WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO
|
|
- Wiktoria Cichoń
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIII NR (90) 0 Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO STRESZCZENIE W artykule podsumowano zagadnienia dokładnie omawiane we wcześniejszych pracach autora dotyczących wytężenia materiału oraz przedstawiono krótki rys historyczny związany z powstawaniem kryteriów wytrzymałościowych. Omówiono również pojęcie energii sprężystej oraz wynikające stąd hipotezy wytężeniowe E. Beltramiego, M. T. Hubera i W. Burzyńskiego dla materiałów izotropowych oraz J. Rychlewskiego dla materiałów anizotropowych. Przytoczone zostało też kryterium P. S. Theocarisa, które posłużyło do przeanalizowania możliwości uogólnienia kwadratowego kryterium Rychlewskiego dla dowolnych materiałów anizotropowych wykazujących eekt różnicy wytrzymałości (Strength Dierential Eect). Słowa kluczowe: anizotropowe materiały, kryterium wytężenia, sprężyste stany własne. WSTĘP Zaproponowane przez J. Rychlewskiego energetyczne kryterium stanu granicznego dla sprzężonych stanów własnych stanowi podstawę teorii wytężenia materiałów, które w ogólności wykazują anizotropię własności mechanicznych [4, 5,, 4]. W kryterium energetycznym należy określić graniczne energie dla poszczególnych sprężystych stanów własnych, których w ogólności może być co najwyżej sześć. Te graniczne energie można wyznaczyć doświadczalnie lub obliczyć. Propozycję obliczania granicznych energii podano w [7] i dyskutowano dokładniej w [6, 8]. Obliczenie granicznych energii dla modelu eektywnego, za pomocą którego można przewidywać sprężyste zachowanie się materiału na podstawie teoretycznego opisu jego struktury, dokładnie przedstawiono w pracach [7 ]. 5
2 Piotr Kordzikowski ZAGADNIENIE WYTĘŻENIA MATERIAŁU TŁO HISTORYCZNE, ENERGIA SPRĘŻYSTA Zagadnienie wytężenia materiału jest problemem skomplikowanym i trudnym do ścisłego, teoretycznego rozwiązania. Często dla ułatwienia, jak pisze J. Walczak [9], opieramy się na ocenie porównawczej. Sposób ten polega na tym, że za porównawczy stan wytężenia przyjmujemy z reguły najprostszy przypadek, jakim jest jednoosiowe rozciąganie, określone na granicy niebezpiecznej jednym tylko parametrem krytycznym. Istotą takiego podejścia jest wyznaczenie tzw. naprężenia zastępczego, czyli naprężenia przy jednoosiowym rozciąganiu, powodującego wytężenie równoważne co do wartości wytężeniu wynikającemu z danego stanu naprężenia. Metoda ta wymaga podania kryterium wytężenia, które określi miarę wytężenia pozwalającą na dokonanie takiego porównania dowolnego stanu naprężenia z odpowiadającym mu pod względem wytężenia przypadkiem jednoosiowym. Niemniej jednak wskazanie takiej miary wytężenia, odpowiadającej dowolnemu stanowi naprężenia, wciąż jest problemem otwartym, a jedyną metodą jej weryikacji jest doświadczenie. Stąd też wszelkie propozycje, które się pojawiały, opierają się jedynie na hipotezach, zwanych hipotezami wytrzymałościowymi. Na przestrzeni wieków, a trzeba zaznaczyć, że pierwsze prace związane z tym zagadnieniem poruszali Leonardo da Vinci (45 59) i Galileusz (564 64), ukształtowało się kilka głównych nurtów powstawania hipotez wytrzymałościowych. Zalicza się tu hipotezy naprężeniowe, odkształceniowe, energetyczne, mieszane i probabilistyczne. Pierwsze kryterium wytężenia sormułował Galileusz w 6 roku, przyjmując za miarę wytężenia maksymalną wartość z bezwzględnych wartości ekstremalnych naprężeń normalnych. Można wykazać, że hipoteza ta zawodzi w wielu ważnych przypadkach. Hipotezy wykorzystujące pojęcie energii sprężystej rozpoczęły dynamiczny rozwój nauki o wytrzymałości materiałów. Prekursorem takiego ujęcia zagadnienia jest Eugenio Beltrami (85 899), który w 885 roku zaproponował jako miarę wytężenia gęstość energii odkształcenia sprężystego. Kontynuatorem tej koncepcji był Maksymilian Tytus Huber (87 950), który wprowadził jednak pewne ograniczenia. Polski uczony ogłosił swoją hipotezę w 904 roku, przyjmując, że o lokalnej utracie sprężystości ciała decyduje gęstość energii odkształcenia postaciowego [4]. Obecnie wiadomo, że niemal pół wieku wcześniej taką samą ideę proponował J. C. Maxwell, jednak jego list do W. Thompsona z 856 roku, w którym ją przedstawił, został opublikowany dopiero w 96 roku. Kryterium Hubera stało się znane i jest powszechnie używane jako energetyczny warunek wytężenia dla ciał izotropowych, 5 Zeszyty Naukowe AMW
3 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego choć początkowo przypisane zostało Richardowi von Misesowi (88 95). Kłopotliwe jednak okazało się uogólnienie tej hipotezy dla materiałów wykazujących anizotropię sprężystą. Pierwszą propozycję warunku granicznego dla materiału anizotropowego przedstawił Mises w 98 roku w postaci: D H D, () gdzie: Η tensor czwartego rzędu zwany tensorem granicznym; D dewiator naprężenia. Niemiecki uczony podając swój warunek, zaznaczał jednak, iż nie ma on charakteru energetycznego dla ciał anizotropowych. Wprowadzony przez Włodzimierza T. Burzyńskiego w 98 roku pomysł addytywnego rozkładu energii pokazał, że Mises zbyt pochopnie dokonał takiej oceny. Dowód energetycznego charakteru warunku Misesa, co więcej każdego kwadratowego kryterium granicznego, przedstawił dopiero Jan Rychlewski w latach osiemdziesiątych XX wieku. Dzięki wprowadzeniu energetycznie ortogonalnego podziału stanu naprężenia Rychlewski sormułował energetyczny warunek graniczny dla ciał anizotropowych w następującej ormie: Φ ( T ) + Φ ( T ) Φ, ρ 6 T, () ρ h h h ρ gdzie: h i moduły Rychlewskiego; Φ( T i ) gęstość energii sprężystej nagromadzonej w i-tym stanie energetycznie rozdzielonym. Gęstość energii Φ dla ciała Hooke a, przy założeniu małych wartości odkształceń ε, można przedstawić jako pracę naprężeń T wykonaną na odpowiadających im odkształceniach Tε ( ), co zapisane zostanie w poniższy sposób [0]: Φ= T Tε( ). () (90) 0 5
4 Piotr Kordzikowski Dla ciała izotropowego gęstość energii można rozłożyć na sumę dwóch części gęstość energii odkształcenia postaciowego Φ i gęstość energii objętościowej Φ v : Φ =Φ +Φ. (4) Zarówno energię objętościową, jak i postaciową należy rozumieć jako części energii sprężystości odpowiadające za samą zmianę objętości bądź postaci ciała. Powyższy podział energii jest konsekwencją podziału tensorów naprężenia i odkształcenia na części kulistą (aksjatorową) i dewiatorową: 54 Zeszyty Naukowe AMW v T = A +D ; (5) T=A+D ε ε ε. (6) gdzie: A, A aksjatory tensorów naprężenia i odkształcenia; ε D, D dewiatory tensorów naprężenia i odkształcenia. ε Podstawiając do wzoru () wyrażenia (5) oraz (6), otrzymano: Φ= ( A +D ) ( A ε +D ε ). (7) Można wykazać, że naprężenia dewiatorowe nie wykonują pracy na przemieszczeniach aksjatorowych (i odwrotnie), czyli: D Aε = Dε A =0. (8) Wykorzystując zależność (8), gęstość energii sprężystej sprowadza się do postaci: Φ= D Dε + A A ε. (9) Porównanie (4) i (9) pozwala sormułować następujące postaci gęstości energii odkształcenia postaciowego i objętościowego: Φ = D D ε; (0) Φ v = A A ε. ()
5 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Zależności pomiędzy dewiatorami i aksjatorami ustalają odpowiednio: prawo zmiany postaci oraz prawo zmiany objętości zapisane poniżej: D = GD ; () A = KA ε, () gdzie: G moduł ścinania; K moduł odkształcenia objętościowego przyjmują odpowiednio wartości: E G =, ( + ν ) ε E K =. ( ν ) Wykorzystując prawa zmiany postaci i objętości we wzorach (0) i (), otrzymano ostateczne związki określające gęstości energii odkształcenia postaciowego i objętościowego w ormie: Φ = D D ; (4) 4G Φ v = A A. (5) 6K Po podstawieniu powyższych wyrażeń do (4), można określić, za pomocą naprężeń, gęstość energii sprężystej: Φ= D 4G + 6K D A A. (6) ENERGIA SPRĘŻYSTA, ZAGADNIENIE WYTĘŻENIA MATERIAŁU WEDŁUG E. BELTRAMIEGO, M. T. HUBERA I W. BURZYŃSKIEGO Włoski matematyk Eugenio Beltrami rozpoczął nowy rozdział w dziedzinie rozwoju zagadnień wytężeniowych, proponując w 885 roku zasadniczo inny sposób ujęcia problemu. Pomysł Beltramiego opierał się na założeniu, iż za miarę wytężenia należy uważać ilość energii sprężystości, jaką materiał jest w stanie nagromadzić w jednostce objętości do chwili osiągnięcia granicy niebezpiecznej (...) [9]. Z racji tak przyjętego założenia kryterium to nosi często nazwę hipotezy krańcowej energii całkowitej odkształcenia. (90) 0 55
6 Piotr Kordzikowski Zgodnie z pomysłem Beltramiego jako miarę wytężenia W przyjmuje się gęstość całkowitej energii sprężystej, wyrażonej wzorem (6), co zapisujemy w następujący sposób: W = D 4G + 6K D A A. (7) Wykorzystując zależności łączące moduły G oraz K z modułem Younga E i współczynnikiem Poissona ν, można zapisać miarę wytężenia w układzie naprężeń głównych po przekształceniach: ν + ν W = ( + + ) + [( ) + ( ) + ( ) ].(8) 6E 6E Stosując metodę porównawczą i przeprowadzając analogiczne rozumowanie do wyznaczenia wytężenia W 0 dla jednoosiowego rozciągania naprężeniem 0, otrzymano: W = E. (9) 0 0 Porównanie wzorów (8) i (9) pozwala na wyznaczenie naprężenia zastępczego w myśl hipotezy Beltramiego: = + + ν( + + ). (0) 0 Rozważając stan niebezpieczny, przyjmuje się, że wytężenie materiału jest całkowite i w myśl wzoru W =, W =. R Konsekwencją osiągnięcia przez materiał stanu granicznego jest wyrażenie: gr = R, R = + + ν( + + ), () 0 kr kr które można zinterpretować jako powierzchnię stanów granicznych według kryterium Beltramiego. Powierzchnia ta może być różna w zależności od wartości współczynnika Poissona ν. Na rysunku. pokazano przecięcie powierzchni granicznej płaszczyzną = 0 dla wartości współczynnika Poissona spełniającej warunek 0< ν < 0,5. W takim przypadku powierzchnię graniczną stanowi elipsa. 56 Zeszyty Naukowe AMW
7 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego R kr ν 45 +ν R kr R kr +ν Rys.. Krzywa graniczna według kryterium Beltramiego przy przecięciu osią = 0 Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, WIL, Politechnika Krakowska, Kraków 007; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, t., PWN, Warszawa 97. Dla pozostałych wartości współczynnika Poissona powierzchnią graniczną, w złożonym stanie (,, ), jest kula ( ν = 0 ) lub walec kołowy ( ν = 0,5 ). Kryterium wytężenia sormułowane na początku XX wieku przez Maksymiliana T. Hubera stanowi modyikację hipotezy Beltramiego. Za pracą [0] zacytowane zostanie oryginalne sormułowanie kryterium przez polskiego uczonego: Zważywszy, że odkształcenia objętościowe przy ściskaniu nie wpływają na niebezpieczeństwo pęknięcia, można z wielkim prawdopodobieństwem uważać energię postaciową za miarę wytężenia. Założenie, które poczynił Huber, stało się podstawą do nazwania jego podejścia hipotezą krańcowej energii odkształcenia postaciowego. Zgodnie z tym pomysłem oraz wykorzystując zależność (4), zapisano miarę wytężenia w postaci: W = D 4G D. () Dla przypadku jednoosiowego rozciągania naprężeniem 0 miara wytężenia W 0 przyjmie wartość: W = 0 0 6G, () co przy ponownym wykorzystaniu metody porównawczej daje ogólne naprężenie zastępcze: (90) 0 57
8 Piotr Kordzikowski = 0 D D. (4) Rozpisanie składowych dewiatora naprężenia w układzie naprężeń głównych bądź w dowolnym układzie współrzędnych pozwala zapisać naprężenie zastępcze w ormie: lub 0 = ( ) + ( ) + ( ) (5) 0 = ( x y) + ( x z) + ( y z) + 6( τxy + τxz + τ yz). (6) W przypadku hipotezy Hubera równie łatwo dojrzeć równanie powierzchni granicznej. Stanowi ją walec kołowy, którego oś tworząca jest równo nachylona do osi układu naprężeń głównych, o przepisie: Rkr = ( ) + ( ) + ( ). (7) Rysunek. przedstawia powierzchnię graniczną wg Hubera w płaskim stanie, czyli przecięcie walca Hubera płaszczyzną = 0. R kr 45 R kr Rys.. Krzywa graniczna według hipotezy Hubera przy przecięciu osią = 0 Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. R kr 58 Zeszyty Naukowe AMW
9 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Z kolei na rysunku. pokazano walec Hubera wraz z zaznaczonymi przekrojami płaszczyznami o równaniach: = 0 przekrój eliptyczny π (przedstawiony szczegółowo na rysunku.); + + = 0 przekrój kołowy π. π π Rys.. Walec Hubera Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. Włodzimierz T. Burzyński ( ), uczeń Hubera, przedstawił własną hipotezę wytrzymałościową w swojej pracy doktorskiej z 98 roku pt. Studium nad hipotezami wytężenia. Wnioskował w niej, że oparcie teorii wytężenia materiałów powinno się odbywać na podstawie większej liczby testów doświadczalnych, odpowiadających różnym, prostym stanom naprężenia. Stąd też pomysł jego autorstwa brzmiał następująco: Miarę wytężenia lokalnego w obszarach sprężystych i plastycznych stanowi suma gęstości quasi-energii odkształcenia postaciowego i pewnej, zależnej od stanu napięcia i własności indywidualnych ciała, części gęstości pseudo-energii odkształcenia objętościowego. (...) Matematyczną ormą tak postawionej hipotezy jest równanie: Φ + η Φ v = K, (8) gdzie: η jest jak z założenia wynika unkcją własności indywidualnych, jako parametrów i stanu napięcia, jako zmiennej niezależnej []; K wprowadzona wcześniej wartość graniczna R. Widać stąd, że uniwersalność hipotezy Burzyńskiego, reprezentowana wielkością κ, kryje się we współczynniku η pod użytym przez Burzyńskiego pojęciem własności indywidualnych. (90) 0 59 gr
10 Piotr Kordzikowski Wprowadzone zostaną, zgodnie z propozycją Burzyńskiego, następujące dwie zależności: oraz m = ( + + ) (9) = GΦ, (0) gdzie:,, wartości naprężeń głównych; G moduł ścinania; niezmiennik proporcjonalny do naprężenia ekwiwalentnego ( = e ), odpowiadający gęstości energii odkształcenia postaciowego Φ. Wykorzystując wzory (9) i (0) polski uczony przedstawił swoje kryterium w postaci: A + B + C = 0, () m m gdzie stałe A, B, C wyznaczyć należy z testów dla trzech najprostszych stanów naprężenia, dla których przyjęto odpowiednio: T jednoosiowe rozciąganie: = gr. t, m = gr. t; C jednoosiowe ściskanie: = gr. c, m = gr. c; S czyste skręcanie: = 6 τ 0, m = 0. Po wyznaczeniu stałych A, B, C wyrażenie () sprowadza się do postaci: + (9 ) + ( ) = 0. () gr. t gr. c gr. t gr. c m gr. c gr. t m gr. t gr. c τ0 τ0 Graiczna interpretacja unkcji granicznej () dla przypadku, w którym τ0 = gr. t przedstawiona została na rysunku 4. Przy takim założeniu równanie gr. c () w układzie osi głównych przyjmuje postać paraboloidy obrotowej. W ogólności hipoteza Burzyńskiego może także przyjmować ormę elipsoidy lub hiperboloidy osiowo pokrywającej się z osią = =. 60 Zeszyty Naukowe AMW
11 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego jednoosiowe ściskanie τ 0 czyste skręcanie 6 C S gr.t T jednoosiowe rozciąganie gr.c gr.c gr.t paraboloida Rys. 4. Interpretacja graiczna kryterium Burzyńskiego Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. Warto również zauważyć, że podstawiając do równania () wartości stałych A, B, C, które uzyskane zostaną przy założeniach gr. t = gr. c = ( κ = ) oraz gr gr τ 0 =, zgodnymi z hipotezą Hubera, powierzchnia graniczna uzyskana z hipotezy Burzyńskiego przyjmie postać walca Hubera. Analogiczne rozumowanie można gr przeprowadzić przy założeniu τ 0 =. Wówczas otrzymuje się elipsoidę + ν zgodną z warunkiem Beltramiego. Z uwagi na dość skomplikowaną postać powierzchni granicznej () oraz utrudnione jej wyznaczanie, można posłużyć się tzw. zlinearyzowaną hipotezą Burzyńskiego, w myśl której krzywą graniczną przedstawioną na rysunku 4. aproksymuje się odcinkami prostych. Podejście takie szczegółowo omówione jest w pracy [9]. stożek m ANALIZA WARUNKÓW WYTĘŻENIA DLA ANIZOTROPOWYCH MATERIAŁÓW Dla materiału deormującego się w zakresie sprężystym J. Rychlewski [] sormułował i udowodnił twierdzenie, nazywane w pracy [9] ogólnym twierdzeniem Rychlewskiego. (90) 0 6
12 Piotr Kordzikowski Dla dowolnego ciała, którego własności sprężyste opisane są tensorem podatności C (sztywności S ), a własności graniczne tensorem H istnieje dokładnie jeden energetycznie ortogonalny rozkład przestrzeni S (tensorów symetrycznych drugiego rzędu) S = H H... H κ, κ 6, H L H K, dla L K i dokładnie jeden zbiór parami różnych stałych h, h,... h κ, hα h, dla α β takich, β że dla dowolnego naprężenia S, = κ, K H K, warunek graniczny H przyjmie postać: = φ φ, () H κ h hκ gdzie: φ ( ) + φ( ) φ( κ ) = φ ( ) ; φ ( K ) = K C K = K K (bez sumowania); h κ wagi energii sprężystej nazywane według [9] modułami Rychlewskiego. Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sormułowane dla dowolnych tensorów S, C i H. Rys. 5. Idealizacja sprężystego stanu granicznego Źródło: opracowanie własne. Daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów, który ma charakter energetyczny, wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sormułowane dla dowolnych tensorów S, C i H. Daje to możliwość rozpatrywania 6 Zeszyty Naukowe AMW
13 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów, który ma charakter energetyczny, wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Rozpatrywany materiał jest symetryczny zarówno w stanie sprężystym, jak i granicznym. Dla stanów płaskich materiał ma wówczas co najmniej symetrię prostokąta jest materiałem ortotropowym. Założono, że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym i granicznym o różnych osiach symetrii i różnych dystrybutorach. Założono, że w stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie izycznej, a w stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kąt ϕ : h = cosϕ e+ sinϕ e, h = sinϕ e+ cosϕ e. p p Rozkłady spektralne tensorów C i H mają postać: p C = ωi ωi + ωii ωii + ωiii ω III, (4) λ λ λ gdzie ω K i p H = η η + η η + η η, (5) χ χ χ η L stany własne tensorów I I II II III III p C i p H. W zakresie sprężystym osie symetrii materiału pokrywają się z kierunkami e i e, bazę w przestrzeni naprężeń S stanowią diady a = e e, a = e e, a = ( e ) e + e e. W stanie granicznym osiami symetrii materiału są osie h i h na płaszczyźnie izycznej, w przestrzeni S bazę będą stanowiły diady b = h h, b = h h, b = ( h ) h + h h. Ostatecznie rozkład stanów własnych tensora p C ma postać [9]: π π ηi = [cos( δ ρ) sin( δ )sin( ρ )( cos ϕ)] ωi π π + [sin( δ ρ) sin( δ )cos( ρ )( cos ϕ)] ω II p H w bazie stanów własnych (90) 0 6
14 π [sin( δ )sin ϕ ω III ], π π ηii = [ sin( δ ρ) cos( δ )sin( ρ )( cos ϕ)] ω I π π + [cos( ρ δ) cos( δ )cos( ρ )( cos ϕ)] ω II π [cos( δ )sin ϕ ω III ], sin [sin( π π ηiii = ϕ ρ ) ωi + cos( ρ ) ωii ] + cos ϕ ω III, 4 4 gdzie: p p ρ, δ dystrybutory sztywności tensora C i H. Piotr Kordzikowski Idea postępowania przy wyznaczaniu asymetrycznego energetycznego warunku wytężenia polega na wykorzystaniu badań doświadczalnych uzyskanych z testów w jednoosiowych stanach naprężenia. W celu wyznaczenia asymetrycznej powierzchni granicznej dla tej samej symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym (tensor podatności C (lub sztywności S ) jest równoległy do tensora granicznego H), należy przeprowadzić następujące postępowanie:. Wyznaczyć tensor podatności C (lub sztywności S ).. Wyznaczyć wartości własne ( λ ) i osie własne ( ω ) tensora podatności C (lub sztywności S ).. Wyznaczyć macierz transormacji z układu osi głównych (osi, w których został wykonany eksperyment) do układu osi własnych tensora podatności C (lub sztywności S ). 4. Transormować wartości naprężeń z eksperymentu wyznaczone w osiach głównych ( r naprężenie graniczne dla rozciągania względem pierwszej osi; r naprężenie graniczne dla rozciągania względem drugiej osi; r naprężenie graniczne dla rozciągania względem trzeciej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem pierwszej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem drugiej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem I trzeciej osi) do układu osi własnych ( r naprężenie graniczne w I stanie 64 Zeszyty Naukowe AMW
15 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego II własnym dla rozciągania, r naprężenie graniczne w II stanie własnym dla III rozciągania, r naprężenie graniczne w III stanie własnym dla rozciągania, I II s naprężenie graniczne w I stanie własnym dla ściskania, s naprę- III żenie graniczne w II stanie własnym dla ściskania, s naprężenie graniczne w III stanie własnym dla ściskania). 5. Podstawić wartości graniczne r, r, r, s, s, s, do kryterium J. Rychlewskiego w kolejnych częściach układu osi własnych Φ r Φ r Φ r + + w części pierwszej; Φ Φ Φ r r r Φ s Φ r Φ r + + w części drugiej; Φ Φ Φ s r r Φ s Φ r Φ s + + w części trzeciej; Φ Φ Φ s r s Φ r Φ r Φ s + + w części czwartej; Φ Φ Φ r r s Φ r Φ s Φ r + + w części piątej; Φ Φ Φ r s r Φ s Φ s Φ r + + w części szóstej; Φ Φ Φ s s r Φ s Φ s Φ s + + w części siódmej; Φ Φ Φ s s s Φ r Φ s Φ s + + w części ósmej, Φ Φ Φ r s s (90) 0 65
16 Piotr Kordzikowski gdzie: I = II + III + rozkład tensora naprężenia na stany własne; rs, rs, rs, I,, rs, Φ( ) graniczna wartość gęstości energii sprężystej w kolejnym stanie własnym. Weryikacja proponowanego schematu postępowania została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych dla kartonu, które zostały podane w pracach [, 5]: E = 50 MPa, E = 50 MPa, E = 690 MPa, ν = 0.5, ν = 0.5, ν = 0., G = 700 MPa, G = 700 MPa, G = 500 MPa. Tensor sztywności przyjmuje postać: S = MPa Postępując zgodnie z wyżej podanym schematem, otrzymujemy asymetryczną powierzchnię graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia. Rys. 6. Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej części układu osi własnych Źródło: opracowanie własne. 66 Zeszyty Naukowe AMW
17 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Postępując zgodnie z proponowanym schematem, można również ograniczyć się do płaskich stanów dokładnie dyskutowanych i weryikowanych dla cienkich warstw w pracy []. Natomiast w prezentowanym artykule weryikacja została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych dla pianki, które zostały podane w pracy []: E = 00 MPa, E = 600 MPa, ν G = 0.4, = 780 MPa. Tensor sztywności przyjmuje postać: S = MPa Postępując zgodnie z podanym schematem w pracy [], otrzymujemy asymetryczną krzywą graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia. Rys. 7. Asymetryczna krzywa graniczna dla pianki wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych Źródło: opracowanie własne. Postępując zgodnie z podanym schematem w pracy [], w pracy tej wyznaczono asymetryczną krzywą graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia dla amoricznego metalu [6]. (90) 0 67
18 Piotr Kordzikowski Rys. 8. Asymetryczna krzywa graniczna dla amoricznego metalu Źródło: opracowanie własne. Warto również przytoczyć i porównać krzywe graniczne według J. Rychlewskiego z krzywymi granicznymi otrzymanymi z kryterium P. S. Theocarisa [6], które mogłoby posłużyć do uogólnienia kwadratowego kryterium Rychlewskiego dla dowolnych materiałów anizotropowych wykazujących eekt różnicy wytrzymałości (Strength Dierential Eect): ii ( + ) i ( i+ ) + Ti Ci Ti Ci T ( i+ ) C( i+ ) T ( i+ ) C( i+ ) + ( ) ij = Ti Ci T C T C T C T C T C + ( )( + ) + ( ) =, T C T C (6) (7) gdzie Ti Ci, odpowiednio naprężenie graniczne przy rozciąganiu i ściskaniu w kierunku głównym i =,,. 68 Zeszyty Naukowe AMW
19 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Rys. 9. Interpretacja graiczna kryterium P. S. Theocarisa Źródło: P. S. Theocaris, The elliptic paraboloid ailure surace or D-transtropic plates (iber laminates), Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol.. Wykorzystując podane algorytmy oraz dane doświadczalne prezentowane w [6, 7, 8], wyznaczono następujące krzywe graniczne: (90) 0 69
20 Piotr Kordzikowski Rys. 0. Krzywe graniczne dla kartonu wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. Rys.. Krzywe graniczne dla pianki wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. 70 Zeszyty Naukowe AMW
21 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Rys.. Krzywe graniczne dla amoricznego metalu wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. WNIOSKI Prezentowane podejście daje możliwość zastosowania energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [, 4] do oceny wytężenia materiałów, które cechuje różnica własności wytrzymałościowych, a zatem i asymetrii zakresu sprężystego. Przedstawiona interpretacja graiczna asymetrycznego warunku energetycznego w układzie osi własnych (w przestrzeni stanów własnych) wykazuje, że w każdej części tego układu wyznaczona jest inna powierzchnia graniczna, odpowiadająca własnościom materiału określonym na drodze doświadczenia w układzie osi głównych (w przestrzeni naprężeń głównych). Takie podejście do analizy energetycznego kryterium wytężenia J. Rychlewskiego pozwala na wykorzystanie jednoosiowych testów doświadczalnych do określenia wytężenia materiału oraz daje również podstawę do wyznaczenia modułów Rychlewskiego h κ, a więc tensora stanu granicznego H. Widoczne na rysunkach 6. i 7. rozbieżności między wyznaczonym teoretycznym obszarem granicznym a punktami doświadczalnymi można będzie prawdopodobnie zmniejszyć, jeżeli zastosujemy ogólne twierdzenie Rychlewskiego, które dopuszcza różne symetrie tensora podatności C (sztywności S ) oraz tensora wytężenia H. (90) 0 7
22 Piotr Kordzikowski BIBLIOGRAFIA [] Biegler M. W., Mehrabadi M. M., An energy-based constitutive model or anisotropic solids subject to damage, Mechanics o Materials, 995, Vol. 9, pp [] Burzyński W., Studium nad hipotezami wytężenia, Nakładem Akademii Nauk Technicznych, Lwów 98; Dzieła wybrane, PWN, Warszawa 98, t., s [] Burzyński W., Teoretyczne podstawy hipotez wytężenia, Czasopismo Techniczne, 99, t. 47, s. 4, Lwów; Dzieła wybrane, PWN, Warszawa 98, t., s. 65 0; angielskie wydanie: Theoretical oundations o the hypotheses o material eort, Engineering Transactions, 008, Vol. 56, pp [4] Huber M. T., Właściwa praca odkształcenia jako miara wytężenia materiału, Czasopismo Techniczne XXII, Lwów 904. [5] Janus-Michalska M., Kordzikowski P., Pęcherski R. B., Energy-based approach to limit state criteria o cellular materials, International Symposium on Developments in Plastisity and Fracture-Centenary o M. T. Huber Criterion, Kraków 004. [6] Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Macroscopic properties o open-cell oams based on micromechanical modelling, Technische Mechanik, 00, Vol., pp [7] Janus-Michalska M., Eective models describing elastic behaviour o cellular materials, Archives o Metallurgy and Materials, /005, Vol. 50, pp [8] Kordzikowski P., Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Analiza wpływu wytrzymałości prętów sześciennej struktury komórkowej na rozkład granicznych energii,,,rudy i Metale Nieżelazne, 004, R. 49, nr, s [9] Kordzikowski P., Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Speciication o energy- -based criterion o elastic limit states or cellular materials, Archives o Metallurgy and Materials, /005, Vol. 50, pp [0] Kordzikowski P., Podstawy teorii wytężenia materiałów komórkowych w oparciu o energetyczne kryteria stanów granicznych, praca doktorska, Politechnika Krakowska, Kraków 006. [] Kordzikowski P., Zastosowanie energetycznego kryterium Rychlewskiego do oceny wytężenia anizotropowych cienkich warstw wykazujących eekt różnicy wytrzymałości,,,rudy i Metale Nieżelazne, 007, R. 5, nr, s [] Kordzikowski P., Zastosowanie energetycznego kryterium Rychlewskiego do oceny wytężenia anizotropowych materiałów wykazujących eekt różnicy wytrzymałości,,,czasopismo Techniczne seria: Mechanika, -M/00, z. 9, R. 07, s Zeszyty Naukowe AMW
23 Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego [] Kordzikowski P., Pęcherski R. B., Assessment o the material strength o anisotropic materials with asymmetry o the elastic range,, Mechanics and Control (dawne Mechanics ), 00, Vol. 9, No, pp [4] Kowalczyk K., Ostrowska-Maciejewska J., Pęcherski R. B., An-energy based yield criterion or solids o cubic elasticity and orthotropic limit state,,,arch. Mech., 00, t. 55, s [5] Kowalczyk-Gajewska K., Ostrowska-Maciejewska J., Energy-based limit criteria or anisotropic elastic materials with constraints,,,arch. Mech., 005, t. 57. [6] Lund A. C., Schuh C. A., Strength asymmetry in nano-crystalline metals under multiaxial loading, Acta Materialia, 005, Vol. 5, pp [7] Nalepka K., Pęcherski R. B., Fizyczne podstawy energetycznego kryterium wytężenia monokryształów, red. J. Pacyno, XXX Szkoła Inżynierii Materiałowej, Kraków Ustroń Jaszowiec, 4 X 00, AGH, Kraków 00, s. 6. [8] Nalepka K., Pęcherski R. B., Energetyczne kryteria wytężenia. Propozycja obliczania granicznych energii z pierwszych zasad, Rudy i Metale Nieżelazne, 00, R. 48, s [9] Ostrowska-Maciejewska J., Pęcherski R. B., Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok, PAN, Kraków 006. [0] Piechnik S., Mechanika techniczna ciała stałego, Politechnika Krakowska, Kraków 007. [] Porębski K., Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, Politechnika Krakowska, Kraków 007. [] Rizzi E., Papa E., Corigliano A., Mechanical behavior o a syntectic oam experiments and modeling,, International Journal o Solids and Structures, 000, Vol. 7, pp [] Rychlewski J., Elastic energy decomposition and limit criteria, Uspekhi Mekh. Advances in Mech., 984, Vol. 7, pp (po rosyjsku). [4] Rychlewski J., Unconventional approach to linear elasticity,,,arch. Mech., 995, t. 47, s [5] Suhling J. C., Rowlands R. E., Johnson M. W., Gunderson D. E.: Tensorial Strength Analysis o Paperboard,,,Exp. Mech., 985, t. 5, s [6] Theocaris P. S., The elliptic paraboloid ailure surace or D-transtropic plates (iber laminates), Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol., pp [7] Theocaris P. S., Failure Behaviour o Paper Sheets,, Journal o Reinorced Plastics and Composites, 989, Vol. 8, pp (90) 0 7
24 Piotr Kordzikowski [8] Theocaris P. S., Decomposition o strain energy density in iber reinorced composites,, Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol., No., pp [9] Walczak J., Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, t., PWN, Warszawa 97. EFFORT OF SELECTED ANISOTROPIC MATERIALS WITH SCOPE ELASTIC ASYMMETRY ABSTRACT The paper contains a discussion concerned with the E. Beltrami, M. T. Huber and W. Burzyński energy-based criteria or isotropic bodies as well as the J. Rychlewski limit criterion or anisotropic materials. It also reers to the P. S. Theocarisa ailure criterion mentioned in the discussion ocused on the possibility o extending the criterion proposed by Rychlewski to anisotropic materials displaying asymmetry o elastic range and the related strength dierential eect. Keywords: anisotropic materials, eort criterion, own elasticity states. 74 Zeszyty Naukowe AMW
Piotr Kordzikowski RYCHLEWSKIEGO DLA ANIZOTROPOWYCH CIENKICH WARSTW SPECYFIKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU KATEDRA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
http://www.prz.edu.pl/pl/wbmil/files/konferencje/omis007/index.html - - SPECYFKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU RYCHLEWSKEGO DLA ANZOTROPOWYCH CENKCH WARSTW Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska Wydział
Bardziej szczegółowoZASADA DE SAINT VENANTA
Zasięg oddziaływania obciążenia samozrównoważonego w materiałach komórkowych ZASADA DE SAINT VENANTA Małgorzata Janus-Michalska Katedra Wytrzymałości Materiałów dn. 21.05.2007. PLAN PREZENTACJI 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A
UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoIntegralność konstrukcji w eksploatacji
1 Integralność konstrukcji w eksploatacji Wykład 0 PRZYPOMNINI PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z WYTRZYMAŁOŚCI MATRIAŁÓW Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH
Część 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5.. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI W każdym materiale konstrukcyjnym
Bardziej szczegółowo7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
Część 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 7.. UWAGI WSTĘPNE Powróćmy jeszcze raz do wyników próby rozciągania omówionych w rozdziale 4. Jeżeli przyjmiemy, że oś próbki pokrywa się
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.
Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej
Bardziej szczegółowoNauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis
Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia
Bardziej szczegółowoENERGIA DYSYPACJI W SPRĘŻYSTOLEPKIM PRĘ CIE PRZY HARMONICZNYCH OBCIĄŻENIACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVIII NR 1 (168) 007 Janusz Kolenda Akademia Marynarki Wojennej ENERGIA DYSYPACJI W SPRĘŻYSTOLEPKIM PRĘ CIE PRZY HARMONICZNYCH OBCIĄŻENIACH STRESZCZENIE
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoTEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP) Wstęp. Podstawy matematyczne. Tensor naprężenia. Różniczkowe równania równowagi Zakład Mechaniki Budowli PP Materiały pomocnicze do TSP (studia niestacjonarne,
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: GGiG-1-414-n Punkty ECTS: 5 Wydział: Górnictwa i Geoinżynierii Kierunek: Górnictwo i Geologia Specjalność: Poziom studiów: Studia I
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1
Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1 1. Prawa ruchu Newtona. 2. Projektowanie prętów skręcanych ze względu na wytrzymałość oraz kąt skręcania. 3. Belka AB o cięŝarze G oparta jak pokazano na
Bardziej szczegółowoZ-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoSYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING
MARIUSZ DOMAGAŁA, STANISŁAW OKOŃSKI ** SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule podjęto próbę modelowania procesu
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia
Bardziej szczegółowoPLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Sprężystość
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoAiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 013/014 AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.
ROZDZIAŁ J. German: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OIOWA W rozdziale tym zostaną przedstawione równania fizyczne dla materiałów anizotropowych,
Bardziej szczegółowomgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia
NAPRĘŻENIE Teoria stanu naprężenia i odkształcenia Naprężeniem nazywamy gęstość powierzchniowych sił wewnętrznych obrazujących oddziaływanie jednej części ciała na drugą, po dokonaniu jego myślowego rozcięcia.
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoBudowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów Strength of materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/201 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE MODUŁU W
Bardziej szczegółowo7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 7. 7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7.1. Wprowadzenie Równania Lamego wyrażają się wzorem: u i 1 u j, j i0 (7.1) gdzie: u i jest funkcją biharmoniczną u j,j υ - dylatacja
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia, laboratorium WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Strenght of materials Forma studiów: stacjonarne Poziom
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 19 - Ścinanie techniczne połączenia klejonego Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Ścinanie techniczne połączenia
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.
Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoWykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał
Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.pl Literatura: [1] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków,
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoPolimery i kompozyty konstrukcyjne 2006 ZASTOSOWANIE ENERGETYCZNEGO KRYTERIUM WYTĘŻENIOWEGO DO OCENY DEGRADACJI SZTYWNOŚCI LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH
Polimery i kompozyty konstrukcyjne 6 mgr inż. Mariusz HEBDA dr hab. inż. Janusz GERMAN Katedra Wytrzymałości Materiałów nstytut Mechaniki Budowli Politechnika Krakowska ZASTOSOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM
Bardziej szczegółowoWŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów
WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ Właściwości materiałów O możliwości zastosowania danego materiału decydują jego właściwości użytkowe; Zachowanie się danego materiału w środowisku pracy to zaplanowana
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (66) 006 Lesł aw Kyzioł Akademia Marynarki Wojennej ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI
Dr inż. Danuta MIEDZIŃSKA, email: dmiedzinska@wat.edu.pl Dr inż. Robert PANOWICZ, email: Panowicz@wat.edu.pl Wojskowa Akademia Techniczna, Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej MODELOWANIE WARSTWY
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów II studia zaoczne inżynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. IV materiały pomocnicze do ćwiczeń
Wytrzymałość Materiałów II studia zaoczne inżynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. IV materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: mgr inż. Jolanta Bondarczuk-Siwicka, mgr inż. Andrzej
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowo11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ
11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoBadanie zjawiska kontaktu LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoα k = σ max /σ nom (1)
Badanie koncentracji naprężeń - doświadczalne wyznaczanie współczynnika kształtu oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski 1. Wstęp Występowaniu skokowych zmian kształtu obciążonego elementu, obecności otworów,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów II Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 1 S 0 4 44-0 _0 Rok: II Semestr:
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P
WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:
Bardziej szczegółowoSponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowo