gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)
|
|
- Halina Socha
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych zorienowanych... Jednolie podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych... Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych ADefinicja(pole skalarne i wekorowe) Jeżeli w obszarze D na płaszczyźnie lub w przesrzeni jes określona funkcja liczbowa u u( M) lub wekorowa F F( M), gdzie M D, o mówimy, że na ym obszarze jes określone pole skalarne u( M) u( r) lub wekorowe F( M) F( r), gdzie r OM. Będziemy akżepisali: u u( x, y), F F( x, y) ( P( x, y), Q( x, y)) dla ( x, y) D (płaszczyzna) lub u u( x, y, z), F ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) dla ( x, y, z) D R (przesrzeń). A Definicja (łuk zorienowany) Łuk niezamknięy AB, na kórym usalono począek A i koniec B (zn. kierunek), nazywamy łukiem zorienowanym (skierowanym). Łuk zorienowany oznaczamy ym samym symbolem co łuk. Łuk o orienacji przeciwnej do orienacji łuku AB oznaczamy przez BA. ADefinicja(całka krzywoliniowa zorienowana)
2 Niech F ( P( x, y), Q( x, y)) będzie polem wekorowym na łuku zorienowanym, gdzie AB. Wprowadzamy oznaczenia: P { M A, M,..., M B} podział łuku :... n ; i Mi Mi, Mi( xi, yi), xi xi xi, yi yi yi, punk pośredni M * i ( i, i) i, i,,..., n; ( P) max{ x,..., x n } średnica podziału P. Całkę krzywoliniową zorienowaną (skierowaną) z pola wekorowego F ( P, Q) po łuku AB definiujemy wzorem P( x, y) dx Q( x, y) dy lim ( P(, ) x Q(, ) y ) n ( P) i i i i i i i o ile granica po prawej sronie isnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P ani od sposobu wyboru punków pośrednich. y y i yi y i i * Mi i, i M i M i n B x i O xi x i x Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową zorienowaną z pola wekorowego F ( P, Q, R) po łuku AB położonym w przesrzeni: P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz lub króko Pdx Qdy Rdz, lub w zapisie wekorowym F( r ) dr, gdzie dr ( dx, dy) (płaszczyzna) lub dr ( dx, dy, dz) (przesrzeń). A+B4 Definicja (własności calek krzywoliniowych zorienowanych) 4..Addyywność(całka krzywoliniowa po sumie łuków skierowanych): Niech łuk skierowany będzie sumą łuków skierowanych,,, m przy czym koniec łuku k jes począkiem łuku k, gdzie k,..., m. Ponado niech F będzie polem wekorowym określonym na łuku. Wedy całkę krzywoliniową zorienowaną z pola wekorowego F po łuku określamy wzorem F d r F d r F d r F d r. m o ile całki po prawej sronie równości isnieją. A 4..iniowość: jeżeli isnieją całki z pól wekorowych F, F i F, po kawałkami gładkim łuku o
3 ( F F ) d r F d r F d r, ( cf) d r c F d r, gdzie c. 4.. Jeżeli jes łukiem przeciwnie zorienowanym do, o F d r F d r. Całkę krzywoliniową zorienowaną obliczamy sprowadzając do całki pojedynczej. A5Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej zorienowanej na całkę pojedynczą) Niech pole wekorowe F F( r) będzie ciągłe na łuku gładkim AB : r r( ), r( ), [, ], kórego orienacja jes zgodna z jego parameryzacją: r ( ) począek A, r ( ) koniec B. Wedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej: F d r F( r ( )) d r ( ) czyli P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x( ), y( )) x ( ) Q( x( ), y( )) y ( ) d, gdzie A( x( ), y( )), B( x( ), y( )) (płaszczyzna) lub P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz P( x( ), y( ), z( )) x( ) Q( x( ), y( ), z( )) y( ) R( x( ), y( ), z( )) z( ) d, gdzie A( x( ), y( ), z( )), B( x( ), y( ), z( )) (przesrzeń). A6Przykład. Obliczyć całkę krzywoliniową z pola wekorowego x cos, F( x, y, z) ( xy, yz, zx) po łuku AB : y sin, gdzie A (,,) gdzie B (,,). z, Rozwiązanie: cos sin ( sin ) sin cos xydx yzdy zxdz d d d 6 sin (sin ) sin (sin ) sin sin. A7Uwaga Jeżeli łuk skierowany na płaszczyźnie jes zamknięy, o wedy piszemy... lub... albo... A8Definicja (znak orienacji) Niech będzie kawałkami gładkim łukiem (bez samo przecięć) na płaszczyźnie, zn. krzywą Jordana. Mówimy, że orienacja łuku jes dodania (Rys. a)) względem swego
4 wnęrza D, gdy podczas ruchu po łuku w kierunku jego orienacji obszar D leży cały czas po lewej sronie łuku. W przeciwnym przypadku(rys. b)) mówimy, że orienacja łuku jes ujemna. y y O x O a ) á) x A+B9Twierdzenie(wzór Greena) Jeżeli pole wekorowe F ( P, Q) (zn. funkcje PQ), będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D domknięym i normalnym względem obu osi układu, przy czym brzeg ego obszaru jes skierowany dodanio względem wnęrza obszaru (zn. przy chodzeniu po brzegu obszaru lewa ręka jes w środku zamknięego łuku ), o Q P P( x, y) dx Q( x, y) dy dxdy. x y D A+BWniosek(niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania) Jeżeli funkcje P( x, y) i Q( x, y ) są klasy C w obszarze jednospójnym D oraz w Q P ym obszarze spełniony jes warunek, o dla dowolnego łuku AB D x y całka krzywoliniowa skierowana P( x, y) dx Q( x, y) dy nie zależy od kszału ego łuku, a zależy ylko od punków Pdx Qdy A i B, i na odwró: jeżeli w obszarze D całka nie zależy od kszału łuku AB, a zależy ylko od jego końców dla Q P dowolnego łuku AB D, o w ym obszarze zachodzi równość x y. APrzykład. Obliczyć podane całki krzywoliniowe po podanych łukach:.) xy dx x ydy, gdzie brzeg prosokąa ograniczonego liniami x, x 5, y, y zorienowany dodanio;.) y dx x dy, gdzie brzeg obszaru ograniczonego wykresami funkcji: y x, x y zorienowany ujemnie. Rozwiązanie.: a) Z definicji: jes łukiem złożonym z łuków gładkich,,, 4, gdzie AB odcinek o począku (,) i końcu(5,) i równaniu y y( x), x [,5]; BD odcinek o począku (5,) i końcu(5,) i równaniu x x( y) 5, y [,];
5 4 DC odcinek o począku (5,) i końcu (,) i równaniu y y( x) ; CA odcinek o począku (,) i końcu (,) i równaniu x x( y) ; 5 xy dx x ydy x dx x ; y xy dx x ydy 5y 5 ydy 5 ydy 5 5; x xy dx x ydy x dx x 4 xdx 4 48; y xy dx x ydy y ydy ydy. Wedy xy dx x ydy b)korzysając z wierdzenia A+B9 Greena, mamy: ( x y) ( xy ) xy dx x ydy dxdy xy xydxdy dxdy. x y Rozwiązanie.. Korzysając z wierdzenia A+B9 Greena, mamy: ( x ) ( y) ydx x dy ydx x dy dxdy x dxdy x y D D D D D x 4 9 dx x dy xy y dx. x x x x x dx 5 x x A+B Definicja (pole poencjalne, poencjał) Pole wekorowe F F() r określone na obszarze D nazywamy poencjalnym, gdy isnieje funkcja U U( r) aka, że x F( r) gradu( r) na obszarze D U ( x, y) U ( x, y) czyli P( x, y), Q( x, y) dla pola F( r) P( x, y), Q( x, y) na x y płaszczyźnie: ( x, y) D ; dla pola F( r) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) w przesrzeni mamy: U ( x, y, z) U ( x, y, z) U ( x, y, z) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z), x y z gdzie ( x, y, z) D. Funkcję U nazywamy wówczas poencjałem pola wekorowego F. A+B Twierdzenie (całka krzywoliniowa w polu poencjalnym) Całka zorienowana w polu F( r) gradu( r) poencjalnym ciągłym na obszarze D po łuku AB dowolnym zorienowanym kawałkami gładkim o począku A i końcu B, całkowicie zawarym w obszarze D, ma posać
6 F( r) dr U( B) U( A) nie zależy od drogi AB i jes równa róznicy poencjalów na końcu B i na począku A ej drogi, w szczególności, P( x, y) dx Q( x, y) dy U( x, y) U( x, y ) po AB, gdzie A( x, y), B( x, y ); lub P x y z dx Q x y z dy R x y z dz U x y z U x y z (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) po gdzie A( x, y, z), B( x, y, z ). Sąd oszymamy wzór * na obliczanie poenciału: U( B) F( r) dr. A+B4 Przykład. Obliczyć całkę AB ydx xdy jeżeli łuk jes a) odcinkiem skierowanym od punku (,) do punku (,); b) łukiem paraboli y x, x [,], s począkiem (,) i końcem (,); c), gdzie odcinek od (,) do (,) oraz odcinek od (,) do (,). AB, Rozwiązanie. a) Korzysając z parameryzacji : y x, x[,], mamy ydx xdy xdx x ; b) Korzysając z parameryzacji ydx xdy x dx x ; : y x, x [,], mamy c) Korzysając z parameryzacji : y, x [,], oraz : x, y [,], mamy: ydx xdy dx, ydx xdy dy y ; ydx xdy ydx xdy ydx xdy. d) Całka w polu poencjalnym, poencjał U xy (,). ydx xdy xy (,)
7 A5 Definicja (cyrkulacja pola wekorowego) Cyrkulacją pola wekorowego F F() r po łuku zamknięym zorienowanym nazywamy całkę krzywoliniową zorienowaną F( r) dr. A6Przykład.Obliczyć cyrkulację pola wekorowego F ( x,) po łuku dodanio zorienowanym kóry jes okręgiem o środku w (,) i promieniu. Rozwiązanie. Korzysając z parameryzacji : x cos, y sin, [, ], mamy xdx dy cos ( sin ) cos d... B7 Definicja (roacja pola wekorowego) Roacją ro F pola wekorowego F ( P, Q, R), różniczkowalnego w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy pole wekoroweokreślone wzorem i j k R Q R P Q P ro F i j k. x y z y z x z x y P Q R B8 Przykład. Roacja pola wekorowego F ( y z, yz, x ) ma posać: ro F ( y,x z, y). B9Fak(kryerium poencjalności pola wekorowego) Pole wekorowe F jes poencjalne na obszarze jednosspójnym w przesrzeni wedy i ylko wedy, gdy ro F na ym obszarze. B Uwaga Twierdzenie A+B9 oraz wzór Greena zosaje prawdziwy dla obszaru wielospójnego D,kóry można podzielić na skończoną liczbę k obszarów normalnych względem osi Ox i Oy, nie mających wspólnych punków wewnęrznych, przy czym krzywa jes sumą krzywych,, k sanowiących brzeg ego obszaru i skierowanych dodanio... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych zorienowanych B Fak (zasosowania w geomerii) Pole obszaru D ograniczonego łukiem zamknięym kawałkami gładkim dodanio zorienowanym wzgłędem obszaru D wyraża się wzorami: D xdy ydx xdy ydx. A+B Przykład. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego łukiem x acos, : [, ], a. y acos, 4 4 Rozwiązanie: D xdy ydx (a cos sin a cos sin ) d a
8 cos sin d a sin ( cos 4 ) sin 4. 8 d 6 d A+B Fak (zasosowania w fizyce).. Praca W w polu wekorowym F F() r wzdłuż łuku zorienwanego AB od punku począkowego A do punku końcowego B wyraża się wzorem W F( r) dr a a a czyli W P( x, y) dx Q( x, y) dy po łuku na płaszczyźnie lub W P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz po łuku w przesrzeni... Praca w polu poencjalnym F F( r) grad U( r) wzdłuż łuku zorienwanego kawałkami gładkiego AB od punku A do B wyraża się wzorem W F( r) dr U( B) U( A), gdzie U jes poencjałem ego pola. Inerpreacja fizyczna: praca sił F gradu ( x, y) wzdłuż drogi AB jes równa różnicy poencjałów na końcu i na począku ej drogi (nie zależy od kszału drogi). A+B4 Przykład. Obliczyć pracę jaką wykonamy w polu wekorowym F ( xy, x y) i F ( x y, x y) wzdłuż łuku AB od A do B, jeżeli: a) odcinek skierowany od punku (,) do punku (,); b) łuk okręgu o środku w począku układu współrzędnych i promieniu przebieganym w kierunku odwronym do ruchu wskazówek zegara; c) brzeg kwadrau D ( x, y) : x y zorienowany dodanio... Jednolie podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych W zależności od rodzaju sum całkowych zdefiniuwaliśmy dwa rodzaje całek krzywoliniowych: całkę I rodaju (względem długości) całkę nieskierowaną (niezorienowaną) oraz całkę II rodzaju (względem współrzędnych) całkę skierowaną (zorienowaną). Takie podejście jes bardzo znane (zobacz Elemeny Analizy Wekorowej M. Gewer, Z. Skoczylas). Poniżej na przykładzie płaszczyzny Oxy będziemy równolegle rozparywać całki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane w jednoliym podejściu ze względu na definicje, obliczania oraz analiza zasosowań. A+B5 Uwaga (całka krzywoliniowa na płaszczyźnie) 5..Całka nieskierowana5..całka skierowana Mamy: a)łuk zwykły D a) Łuk skierowany AB D ( nie jes skierowany: nie ( A jes począkiem, B jes końcem, nadajemy począku i końca) AB BA)
9 W obszarze D jes określone b) pole skalarne u u( M) u( x, y), b)pole wekorowe F F( x, y) na przykład pole masy ( P( x, y), Q( x, y)), na przykład pole siły ( uxy (, ) jes gęsością liniową (wekor F określa siłę F( x, y ) w punkcie ( xy)w, ) punkcie ( xy), ) Wprowadzimy elemen łuku c) elemen skalarnyc) elemen wekorowy dl ( dx) ( dy) dl dl e ( dx, dy) dr (uaj e (cos,cos ) jes wersorem sycznej w punkcie ( xy,, ) dx cos dl, dy sin dl, r ( x, y) ) Badamy problem obliczania d)masy M M łuku d)pracyw siły F wzdłuż łuku Rozważmy elemenarny łuk nieskierowany o długości l i odpowiednio łuk skierowany. Wedy elemenarna masa M oraz elemenarna praca W siły F wzdłuż łuku spełniają równość: e) M u( x, y) l o( l),e) W P( x, y) x Q( x, y) y o( l), gdy l gdy l Przechodzimy do różniczek masy i pracy, wedy orzymamy f) dm u( x, y) dl f) dw F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy Całkując wzdłuż łuku, dochodzimy do g) M u( x, y) dl g) W F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy AB całka nieskierowana(masa łuku całka skierowana (praca W siły F maerialnego o gęsości u u( x, y) ) wzdłuż łuku AB ) Sąd orzymujemy B6 Uwaga (zależność między całkami krzywoliniowymi) F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x, y)cos ( x, y) Q( x, y)cos ( x, y) dl, gdzie ( xy, ), ( xy, ) oznaczają kąy między wekorem sycznym e do łuku w punkcie ( x, y) a dodanimi częściami odpowiednio osi Ox, Oy (zakładamy, że zwro wekora e jes zgodny z orienacją łuku ). A+B7Twierdzenie(o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną) Niech łuk gładki jes określony paramerycznie : x x( ), y y( ), [, ], gdzie x y '( ) '( ) dla (, ). Wedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej: u( x, y) dl u( x( ), y( )) x( ) y( ) d, gdzie xx() y y() a) AB
10 dla całki krzywoliniowej nieskierowanej oraz gdzie b) P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x( ), y( )) x( ) Q( x( ), y( )) y( ) d, x x() y y() AB oraz A ( x( ), y( )) i B ( x( ), y( )) dla całki krzywoliniowej skierowanej. A+B8 Uwaga (własności całek) Własności całek krzywoliniowych są analogiczne do odpowiednich własności całki oznaczonej, w szczególności zachodzą bardzo ważne własności liniowości i addyywności całek krzywoliniowych, przy obliczaniu całki nieskierowanej dla funkcji jednoskowej orzymujemy długość łuku: dl mes, przy zamianie kierunku łuku na przeciwny całka skierowana eż zmienia znak na przeciwny P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x, y) dx Q( x, y) dy, id. Sąd wynika, że całka skierowana bardziej podobna do całki oznaczonej w ym czasie jak całka nieskierowana bardziej podobna do całki wielokronej. Praca domowa Przykład.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną ( x y) dx ( x y) dy po łuku, gdzie a) odcinek skierowany od punku (,) do punku (,); b) łuk paraboli o równaniu y x x Przykład.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną, [,], skierowany od punku (,) do punku (,). dx zdy ydz po łuku, gdzie a) odcinek skierowany od punku (,,) do punku (,,); x cos, b) łuk linii śrubowej y sin, [, ], skierowany od punku (,, ) do punku z, (,,). Przykład. Obliczyć całkę ( x y) dx ( x y) dy po łuku,gdzie jes brzegiem kwadrau o wierzchołkach przebieganych w kolejności (,), (,), (,), (, ), (,). Sprawdzić orzymany wynik wykorzysując wierdzenie Greena. Przykład 4.Obliczyć cyrkulację pola wekorowego F (, z, y) po łuku, gdzie jes brzegiem rójkąa o wierzchołkach przebieganych w kolejności (,,), (,,), (,,), (,,).
Całki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoII.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie
II. Położenie i prędkość cd. Wekory syczny i normalny do oru. II.3 Przyspieszenie Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza matematyczna Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoCzęść I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO. Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przesrzeni 1 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozparywania
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoi j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015
WM-E; kier. MBM, lisa za. nr. p. (z kary przemiou): Rozwiązywanie zaań z zakresu: ransformacji ukłaów współrzęnych, rachunku wekorowego i różniczkowo-całkowego o kursu Fizyka.6, r. ak. 05/6; po koniec
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj
MATEMATYKA 2 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Całka krzywoliniowa nieskierowana 9 1.1 Całka krzywoliniowa
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej
Elementy analizy wektorowej Całki krzywoliniowe wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowoLista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a
POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka 3 Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM-1-301-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Medyczna Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma
Bardziej szczegółowo