wygląda on następująco: Algorytm Browna-Robinson: Na początku algorytmu: X = [x 1,..., x n ] := 0, Y = [y 1,..., y m ] := 0. Dla każdego kolejnego kroku: Wybieramy i takie, że x i = max i n x i. (Jeśli jest ich więcej niż jedno, to wybieramy najmniejszy z takich indeksów). 32
2 Y := Y + A(i, ). Wybieramy j takie, że y j = min j m y j. (Jeśli jest ich więcej niż jedno, to wybieramy najmniejszy z takich indeksów). X := X + (A(, j )). Intuicyjnie sens takiej procedury jest następujący: na każdym kroku gracze wybierają najlepszą odpowiedź na strategię mieszaną przeciwnika, w której gra on poszczególne strategie z częstotliwością taką, z jaką ich używał na dotychczasowych krokach algorytmu. Jest to więc najprostsze możliwe uogólnienie procedury z 1. listy zadań na strategie mieszane. Jednak dla takiego algorytmu prawdziwe jest już twierdzenie: wierdzenie 4.1 (Robinson, 1951) Jeśli X k oznacza wartość X po k przejściach algorytmu, a Y k wartość Y, to empiryczne rozkłady, z jakimi grają w przeciągu trwania algorytmu gracze zbiegają do równowagi w grze macierzowej z macierzą wypłat pierwszego gracza A, a Xk k i Y k k zbiegają do wartości tej gry. ego twierdzenia nie będę dowodził. Nie będę tego robić z dwóch powodów. Po pierwsze, choć ten algorytm jest bardzo intuicyjnym sposobem uczenia się grania w daną grę, to dowód nie jest błyskawiczny. Z drugiej strony, ma on pewne wady, które zostały wyeliminowane do pewnego stopnia w późniejszych algorytmach, o których będę jeszcze mówił na wykładzie. Pierwszą wadą tego algorytmu jest ograniczona stosowalność jakkolwiek klasa gier, dla których przy pomocy algorytmu Browna i Robinson można dostać w granicy równowagę, jest większa od zbioru gier (jedno)macierzowych, to w ogólności już zbieżność nie ma miejsca. Bardzo prosty przykład gry dwumacierzowej, dla której nie tyle nie jest on zbieżny do równowagi, ile w ogóle nie jest zbieżny, podał Shapley. Wygląda on następująco: Przykład: Rozważmy grę dwumacierzową z macierzami wypłat A = B = oraz. Nietrudno policzyć, że jedyną równowagą w tej grze jest µ = ( 1 3, 1 3, 1 3 ) i σ = ( 1, 1, 1 ). Niestety, jeśli zastosujemy do niej algorytm Browna-Robinson (oczywiście zmodyfikowany dla gier dwumacierzowych), to będzie on przeskakiwał po kolei z pary strategii (1, 1) do (1, 3), dalej do (3, 3), (3, 2), (2, 2), (2, 1), żeby na koniec powrócić do (1, 1). W każdej z tych par strategii będzie jednak spędzał coraz więcej czasu (ilość czasu spędzonego w danej parze strategii będzie rosła wykładniczo), dzięki czemu empiryczne rozkłady strategii granych przez poszczególnych graczy nie będą tworzyć ciągu zbieżnego. Drugą wadą algorytmu jest to, że jego zbieżność do równowagi jest bardzo wolna. W związku z tym gdzieś od końca lat 90. zaczęły się rozwijać alternatywne algorytmy uczenia się w grach, oparte na wykorzystaniu pojęcia regret (żalu). Samo pojęcie nie ma żadnego związku z grami i definiuje się je dla dużo większej klasy algorytmów w następujący sposób: Niech algorytm H na każdym swoim kroku t wybiera rozkład prawdopodobieństwa na pewnym zbiorze alternatyw (akcji) X = {1, 2,..., N}, p t. 33
3 Po wybraniu p t algorytm dostaje informację o tym, jaka strata wiążała się z wybraniem każdej z alternatyw na tym kroku w postaci wektora l t długości N 1 (gdzie l t i jest stratą z wybrania i-tej alternatywy). Na podstawie tego wylicza stratę ze stosowania algorytmu H na t-tym kroku, l t H = N i=1 p t il t i oraz skumulowaną stratę na wszystkich krokach algorytmu do, L H = t=1 l t H. Mając policzoną tę stratę, stara się ją porównać z innymi możliwymi algorytmami, które mógł stosować, i, patrząc na to, o ile ona jest większa od najmniejszej z tych, z którymi porównuje, ewaluuje swój algorytm. Regret to właśnie różnica pomiędzy stratą poniesioną przy pomocy algorytmu H a najmniejszą ze strat, które mógł ponieść stosując alternatywne algorytmy: R = L H L min. Oczywiście trudno sobie wyobrazić porównywanie z wszystkimi możliwymi algorytmami, których zawsze jest nieskończenie wiele. W związku z tym porównuje się nie z dowolnymi algorytmami, ale z takimi, które są albo bardzo proste, albo są niewielką modyfikacją algorytmu H. W zależności od tego, z algorytmami jakiego typu porównujemy, definiujemy różne rodzaje żalu. Najprostszym jest external regret (żal zewnętrzny), w którym stratę poniesioną przez nasz algorytm porównujemy z najmniejszą ze strat poniesionych przez algorytmy polegające na graniu jednej i tej samej akcji na każdym kroku. Można to zapisać następująco: R = max i X L H L i. Drugi rodzaj żalu, który nas będzie interesował, to tzw. swap regret 2, który definiujemy następująco: [ N ] R sw = max p t i(li t lj) t. j X i=1 t=1 Interpretacja nie jest już tak naturalna, jak w przypadku żalu zewnętrznego. utaj rozważamy modyfikacje naszego algorytmu, polegające na tym, że każdą akcję zamieniamy z jakąś inną (albo nie zamieniamy jej w ogóle), ale graną z tym samym prawdopodobieństwem co akcja zamieniana w wyjściowym algorytmie 3. Mając tak zdefiniowane pojęcie regret, wróćmy do gier, na początek o sumie zerowej. Będziemy grać raz za razem w grę macierzową o macierzy wypłat A oraz zbiorach strategii graczy X 1 = {1,..., n} i X 2 = {1,..., m}. Przyjmijmy, że stratą gracza 1. na t-tym etapie tej gry, jeśli gracz 2. stosuje strategię q t będzie minus wypłatą oczekiwaną gracza 1 4, l t,1 i = m j=1 ( a ij )qj. t Podobnie stratą gracza 2. na t-tym etapie gry, jeśli = n i=1 a ij p t i. Przy tak gracz 1. stosuje strategię p t będzie jego wypłata oczekiwana 5 l t,2 j 1 Zwykle zakłada się, że l t [0, 1] N, ale oczywiście można to uogólnić na straty z dowolnego przedziału ograniczonego. 2 u już nie podejmuję się tłumaczenia nazwy na polski. Jakkolwiek bym to zrobił, i tak będzie to wyglądało śmiesznie. 3 Czyli na przykład dla algorytmu, który na etapie 1. wybiera rozkład p 1 = (0.25, 0, 0, 0.25, 0.5), a na drugim p 2 = (0.2, 0.3, 0, 0.5, 0), rozważamy tylko takie algorytmy, w których prawdopodobieństwa wybrania poszczególnych alternatyw są takie same, ale w innej kolejności, i w dodatku zamiana kolejności na obu krokach jest taka sama, np: q 1 = (0, 0, 0.25, 0.5, 0.25) i q 2 = (0.3, 0, 0.2, 0, 0.5), ewentualnie takie, w których któreś dwa prawdopodobieństwa zostały zsumowane, np: r 1 = (0.5, 0, 0, 0, 0.5) i r 2 = (0.7, 0, 0.3, 0, 0). 4 Minus bierze się stąd, że gracz 1. maksymalizuje swoją wypłatę, a tutaj chcemy, żeby minimalizował stratę. 5 u bez minusa, bo gracz 2. w grze o sumie zerowej minimalizuje. 34
4 zdefiniowanych funkcjach straty prawdziwe będzie następujące twierdzenie: wierdzenie 4.2 Niech v będzie wartością gry macierzowej o macierzy A i niech gracz 1. gra w tę grę przez etapów, używając procedury ON z external regret R. Wtedy średnia wypłata gracza 1. na tych etapach (niezależnie od zachowania przeciwnika) jest nie gorsza niż v R. Podobny rezultat jest przwdziwy dla drugiego gracza. Dowód: Dowód przeprowadzamy tylko dla 1. gracza. Ponieważ rozważamy tutaj external regret, to L min = min i X1 L i. Niech q będzie rozkładem prawdopodobieństwa na X 2 takim że q j = 1 t=1 q t j, czyli (jak w algorytmie Browna-Robinson) rozkładem odpowiadającym częstości, z jaką grane są poszczególne strategie na wszystkich dotychczasowych etapach gry. Jak każdy rozkład na X 2, q jest strategią mieszaną gracza 2. w grze macierzowej zdefiniowanej za pomocą macierzy A. Z definicji wartości gry 6, v jest wypłatą, którą gracz 1. może sobie zapewnić, niezależnie od strategii gracza 2. A zatem gracz 1. ma strategię (czystą) i, taką że A stąd v u 1 (δ[i], q) = a ij q j = 1 a ij qj t = 1 j X 2 j X 2 t=1 L i. L min v. Podstawiając to do wzoru na external regret, dostajemy L ON R + L min R v. Jednak L ON to z definicji sumaryczna strata z kroków algorytmu, a więc średnią wypłatą będzie L ON v R, a to właśnie mieliśmy udowodnić. W takim razie wystarczy, że znajdziemy procedurę, dla której żal po kolejnych krokach będzie wzrastał wyraźnie wolniej niż liniowo (wystarczy proporcjonalnie do ), aby mieć dobry algorytm uczenia się grania w grę macierzową. Co jest szczególnie budujące w tym twierdzeniu, to to, że nie precyzujemy, jakiego konkretnie algorytmu musi używać gracz wystarczy, żeby jego external regret był dostatecznie mały. Nie mówimy też, że przeciwnik, jak w algorytmie Browna-Robinson, musi używać takiej samej procedury tutaj gwarantujemy sobie zysk bliski wartości gry niezależnie od tego, jak zachowa się przeciwnik. Podobne twierdzenie (chociaż słabsze, i korzystające z pojęcia swap regret) jest prawdziwe dla dowolnych gier n-osobowych (już nie o sumie zerowej). Znowu straty gracza i definiujemy jako minus jego wypłaty oczekiwane przy ustalonej strategii przeciwnika. Konkretnie, w grze n-osobowej (X 1, X 2,..., K n, u 1, u 2,..., u n ), jeśli gracze na etapie t używają strategii zrandomizowanych p t = (p t,1, p t,2,..., p t,n ), to stratę gracza i na etapie t ze stosowania strategii czystej k definiujemy jako l t,i k = u i (δ[k], p t, i ). (utaj u i (q i, p i ) oznacza wypłatę gracza i, gdy on sam stosuje strategię q i, a pozostali grają zgodnie z p 7 ). Przy tak zdefiniowanych stratach będziemy mogli udowodnić następujące twierdzenie: 6 A raczej z definicji wartości dolnej. 7 ego typu oznaczenie często stosuje się w teorii gier. 35
5 wierdzenie 4.3 Jeśli każdy z graczy w grze n-osobowej, zdefiniowanej przy pomocy funkcji wypłat u i, i = 1,..., n używa przez kolejnych kroków procedury iteracyjnej, której swap regret jest R, to rozkład empiryczny strategii granych przez graczy przy pomocy tych procedur jest R -równowagą skorelowaną8 w powyższej grze. Dowód: 9 Pokażemy, że spełniona jest nierówność dla gracza i definiująca R-równowagę skorelowaną. W definicji swap regret mamy powiedziane, że modyfikując algorytm akcje wymieniamy między sobą. Niech F : X i X i będzie ustaloną funkcją, przy pomocy której robimy tę modyfikację. Ponieważ swap regret jest maksimum po wszystkich możliwych modyfikacjach algorytmu, to na pewno prawdziwa będzie nierówność R L ON L ON,F, gdzie ON jest algorytmem stosowanym przez gracza i, a L ON,F oznacza stratę poniesioną na krokach przez algorytm ON zmodyfikowany przy pomocy funkcji F. Jeśli teraz rozpiszemy sobie prawą stronę powyższej nierówności, dostaniemy + u i (s i, s i ) dp t,1 (s 1 ) dp t,n (s n ) X 1 X n t=1 t=1 u i (F (s i ), s i ) dp t,1 (s 1 ) dp t,n (s n ). X 1 X n Oznaczmy teraz przez Q rozkład empiryczny (na X 1 X n ) strategii granych przez graczy na pierwszych krokach. Można go oczywiście uzyskać jako średnią arytmetyczną łącznych rozkładów strategii graczy na wszystkich krokach. Zapisując ostatnie wyrażenie przy pomocy Q dostaniemy [ ] u i (s i, s i ) dq(s i, s i ) + u i (F (s i ), s i ) dq(s i, s i ). X 1 X n X 1 X n Ale to oznacza, że u i (s i, s i ) dq(s i, s i ) u i (F (s i ), s i ) dq(s i, s i ) R X 1 X n X 1 X n, co mieliśmy udowodnić. 8 ε-równowagę skorelowaną definiujemy analogicznie do ε-równowag Nasha. ε-równowagą skorelowaną nazywamy rozkład prawdopodobieństwa p ε na produkcie przestrzeni strategii czystych graczy X 1 X n, spełniający dla każdego i n warunki u i (s i, s i ) dp ε (s i, s i ) u i (f(s i ), s i ) dp ε (s i, s i ) ε X 1 X n X 1 X n dla dowolnej funkcji f : X i X i, czyli spełniający warunki definiujące równowagę skorelowaną z dokładnością do ε. Osoby, które pamiętają, jak definiowaliśmy równowagę skorelowaną dla gier dwumacierzowych, zapewne pamiętają trochę inne nierówności niż te powyżej (z dokładnością do ε). am po pierwsze występowały sumy, nie całki (ale każdą całkę po zbiorze skończonym można zapisać przy pomocy sumy). Po drugie tam nie pojawiała się żadna funkcja f. Zamiast tego pojawiał się warunek dla każdych k, k X i. yle że ta funkcja f, to właśnie przypisanie k, k. Zapis, jaki stosujemy tutaj, będzie wygodny dla zrozumienia dowodu właśnie omawianego twierdzenia. 9 Nie było go na wykładzie, bo zabrakło czasu. 36
6 Uwaga 4.1 Oczywiście konsekwencją powyższego twierdzenia jest to, że jeśli gracze stosują strategie, których swap regret rośnie subliniowo wraz ze wzrostem, to graniczny rozkład strategii graczy jest (już nie ε) równowagą skorelowaną. Uwaga 4.2 W przypadku tego twierdzenia (i powyższej uwagi) też nie mamy powiedzianego, jakie konkretnie procedury mieliby stosować gracze. W szczególności każdy z nich może stosować inną procedurę iteracyjną uczenia się. Jeśli tylko swap regret będzie odpowiednio ograniczony, otrzymany rozkład będzie odpowiednią ε-równowagą skorelowaną. Oczywiście oba powyższe twierdzenia, jak i uwagi do nich, mają charakter trochę teoretyczny. Żeby można było je rzeczywiście zastosować, potrzebujemy jakichś konkretnych procedur, dla których regret będzie rósł odpowiednio wolno. akich procedur powstało wiele (dziedzina rozwija się na poważnie od stosunkowo niedawna, ale stosunkowo oznacza tutaj połowę lat 90., był więc czas na stworzenie większej ich liczby). Ja na wykładzie podam tylko jedną z nich. Jej własności (to, że dla niej w odpowiedni sposób ograniczony jest external regret) oraz jej modyfikacji, pozwalającej na podobne ograniczenie swap regret, będą podane jako twierdzenia, ale bez dowodów. Polynomial Weigths Algorithm Na początku algorytmu: wi 1 := 1 oraz p 1 i := 1 dla i X. N Dla t = 1 do : wi t := wi t 1 (1 ηli t 1 ), p t i := wt i i X wt i dla i X. η jest tutaj parametrem algorytmu. Odpowiednie jego dobranie gwarantuje jego lepsze własności, dokładniej: wierdzenie 4.4 Jeśli η = min { } ln N, 1 2, to external regret dla powyższego algorytmu po krokach jego działania jest ograniczony z góry przez 2 ln N (przy założeniu, że straty na kolejnych krokach są z przedziału [0, 1]). Znajomość powyższego algorytmu pozwala nam także na stworzenie algorytmu, dla którego swap regret po krokach będzie odpowiednio mały. Będzie on wyglądał następująco: Uruchamiamy jednocześnie N kopii procedury iteracyjnej A. Na każdym kroku t: k-ta kopia A zwraca rozkład qk t = (qk,1, t..., qk,n) t na X. p t obliczamy rozwiązując układ N równań postaci p t j = N i=1 p t iqij. t Za A bierzemy algorytm o wolno rosnącym external regret. Prawdziwe jest bowiem następujące twierdzenie: wierdzenie 4.5 Jeśli external regret dla algorytmu A po krokach jest R, to swap regret dla powyższego algorytmu jest ograniczony z góry przez N R. W szczególności, jeśli jako algorytm A w powyższej procedurze wykorzystamy Polynomial Weigths Algorithm, swap regret jest równy co najwyżej 2N ln N. 37
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoDłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np.
Dłuższy przykład: Dwie firmy, Zeus i Atena, produkują sprzęt muzyczny. Zeus jest większy, Atena jest ceniona za HF. Wprowadzają nowy produkt, np. kula wyłożona głośnikami od wewnątrz. Popyt jest nieznany:
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoTeoria Gier. Piotr Kuszewski 2018L
Teoria Gier Piotr Kuszewski 2018L Tematyka wykładów plan akcji Wykład I John von Neumann Trochę historii Czym jest gra i strategia Użyteczność Jak wyeliminować niektóre strategie Wykład II John Nash Równowaga
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo