ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 VIII 2007 R.

Transkrypt

1 ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 3 VIII 007 R. Przedstawione poniżej treści obejmujące zakres rozszerzony wyróżnione są pogrubioną czcionką. KLASA II ZAKRES PODSTAWOWY 3 godziny tygodniowo 35 tygodni = 105 godzin ZAKRES ROZSZERZONY 5 godzin tygodniowo 35 tygodni = 175 godzin Planimetria i geometria analityczna (36) Czworokąty i ich własności 1 () - sklasyfikować czworokąty - podać własności czworokątów - wskazać oś i środek symetrii figury - podać przykłady figur osiowo i środkowo symetrycznych Kąty w okręgu - znajdować kąty oparte na tym samym łuku - obliczyć miarę kąta wpisanego w okrąg, gdy zna miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku i odwrotnie Twierdzenie o kącie między cięciwą a styczną Okrąg wpisany w czworokąt Okrąg opisany na czworokącie Wektory na płaszczyźnie Wektory prostopadłe i równoległe 1 - podać związek między kątem środkowym i kątem między styczną a cięciwą okręgu 1 - podać warunek wpisania okręgu w czworokąt - zastosować powyższy warunek w zadaniach 1 - podać warunek opisania okręgu na czworokącie - zastosować powyższy warunek w zadaniach - dodać wektory - pomnożyć wektor przez liczbę - podać warunek prostopadłości i równoległości wektorów - zastosować powyższe własności w zadaniach 1

2 Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty Proste prostopadłe i równoległe Odległość i współliniowość punktów Odległość punktu od prostej 1 () - wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty - napisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, gdy znany jest współczynnik kierunkowy - napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - wskazać na podstawie równania proste równoległe i prostopadłe - wyznaczyć równanie prostej prostopadłej i równoległej - obliczyć odległość punktów na osi liczbowej i w układzie współrzędnych - sprawdzić współliniowość punktów - wyznaczyć współrzędne środka odcinka 3 - obliczyć odległość punktu od prostej Odległość dwóch prostych równoległych Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych isiecznych 1 - obliczyć odległość dwóch prostych równoległych - sformułować twierdzenie - zastosować twierdzenie w zadaniach Równanie okręgu - napisać równanie okręgu - wyznaczyć z równania okręgu współrzędne jego środka i długość promienia Wzajemne położenie dwóch okręgów - określić wzajemne położenie dwóch okręgów Okrąg a prosta - wyznaczyć relację między prostąa okręgiem - wyznaczyć punkty wspólne (o ile istnieją) Nierówność przedstawiająca koło Powtórzenie materiału Sprawdzian wiadomości i umiejętności oraz jego omówienie 1 - wyznaczyć współrzędne środka koła i jego promień- napisać nierówność opisującą koło, znając współrzędne środka koła i jego promień

3 Wyrażenia wymierne (5) Wyrażenia wymierne - określić, kiedy wyrażenie ma sens liczbowy - obliczyć wartość liczbową wyrażenia Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych - skracać i rozszerzać wyrażenia wymierne Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych Działania łączne na wyrażeniach wymiernych - mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne 3 - sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika - dodawać i odejmować wyrażenia wymierne - wykonać działania na wyrażeniach wymiernych Równania wymierne 3 (4) - rozwiązywać proste równania wymierne prowadzące do równań liczbowych lub x + 1 x + 1 kwadratowych, np. =, = x x + 3 x - rozwiązać zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania prostych równań wymiernych Nierówności wymierne - rozwiązać proste nierówności wymierne, np. x + 1 x + 1 x + >, < x, > 3x x + 3 x x + 4 Funkcja y = x a 4 - sporządzić i omówić własności funkcji - rozwiązać zadanie tekstowe związane z proporcjonalnością odwrotną- sporządzić i omówić własności funkcji, np. y =f(x), y = f(x - 1) +, y = f ( x + ) 3, gdzie Powtórzenie materiału a f ( x) =. x Sprawdzian wiadomości i umiejętności i jego omówienie 3

4 Ciągi liczbowe 19 (3) Pojęcie ciągu liczbowego Przykłady ciągów rekurencyjnych 1 - zdefiniować ciąg liczbowy - obliczyć kolejne wyrazy ciągu - wyznaczyć kolejne wyrazy ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie Monotoniczność ciągu - zbadać monotoniczność ciągu Ciąg arytmetyczny - zbadać, czy ciąg jest arytmetyczny - stosować wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego Suma wyrazów ciągu arytmetycznego (3) - obliczyć sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego - rozwiązać zadanie tekstowe związane z ciągiem arytmetycznym Ciąg geometryczny - zbadać, czy ciąg jest geometryczny - stosować wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego Suma wyrazów ciągu geometrycznego Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach Powtórzenie materiału (3) - obliczyć sumę n wyrazów ciągu geometrycznego - rozwiązać zadanie tekstowe związane z ciągiem geometrycznym 4 - zastosować własności ciągów w zadaniach tekstowych Potęgi i logarytmy 19 (3) Sprawdzian wiadomości i umiejętności i jego omówienie Potęgi o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych 3 - wykonać działania na potęgach o wykładnikach wymiernych - stosować prawa działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych Pierwiastki 3 - wykonać działania na pierwiastkach - zapisać pierwiastek jako potęgę- wyznaczać pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych Równania i nierówności pierwiastkowe 3 - rozwiązać proste równania i nierówności typu: 3 x + = 4, x + 6 =, x 9 4 4

5 Funkcja wykładnicza 4 - zdefiniować funkcję wykładnicząsporządzić wykres funkcji wykładniczej i omówić jej własności - sporządzić i omówić własności funkcji, np.: y = f(x), y = f(x + ) -3, y = f ( x 1) + 1)( +x f, gdzie f(x) = a x Równania i nierówności wykładnicze - rozwiązać proste równania x+ i nierówności typu: 3 = 4 x 3 1 > 9. Pojęcie logarytmu - wykazać się znajomością pojęcia logarytmu - obliczyć wartość logarytmu Własności logarytmów Równania i nierówności logarytmiczne 3 - stosować w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi - zastosować wzór na zamianę podstawy logarytmu 3 - rozwiązać proste równania i nierówności logarytmiczne typu: Log a x = 5, log a (x )= 3, log a ( x -3x ) > 3 Funkcja logarytmiczna Funkcja logarytmiczna w zadaniach - zdefiniować funkcję logarytmicznąsporządzić wykres funkcji logarytmicznej i omówić jej własności - sporządzić i omówić własności funkcji, np.: y = f(x), y = f(x + ) -3, y = f ( x 1) +, gdzie f(x) = log a x 3 - zastosować własności funkcji logarytmicznej w zadaniach Powtórzenie materiału Sprawdzian wiadomości i umiejętności i jego omówienie Trygonometria 15 (38) Funkcje trygonometryczne kąta ostrego - zdefiniować funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 5

6 Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Miara kąta, stopień i radian Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Wartości funkcji trygonometrycznych wielokrotności całkowitych kąta prostego Wartości funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego 3 - wykazać się znajomością wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º - zastosować powyższe wartości w zadaniach 1 - zamieniać miarę stopniową kąta na łukową i odwrotnie - obliczyć wartość funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, znając współrzędne punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta - wykreślić w układzie współrzędnych kąt α, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta α 1 - obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kątów 0º, 90º, 180º, 70º, 360º - wyznaczyć wartość funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego Znak funkcji 1 - określić, czy funkcja trygonometryczna przyjmuje wartości dodatnie, czy ujemne, w zależności od tego, w której ćwiartce leży końcowe ramię tego kąta Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta Zastosowanie funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania różnych zadań Tożsamości trygonometryczne Wykres funkcji sinus i cosinus Wykres funkcji tangens i cotangens - wymienić związki między funkcjami trygonometrycznymi i zastosować je w zadaniach -wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, znając jedną z nich, tożsamości trygonometryczne 4 - zastosować poznane wzory i własności funkcji trygonometrycznych w zadaniach z różnych dziedzin - dowodzić proste tożsamości trygonometryczne 1 - narysować wykresy funkcji trygonometrycznych i omówić ich własności 1 - narysować wykresy funkcji trygonometrycznych i omówić ich własności 6

7 Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów Funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta 3 - sporządzić wykresy funkcji: y = -f(x), y = f(-x), y = f(x + a), y = f(x) + a, y = f(x + a) + b, y =f (x), y = c f(x), y = f(c x), gdzie f jest funkcją trygonometryczną - stosować wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów 3 - stosować wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta - dowodzić tożsamości z wykorzystaniem poznanych wzorów Równania i nierówności trygonometryczne Powtórzenie materiału 4 - rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne typu: 3 sin x = 0,5, cos x <, sin x + cos x = 1 Sprawdzian wiadomości i umiejętności i jego omówienie Planimetria 9 (1) Figury podobne i jednokładne Cechy podobieństwa trójkątów Rozwiązywanie zadań dotyczących podobieństwa trójkątów Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych 1 () - rozpoznawać figury podobne - wymienić własności figur podobnych i jednokładnych - sformułować cechy podobieństwa trójkątów i zastosować je w zadaniach - wyznaczyć skalę podobieństwa trójkątów 3 - zastosować poznane cechy podobieństwa do rozwiązywania zadań - wykazać się znajomością twierdzenia - zastosować twierdzenie w zadaniach 7

8 Jednokładność w układzie współrzędnych Twierdzenie sinusów Iloczyn skalarny i jego własności Twierdzenie cosinusów - wykazać się znajomością jednokładności w układzie współrzędnych - obliczyć współrzędne punktów przekształconych w jednokładności względem początku układu współrzędnych oraz dowolnego punktu układu współrzędnych - wykazać się znajomością twierdzenia - udowodnić twierdzenie sinusów - zastosować twierdzenie w zadaniach - wyznaczyć iloczyn skalarny wektorów - zastosować własności iloczynu skalarnego w zadaniach 3 - wykazać się znajomością twierdzenia - udowodnić twierdzenie cosinusów - zastosować twierdzenie w zadaniach Powtórzenie materiału 1 Sprawdzian wiadomości i umiejętności i jego omówienie Planimetria Uczeń potrafi : dopuszczający rozróżnić czworokąty i podać ich własności, zdefiniować okrąg wpisany w czworokąt i okrąg opisany na czworokącie, wyjaśnić pojęcie wielokąta opisanego i wpisanego w okrąg, zdefiniować symetralną odcinka i dwusieczną kąta, narysować symetralną odcinka i dwusieczną kąta, podać przykłady figur osiowo i środkowo symetrycznych, wskazać oś i środek symetrii figury. 8

9 dostateczny sklasyfikować czworokąt, wykorzystać własności czworokątów w zdaniach, znajdować kąty oparte na tym samym łuku, skonstruować wielokąt opisany i wpisany w okrąg, określić wzajemne położenie punktów, określić własności punktów osiowo-symetrycznych czy środkowosymetrycznych, wyznacz środek symetrii i osi symetrii figury, zaprojektować desenie, rozety, fryzy, korzystając z figur symetrycznych. dobry obliczyć miarę kąta wpisanego i środkowego opartego na tym samym łuku, sformułować warunki opisania okręgu na czworokącie i wpisania okręgu w czworokąt, skonstruować obraz figury w obrocie, wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty, bardzo dobry zaproponować rozwiązanie zadania tekstowego o nietypowym problemie, zanalizować zadanie dotyczące nietypowego problemu i rozwiązać je. celujący zaproponować rozwiązanie zadania tekstowego o nietypowym problemie, zanalizować zadanie dotyczące nietypowego problemu i rozwiązać je. 9

10 Geometria analityczna Uczeń potrafi : dopuszczający podać wzór równania okręgu, koła, podać wzór na współczynnik kierunkowy prostej, podać warunek równoległości i prostopadłości prostych, podać postać kierunkową i ogólną równania prostej, zdefiniować odległość punktów, obliczyć odległość punktów w układzie współrzędnych, wskazać na podstawie równania proste prostopadłe i równoległe, zdefiniować wektor, zdefiniować sumę, różnicę wektorów i iloczyn wektora przez liczbę, narysować sumę wektorów i obliczyć jej współrzędne, narysować wektor równy iloczynowi wektora przez liczbę, dostateczny zastosować wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, wyznaczyć równania prostych prostopadłych i równoległych, obliczyć długość wektora, wyznaczyć współrzędne końca wektora, mając dane współrzędne wektora i współrzędne końca wektora, wyznaczyć współrzędne wektora będącego wynikiem działań na wektorach, napisać równanie okręgu, 10

11 narysować okrąg, mając dane jego równanie. dobry oblicz odległość punktu od prostej, zastosować warunki równoległości i prostopadłości prostych w zdaniach, wyznaczyć równanie środkowych i wysokości trójkąta, wyznaczyć z równania środek i promień okręgu, obliczyć odległość dwóch prostych równoległych, bardzo dobry wyznaczyć relacje między prostą a okręgiem, wyznaczyć punkty wspólne prostej i okręgu, obliczyć odległość dwóch prostych równoległych, obliczyć współrzędne punktów przecięcia okręgu z prostą, obliczyć współrzędne punktów przecięcia pary okręgów. celujący zaproponować rozwiązanie zadania tekstowego o nietypowym problemie, zanalizować zadanie dotyczące nietypowego problemu i rozwiązać je. Funkcje wymierne Uczeń potrafi : dopuszczający zdefiniować wyrażenie wymierne, 11

12 obliczyć wartość wyrażenia wymiernego i określić jego dziedzinę, skrócić i rozszerzyć wyrażenie wymierne, pomnożyć i podzielić wyrażenia wymierne, zdefiniować funkcję homograficzną i określić jej dziedzinę, zdefiniować równanie i nierówność wymierną. dostateczny wykonać działania łączne na prostych wyrażeniach wymiernych, wskazać wyrażenia wymierne równe, sporządzić wykres funkcji homograficznej np.: y =, y = i podać x 1 x + 1 własności, ax + b rozwiązać równanie typu = 0, cx + d ax + b rozwiązać nierówność typu 0, cx + d ax + b ax + b rozwiązać równanie i nierówność typu = k, k. cx + d cx + d dobry wykonać działania łączne na wyrażeniach wymiernych o podwyższonym stopniu trudności, wykazać równość wyrażeń wymiernych, ax + b ax + b rozwiązać równanie i nierówność, np.: = k, k., cx + d cx + d rozwiązać równanie i nierówność wymierną, bardzo dobry 1

13 zastosować wiadomości o funkcjach homograficznych w zadaniach tekstowych, wykonać wykres funkcji homograficznej z wartością bezwzględną, rozwiązać równanie wymierne z wartością bezwzględną lub parametrem. celujący uzasadnić rozwiązanie równania wymiernego z wartością bezwzględną lub parametrem, zaplanować rozwiązanie i rozwiązać zadanie tekstowe o nietypowym problemie dotyczącym funkcji homograficznej. Ciągi liczbowe Uczeń potrafi: dopuszczający zdefiniować ciąg liczbowy podać przykład ciągu liczbowego skończonego i nieskończonego, rozpoznać ciąg rosnący i malejący, zdefiniować i rozpoznać ciąg arytmetyczny i geometryczny oraz wymienić ich własności, podać wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego, dostateczny rozróżnić i obliczyć procent prosty i składany, podać przykład ciągu rosnącego, malejącego, stałego, arytmetycznego, geometrycznego, 13

14 obliczyć kolejne wyrazu ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz sumę tych ciągów, zbadać, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny, wyznaczyć wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym, dobry przekształcić wzory dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, i zastosować w rozwiązywaniu zadań tekstowych, obliczyć oprocentowanie lokat i kredytów bankowych. bardzo dobry zastosować wiedze o ciągach w zadaniach geometrycznych, rozwiązać zadanie tekstowe łącząc wiadomości o ciągach arytmetycznych i geometrycznych, celujący uzasadnić rozwiązanie zadań z treścią dotyczącą ciągów o nietypowym problemie, dowieść prawdziwość niektórych wzorów dotyczących ciągów, wykazać się umiejętnością rozwiązania zadań tekstowych z różnych dziedzin z zastosowaniem wiadomości o ciągach. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Uczeń potrafi: dopuszczający 14

15 zdefiniować potęgę o wykładniku całkowitym i wymiernym, podać wzory działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, zapisać potęgę o wykładniku wymiernym jako pierwiastek i odwrotnie, zdefiniować potęgę o wykładniku rzeczywistym, zdefiniować logarytm, podać własności działań na logarytmach, obliczyć logarytm danej liczby, zdefiniować funkcję wykładniczą i logarytmiczną, podać przykład funkcji wykładniczej i logarytmicznej rosnącej lub malejącej, zdefiniować pojęcie równania i nierówności wykładniczej i logarytmicznej. dostateczny wykonać elementarne działania na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, odczytać z wykresu własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej, narysować wykres funkcji wykładniczej i logarytmicznej, przesuniętej wzdłuż osi układu współrzędnych, przekształcić wyrażenia zawierające potęgi, wykonać działania na logarytmach, zastosować definicję logarytmu w rozwiązywaniu prostych równań i nierówności, rozwiązać proste równania i nierówności wykładnicze, naszkicować wykres funkcji wykładniczej i logarytmicznej w zależności od podstawy. dobry 15

16 zapisać wzór wykresu funkcji wykładniczej i logarytmicznej, przesuniętej wzdłuż osi układu współrzędnych, wykonać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym, przekształcić wyrażenie zawierające potęgi i logarytmy o podwyższonym stopniu trudności, rozwiązać równanie i nierówność logarytmiczną, przesunąć wykres funkcji wykładniczej i logarytmicznej o dany wektor oraz zapisać wzór nowego wykresu. bardzo dobry rozwiązać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności, rozwiązać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne z wartością bezwzględną, z parametrem, z niewiadomą w podstawie, naszkicować wykres funkcji wykładniczej i logarytmicznej z wartością bezwzględną. celujący wykorzystać definicję i własności działań na potęgach i logarytmach w rozwiązaniu nietypowych problemów. Funkcje trygonometryczne Uczeń potrafi: dopuszczający 16

17 zdefiniować funkcje trygonometryczne kąta ostrego i dowolnego, zapisać zależność między miarą stopniową i łukową, podać związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, podać wzory na funkcje sumy i różnicy kątów, wielokrotności kąta oraz sumy i różnice funkcji trygonometrycznych. dostateczny zamienić miarę łukową na stopniową i odwrotnie, obliczyć na podstawie definicji wartości funkcji trygonometrycznych dla danego kąta, skonstruować kąt ostry, mając daną funkcję trygonometryczną, korzystać z tablic matematycznych lub kalkulatora przy wyznaczaniu wartości funkcji trygonometrycznych kątów, wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość sinusa kąta lub cosinusa kąta, obliczyć wartości całkowitych wielokrotności kąta 90, naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, określić dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznej, przekształcić wyrażenia trygonometryczne z uwzględnieniem związków między funkcjami trygonometrycznymi, zastosować wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, zastosować wzory trygonometryczne na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, naszkicować wykresy funkcji: y = f ( x), y + f ( x), y = f ( x) + b, y = f ( x ), y = f ( x ) + b gdzie f(x)=sin x lub f(x)=cos x, rozwiązać równanie trygonometryczne na podstawie definicji, rozwiązać nierówność trygonometryczną na podstawie wykresu, 17

18 rozwiązać trójkąt prostokątny. dobry wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość tangensa kąta lub cotangensa kąta, zastosować związki między funkcjami trygonometrycznymi w dowodzeniu prostych tożsamości trygonometrycznych, naszkicować wykres funkcji: y = kf ( x), y = f ( ax), y = f ( x), gdzie f(x)=sin x lub f(x)=cos x, zastosować związki między funkcjami trygonometrycznymi w dowodzeniu prostych tożsamości, rozwiązać proste równanie trygonometryczne, rozwiązać prostą nierówność trygonometryczną. bardzo dobry naszkicować wykres funkcji trygonometrycznej z wartością bezwzględną, wykazać się umiejętnością przekształcania wzorów trygonometrycznych, rozwiązać równanie i nierówność trygonometryczną z wartością bezwzględną, zastosować wiadomości o funkcji trygonometrycznej w zadaniach o treściach praktycznych i planimetrii. celujący dowieść prawdziwość niektórych wzorów trygonometrycznych, rozwiązać równanie i nierówność trygonometryczną z parametrem, z ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym, 18

19 zastosować wiadomości o funkcji trygonometrycznej w nietypowych sytuacjach. Planimetria Uczeń potrafi: dopuszczający zdefiniować stosunek odcinków, podzielić odcinek w danym stosunku, podać twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, wskazać na ramionach kąta odcinki proporcjonalne, zdefiniować podobieństwo, podać przykłady figur podobnych, wymienić cechy podobieństwa trójkątów, zdefiniować jednokładność i podać przykłady figur jednokładnych, podać wzór sinusów i cosinusów, zapisać wzór sinusów i cosinusów dla danego trójkąta, zdefiniować iloczyn skalarny wektorów, obliczyć na podstawie wzoru iloczyn skalarny wektorów, wyznaczyć cosinus kąta między wektorami, wymienić własności iloczynu skalarnego wektorów, sprawdzić, czy dwa wektory są prostopadłe. dostateczny skonstruować odcinki będące w danym stosunku, skonstruować odcinek będący w proporcji z trzema danymi odcinkami, 19

20 zastosować twierdzenie Talesa do obliczania długości odcinków, wypisać proporcje długości odcinków, wynikające z podobieństwa trójkątów, wykazać się umiejętnością zamiany jednostek, wykazać się umiejętnością stosowania definicji jednokładności w zadaniach tekstowych, zastosować własności iloczynu skalarnego w zadaniach, zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów do obliczania długości boków i miar kątów trójkąta, obliczyć współrzędne punktów przekształconych w jednokładności obliczyć iloczyn skalarny wektorów. dobry wykazać się umiejętnością stosowania definicji podobieństwa w zadaniach tekstowych, zastosować twierdzenie Talesa w figurach innych niż trójkąt, obliczyć skalę podobieństwa, obliczyć skalę jednokładności, zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów w figurach innych niż trójkąt, zastosować własności iloczynu skalarnego wektorów w zadaniach. bardzo dobry zastosować twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa w rozwiązywaniu zadań tekstowych z kontekstem realistycznym, zastosować twierdzenie sinusów i cosinusów w rozwiązywaniu zadań o tematyce praktycznej, zastosować własności iloczynu skalarnego wektorów w zadaniach o tematyce praktycznej, udowodnić twierdzenie sinusów i cosinusów. 0

21 celujący wykazać się umiejętnością zastosowania iloczynu skalarnego w sytuacjach problemowych, wykazać się umiejętnością stosowania wzoru sinusów i cosinusów w sytuacjach nietypowych, zastosować własności podobieństwa i twierdzenie Talesa w zadaniach nietypowych. 1