Piotr Kordzikowski RYCHLEWSKIEGO DLA ANIZOTROPOWYCH CIENKICH WARSTW SPECYFIKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU KATEDRA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 - - SPECYFKACJA ENERGETYCZNEGO WARUNKU RYCHLEWSKEGO DLA ANZOTROPOWYCH CENKCH WARSTW Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska Wydział nżynierii Lądowej nstytut Mechaniki Budowli KATEDRA WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Kraków 007

2 - - prof. zw. dr hab. czł. koresp. PAN Jan Rychlewski Dodatek do recenzji pracy doktorskiej dla wiadomości i dalszych rozmyślań autora w ogólności w moich rozmyślaniach występowały dwa tensory teoretycznie całkowicie od siebie niezależne: H opisujący geometryczny rozkład i wielkości graniczne wytężenia ciała i tensor podatności C opisujący całość gromadzonej w nim energii sprężystej w przyrodzie mogą istnieć materiały dalekie w budowie od budowy materiałów komórkowych w których tensor graniczny H nie jest dyktowany przez rozkład podatności C czy nie budzi to całkiem nowych myśli w materiałach w których podatność sprężysta oraz rozkład i wielkości graniczne gromadzonej pod obciążeniem energii sprężystej mogą okazać się mocno rozprzężone?...

3 [ MPa ] 3 [ ] MPa [ MPa ] [ ] MPa Porównanie obliczeń analitycznych z danymi z eksperymentu na przykładzie tektury J. C. Suhling et al. [985] i M. W. Biegler et al. [995] [ MPa ] 3 [ ] MPa [ MPa ] [ ] MPa Porównanie obliczeń analitycznych z danymi z eksperymentu na przykładzie tektury

4 - 4 - ZASTOSOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM RYCHLEWSKEGO DO OCENY WYTĘŻENA ANZOTROPOWYCH CENKCH WARSTW WYKAZUJĄCYCH EFEKT RÓŻNCY WYTRZYMAŁOŚC CEL PRACY Celem pracy jest zastosowanie energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [ ] służącego do określenia sprężystych stanów granicznych do oceny wytężenia w anizotropowych cienkich warstwach (na przykładzie metali amorficznych * oraz kartonu). Wspólną cechą wymienionych materiałów są różne własności wytrzymałościowe tzw. efekt różnicy wytrzymałości a w konsekwencji asymetria zakresu sprężystego w zależności od sposobu obciążenia wywołującego dany stan naprężenia w ciele. *) w procesie zastygania zwłaszcza gdy ten przebiega gwałtownie lub zachodzi w odpowiednio dobranych stopach atomy nie zdążą utworzyć sieci krystalicznych atomowy chaos zostaje utrwalony

5 - 5 - ANALZA WARUNKÓW WYTĘŻENA DLA CENKCH WARSTW * Ogólne twierdzenie Rychlewskiego Dla materiału deformującego się w zakresie sprężystym J. Rychlewski [984] sformułował i udowodnił twierdzenie nazywane ogólnym twierdzeniem Rychlewskiego: H = φ ( ) φ ( κ ) h h κ gdzie: φ ( ) + φ ( ) φ ( κ ) = φ ( ) φ ( K ) = K C K = K K (bez sumowania) h κ - wagi energii sprężystej nazywane modułami Rychlewskiego K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski [003]. *) zakładamy że grubość warstwy w porównaniu z dwoma pozostałymi wymiarami jest na tyle mała aby można było rozważać płaskie stany naprężenia

6 - 6 - Energetyczne kryterium Rychlewskiego dla płaskich stanów Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sformułowane dla dowolnych tensorów S C i H. Daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. W stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie fizycznej zaś w stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kąt ϕ : h = cos ϕ e + sin ϕ e h = sin ϕ e + cos ϕ e.

7 Rozkłady spektralne tensorów p C i p H mają postać: p C = ω ω + ω ω + ω ω λ λ λ 3 p H = η η + η η + η η χ χ χ 3 gdzie ω K i η L są stanami własnymi tensorów p C i p H

8 - 8 - W zakresie sprężystym osie symetrii materiału pokrywają się z kierunkami e i e bazę w przestrzeni naprężeń S stanowią diady a = e e a = e e a 3 = ( e ) e + e e.

9 - 9 - W stanie granicznym osiami symetrii materiału są osie h i h na płaszczyźnie fizycznej w przestrzeni S bazę będą stanowiły diady b = h h b = h h b 3 = ( h ) h + h h.

10 p Ostatecznie rozkład stanów własnych tensora H w bazie stanów własnych postać (J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski [006]): p C ma π π η = [cos( δ ρ ) sin( δ )sin( ρ )( cos ϕ )] ω π π δ ρ δ ρ ϕ + [sin( ) sin( )cos( )( cos )] ω π δ ϕ [sin( )sin ω ] π π η = [ sin( δ ρ ) cos( δ )sin( ρ )( cos ϕ )] ω π π ρ δ δ ρ ϕ + [cos( ) cos( )cos( )( cos )] ω π δ ϕ [cos( )sin ω ] ϕ ρ π ρ π ϕ η = sin [sin( ) ω + cos( ) ω ] + cos ω 4 4 gdzie ρ δ dystrybutory sztywności tensora p C i p H.

11 - - SCHEMAT POSTĘPOWANA PRZY WYZNACZANU ASYMETRYCZNEGO ENERGETYCZNEGO WARUNKU WYTĘŻENA dea specyfikacji polega na wykorzystaniu badań doświadczalnych uzyskanych z testów w jednoosiowych stanach naprężenia. W celu wyznaczenia asymetrycznej powierzchni granicznej dla tej samej symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym (tensor podatności C (lub sztywności S) jest równoległy do tensora granicznego H) należy przeprowadzić następujące postępowanie.

12 - -. Wyznaczyć tensor podatności C (lub sztywności S).. Wyznaczyć wartości własne (λ ) i osie własne (ω) tensora podatności C (lub sztywności S). 3. Wyznaczyć macierz transformacji z układu osi głównych (osi w których został wykonany eksperyment) do układu osi własnych tensora podatności C (lub sztywności S). 4. Transformować wartości naprężeń z eksperymentu wyznaczone w osiach głównych ( pierwszej osi osi - naprężenie graniczne dla rozciągania względem gr r - naprężenie graniczne dla rozciągania względem drugiej gr r gr s - naprężenie graniczne dla ściskania względem pierwszej osi gr s - naprężenie graniczne dla ściskania względem drugiej osi) do układu osi własnych ( gr r - naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania gr r - naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania gr s - naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania gr s - naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania).

13 5. Podstawić wartości graniczne gr r gr r gr s gr s do kryterium J. Rychlewskiego w kolejnych ćwiartkach układu osi własnych ( ) ( ) ( ) ( ) Φ r Φ r + Φ Φ gr r gr r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ s Φ r + Φ Φ gr s gr r ( ) Φ s Φ s + Φ Φ ( ) gr s gr s ( ) ( ) Φ r Φ s + Φ Φ gdzie gr r gr s w ćwiartce pierwszej w ćwiartce drugiej w ćwiartce trzeciej w ćwiartce czwartej = r s + r s rozkład tensora naprężenia na stany własne Φ ( r s ) graniczna wartość gęstości energii sprężystej w kolejnym stanie własnym

14 SPECYFKACJA ASYMETRYCZNEGO WARUNKU ENERGETYCZNEGO DLA AMORFCZNEGO METALU: Pd40Ni40P0-4 - Specyfikacja asymetrycznego warunku energetycznego została wykonana w oparciu o obliczenia atomowe podane w pracach: C. A. Schuh A. C Lund [003] A. C. Lund C. A. Schuh [005] kryterium Coulomba-Mohra:

15 - 5 - Płaską macierz sztywności oraz odpowiadające jej wartości własne i stany własne przedstawiają następujące zależności: S = MPa λ = MPa ω = Z zależności tych wynika że materiał jest izotropowy ponieważ w stanie sprężystym mamy dwa moduły Kelvina (λ ) brak dystrybutorów (ρ ) oraz brak kątów Eulera. Wartości naprężeń głównych z eksperymentu w układzie osi głównych wynoszą: na rozciąganie: = MPa 0 T r ω = na ściskanie: = MPa 0 T s ω = 0. Następnie wyznaczono wartości naprężeń granicznych które uzyskano po transformacji z układu osi głównych do układu osi własnych w kolejnych stanach własnych według następującej analizy:

16 - 6 - stan własny rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny (0) MPa = [ ] MPa T otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = ( )440 gdzie: (+) oznacza rozciąganie. gr r MPa gr r = + MPa

17 - 7 - stan własny ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny = T [ ] (0) MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: ( ) ( ) ( ) = ( )5088 gdzie: (-) oznacza ściskanie. gr s MPa gr s = MPa

18 - 8 - stan własny (podwójny) rozciąganie Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: 3000 MPa 3600 MPa = 3300 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (3300) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w tym stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = + + gr r MPa = +. gr r ( )333 MPa

19 - 9 - stan własny (podwójny) ściskanie 3600 MPa 3000 MPa Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: = 3300 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (3300) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w tym stanie własnym dla ściskania: ( ) ( ) ( ) = + + gr s MPa =. gr s ( )333 MPa

20 - 0 - Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych.

21 SPECYFKACJA ASYMETRYCZNEGO WARUNKU ENERGETYCZNEGO DLA KARTONU - - Specyfikacja warunku energetycznego dla materiału cienkiej warstwy wykazującego efekt różnicy wytrzymałości została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych które zostały podane w pracach: J. C. Suhling et al. [985] M. W. Biegler M. M. Mehrabadi [995] Y. A. Arramon et al. [000].

22 - - Płaską macierz sztywności oraz odpowiadające jej wartości własne i stany własne przedstawiają następujące zależności: S = MPa λ = 3560 MPa ω = Z zależności tych wynika że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym. Charakteryzują go trzy moduły Kelvina (λ ) jeden dystrybutor ( ρ ) jeden kąt Eulera. Wartości naprężeń głównych z eksperymentu w układzie osi głównych wynoszą: na rozciąganie: na ściskanie: 56 0 = MPa MPa T r = T s ω 0 = 0 ω 0 = 0. Następnie wyznaczono wartości naprężeń granicznych które uzyskano po transformacji z układu osi głównych do układu osi własnych w kolejnych stanach własnych według następującej analizy:

23 - 3 - stan własny rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 8.60) MPa = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: T ( ) ( ) ( ) gr r = MPa ( )6.337 gr r = + MPa.

24 stan własny ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny (.36) MPa = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: T ( ) ( ) ( ) = ( ).86 gr s MPa gr s = MPa.

25 - 5 - stan własny - rozciąganie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 0.36) ( 0.36) (7.009) MPa ( 0.36) = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: T ( ) ( ) ( ) = ( )7.4 gr r MPa gr r = + MPa.

26 - 6 - stan własny - ściskanie Dokonując transformacji naprężeń granicznych z układu osi głównych do układu osi własnych MPa = MPa a następnie projekcji stanu naprężenia na stan własny ( 0.36) ( 0.36) ( 3.75) MPa ( 0.36) = [ ] MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: T ( ) ( ) ( ) = ( )0.69 gr s MPa gr s = MPa.

27 stan własny - rozciąganie Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: 56 MPa ( 3 MPa ) = 34.5 MPa. Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (34.5) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla rozciągania: ( ) ( ) ( ) = ( )48.79 gr r MPa gr r = + MPa

28 - 8 - stan własny - ściskanie 0 MPa 30.5 MPa Naprężenie styczne wyrażone jest relacją: Po dokonaniu projekcji stanu naprężenia na stan własny (5.5) = [ ] 0 0 MPa MPa otrzymujemy naprężenie graniczne w stanie własnym dla ściskania: = 5.5 MPa. ( ) ( ) ( ) gr s = MPa ( ) gr s = MPa.

29 - 9 - Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych.

30 [ MPa ] [ MPa ] 3 [ ] MPa [ ] MPa

31 PODSUMOWANE Prezentowana analiza daje możliwość zastosowanie energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [ ] do oceny wytężenia materiałów które cechuje różnica własności wytrzymałościowych a zatem i zakresu sprężystego w zależności od sposobu obciążenia wywołującego dany stan naprężenia w ciele. Przedstawiona interpretacja graficzna asymetrycznego warunku energetycznego w układzie osi własnych (w przestrzeni stanów własnych) wykazuje że w każdej ćwiartce tego układu wyznaczona jest inna krzywa graniczna odpowiadająca własnościom materiału określonym na drodze doświadczenia w układzie osi głównych (w przestrzeni naprężeń głównych). Takie podejście do analizy energetycznego kryterium wytężenia J. Rychlewskiego pozwala na wykorzystanie jednoosiowych testów doświadczalnych do określenia wytężenia materiału oraz daje również podstawę do wyznaczenia modułów Rychlewskiego h κ a więc tensora stanu granicznego H. Widoczne rozbieżności między wyznaczonymi teoretycznymi krzywymi granicznymi i punktami doświadczalnymi można będzie prawdopodobnie zmniejszyć jeżeli zastosujemy ogólne twierdzenie Rychlewskiego które dopuszcza różne symetrie tensora podatności C (sztywności S) oraz tensora wytężenia H.

32 LTERATURA J. Rychlewski: Elastic energy decomposition and limit criteria Uspekhi Mekh. -Advances in Mech. 984 t. 7 s (po rosyjsku). J. Rychlewski: Unconventional approach to linear elasticity Arch. Mech. 995 t. 47 s J. C. Suhling R. E. Rowlands M. W. Johnson D. E. Gunderson: Tensorial Strength Analysis of Paperboard Exp. Mech. 985 s M. W. Biegler M. M. Mehrabadi: An energy-based constitutive model for anisotropic solids subject to damage Mechanics of Materials 995 t. 9 s Y. A. Arramon M. M. Mehrabadi D. W. Martin S. C. Cowin: A multidimensional anisotropic strength criterion based on Kelvin modes nterational Journal of Solids and Struktures 000 t. 37 s C. A. Schuh A. C. Lund: Atomistic basis for the plastic yield criterion of metallic glass Nature Materials 003 t. s A. C. Lund C. A. Schuh: Strength asymmetry innanocrystalline metals undern multiaxial loading Acta Materialia 005 t. 53 s J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok MM PAN-PPT PAN Orekop Kraków K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: An-energy based yield criterion for solids of cubic elasticity and orthotropic limit state Arch. Mech. 003 t s R. B. Pęcherski K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska: Energetyczne kryterium plastyczności dla monokryształów metali o sieci RSC Rudy Metale 00 R 46 s W. T. Burzyński: Studjum nad Hipotezami Wytężenia Nakładem Akademji Nauk Technicznych Lwów 98 (także: Dzieła wybrane t. PWN Warszawa ). R. B. Pęcherski: Opracowanie teoretycznych podstaw projektowania powłok gradientowych ze względu na zadane własności i stany graniczne Projektowanie i wytwarzanie funkcjonalnych materiałów gradientowych Major B. (ed.) MiM PAN Orekop Kraków

33 TENSORY S C H NE SĄ WSPÓŁOSOWE Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sformułowane dla dowolnych tensorów S C i H daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym.. K. Kowalczyk J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski; An energy-based yield criterion for solids of cubic elasticity and orthotropic limit state Arch. Mech. 003 t. 55 s J. Ostrowska-Maciejewska R. B. Pęcherski: Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok MiM PAN PPT PAN Kraków 006

34 Ad Warunek graniczny typu Mises a przyjmuje postać H = φ ( ) + φ ( ) + + φ ( ) = h h h k k k ρ ρ ρ ρ gdzie: k α h α = λ jest graniczną wartością energii sprężystej dla naprężenia α - α Φ ( α ) α α = = przestrzeń P h α h α λ α k α jest przestrzenią stanów bezpiecznych jeśli α k α. Dla tensora podatności rozkład spektralny ma postać ρ C = P + + P λ λ ρ gdzie tensor P k jest projektorem ortogonalnym dla tensora C w stanie sprężystym materiał posiada symetrię kubiczną: k=

35 gdzie: λ = λ = + S S λ = λ = λ = λ = S S 3 4 P = 3 ( ) 3 P = K λ = λ 5 = λ 6 = S 33 P = ( S K ) C S = S C = S = + + K m m m m m m m m m m m m m m m - kierunki elementrnego sześcianu Graniczna wartością energii sprężystej ma postać Φ ( ) = C =Φ ( ) +Φ ( ) +Φ ( ) = = tr + tr + tr 6 λ λ 3 λ ( ) [ K ( ) ] [ K ]

36 Dla tensora granicznego rozkład spektralny ma postać K K H = Γ + + Γ gdzie tensor Γ... Γ 6 jest projektorem ortogonalnym dla tensorah w stanie granicznym materiał wykazuję ortotropię Γ = χ χ... Γ 6 = χ 6 χ 6 χ = 3 χ = cos ϕ a + sin ϕ a χ 3 = sin ϕ a + cos ϕ a χ ( 4 m χ ) 3 m 3 m ( ) = + χ 6 = ( m ) χ + m m 6 6 χ = m χ + m m gdzie: a = ( ) m m + m m a = ( 3 3 ) 6 m m + m m m m ϕ kąt obrotu tensorów S C i H

37 Uwzględniając Γ = P + 3 = Γ Γ P Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 = P Rozkład spektralny tensora podatności ma postać C = Γ + ( Γ + Γ 3 ) + ( Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 ) λ λ λ Wartość h wyznaczamy z zależności h h 4 K K = λ h K 4 = λ h 5 = λ K 5 = λ det( H C ) = 0 : h K 3 h 3 = λ h 6 = K λ Warunek graniczny ma postać λ λ λ λ λ H = φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) K K K K K ( ) ( 3) φ = φ + φ φ = φ ( ) + φ ( ) + φ ( ) 4 5 5

38 Ad Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów który ma charakter energetyczny wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Rozpatrywany materiał jest symetryczny zarówno w stanie sprężystym jak również w stanie granicznym. Dla stanów płaskich materiał posiada wówczas co najmniej symetrię prostokąta jest materiałem ortotropowym. Założono że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym i granicznym o różnych osiach symetrii i różnych dystrybutorach. W stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie fizycznej. W stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kątϕ h e ϕ h e ϕ h = cos ϕ e + sin ϕ e h = sin ϕ e + cos ϕ e

39 W przestrzeni trójwymiarowej S rozpatrywane są cztery ortonormalne bazy a a a 3 ω ω ω b b b 3 η η η gdzie ω K i η L są stanami własnymi tensorów ch rozkłady spektralne mają postać: Stany własne 3 p C i p H. p C = ω ω + ω ω + ω ω λ λ λ p H = η χ η + η χ η + η χ η. 3 p H η K rozłożono w bazie stanów własnych p C ω K a 3 = ω S b 3 = η ω η a b a ρ ω b δ η

40 W pracy dyskutowane jest kryterium J. Rychlewskiego dla różnych symetrii ). ϕ = 0 - przypadek gdy osie symetrii w stanie sprężystym i granicznym pokrywają się ( e i = h i ) a 3 = b 3 η ω a = b δ ρ ω η a = b

41 - 4 - ). π ρ = ϕ 0 - przypadek gdy osie symetrii materiału w płaszczyźnie 4 fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie sprężystym jest materiałem o symetrii kubicznej 3). π δ = ϕ 0 - przypadek gdy osie symetrii materiału w płaszczyźnie 4 fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie granicznym posiada symetrię kubiczną 4). ρ = δ ϕ 0 - wówczas osie symetrii materiału w płaszczyźnie fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się ale materiał jest tak samo symetryczny w stanie sprężystym i w stanie granicznym o takich samych dystrybutorach 5). ρ δ ϕ 0 - wówczas osie symetrii materiału w płaszczyźnie fizycznej w stanie sprężystym i granicznym nie pokrywają się i materiał w stanie sprężystym ma inną symetrię niż w stanie granicznym