Piotr Kordzikowski RYCHLEWSKIEGO DLA ANIZOTROPOWYCH CIENKICH WARSTW SPECYFIKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU KATEDRA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Piotr Kordzikowski RYCHLEWSKIEGO DLA ANIZOTROPOWYCH CIENKICH WARSTW SPECYFIKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU KATEDRA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW"

Transkrypt

1 - - SPECYFKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU RYCHLEWSKEGO DLA ANZOTROPOWYCH CENKCH WARSTW Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska Wydział nżynierii Lądowej nstytut Mechaniki Budowli KATEDRA WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Kraków 007

2 - - prof. zw. dr hab. czł. koresp. PAN Jan Rychlewski Dodatek do recenzji pracy doktorskiej dla wiadomości i dalszych rozmyślań autora w ogólności w moich rozmyślaniach występowały dwa tensory teoretycznie całkowicie od siebie niezależne: H opisujący geometryczny rozkład i wielkości graniczne wytężenia ciała i tensor podatności C opisujący całość gromadzonej w nim energii sprężystej w przyrodzie mogą istnieć materiały dalekie w budowie od budowy materiałów komórkowych w których tensor graniczny H nie jest dyktowany przez rozkład podatności C czy nie budzi to całkiem nowych myśli w materiałach w których podatność sprężysta oraz rozkład i wielkości graniczne gromadzonej pod obciążeniem energii sprężystej mogą okazać się mocno rozprzężone?...

3 [ MPa ] 3 [ ] MPa [ MPa ] [ ] MPa Porównanie obliczeń analitycznych z danymi z eksperymentu na przykładzie tektury J. C. Suhling et al. [985] i M. W. Biegler et al. [995] [ MPa ] 3 [ ] MPa [ MPa ] [ ] MPa Porównanie obliczeń analitycznych z danymi z eksperymentu na przykładzie tektury

4 - 4 - ZASTOSOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM RYCHLEWSKEGO DO OCENY WYTĘŻENA ANZOTROPOWYCH CENKCH WARSTW WYKAZUJĄCYCH EFEKT RÓŻNCY WYTRZYMAŁOŚC CEL PRACY Celem pracy jest zastosowanie energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [ ] służącego do określenia sprężystych stanów granicznych do oceny wytężenia w anizotropowych cienkich warstwach (na przykładzie metali amorficznych * oraz kartonu). Wspólną cechą wymienionych materiałów są różne własności wytrzymałościowe tzw. efekt różnicy wytrzymałości a w konsekwencji asymetria zakresu sprężystego w zależności od sposobu obciążenia wywołującego dany stan naprężenia w ciele. *) w procesie zastygania zwłaszcza gdy ten przebiega gwałtownie lub zachodzi w odpowiednio dobranych stopach atomy nie zdążą utworzyć sieci krystalicznych atomowy chaos zostaje utrwalony

5 - 5 - ANALZA WARUNKÓW WYTĘŻENA DLA CENKCH WARSTW * Ogólne twierdzenie Rychlewskiego Dla materiału deformującego się w zakresie sprężystym J. Rychlewski [984] sformułował i udowodnił twierdzenie nazywane ogólnym twierdzeniem Rychlewskiego: H = φ ( ) φ ( κ ) h h κ gdzie: φ ( ) + φ ( ) φ ( κ ) = φ ( ) φ ( K ) = K C K = K K (bez sumowania) h κ - wagi energii sprężystej nazywane modułami Rychlewskiego K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski [003]. *) zakładamy że grubość warstwy w porównaniu z dwoma pozostałymi wymiarami jest na tyle mała aby można było rozważać płaskie stany naprężenia

6 - 6 - Energetyczne kryterium Rychlewskiego dla płaskich stanów Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sformułowane dla dowolnych tensorów S C i H. Daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. W stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie fizycznej zaś w stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kąt ϕ : h = cos ϕ e + sin ϕ e h = sin ϕ e + cos ϕ e.

7 Rozkłady spektralne tensorów p C i p H mają postać: p C = ω ω + ω ω + ω ω λ λ λ 3 p H = η η + η η + η η χ χ χ 3 gdzie ω K i η L są stanami własnymi tensorów p C i p H

8 - 8 - W zakresie sprężystym osie symetrii materiału pokrywają się z kierunkami e i e bazę w przestrzeni naprężeń S stanowią diady a = e e a = e e a 3 = ( e ) e + e e.

9 - 9 - W stanie granicznym osiami symetrii materiału są osie h i h na płaszczyźnie fizycznej w przestrzeni S bazę będą stanowiły diady b = h h b = h h b 3 = ( h ) h + h h.

10 p Ostatecznie rozkład stanów własnych tensora H w bazie stanów własnych postać (J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski [006]): p C ma π π η = [cos( δ ρ ) sin( δ )sin( ρ )( cos ϕ )] ω π π δ ρ δ ρ ϕ + [sin( ) sin( )cos( )( cos )] ω π δ ϕ [sin( )sin ω ] π π η = [ sin( δ ρ ) cos( δ )sin( ρ )( cos ϕ )] ω π π ρ δ δ ρ ϕ + [cos( ) cos( )cos( )( cos )] ω π δ ϕ [cos( )sin ω ] ϕ ρ π ρ π ϕ η = sin [sin( ) ω + cos( ) ω ] + cos ω 4 4 gdzie ρ δ dystrybutory sztywności tensora p C i p H.

11 - - SCHEMAT POSTĘPOWANA PRZY WYZNACZANU ASYMETRYCZNEGO ENERGETYCZNEGO WARUNKU WYTĘŻENA dea specyfikacji polega na wykorzystaniu badań doświadczalnych uzyskanych z testów w jednoosiowych stanach naprężenia. W celu wyznaczenia asymetrycznej powierzchni granicznej dla tej samej symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym (tensor podatności C (lub sztywności S) jest równoległy do tensora granicznego H) należy przeprowadzić następujące postępowanie.

12 - -. Wyznaczyć tensor podatności C (lub sztywności S).. Wyznaczyć wartości własne (λ ) i osie własne (ω) tensora podatności C (lub sztywności S). 3. Wyznaczyć macierz transformacji z układu osi głównych (osi w których został wykonany eksperyment) do układu osi własnych tensora podatności C (lub sztywności S). 4. Transformować wartości naprężeń z eksperymentu wyznaczone w osiach głównych ( pierwszej osi osi - naprężenie graniczne dla rozciągania względem gr r - naprężenie graniczne dla rozciągania względem drugiej gr r gr s - naprężenie graniczne dla ściskania względem pierwszej osi gr s - naprężenie graniczne dla ściskania względem drugiej osi) do układu osi własnych ( gr r - naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania gr r - naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania gr s - naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania gr s - naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania).

13 5. Podstawić wartości graniczne gr r gr r gr s gr s do kryterium J. Rychlewskiego w kolejnych ćwiartkach układu osi własnych ( ) ( ) ( ) ( ) Φ r Φ r + Φ Φ gr r gr r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ s Φ r + Φ Φ gr s gr r ( ) Φ s Φ s + Φ Φ ( ) gr s gr s ( ) ( ) Φ r Φ s + Φ Φ gdzie gr r gr s w ćwiartce pierwszej w ćwiartce drugiej w ćwiartce trzeciej w ćwiartce czwartej = r s + r s rozkład tensora naprężenia na stany własne Φ ( r s ) graniczna wartość gęstości energii sprężystej w kolejnym stanie własnym

14 SPECYFKACJA ASYMETRYCZNEGO WARUNKU ENERGETYCZNEGO DLA AMORFCZNEGO METALU: Pd40Ni40P0-4 - Specyfikacja asymetrycznego warunku energetycznego została wykonana w oparciu o obliczenia atomowe podane w pracach: C. A. Schuh A. C Lund [003] A. C. Lund C. A. Schuh [005] kryterium Coulomba-Mohra:

15 - 5 - Płaską macierz sztywności oraz odpowiadające jej wartości własne i stany własne przedstawiają następujące zależności: S = MPa λ = MPa ω = Z zależności tych wynika że materiał jest izotropowy ponieważ w stanie sprężystym mamy dwa moduły Kelvina (λ ) brak dystrybutorów (ρ ) oraz brak kątów Eulera. Wartości naprężeń głównych z eksperymentu w układzie osi głównych wynoszą: na rozciąganie: = MPa 0 T r ω = na ściskanie: = MPa 0 T s ω = 0. Następnie wyznaczono wartości naprężeń granicznych które uzyskano po transformacji z układu osi głównych do układu osi własnych w kolejnych stanach własnych według następującej analizy:

16 - 6 - stan własny rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny (0) MPa = [ ] MPa T otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = ( )440 gdzie: (+) oznacza rozciąganie. gr r MPa gr r = + MPa

17 - 7 - stan własny ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny = T [ ] (0) MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: ( ) ( ) ( ) = ( )5088 gdzie: (-) oznacza ściskanie. gr s MPa gr s = MPa

18 - 8 - stan własny (podwójny) rozciąganie Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: 3000 MPa 3600 MPa = 3300 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (3300) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w tym stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = + + gr r MPa = +. gr r ( )333 MPa

19 - 9 - stan własny (podwójny) ściskanie 3600 MPa 3000 MPa Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: = 3300 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (3300) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w tym stanie własnym dla ściskania: ( ) ( ) ( ) = + + gr s MPa =. gr s ( )333 MPa

20 - 0 - Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych.

21 SPECYFKACJA ASYMETRYCZNEGO WARUNKU ENERGETYCZNEGO DLA KARTONU - - Specyfikacja warunku energetycznego dla materiału cienkiej warstwy wykazującego efekt różnicy wytrzymałości została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych które zostały podane w pracach: J. C. Suhling et al. [985] M. W. Biegler M. M. Mehrabadi [995] Y. A. Arramon et al. [000].

22 - - Płaską macierz sztywności oraz odpowiadające jej wartości własne i stany własne przedstawiają następujące zależności: S = MPa λ = 3560 MPa ω = Z zależności tych wynika że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym. Charakteryzują go trzy moduły Kelvina (λ ) jeden dystrybutor ( ρ ) jeden kąt Eulera. Wartości naprężeń głównych z eksperymentu w układzie osi głównych wynoszą: na rozciąganie: na ściskanie: 56 0 = MPa MPa T r = T s ω 0 = 0 ω 0 = 0. Następnie wyznaczono wartości naprężeń granicznych które uzyskano po transformacji z układu osi głównych do układu osi własnych w kolejnych stanach własnych według następującej analizy:

23 - 3 - stan własny rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 8.60) MPa = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: T ( ) ( ) ( ) gr r = MPa ( )6.337 gr r = + MPa.

24 stan własny ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny (.36) MPa = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: T ( ) ( ) ( ) = ( ).86 gr s MPa gr s = MPa.

25 - 5 - stan własny - rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 0.36) ( 0.36) (7.009) MPa ( 0.36) = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: T ( ) ( ) ( ) = ( )7.4 gr r MPa gr r = + MPa.

26 - 6 - stan własny - ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 0.36) ( 0.36) ( 3.75) MPa ( 0.36) = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: T ( ) ( ) ( ) = ( )0.69 gr s MPa gr s = MPa.

27 stan własny - rozciąganie Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: 56 MPa ( 3 MPa ) = 34.5 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (34.5) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = ( )48.79 gr r MPa gr r = + MPa

28 - 8 - stan własny - ściskanie 0 MPa 30.5 MPa Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (5.5) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: = 5.5 MPa. ( ) ( ) ( ) gr s = MPa ( ) gr s = MPa.

29 - 9 - Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych.

30 [ MPa ] [ MPa ] 3 [ ] MPa [ ] MPa

31 PODSUMOWANE Prezentowana analiza daje możliwość zastosowanie energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [ ] do oceny wytężenia materiałów które cechuje różnica własności wytrzymałościowych a zatem i zakresu sprężystego w zależności od sposobu obciążenia wywołującego dany stan naprężenia w ciele. Przedstawiona interpretacja graficzna asymetrycznego warunku energetycznego w układzie osi własnych (w przestrzeni stanów własnych) wykazuje że w każdej ćwiartce tego układu wyznaczona jest inna krzywa graniczna odpowiadająca własnościom materiału określonym na drodze doświadczenia w układzie osi głównych (w przestrzeni naprężeń głównych). Takie podejście do analizy energetycznego kryterium wytężenia J. Rychlewskiego pozwala na wykorzystanie jednoosiowych testów doświadczalnych do określenia wytężenia materiału oraz daje również podstawę do wyznaczenia modułów Rychlewskiego h κ a więc tensora stanu granicznego H. Widoczne rozbieżności między wyznaczonymi teoretycznymi krzywymi granicznymi i punktami doświadczalnymi można będzie prawdopodobnie zmniejszyć jeżeli zastosujemy ogólne twierdzenie Rychlewskiego które dopuszcza różne symetrie tensora podatności C (sztywności S) oraz tensora wytężenia H.

32 LTERATURA J. Rychlewski: Elastic energy decomposition and limit criteria Uspekhi Mekh. -Advances in Mech. 984 t. 7 s (po rosyjsku). J. Rychlewski: Unconventional approach to linear elasticity Arch. Mech. 995 t. 47 s J. C. Suhling R. E. Rowlands M. W. Johnson D. E. Gunderson: Tensorial Strength Analysis of Paperboard Exp. Mech. 985 s M. W. Biegler M. M. Mehrabadi: An energy-based constitutive model for anisotropic solids subject to damage Mechanics of Materials 995 t. 9 s Y. A. Arramon M. M. Mehrabadi D. W. Martin S. C. Cowin: A multidimensional anisotropic strength criterion based on Kelvin modes nterational Journal of Solids and Struktures 000 t. 37 s C. A. Schuh A. C. Lund: Atomistic basis for the plastic yield criterion of metallic glass Nature Materials 003 t. s A. C. Lund C. A. Schuh: Strength asymmetry innanocrystalline metals undern multiaxial loading Acta Materialia 005 t. 53 s J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok MM PAN-PPT PAN Orekop Kraków K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: An-energy based yield criterion for solids of cubic elasticity and orthotropic limit state Arch. Mech. 003 t s R. B. Pęcherski K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska: Energetyczne kryterium plastyczności dla monokryształów metali o sieci RSC Rudy Metale 00 R 46 s W. T. Burzyński: Studjum nad Hipotezami Wytężenia Nakładem Akademji Nauk Technicznych Lwów 98 (także: Dzieła wybrane t. PWN Warszawa ). R. B. Pęcherski: Opracowanie teoretycznych podstaw projektowania powłok gradientowych ze względu na zadane własności i stany graniczne Projektowanie i wytwarzanie funkcjonalnych materiałów gradientowych Major B. (ed.) MiM PAN Orekop Kraków

33 TENSORY S C H NE SĄ WSPÓŁOSOWE Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sformułowane dla dowolnych tensorów S C i H daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym.. K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski; An energy-based yield criterion for solids of cubic elasticity and orthotropic limit state Arch. Mech. 003 t. 55 s J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok MiM PAN PPT PAN Kraków 006

34 Ad Warunek graniczny typu Mises a przyjmuje postać H = φ ( ) + φ ( ) + + φ ( ) = h h h k k k ρ ρ ρ ρ gdzie: k α h α = λ jest graniczną wartością energii sprężystej dla naprężenia α - α Φ ( α ) α α = = przestrzeń P h α h α λ α k α jest przestrzenią stanów bezpiecznych jeśli α k α. Dla tensora podatności rozkład spektralny ma postać ρ C = P + + P λ λ ρ gdzie tensor P k jest projektorem ortogonalnym dla tensora C w stanie sprężystym materiał posiada symetrię kubiczną: k=

35 gdzie: λ = λ = + S S λ = λ = λ = λ = S S 3 4 P = 3 ( ) 3 P = K λ = λ 5 = λ 6 = S 33 P = ( S K ) C S = S C = S = + + K m m m m m m m m m m m m m m m - kierunki elementrnego sześcianu Graniczna wartością energii sprężystej ma postać Φ ( ) = C =Φ ( ) +Φ ( ) +Φ ( ) = = tr + tr + tr 6 λ λ 3 λ ( ) [ K ( ) ] [ K ]

36 Dla tensora granicznego rozkład spektralny ma postać K K H = Γ + + Γ gdzie tensor Γ... Γ 6 jest projektorem ortogonalnym dla tensorah w stanie granicznym materiał wykazuję ortotropię Γ = χ χ... Γ 6 = χ 6 χ 6 χ = 3 χ = cos ϕ a + sin ϕ a χ 3 = sin ϕ a + cos ϕ a χ ( 4 m χ ) 3 m 3 m ( ) = + χ 6 = ( m ) χ + m m 6 6 χ = m χ + m m gdzie: a = ( ) m m + m m a = ( 3 3 ) 6 m m + m m m m ϕ kąt obrotu tensorów S C i H

37 Uwzględniając Γ = P + 3 = Γ Γ P Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 = P Rozkład spektralny tensora podatności ma postać C = Γ + ( Γ + Γ 3 ) + ( Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 ) λ λ λ Wartość h wyznaczamy z zależności h h 4 K K = λ h K 4 = λ h 5 = λ K 5 = λ det( H C ) = 0 : h K 3 h 3 = λ h 6 = K λ Warunek graniczny ma postać λ λ λ λ λ H = φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) K K K K K ( ) ( 3) φ = φ + φ φ = φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) 4 5 5

38 Ad Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów który ma charakter energetyczny wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Rozpatrywany materiał jest symetryczny zarówno w stanie sprężystym jak również w stanie granicznym. Dla stanów płaskich materiał posiada wówczas co najmniej symetrię prostokąta jest materiałem ortotropowym. Założono że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym i granicznym o różnych osiach symetrii i różnych dystrybutorach. W stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie fizycznej. W stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kątϕ h e ϕ h e ϕ h = cos ϕ e + sin ϕ e h = sin ϕ e + cos ϕ e

39 W przestrzeni trójwymiarowej S rozpatrywane są cztery ortonormalne bazy a a a 3 ω ω ω b b b 3 η η η gdzie ω K i η L są stanami własnymi tensorów ch rozkłady spektralne mają postać: Stany własne 3 p C i p H. p C = ω ω + ω ω + ω ω λ λ λ p H = η χ η + η χ η + η χ η. 3 p H η K rozłożono w bazie stanów własnych p C ω K a 3 = ω S b 3 = η ω η a b a ρ ω b δ η

40 W pracy dyskutowane jest kryterium J. Rychlewskiego dla różnych symetrii ). ϕ = 0 - przypadek gdy osie symetrii w stanie sprężystym i granicznym pokrywają się ( e i = h i ) a 3 = b 3 η ω a = b δ ρ ω η a = b

41 - 4 - ). π ρ = ϕ 0 - przypadek gdy osie symetrii materiału w płaszczyźnie 4 fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie sprężystym jest materiałem o symetrii kubicznej 3). π δ = ϕ 0 - przypadek gdy osie symetrii materiału w płaszczyźnie 4 fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie granicznym posiada symetrię kubiczną 4). ρ = δ ϕ 0 - wówczas osie symetrii materiału w płaszczyźnie fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się ale materiał jest tak samo symetryczny w stanie sprężystym i w stanie granicznym o takich samych dystrybutorach 5). ρ δ ϕ 0 - wówczas osie symetrii materiału w płaszczyźnie fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie sprężystym ma inną symetrię niż w stanie granicznym

WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO

WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIII NR (90) 0 Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO STRESZCZENIE W artykule

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

ZASADA DE SAINT VENANTA

ZASADA DE SAINT VENANTA Zasięg oddziaływania obciążenia samozrównoważonego w materiałach komórkowych ZASADA DE SAINT VENANTA Małgorzata Janus-Michalska Katedra Wytrzymałości Materiałów dn. 21.05.2007. PLAN PREZENTACJI 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba

Bardziej szczegółowo

Polimery i kompozyty konstrukcyjne 2006 ZASTOSOWANIE ENERGETYCZNEGO KRYTERIUM WYTĘŻENIOWEGO DO OCENY DEGRADACJI SZTYWNOŚCI LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH

Polimery i kompozyty konstrukcyjne 2006 ZASTOSOWANIE ENERGETYCZNEGO KRYTERIUM WYTĘŻENIOWEGO DO OCENY DEGRADACJI SZTYWNOŚCI LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH Polimery i kompozyty konstrukcyjne 6 mgr inż. Mariusz HEBDA dr hab. inż. Janusz GERMAN Katedra Wytrzymałości Materiałów nstytut Mechaniki Budowli Politechnika Krakowska ZASTOSOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH Część 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5.. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI W każdym materiale konstrukcyjnym

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2. ROZDZIAŁ J. German: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OIOWA W rozdziale tym zostaną przedstawione równania fizyczne dla materiałów anizotropowych,

Bardziej szczegółowo

Model efektywny dla materiałów komórkowych w zakresie liniowo-sprężystym Małgorzata Janus-Michalska

Model efektywny dla materiałów komórkowych w zakresie liniowo-sprężystym Małgorzata Janus-Michalska Model efektywny dla materiałów komórkowych w zakreie liniowo-prężytym Małgorzata Janu-Michalka Katedra Wytrzymałości Materiałów Intytut Mechaniki Budowli Politechnika Krakowka PAN PREZENTACJI. Wprowadzenie.

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia

Bardziej szczegółowo

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie 4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N

Bardziej szczegółowo

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Sprężystość

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

Integralność konstrukcji w eksploatacji

Integralność konstrukcji w eksploatacji 1 Integralność konstrukcji w eksploatacji Wykład 0 PRZYPOMNINI PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z WYTRZYMAŁOŚCI MATRIAŁÓW Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials

AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 013/014 AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Budowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)

Budowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej

Bardziej szczegółowo

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)

Bardziej szczegółowo

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: GGiG-1-414-n Punkty ECTS: 5 Wydział: Górnictwa i Geoinżynierii Kierunek: Górnictwo i Geologia Specjalność: Poziom studiów: Studia I

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku

Bardziej szczegółowo

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)

Bardziej szczegółowo

Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 7

Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 7 Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 7 dr inż. Hanna Smoleńska Katedra Inżynierii Materiałowej i Spajania Wydział Mechaniczny, Politechnika Gdańska Materiały edukacyjne Sprężystość i wytrzymałość Naprężenie

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.

Bardziej szczegółowo

Materiały Reaktorowe. Właściwości mechaniczne

Materiały Reaktorowe. Właściwości mechaniczne Materiały Reaktorowe Właściwości mechaniczne Naprężenie i odkształcenie F A 0 l i l 0 l 0 l l 0 a. naprężenie rozciągające b. naprężenie ściskające c. naprężenie ścinające d. Naprężenie torsyjne Naprężenie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia, laboratorium WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Strenght of materials Forma studiów: stacjonarne Poziom

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: P. Mika, A. Winnicki, A. Wosatko ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej

Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury metodą elementów w skończonych Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Plan prezentacji Założenia

Bardziej szczegółowo

Mechanika Doświadczalna Experimental Mechanics. Budowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Mechanika Doświadczalna Experimental Mechanics. Budowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../2 z dnia.... 202r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 20/204 Mechanika

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych

Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE ZACHOWANIA SIĘ MATERIAŁÓW PODCZAS ŚCISKANIA Instrukcja przeznaczona jest dla studentów

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.

Bardziej szczegółowo

ENERGIA DYSYPACJI W SPRĘŻYSTOLEPKIM PRĘ CIE PRZY HARMONICZNYCH OBCIĄŻENIACH

ENERGIA DYSYPACJI W SPRĘŻYSTOLEPKIM PRĘ CIE PRZY HARMONICZNYCH OBCIĄŻENIACH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVIII NR 1 (168) 007 Janusz Kolenda Akademia Marynarki Wojennej ENERGIA DYSYPACJI W SPRĘŻYSTOLEPKIM PRĘ CIE PRZY HARMONICZNYCH OBCIĄŻENIACH STRESZCZENIE

Bardziej szczegółowo

PEŁZANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH

PEŁZANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie PEŁZANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Reologia jest nauką,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska

Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.pl Literatura: [1] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków,

Bardziej szczegółowo

Zestawić siły wewnętrzne kombinacji SGN dla wszystkich kombinacji w tabeli:

Zestawić siły wewnętrzne kombinacji SGN dla wszystkich kombinacji w tabeli: 4. Wymiarowanie ramy w osiach A-B 4.1. Wstępne wymiarowanie rygla i słupa. Wstępne przyjęcie wymiarów. 4.2. Wymiarowanie zbrojenia w ryglu w osiach A-B. - wyznaczenie otuliny zbrojenia - wysokość użyteczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów Wykład Symetria Budowy Kryształów Ciała krystaliczne i amorficzne Każda substancja ciekła (z wyjątkiem helu) podczas oziębiania traci swoje własności ciekłe i przechodzi w ciało stałe. Jednakże proces

Bardziej szczegółowo

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 5. Modulator PLZT

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 5. Modulator PLZT Laboratorium techniki laserowej Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1.Wstęp Rozwój techniki optoelektronicznej spowodował poszukiwania nowych materiałów

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 19 - Ścinanie techniczne połączenia klejonego Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Ścinanie techniczne połączenia

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Kolokwium z mechaniki gruntów

Kolokwium z mechaniki gruntów Zestaw 1 Zadanie 1. (6 pkt.) Narysować wykres i obliczyć wypadkowe parcia czynnego wywieranego na idealnie gładką i sztywną ściankę. 30 kpa γ=17,5 kn/m 3 Zadanie 2. (6 pkt.) Obliczyć ile wynosi obciążenie

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE TWORZYW SZTUCZNYCH OZNACZENIE WŁASNOŚCI MECHANICZNYCH PRZY STATYCZNYM ROZCIĄGANIU

Bardziej szczegółowo

Symetria w fizyce materii

Symetria w fizyce materii Symetria w fizyce materii - Przekształcenia symetrii w dwóch i trzech wymiarach - Wprowadzenie w teorię grup; grupy symetrii - Wprowadzenie w teorię reprezentacji grup - Teoria grup a mechanika kwantowa

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ Właściwości materiałów O możliwości zastosowania danego materiału decydują jego właściwości użytkowe; Zachowanie się danego materiału w środowisku pracy to zaplanowana

Bardziej szczegółowo

Surface settlement due to tunnelling. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Surface settlement due to tunnelling. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki urface settlement due to tunnelling Projektowanie i wykonawstwo budowli podziemnych pod zagospodarowana powierzchnią terenu wymaga oszacowania wielkości deformacji wewnątrz górotworu, a szczególnie powierzchni

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,

Bardziej szczegółowo

Rozkład Gaussa i test χ2

Rozkład Gaussa i test χ2 Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

Badanie zjawiska kontaktu LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Badanie zjawiska kontaktu LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Poznań. 05.01.2012r Politechnika Poznańska Projekt ukazujący możliwości zastosowania programu COMSOL Multiphysics Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Kierunek Mechanika i Budowa Maszyn Specjalizacji Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Wytrzymałość materiałów Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,

Bardziej szczegółowo

Obliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona = 0,644. Rys. 25. Obwiednia momentów zginających

Obliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona = 0,644. Rys. 25. Obwiednia momentów zginających Obliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona f y M f,rd b f t f (h γ w + t f ) M0 Interakcyjne warunki nośności η 1 M Ed,385 km 00 mm 16 mm 355 1,0

Bardziej szczegółowo

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING

SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING MARIUSZ DOMAGAŁA, STANISŁAW OKOŃSKI ** SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule podjęto próbę modelowania procesu

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz

Bardziej szczegółowo

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Jerzy Bobiński Gdańsk, wersja 0.32 (2014)

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów:

Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów: Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów: Wytrzymałość gruntów: równanie Coulomba, parametry wytrzymałościowe, zależność parametrów wytrzymałościowych od wiodących cech geotechnicznych gruntów

Bardziej szczegółowo