Polimery i kompozyty konstrukcyjne 2006 ZASTOSOWANIE ENERGETYCZNEGO KRYTERIUM WYTĘŻENIOWEGO DO OCENY DEGRADACJI SZTYWNOŚCI LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH

Transkrypt

1 Polimery i kompozyty konstrukcyjne 6 mgr inż. Mariusz HEBDA dr hab. inż. Janusz GERMAN Katedra Wytrzymałości Materiałów nstytut Mechaniki Budowli Politechnika Krakowska ZASTOSOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM WYTĘŻENOWEGO DO OCENY DEGRADACJ SZTYWNOŚC LAMNATÓW KOMPOZYTOWYCH Streszczenie. Praca omawia zastosowanie energetycznego kryterium wytężeniowego sprężystych stanów własnych - wyspecyfikowanego z ogólnego sformułowania Rychlewskiego - do oceny nośności warstwowych kompozytów włóknistych. Wykorzystuje się w tym celu zaproponowaną przez autorów metodę degradacji macierzy sztywności laminatu. Przedstawiono także wyniki obliczeń dla kilku typów laminatów oraz ich porównanie z wynikami doświadczalnymi, zaczerpniętymi z literatury. 1 WSTĘP W pracy rozważana jest nośność warstwowych kompozytów włóknistych przy użyciu metody LPF (Last Ply Failure). Metoda ta polega na analizie laminatu warstwa po warstwie, celem wyznaczenia kolejno niszczących się warstw, aż do wyczerpania nośności ostatniej z nich. Obciążenie, przy którym niszczy się ostatnia warstwa jest uznawane za nośność laminatu. Kluczowym punktem metody LPF jest sposób modyfikacji macierzy sztywności w zniszczonej warstwie, na podstawie której wyznaczana jest aktualna sztywność laminatu. Redukcji tej można dokonać przez wyzerowanie wszystkich elementów macierzy lub tylko tych elementów, które są związane ze sposobem zniszczenia. Bardziej złożona analiza polega na częściowej degradacji odpowiednich elementów, uwzględniającej również stopień zniszczenia. Macierz sztywności w funkcji stałych inżynierskich jest określona w następujący sposób: gdzie: [ ] 1 m = 1 v v m E 1 mv1 E1 = 1 = mv1 E m E (1) 66 G1 1 Pierwszy sposób redukcji sprowadza się do całkowitego wykluczenia uszkodzonej warstwy z dalszej analizy, co może prowadzić do znaczącego zaniżenia nośności laminatu. Przy drugim i trzecim sposobie wymagana jest znajomość mechanizmu zniszczenia. Jeżeli warstwa ulega uszkodzeniu na skutek zniszczenia osnowy, to wyzerowaniu bądź zredukowaniu ulegają poprzeczny moduł Younga E lub moduł ścinania G 1. Jeżeli uszkodzeniu ule-

2 Mariusz HEBDA, Janusz GERMAN gają włókna - jako zerowy lub odpowiednio zmniejszony przyjmuje się podłużny moduł Younga E 1. Najprostszym sposobem uwzględnienia stopnia zniszczenia może być redukcja odpowiednich elementów macierzy sztywności w oparciu o współczynniki, wyrażające stosunek wartości naprężeń do wytrzymałości w odpowiadających sobie kierunkach. Taki sposób degradacji zaproponował Chiu [1]. Niektóre teorie do określenia stopnia uszkodzenia wykorzystują wyniki eksperymentu. Badając pewną grupę laminatów (ten sam materiał i konfiguracja warstw) określa się na przykład gęstość szczelin w osnowie przy zniszczeniu i wyniki te wykorzystuje przy prognozowaniu nośności takich samych lub podobnych laminatów. Tego typu metodyka jest zastosowana na przykład przez Liu i Tsaia [], a także przez Cazeneuve a i in. [3]. Wiele modeli degradacji sztywności opartych jest na mechanice pękania i mechanice uszkodzeń, czego przykładem może być praca Germana [4]. Bardziej szczegółowy przegląd metod częściowej degradacji sztywności w uszkadzających się warstwach laminatu można znaleźć w pracach [4] i [5]. Do uwzględnienia sposobu zniszczenia konieczna jest możliwość jego identyfikacji, na etapie wyznaczania nośności warstwy przy użyciu wybranego kryterium. Przydatne są tu kryteria, rozróżniające sposób zniszczenia. Przykładem mogą być kryteria Hashina - Rotema [6], Cuntze a [7], Pucka [8] czy strukturalno - statystyczne kryterium Dąbrowskiego [9]. Również kryterium maksymalnych naprężeń (lub ekwiwalentnie odkształceń) [1] daje możliwość identyfikacji mechanizmu zniszczenia. Wymienione kryteria umożliwiają prognozowanie zniszczenia oddzielnie dla włókien i osnowy w zależności od znaku naprężeń w warstwie. Wadą tego typu kryteriów jest nieuwzględnianie interakcji pomiędzy naprężeniami σ 1 i σ. W analizie wytrzymałościowej kompozytów najczęściej stosuje się kryteria wytężeniowe sformułowane w postaci wielomianów kwadratowych, takie jak kryterium Tsaia-Hilla [11], [1], Hoffmana [13] czy Tsaia-Wu [14]. Kryteria te jednak nie pozwalają na identyfikację sposobu zniszczenia. Można to zrobić jedynie w szczególnych przypadkach obciążenia, na podstawie wielkości naprężeń w warstwie przy zniszczeniu. Jeżeli zatem stosuje się tego typu kryteria, do identyfikacji mechanizmu zniszczenia konieczne jest użycie dodatkowych warunków. Warunki te są w zasadzie również kryteriami przyjętymi w sposób arbitralny, nie mającymi fizycznego uzasadnienia. Przykładem mogą być warunki podane w [] i [15]. W niniejszej pracy zaprezentowano zaproponowany w [] nowy sposób degradacji sztywności laminatu, pozwalający na redukcję elementów macierzy, uwzględniający stopień uszkodzenia bez konieczności określania mechanizmu wywołującego to uszkodzenie. Zastosowanie metody zilustrowano przykładami oraz porównano wyniki obliczeń z zaczerpniętymi z literatury wynikami badań doświadczalnych. OPS METODY Metoda degradacji sztywności prezentowana w tej pracy oparta jest na energetycznym kryterium wytężeniowym sprężystych stanów własnych. Kryterium to zostało sformułowane w sposób ogólny dla materiałów anizotropowych przez Rychlewskiego [16], [17] w postaci: ( σ ) ( σ ρ ) kr + L + = 1, ρ V () ρ kr

3 Zastosowanie energetycznego kryterium wytężeniowego do oceny nośności... gdzie s ρ tensor naprężenia w ρ -tym stanie własnym, wyznaczonym dla tensora podatności C, (s ρ ) = σ ρ /(λ ρ ) gęstość energii sprężystej zgromadzona w ρ -tym stanie własnym, λ ρ moduł Kelvina w ρ -tym stanie własnym, ρ kr krytyczna wartość gęstości energii sprężystej w ρ -tym stanie własnym. W pracy [18] kryterium to zostało wyspecyfikowane dla ortotropowej warstwy kompozytu w płaskim stanie naprężenia. Uzyskano dla tensora podatności C trzy stany własne i trzy moduły Kelvina, stąd kryterium () przybiera postać: ( σ ) ( σ ) ( σ ) kr + kr + kr = 1 (3) W oparciu o myślowe eksperymenty, polegające na obciążaniu warstwy aż do zniszczenia w kierunkach głównych osi materiałowych (podobnie, jak to się czyni w klasycznej teorii wytrzymałości laminatów), wyznaczono w pracy [18] mianowniki relacji (3), czyli formuły określające krytyczne wartości gęstości energii sprężystych. Pozwoliło to uzyskać dla ortotropowej warstwy kompozytu szczególną postać ogólnego kryterium energetycznego w postaci: σ X 1 σ + Y σ σ X 1 σ σ A + Y 1 σ A + S 6 = 1 (4) gdzie: A = C C 11 1 C 1 λ C ( λ C ) 11 1 C + C 1 λ , 11, = + ( C C ) 4C C ij elementy tensora podatności (zapisane w notacji Voigta) w głównych osiach materiałowych warstwy. Weryfikację kryterium (4) w oparciu o dostępne w literaturze dane doświadczalne przeprowadzono w pracy [19]. Związek (4) może poprawnie opisywać wytrzymałość danego materiału tylko wówczas, gdy przedstawia sobą równanie elipsy. Wiąże się to ze spełnieniem pewnych warunków pomiędzy parametrami wytrzymałościowymi i sztywnościowymi warstwy kompozytowej. Warunki te zostały omówione szczegółowo w [18]. Energetyczne kryterium wytężeniowe (3) ma postać sumy trzech wyrażeń, z których każde przedstawia stosunek gęstości energii sprężystej zgromadzonej w danym stanie własnym pod wpływem działającego obciążenia, do gęstości energii krytycznej w tym stanie. Można zatem powiedzieć, że wyrażenia te określają stopień wytężenia materiału w każdym stanie własnym. W pracy [] wprowadzono na tej podstawie współczynniki wytężenia ϕ ρ dla każdego stanu własnego. Mają one następującą postać: ϕ ρ ρ = (5) ρ kr Zastosowanie procedury analogicznej do tej, którą wykorzystano przy sformułowaniu kryterium (3), pozwala rozłożyć na stany własne także tensor podatności C i stanowiący jego odwrotność tensor sztywności. Otrzymamy wówczas:

4 Mariusz HEBDA, Janusz GERMAN C = C + C + C = λ P + λ P + λ P (6) = + + = P + P + P (7) λ λ λ gdzie P ρ - projektory ortogonalne wyznaczane jako iloczyny diadyczne tensorów własnych w ρ, tzn. P ρ = w ρ w ρ. Proponuje się zatem przyjęcie następującego sposobu degradacji macierzy sztywności z zastosowaniem współczynników (5): d ( ϕ ) + ( 1 ϕ ) + ( ϕ ) = 1 1 (8) Zaproponowana metoda pozwala na częściową redukcję każdego elementu macierzy sztywności bez potrzeby identyfikacji sposobu zniszczenia, co jest jej niewątpliwą zaletą w porównaniu z metodami stosowanymi dotychczas. Zaletą jest również możliwość analizy nośności laminatu przy użyciu jednego kryterium, zarówno w odniesieniu do określenia nośności warstwy, jak również do jej degradacji. Warto zauważyć, że pomimo iż nie jest to konieczne do analizy nośności laminatu, kryterium energetyczne pozwala w pewnym stopniu identyfikować mechanizm zniszczenia. Aby to wykazać, dokonajmy rozkładu tensora na trzy stany własne: = (1) Trzeci stan własny związany jest wyłącznie ze ścinaniem w płaszczyźnie warstwy. Pozostałe elementy tensora rozkładają się na pierwszy i drugi stan własny, przy czym można wykazać, że prawdziwe są następujące zależności: (11a) (11b) 1 > 1 (11c) Na podstawie (11a) i (11b) można stwierdzić, że pierwszy stan własny odpowiada za uszkodzenie warstwy związane z osnową, a drugi stan własny za uszkodzenie włókien. Wnioski płynące z zależności (11c) zostaną skomentowane w dalszej części pracy. 3 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przykłady ilustrujące metodę przedstawiają wyznaczenie nośności przy rozciąganiu laminatów o kodach [/9] s (typ A) i [±/-4/±/+4/±] s (typ B) wykonanych z materiału M7/ (włókna węglowe/epoksyd). Charakterystyki materiałowe, przyjęte według [1] są następujące: X t = MPa, Y t =73.9 MPa, X c = MPa, Y c =175.8 MPa,

5 Zastosowanie energetycznego kryterium wytężeniowego do oceny nośności... S = MPa, E 1 =16 GPa, E =8.34 MPa, G 1 =.7 MPa, ν 1 =.339. Sztywność laminatu i rozkład naprężeń na poszczególne warstwy zostały wyznaczone w oparciu o klasyczną teorię laminatów z uwzględnieniem naprężeń termicznych wynikających z procesu laminacji. Różnicę pomiędzy temperaturami laminacji i eksploatacji przyjęto T = 1 C, a współczynniki rozszerzalności termicznej dla warstwy: α 1 = i α = Grubość pojedynczej warstwy przyjęto.13 mm. Dla porównania przedstawiono również analizę nośności z wykorzystaniem kryteriów Tsaia-Hilla i Tsaia-Wu. Tabela 1 oraz rysunek 1 przedstawiają wyniki obliczeń dla laminatu typu A. Wszystkie kryteria zgodnie prognozują wartość naprężenia uszkadzającego pierwszą warstwę laminatu na poziomie od 5 do 5 MPa. Analiza naprężeń w warstwie uszkodzonej pokazuje, że naprężenie σ, czyli na kierunku poprzecznym do włókien osiąga wartość bliską wytrzymałości warstwy w tym kierunku. Jest to zatem takie szczególne obciążenie, przy którym można określić sposób zniszczenia w tym przypadku uszkodzenie osnowy. Stosując kryteria Tsaia-Hilla i Tsaia-Wu przyjęto 1 = i =. W przypadku proponowanej metody otrzymujemy współczynniki zniszczenia (5) o następujących wartościach: ϕ = 1., ϕ =., ϕ =. co, biorąc pod uwagę (11) daje w przybliżeniu degradację o takim samym stopniu jak przyjęta wyżej według metody istniejącej. Przekłada się to na praktycznie takim sam moduł Younga wyznaczony według obu metod (por. tabela 1). Kryterium Tabela 1. Wyniki analizy wytrzymałościowej laminatu typu A z materiału M7/ E x,o [GPa] Zniszczenie pierwszej warstwy σ x,fpf σ 1 σ E x,d [GPa] Zniszczenie ostatniej warstwy σ x,lpf σ 1 σ Tsai - Hill Tsai Wu Rychlewski E x,o, E x,d moduły Younga pierwotny i po degradacji, σ x,fpf, σ x,lpf naprężenia w laminacie przy zniszczeniu pierwszej i ostatniej warstwy, σ 1, σ naprężenia w osiach materiałowych warstwy Tabela. Wyniki analizy wytrzymałościowej laminatu typu B z materiału M7/ Kryterium E x,o [GPa] Zniszczenie pierwszej warstwy σ x,fpf σ 1 σ σ 6 Zniszczenie laminatu E x,o [GPa] σ x,ost Tsaia - Hilla Tsaia Wu Rychlewski σ x,ost naprężenie niszczące lamiant, pozostałe oznaczenia jak w Tabeli 3. Po wyznaczeniu nowej sztywności laminatu obliczono obciążenie niszczące ostatnią warstwę. Tutaj wyniki uzyskane dla każdego z analizowanych kryteriów znacznie różnią się miedzy sobą. Najmniejszą wartość naprężenia niszczącego podaje kryterium Tsaia-Hilla, a największą kryterium energetyczne (4). Warto tutaj zwrócić uwagę na duże różnice w wynikach uzyskanych dla istniejących i powszechnie stosowanych aktualnie kryteriów.

6 Mariusz HEBDA, Janusz GERMAN Rys. 1. Zależność σ ε dla laminatu [/9] s Rys. 1. Zależność σ ε dla laminatu [/9] s Rys.. Zależność σ ε dla laminatu [±/- 4/±/+4/±] s Wyniki analizy laminatu typu B przedstawione są w tabeli i na rysunku. Naprężenie przy zniszczeniu pierwszej warstwy otrzymane z kryterium Tsaia-Hilla jest nieco większe niż w pozostałych dwóch przypadkach, można jednak mówić o ogólnie dobrej zgodności wyników dla wszystkich kryteriów. Żadne z naprężeń w kierunkach osi materiałowych warstwy nie osiąga wartości odpowiedniej dla siebie wytrzymałości, nie można zatem, tak jak w poprzednim przypadku, wnioskować o sposobie zniszczenia na podstawie wartości naprężeń. Stosując kryteria Tsaia-Hilla i Tsaia-Wu, należałoby skorzystać z dodatkowych warunków lub sposobów analizy, wymienionych w rozdziale 1. W niniejszej pracy nie uczyniono tego, poprzestając w przypadku tych kryteriów na wyznaczeniu obciążenia niszczącego pierwszą warstwę. Bez przeszkód można natomiast stosować kryterium energetyczne w połączeniu z zaproponowaną metodą degradacji. Obliczenia zostały przeprowadzone aż do wyznaczenia obciążenia niszczącego laminatu, które w tym przypadku jest większe od obciążenia niszczącego ostatnią warstwę (rys. ). W warstwie tej uszkodzeniu ulega osnowa, a włókna mogą brać udział w dalszym przenoszeniu obciążeń, co prowadzi do analizy laminatu w tzw. stanie rozprzężonym. nteresujące wyniki uzyskano, analizując przy użyciu proponowanej metody, zmianę moduł Younga i współczynnika Poissona w laminacie typu B podczas jego stopniowego uszkadzania się. Wyniki te przedstawiono na rysunku 3. Podłużny moduł Younga cały czas stopniowo maleje, natomiast współczynnik Poissona maleje nieznacznie przy uszkodzeniu warstwy, natomiast po uszkodzeniu warstwy 4 wzrasta. Wzrost ten w stosunku do wartości w laminacie nieuszkodzonym wynosi 13 %. Takie zjawisko w laminatach o podobnym układzie warstw zaobserwował German, w przeprowadzonym przez siebie eksperymencie, którego wyniki można znaleźć w pracy [14]. Wzrost współczynnika Poissona jaki uzyskano w analizowanym przykładzie jest związany ze wzrostem elementu 1 w degradowanej macierzy sztywności. Po rozkładzie tej macierzy na stany własne otrzymujemy dla elementu 1 : ( 1 ϕ ) + ( ϕ ) 1, d = (1) Biorąc pod uwagę zależność (11c) widać, że przy pewnej kombinacji współczynników ϕ ρ jest możliwe uzyskanie po degradacji wzrostu elementu 1 w warstwie, a w konsekwencji wzrost współczynnika Poissona w laminacie.

7 Zastosowanie energetycznego kryterium wytężeniowego do oceny nośności... Rys. 3. Zmiana modułu Young a i współczynnika Poissona podczas rozciągania laminatu [±/-4/±/+4/±] s 4 PORÓWNANE Z EKSPERYMENTEM Proponowaną metodę degradacji porównano z eksperymentem opierając się na wynikach badań przeprowadzonych przez Levi i in., którzy poddawali jednoosiowemu rozciąganiu [] i ściskaniu [3] próbki w kształcie rury, wykonane z dwóch typów laminatów: kątowe o kodzie [±θ] 3 oraz mieszane o kodzie [9/(±θ ) /9]. Warstwy kątowe w obu typach laminatów przyjmowano równe 16, 3, 31 i 45. Próbki wykonane były z kompozytu o osnowie epoksydowej zbrojonej włóknami węglowymi M6-W. Charakterystyki materiałowe dla tego kompozytu są następujące: X t =19 MPa, Y t =6 MPa, X c =137 MPa, Y c =6 MPa, S =44 MPa, E 1 =155.4 GPa, E =1 MPa, G 1 =4.9 MPa, ν 1 =.3. Wyniki badań doświadczalnych porównano w [] i [3] z obliczeniami wykonanymi z zastosowaniem kryterium Tsaia-Hilla. Podczas eksperymentu stwierdzono, że we wszystkich przypadkach uszkodzenie pierwszej warstwy (także drugiej dla laminatu [9/(±θ ) /9]) następowało przez zniszczenie osnowy. Przyjęto zatem do obliczeń degradację macierzy sztywności przez zerowanie modułu Younga E lub modułu ścinania G 1. Określenie sposobu zniszczenia ułatwiło tutaj przeprowadzone doświadczenie. Należy zauważyć, że przy braku danych doświadczalnych, identyfikacja sposobu zniszczenia przy pomocy zastosowanego w [] kryterium Tsaia-Hilla byłaby możliwa tylko dla laminatów [±θ ] 3 gdzie naprężenia ścinające σ 6 w warstwie uszkodzonej osiągają wytrzymałość na ścinanie S oraz przy określaniu obciążenia FPF w rozciąganych laminatach [9/(±θ ) /9], gdzie z kolei naprężenia poprzeczne σ osiągają wartość wytrzymałości Y t. Dla pozostałych przypadków analiza wartości naprężeń w głównych osiach materiałowych uszkodzonych warstw, nie daje podstaw do ustalenia sposobu zniszczenia. Rysunki 4 7, zaczerpnięte z [] przedstawiają wyniki przeprowadzonych tam badań i obliczeń teoretycznych. Skróty na rysunkach oznaczają: FPF zniszczenie pierwszej warstwy, ULF (Ultimate Laminate Failure) ostateczne zniszczenie laminatu, SPF (Second Ply Failure) zniszczenie drugiej warstwy (w przypadku laminatów typu [9/(±θ ) /9]).

8 Mariusz HEBDA, Janusz GERMAN Rys. 4. Wyniki rozciągania laminatu [±θ] 3 wg []. Rezultaty wg proponowanej metody oznaczono + dla obciążenia FPF i dla obciążenia ULF. Rys. 5. Wyniki rozciągania laminatu [9/(±θ) /9] wg []. Rezultaty wg proponowanej metody oznaczono + dla obciążenia FPF i dla obciążenia ULF. Na rysunkach 4 7 naniesiono wyniki obliczeń przeprowadzonych przez autorów w oparciu o proponowaną metodę degradacji sztywności. Obciążenie niszczące pierwszą warstwę oznaczono przez + zaś obciążenie niszczące laminat przez. Bardzo dobrą zgodność wyników z eksperymentem uzyskano dla laminatów kątowych [±θ] 3 zarówno w przypadku rozciągania jak i ściskania. W przypadku ściskania zniszczenie pierwszej warstwy było równoznaczne ze zniszczeniem laminatu, co zostało potwierdzone obliczeniowo. Dla rozciągania obciążenie FPF odpowiada zniszczeniu osnowy, przez przekroczenie wytrzymałości na ścinanie, natomiast obciążenie ULF odpowiada zniszczeniu włókien. Rys. 6. Wyniki ściskania laminatu [±θ] 3 wg [3]. Rezultaty wg proponowanej metody oznaczono + dla obciążenia FPF i dla obciążenia ULF. Rys. 7. Wyniki ściskania laminatu [9/(±θ) /9] wg [3]. Rezultaty wg proponowanej metody oznaczono + dla obciążenia FPF i dla obciążenia ULF. W przypadku laminatów mieszanych [9/(±θ ) /9] o bardzo dobrej zgodności między obliczeniami, a eksperymentem można mówić jedynie w przypadku obciążenia FPF przy ściskaniu i rozciąganiu oraz dla kątów 3 i 45 przy rozciąganiu. Dla pozostałych przypadków naprężenia niszczące obliczone teoretycznie znaczenie odbiegają od wyznaczonych doświadczalnie. Szczególnie jest to widoczne przy ściskaniu. We wszystkich analizowanych przypadkach można zaobserwować bardzo dobrą zgodność prognozowania naprężeń niszczących przez zastosowane w [] kryterium Tsaia- Hilla i przez kryterium energetyczne w połączeniu z proponowaną metodą degradacji sztywności laminatu.

9 Zastosowanie energetycznego kryterium wytężeniowego do oceny nośności... 5 PODSUMOWANE Zaproponowana w [] metoda modyfikacji macierzy sztywności laminatu w oparciu o energetyczne kryterium wytężeniowe sprężystych stanów własnych wyprowadzone w [18], nie wymaga, w przeciwieństwie do stosowanych dotychczas modeli, znajomości sposobu uszkodzenia warstwy. Ułatwia to wyznaczanie nośności laminatu metodą zniszczenia ostatniej warstwy, gdyż można tego dokonać przy użyciu jednego kryterium, bez stosowania dodatkowych warunków, przyjmowanych zazwyczaj w sposób arbitralny. Metoda ta w połączeniu z energetycznym kryterium wytężeniowym daje dobrą zgodność z wynikami przeanalizowanych w pracy badań doświadczalnych. Zgodność tą w przypadku laminatów kątowych, zarówno w przypadku ściskania, jak i rozciągania, należy ocenić jako bardzo dobrą. Trzeba podkreślić, że dla innych materiałów niż użyte w doświadczeniu, zgodność teorii z doświadczeniem może być dużo gorsza, ale uwagę taką można poczynić w równym stopniu w odniesieniu do istniejących kryteriów wytężeniowych, przy których stosowaniu do danego materiału powinno się w zasadzie zawsze dokonać weryfikacji doświadczalnej. Proponowana metoda będzie w najbliższym czasie poddana kolejnym weryfikacjom, dotyczącym szczególnie opisu wzrostu współczynnika Poissona przy rozciąganiu laminatu. Przedstawione w pracy wyniki pokazują, że zaproponowany model teoretyczny umożliwia opis tego obserwowanego doświadczalnie zjawiska. LTERATURA [1] Chiu K. D.: Ultimate strength of laminated composites. Journal of Composites Materials, 1969, t.3, s [] Liu K. S., Tsai S. W.: A progressive quadratic failure criterion for a laminate. Composites Science and Technology, 1998, t. 58, s [3] Cazeneuve C., Joguet P., Maile J. C., Oytana C.: Predicting the mechanical behaviour of Kevlar/epoxy and carbon/epoxy filament-wound tubes. Composites, 199, t.3, nr6, s [4] German J.: ntralaminar damage in fiber-reinforced polymeric matrix laminates. Politechnika Krakowska, Seria nżynieria Lądowa, Monografia 38, Kraków 4. [5] Nahas M. N.: Survey of failure and post-failure theories of laminated fiber-reinforced composites. Journal of Composites Technology and Research, 1986, t. 8, nr 4, s [6] Hashin Z., Rotem A.: A fatigue failure criterion for fibre reinforced materials. Journal of Composites Materials, 1973, t. 7, s [7] Cuntze R. G.: Bruchtyp-Festigkeitskriterien, formuliert mit nvarianten, die die Werkstoffsymmetrie des jeweiligen iso-/anisotropen Werkstoffs beinhalten. Technischer Bericht, , MAN-Technologie nforma-tionszentrum Augsburg, in Workshop Comp. Forsch. in der Mech., [8] Puck A., Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten: Modelle für die Praxis, Hanser, München, [9] Dąbrowski H.: Strukturalno statystyczne kryterium wytężenia materiałów wielofazowych na przykładzie polimerowych kompozytów włóknistych. Oficyna Wydawnicza Pol. Wrocławskiej, Wrocław 3.

10 Mariusz HEBDA, Janusz GERMAN [1] Jenkins C.F.: Materials of construction used in aircraft and aircraft engines. Report to the Great Britain Aeronautical Research Committee, 19. [11] Hill R.: The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford University Press, London 195, s [1] Tsai S. W.: Strength Theories of Filamentary Structures, in Fundamental Aspects on Fibre Reinforced Plastic Composites. Conference Proceedings, R. T. Schwartz and H. S. Schwartz (Editors), Dayton, Ohio, 4 6 May 1966, Wiley nterscience, New York 1968, s [13] Hoffman O.: The Brittle Strength on Orthotropic Materials. Journal of Composites Materials, April 1967, s. 6. [14] Tsai S. W., Wu E. M.: A General Theory of Strength for Anisotropic Materials. Journal of Composites Materials, January 1971, s [15] Craddock J. N.: Behavior of Composite Laminates After First-Ply-Failure. Composites Structures, 1985, t. 3, s [16] Rychlewski J.: Elastic energy decomposition and limit criteria. Uspekhi Mekh. Advances in Mech. 1984, t. 7, s (po rosyjsku). [17] Rychlewski J.: Unconventional approach to linear elasticity. Arch. Mech. 1995, t. 47, s [18] Hebda M., Pęcherski R. B.: Energy Based Criterion of Elastic Limit State in Fibre - Reinforced Composites. Archives of Metallurgy and Materials, 5, t. 5, s [19] Hebda M.: Energetyczne kryterium wytężeniowe dla kompozytów włóknistych porównanie z wynikami badań doświadczalnych. Rudy i metale nieżelazne, 6, R-51, Nr 1, s [] Hebda M., German J.: Nośność warstwowych kompozytów włóknistych z zastosowaniem nowej metody degradacji sztywności. Konferencja Naukowo Techniczna Materiały Kompozytowe w Budownictwie Mostowym Łódź 6, Zeszyty Naukowe PŁ, praca złożona do redakcji. [1] Jiang A., Tennyson R. C.: Closure of the Cubic Tensor Polynomial Failure Surface, Journal of Composite Materials, t. 3, March 1989, s [] Levi H., shai O., Altus E., Sheinman.: Mechanical performance of thin-walled tubular composite elements under uniaxial loading part 1: tensile behaviour. Composites Structures 1995, t. 31, s [3] shai O., Levi H., Altus E., Sheinman.: Mechanical performance of thin-walled tubular composite elements under uniaxial loading part : compressive behaviour. Composites Structures 1995, t. 31, s