Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale
|
|
- Julia Żukowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale Jakub Tworzydło Katedra Teorii Materii Skondensowanej Instytut Fizyki Teoretycznej telefon: (022) , pokój 5.19 Jakub.Tworzydlo@fuw.edu.pl 15/11/2016 Pasteura, Warszawa J. T. (IFT) Fraktale 1 / 35
2 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 2 / 35
3 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 2 / 35
4 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 2 / 35
5 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 2 / 35
6 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 3 / 35
7 Podsumowanie i perspektywa atraktor w przestrzeni fazowej geometria fraktalna prawa potęgowe (skalowania) LITERATURA H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe Granice chaosu fraktale, PWN Warszawa, B.B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, New York, J. T. (IFT) Fraktale 4 / 35
8 Atraktor Lorentza ATRAKTOR: zbiór punktów w przestrzeni fazowej, do którego zmierzaja (w odpowiednio długim czasie) trajektorie układu dynamicznego ATRAKTOR DZIWNY: jest to aktraktor, który nie jest ani cyklem granicznym (krzywa), ani punktem stałym, lecz fraktalem J. T. (IFT) Fraktale 5 / 35
9 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 6 / 35
10 Pierwszy przykład Weierstrass podał w 1872r przykład patologicznej funkcji łac. fractus złamany, ułamkowy W (x) = n an cos(b n πx) np. dla a = 3/5, b = 13 J. T. (IFT) Fraktale 7 / 35
11 Konstrukcja: krzywa Kocha Uproszczona recepta: obiekt geometryczny konstruowany rekurencyjnie z prostego elementu (Koch 1904) J. T. (IFT) Fraktale 8 / 35
12 Wymiar Euklidesowy zmniejsz jednostkowy obiekt w stosunku 1/p N liczba samo-podobnych obiektów pokrywajacych oryginał obliczamy N = p D czyli D = log N/ log p J. T. (IFT) Fraktale 9 / 35
13 Ułamkowy (uogólniony) wymiar samo-podobieństwo krzywej Kocha: dla N = 4, 1/p = 1/3 mamy N = p D D = log 4/ log J. T. (IFT) Fraktale 10 / 35
14 Wymiar samo-podobieństwa Trójkat Sierpińskiego ( kanoniczny fraktal 1915): N = p D dla N = 3, p = 2 D = log J. T. (IFT) Fraktale 11 / 35
15 Więcej przykładów figur samo-podobnych gabka Mengera fraktal oktaedryczny dywan Sierpińskiego (ciasteczka) drzewo Pitagorasa J. T. (IFT) Fraktale 12 / 35
16 Menger Sponge J. T. (IFT) Fraktale 13 / 35
17 Figury samopodobne wymiar gabka Mengera log 20/ log fraktal oktaedryczny log 6/ log dywan Sierpińskiego log 8/ log drzewo Pitagorasa log 2/ log(2/ 2) = 2 J. T. (IFT) Fraktale 14 / 35
18 Artystyczne intermezzo: obrazy i muzyka Zastanawiam się, czy przypadkiem obrazy fraktalne nie dotykaja samej struktury naszych mózgów. Czy w niekończacych się powrotach charakteryzujacych te obrazy zawarta jest jakaś wskazówka, która wyjaśnia nasz sposób odbierania sztuki? Czy jest możliwe, że obraz fraktalny ze swa niezwykła złożonościa wywołuje rezonans naszych obwodów nerwowych, stymulujac przyjemność, która wszyscy podobnie odczuwamy? P. W. Atkins, Oxford J. T. (IFT) Fraktale 15 / 35
19 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 16 / 35
20 Historia J. T. (IFT) Fraktale 17 / 35
21 Historia B.B. Mandelbrot ( ) J. T. (IFT) Fraktale 17 / 35
22 Naturalne samo-podobieństwo How Long Is the Coast of Britain? B. Mandelbrot Science 1967 J. T. (IFT) Fraktale 18 / 35
23 Naturalne samo-podobieństwo How Long Is the Coast of Britain? B. Mandelbrot Science 1967 użyj linijki długości s wykreśl długość L tot w funkcji s w skali log-log skoro L (1/s) D f 1 to log L (D f 1) log(s) s = 200 km s = 50 km Wielka Brytania D f = 1.24, Afryka Południowa D f = 1.04, Norwegia D f = 1.52 J. T. (IFT) Fraktale 18 / 35
24 Wymiar pudełkowy Algorytm podziel obraz rozmiaru L L na p p komórek p = 2, 4, 8,... wykonaj pętlę po punktach należacych do badanego obiektu: przypisz wartość TRUE komórkom, które zawieraja punkt J. T. (IFT) Fraktale 19 / 35
25 Fraktal fizyczny Algorytm podziel obraz rozmiaru L L na p p komórek p = 2, 4, 8,... wykonaj pętlę po punktach należacych do badanego obiektu: przypisz wartość TRUE komórkom, które zawieraja punkt oblicz: N(p) liczbę wypełnionych komórek log N(p) wtedy D f dla p 1 log p wykreśl N(p) w funkcji p w skali log-log: dopasuj prosta, nachylenie wynosi D f ustal zakres skalowania Wskazówki praktyczne: przynajmniej 2-dekady, testowanie przy pomocy syntetycznych fraktali (IFS), rozważ zakres stosowalności górny i dolny J. T. (IFT) Fraktale 20 / 35
26 Fraktale naturalne: przykłady Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, Sieci rzeczne, fiordy Góry: wymiar linii poziomic D f 1.2 J. T. (IFT) Fraktale 21 / 35
27 Fraktale naturalne: przykłady Kalafior... D f = log(13)/ log(3) 2.33 Brokuł (Midwood High School, New York City) D f 2.66 J. T. (IFT) Fraktale 22 / 35
28 Fraktale naturalne: przykłady Mózg ludzki Piłeczki z pogniecionego papieru (Yale 2002) J. T. (IFT) Fraktale 23 / 35
29 Fraktale fizyczne: przykłady Proces bładzenia przypadkowego w funkcji czasu (ruch Brownowski): D f = Polimer: bładzenie przypadkowe w 2D bez samoprzecięć D f 1.55 J. T. (IFT) Fraktale 24 / 35
30 Fraktale fizyczne: przykłady Diffusion limitted aggregation (DLA) (dyfuzyjnie ograniczona agregacja) >... D f = 1.7 Obrazy Lichtenberga: rozgałęzienia elektrycznego wyładowania D f = 2.5 takie jak 3D DLA J. T. (IFT) Fraktale 25 / 35
31 Co z wymiarem atraktorów? Matematycznie ścisłe sformułowanie konstrukcji pudełkowej: tzw. wymiar Hausdorffa. przykład: krzywa Weierstrassa (1984) D f = 2 log(1/a)/ log b... nadal niewiele wiadomo Atraktor Lorentza (symulacja) D f = 2.06 ± 0.01 Mapa Henona (pół-analitycznie) D f = ± Atraktor Duffinga (arxiv: ) D f = 1.43 ± 0.01 hipoteza Kaplana i Yorka w 2D D f = 1 + λ 1 / λ 2 J. T. (IFT) Fraktale 26 / 35
32 Zastosowania fraktali grafika komputerowa, wzornictwo, kamuflarze armii kompresja dźwięku i obrazu medycyna: skany tkanek patologicznych opis i klasyfikacja gleby mechanika pęknięć, zgnieceń itp. anteny, filtry i rezonatory fraktalne (USA patent 2002) historia sztuki: kontrowersja wokół obrazów Pollocka J. T. (IFT) Fraktale 27 / 35
33 Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 28 / 35
34 Metoda generowania: efekt Droste (1904) DEMONSTRACJA! J. T. (IFT) Fraktale 29 / 35
35 Ogólniejszy generator fraktali Diagram przedstawiajacy konstrukcję Iterated Function System (IFS) dla dwu funkcji afinicznych... trzy iteracje i figura graniczna. J. T. (IFT) Fraktale 30 / 35
36 IFS dla trójkata Sierpińskiego Trzy przekształcenia (wielokrotne kopiowanie): skalowanie α = 1/2 i przesunięcia... trójkat Sierpińskiego zbiorem niezmienniczym. J. T. (IFT) Fraktale 31 / 35
37 Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) J. T. (IFT) Fraktale 32 / 35
38 Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) IFS dla trójkata Sierp.: i αd i D = log( 1 3 )/ log( 1 2 ) = 3(1/2) D = 1, co daje znane J. T. (IFT) Fraktale 32 / 35
39 Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) IFS dla trójkata Sierp.: i αd i D = log( 1 3 )/ log( 1 2 ) = 3(1/2) D = 1, co daje znane praktyczna metoda RULETKI: weź dowolny punkt startowy, wykonuj przekształcenie i-te z prawdopodobieństwem p i, zaznacz trajektorię J. T. (IFT) Fraktale 32 / 35
40 Fraktale stochastyczne fraktale w przyrodzie nie sa deterministyczne można generować fraktale z recepty stochastycznej przykład: usuwamy przypadkowo jeden z 9 kwadracików w konstrukcji dywanu Sierpińskiego (Uwaga: IFS prowadza do fraktali deterministycznych) J. T. (IFT) Fraktale 33 / 35
41 Fraktale stochastycze samopodobieństwo samopodobieństwo zachowane w sensie statystycznym wymiar fraktalny obliczamy np. przy pomocy skalowania masy M(L) wykres log-log: M(L) = AL D f uśrednione po położeniach (D f takie samo dla dywanu stochastycznego i deterministycznego) J. T. (IFT) Fraktale 34 / 35
42 Fraktale empiryczne Metoda skalowania masy rozmiaru: log M D f L badano wymiar fraktalny zgniecionych kulek papieru M.A.F. Gomes Fractal geometry in crumpled paper balls Am. J. Phys. 55, 649 (1987). wymiar fraktalny chleba D.H. Esbenshade Fractal bread, Phys. Teach. 29, 236 (1991). J. T. (IFT) Fraktale 35 / 35
Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale
Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale Jakub Tworzydło Katedra Teorii Materii Skondensowanej Instytut Fizyki Teoretycznej telefon: (022)5532-919, pokój 5.19 Jakub.Tworzydlo@fuw.edu.pl 13 i 15/11/2017
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoFraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej
Fraktale deterministyczne i stochastyczne Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Szare i Zielone Scena z Fausta Goethego (1749-1832), Mefistofeles do doktora (2038-2039): Wszelka, mój bracie, teoria
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 06 Geometria fraktalna Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 20/10/2016 1 / 43 1 Określenie nieformalne 2 Zbiór Mandelbrota 3 Określenie nieformalne pudełkowy Inne definicje
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Wstęp Rekurencja jest to wywołanie podprogramu (procedury) samej przez siebie. W logo zapis rekurencji będzie wyglądał następująco: oto nazwa_funkcji czynności_wykonywane_przez_procedurę nazwa_funkcji
Bardziej szczegółowosamopodobnym nieskończenie subtelny
Fraktale Co to jest fraktal? Według definicji potocznej fraktal jest obiektem samopodobnym tzn. takim, którego części są podobne do całości lub nieskończenie subtelny czyli taki, który ukazuje subtelne
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Studia i Materiały Nr 24 2004 Krzysztof PODLEJSKI *, Sławomir KUPRAS wymiar fraktalny, jakość energii
Bardziej szczegółowoPodręcznik. Przykład 1: Wyborcy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Bardziej szczegółowoFraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka +
Fraktale wokół nas Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski informatyka + 1 Podobieństwo figur informatyka + 2 Figury podobne Figury są podobne gdy proporcjonalnie zwiększając lub zmniejszając jedną z nich
Bardziej szczegółowoFraktale. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Fraktale Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Fraktale Funkcje rekurencyjne 1 / 56 Wprowadzenie Plan na dziś:
Bardziej szczegółowoZbiór Cantora. Diabelskie schody.
Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka
Bardziej szczegółowoFRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą
Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę,
Bardziej szczegółowoObrazy rekurencyjne. Zastosowanie rekurencji w algorytmice. AUTOR: Martin Śniegoń
Obrazy rekurencyjne Zastosowanie rekurencji w algorytmice AUTOR: Martin Śniegoń Zdolność procedury/funkcji do wywoływania samej siebie Podstawowa i jedna z najważniejszych technik programistycznych Umożliwia
Bardziej szczegółowoOCENA FRAKTALNA POWIERZCHNI KRZEPNIĘCIA
1/10 Archives of Foundry, Year 2003, Volume 3, 10 Archiwum Odlewnictwa, Rok 2003, Rocznik 3, Nr 10 PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 OCENA FRAKTALNA POWIERZCHNI KRZEPNIĘCIA M. MAREK 1 Politechnika Częstochowska
Bardziej szczegółowoGra w chaos i sekwencje DNA
Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLIX Szkole Matematyki Poglądowej, Wyjątki, Nadarzyn, sierpień 2012. Gra w chaos i sekwencje DNA Magdalena NOWAK, Kielce Nasza opowieść rozgrywa się w krainie
Bardziej szczegółowoSierpiński Carpet Project. W ZSTiL Zespół Szkół Technicznych i Licealnych
Sierpiński Carpet Project W ZSTiL Zespół Szkół Technicznych i Licealnych Co to jest fraktal? Fraktale są obiektami matematycznymi, których podstawowa struktura powtarza się przy różnych powiększeniach.
Bardziej szczegółowoSystemy Lindenmayera (L-systemy)
Systemy Lindenmayera (L-systemy) L-systemy Zastosowania: Generowanie fraktali Modelowanie roślin L-systemy Fraktale (łac. fractus złamany, cząstkowy) cechy samopodobieństwa Krzywa Kocha (płatek śniegu)
Bardziej szczegółowoPlan prezentacji. Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D. Iteracyjny system funkcji (IFS)
Fraktale Plan prezentacji Wprowadzenie Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D Klasyczne fraktale Iteracyjny system funkcji (IFS) L-system Zbiory Julii i Mandelbrota Ruchy
Bardziej szczegółowoFraktale. i Rachunek Prawdopodobieństwa
Fraktale i Rachunek Prawdopodobieństwa Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi, przedstawiającemu coś,, co kształtem tem przypomina drzewo o bardzo regularnej strukturze W jaki sposób b najłatwiej atwiej
Bardziej szczegółowoZłożoność wokół nas. Część pierwsza: gra w chaos
Złożoność wokół nas. Część pierwsza: gra w chaos Dawid Lubiszewski Złożone zjawiska takie jak struktury czy procesy interesują naukowców na całym świecie. Z wielu powodów, dla których złożoność jest tak
Bardziej szczegółowoWykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Bardziej szczegółowoWłasności multifraktalne serii czasowych
Własności multifraktalne serii czasowych D. Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytet Gdański Luty/Marzec 2009 nieformalnie... Skalowanie: rozumie się jako brak charakterystycznej skali czasowej
Bardziej szczegółowoINTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA. Systemy Lindenmayera (L-systemy)
INTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA Systemy Lindenmayera () Zastosowania: Generowanie fraktali Modelowanie roślin Fraktale (łac. fractus złamany, cząstkowy) cechy samopodobieństwa Krzywa Kocha (płatek śniegu)
Bardziej szczegółowoZadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL
Zadania domowe Ćwiczenie 2 Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL Zadanie 2.1 Fraktal plazmowy (Plasma fractal) Kwadrat należy pokryć prostokątną siatką 2 n
Bardziej szczegółowoFRAKTALE WOKÓŁ NAS I KILKA SŁÓW O CHAOSIE
ZESZYTY NAUKOWE 169-184 Ireneusz WINNICKI 1 FRAKTALE WOKÓŁ NAS I KILKA SŁÓW O CHAOSIE Streszczenie W artykule zawarte są podstawowe informacje na temat geometrii fraktalnej oraz chaosu pojawiającego się
Bardziej szczegółowoAnaliza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych *
Zeszyty Naukowe nr 724 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Informatyki Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych * Streszczenie: W artykule zaproponowano ilościową metodę
Bardziej szczegółowoFilip Piękniewski 10:50:29 1 /56. Fraktale i Chaos Filip Piękniewski 2004
FRAKTALE i CHAOS czyli czemu nie można zmierzyć powierzchni trawnika? Filip Piękniewski 1 /56 10:50:29 Mierzymy trawnik Traktujemy trawnik jako gładką powierzchnię. Mierzymy wzdłuż jednego i drugiego boku.
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R E-16
INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-16 WYZNACZANIE WYMIARU FRAKTALNEGO W PROCESIE
Bardziej szczegółowoStruktury fraktalne jako źródło inspiracji w kształtowaniu formy architektonicznej
Politechnika Wrocławska Wydział Architektury Zakład Geometrii Wykreślnej i Perspektywy Malarskiej Praca doktorska Struktury fraktalne jako źródło inspiracji w kształtowaniu formy architektonicznej Piotr
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoPaweł Kowol. Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona
Wydział Podstawowych Problemów Techniki JAKA JEST DŁUGOŚĆ WYBRZEŻA BAŁTYKU? POMIAR STRUKTUR FRAKTALNYCH Praca dyplomowa inżynierska Paweł Kowol Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTeoria Chaosu. Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.
Teoria Chaosu Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii. Zanim zaczniemy... Komputer - symulacja wizualizacja w fizyce. Zanim zaczniemy Prowadzimy pilotażowe warsztaty w szkołach,
Bardziej szczegółowoRys.1. Obraz Pollocka. Eyes heat.
Co wspólnego ze sztuką ma reaktor chemiczny? W lutowym numerze Świata Nauki z 2003 roku ukazał się ciekawy artykułu Richarda P. Taylora, profesora fizyki Uniwersytetu Stanu Oregon [1], dotyczący matematyczno
Bardziej szczegółowoUkłady dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15
Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna
Bardziej szczegółowoFraktale w Cinderelli Iteracje podobieństw
Fraktale w Cinderelli Iteracje podobieństw Andrzej Sendlewski 1. Wstęp Geometria euklidesowa, której elementy poznajemy w trakcie nauki szkolnej, zajmuje się figurami o idealnych kształtach. Uczymy się
Bardziej szczegółowoFraktale i ich zastosowanie
WFAIS UJ w Krakowie 20 listopada 2008 Denicja Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Fraktal to obiekt, który speªnia wi kszo± z poni»szych warunków: jest samopodobny; jego wymiar fraktalny jest
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE GEOMETRII FRAKTALNEJ DO OCENY KLASYFIKACJI GRAFITU W ŻELIWIE
2/42 Solidification o f Metais and Alloys, Year 2000, Volume 2, Book No 42 Krzepnięcie Metali i Stopów, Rok 2000, Rocznik 2, Nr 42 PAN-Katowice, PL ISSN 0208-9386 ZASTOSOWANIE GEOMETRII FRAKTALNEJ DO OCENY
Bardziej szczegółowoCo wspólnego ze sztuką ma reaktor chemiczny?
28 Co wspólnego ze sztuką ma reaktor chemiczny? Marek Berezowski Politechnika Śląska, Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki, Gliwice W lutowym numerze Świata Nauki 2003 roku ukazał się ciekawy
Bardziej szczegółowoFraktale w matematyce
Zeszyty Koła Naukowego Młodych sekcja matematyczno naukowo - techniczna Fraktale w matematyce Zeszyt I 009/00r. Spis treści:. Definicja fraktala. Przykłady fraktali 4. Zbiór Cantora.4. Dywan Sierpińskiego.
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoMETODOLOGICZNE ASPEKTY FRAKTALNEGO MODELOWANIA RZECZYWISTOŚCI
METODOLOGICZNE ASPEKTY FRAKTALNEGO MODELOWANIA RZECZYWISTOŚCI WALDEMAR RATAJCZAK Instytut Geografii Społeczno-Ekonomicznej i Gospodarki Przestrzennej, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań 1. WSTĘP
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 4: Benoit Mandelbrot i inni
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 4: Benoit Mandelbrot i inni P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl
Bardziej szczegółowoAgregacja limitowana dyfuzją.
Doświadczalne hodowanie agregatów fraktalnych 1 POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW LABORATORIUM Z FIZYKI I BIOFIZYKI Agregacja limitowana dyfuzją. Elektrolityczne
Bardziej szczegółowoPracę wykonali: -Bryjak Mateusz -Chudziak Paweł -Palacz Angelika -Skorwider Dariusz
Pracę wykonali: -Bryjak Mateusz -Chudziak Paweł -Palacz Angelika -Skorwider Dariusz Symetria osiowa- przekształcenie płaszczyzny względem pewnej prostej, jest ona osią symetrii. Każdemu punktowi A przyporządkowujemy
Bardziej szczegółowoRYZYKO DZIAŁALNOŚCI WSPÓŁCZESNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA W UJĘCIU FRAKTALNYM
Anna Mularczyk RYZYKO DZIAŁALNOŚCI WSPÓŁCZESNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA W UJĘCIU FRAKTALNYM Wstęp Funkcjonowanie współczesnych przedsiębiorstw jest związane z ich ciągłym dostosowywaniem się do zmiennego, wręcz
Bardziej szczegółowoChaos, fraktale oraz euroatraktor
4 FOTON 80, Wiosna 2003 Chaos, fraktale oraz euroatraktor Karol Życzkowski i Artur Łoziński Instytut Fizyki UJ Obserwując poruszający się przedmiot, stawiamy pytanie, jak wyglądać będzie jego ruch w przyszłości.
Bardziej szczegółoworaktale są wśród nas Zuzanna Cyunel klasa 5 Szkoła Podstawowa nr 95 ul. Wileńska Kraków Kraków 2012
F raktale są wśród nas Zuzanna Cyunel klasa 5 Szkoła Podstawowa nr 95 ul. Wileńska 9 31-413 Kraków Abstrakt W swojej pracy definiuję pojęcie fraktal, opisuję jego podział i historię. W pracy zawarłam liczne
Bardziej szczegółowoSTART. Wprowadź (v, t) S:=v*t. Wyprowadź (S) KONIEC
GRUPA I Co to jest algorytm, a czym jest program komputerowy? Algorytm: uporządkowany i uściślony sposób rozwiązywania problemu, zawierający szczegółowy opis wykonywanych czynności. Program komputerowy:
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Rekurencja dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 1
Bardziej szczegółowoModele i symulacje - Scratch i Excel
Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Literatura P. Szlagowski, Programowanie wizualne scratch 2.0 SCRATCH jest językiem programowania, w którym możesz stworzyć własne interaktywne historyjki, animacje,
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoFraktale i Chaos czyli czemu nie można zmierzyć powierzchni trawnika?
Fraktale i Chaos czyli czemu nie można zmierzyć powierzchni trawnika? Filip Piękniewski Mierzymy trawnik Traktujemy trawnik jako gładką powierzchnię. Mierzymy wzdłuż jednej i drugiej współrzędnej. Wyniki
Bardziej szczegółowoLokalna analiza fraktalna w rozpoznawaniu obiektów dwuwymiarowych
UNIWERSYTET ŚLASKI WYDZIAŁ INFORMATYKI I NAUKI O MATERIAŁACH INSTYTUT INFORMATYKI KRZYSZTOF GDAWIEC Lokalna analiza fraktalna w rozpoznawaniu obiektów dwuwymiarowych Praca doktorska napisana pod kierunkiem
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoRys. 1. Kalafior podzielony na coraz mniejsze bardzo podobne do siebie fragmenty
18 FOTON 111, Zima 2010 Fraktale Studenci: Marcin Figiel, Tomasz Sabała Pod opieką prof. dr. hab. Macieja A. Nowaka Instytut Fizyki UJ 1. Abstrakt i motywacja Fraktale to obiekty matematyczne spotykane
Bardziej szczegółowoWIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA NIELINIOWE PODZIAŁY I FRAKTALE
WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowania i Grafiki Komputerowej, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski NIELINIOWE PODZIAŁY I FRAKTALE W pracy przedstawia się uogólnienia
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Bardziej szczegółowoVoter model on Sierpiński fractals Model głosujący na fraktalach Sierpińskiego
Voter model on Sierpiński fractals Model głosujący na fraktalach Sierpińskiego Krzysztof Suchecki Janusz A. Hołyst Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Plan Model głosujący : definicja i własności
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. AJD bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 8 1 / 1 Rekurencja Rekurencja
Bardziej szczegółowoFraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych
Fraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych Andrzej Sendlewski 1. Wstęp W tej miniaturze kontynuujemy prezentację metody generowania fraktali w schemacie IFS rozpoczętą w[14].
Bardziej szczegółowoAkademik Anatolij T. Fomienko, profesor matematyki, Rosja, Moskwa, Uniwersytet Moskiewski, grafika przedstawia ciąg liczb losowych, gdzie każda z
Akademik Anatolij T. Fomienko, profesor matematyki, Rosja, Moskwa, Uniwersytet Moskiewski, grafika przedstawia ciąg liczb losowych, gdzie każda z nich jest umownie zakodowana swoim geometrycznym obrazem
Bardziej szczegółowozajęcia 1. Bartosz Górski, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński
zajęcia 1. Bartosz Górski, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński Geometria dla informatyka wyłacznie obliczenia wszystko oparte na liczbach, współrzędnych, miarach programista i/lub użytkownik musi przełożyć
Bardziej szczegółowoJezyki i metody programowania
Jezyki i metody programowania WYKŁAD 3 i 4 Logo Dr Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza LOGO KOMENIUSZ LOGO KOMENIUSZ jest rozprowadzany
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Rekurencja dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 1
Bardziej szczegółowoROZPRAWA DOKTORSKA. Wydział Elektroniki Katedra Metrologii Elektronicznej i Fotonicznej
Wydział Elektroniki Katedra Metrologii Elektronicznej i Fotonicznej SERIA PRE W04 P-001 16 ROZPRAWA DOKTORSKA Metoda dyskretnych dipoli w analizie agregatów fraktalnych spiekanych mikro i nanocząsteczek
Bardziej szczegółowoChaos, fraktale i statystyka
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Przykłady Odwzorowanie logistyczne Odwzorowanie trójkątne 2 Historia 3 Fraktale Zbiór Mandelbrota i zbiór Julii Przykłady fraktali 4 Podstawowe pojęcia Układy dynamiczne
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoWYMIAR FRAKTALNY SZEREGÓW CZASOWYCH A RYZYKO INWESTOWANIA *
ACTA UNIVERSITATIS NICOLAI COPERNICI EKONOMIA XLI NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 397 TORUŃ 2010 Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki Witold Orzeszko WYMIAR FRAKTALNY
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowoModele i symulacje - Scratch i Excel
Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Literatura P. Szlagowski, Programowanie wizualne scratch 2.0 SCRATCH jest językiem programowania, w którym możesz stworzyć własne interaktywne historyjki, animacje,
Bardziej szczegółowoSEMINARIA DYPLOMOWE - studia II stopnia kierunek: informatyka i ekonometria oraz matematyka
SEMINARIA DYPLOMOWE - studia II stopnia kierunek: informatyka i ekonometria oraz matematyka Seminarium: Teoria grafów (IiE+MAT) Prowadzący: prof. dr hab. Mieczysław Borowiecki (1) Grafy na sferze i na
Bardziej szczegółowoCHAOS DETERMINISTYCZNY W BADANIU DYNAMIKI ZMIAN ORGANIZACJI
ROCZNIKI NAUK SPOŁECZNYCH Tom XXXIII, zeszyt 3 2005 HENRYK PONIKOWSKI CHAOS DETERMINISTYCZNY W BADANIU DYNAMIKI ZMIAN ORGANIZACJI 1. WPROWADZENIE W latach osiemdziesiątych XX wieku w badaniu zjawisk ekonomicznych
Bardziej szczegółowoMathematica jako narz dzie badawcze Cz ± pi ta. Fraktale
Mathematica jako narz dzie badawcze Cz ± pi ta. Fraktale Czy koªa s pi kne? Mo»na udowodni wiele teorii na ich temat, wiele ich cech jest interesuj cych, ale»eby koªo miaªo by pi kne? Jest nudne, wsz dzie
Bardziej szczegółowoInformatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoSymetrie w architekturze, przyrodzie i sztuce
I Liceum Ogólnokształcące im. Mikołaja Kopernika w Parczewie Natalia Waseńczuk Izabela Szypulska Symetrie w architekturze, przyrodzie i sztuce Projekt edukacyjny wykonany pod kierunkiem Pani mgr Grażyny
Bardziej szczegółowoktóra metoda jest najlepsza
która metoda jest najlepsza dr inż. Marek Żabka Instytut Matematyki Wydział Matematyki Stosowanej Politechnika Śląska 20 września 2012r Nowa metoda tworzenia grafiki na stronie internetowej: element,,canvas
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoKonkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2013/2014
... Pieczątka Organizatora... Tu wpisz swój Kod KONKURS PRZEDMIOTOWY Z INFORMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP WOJEWÓDZKI Drogi uczniu, Witaj na III etapie konkursu informatycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję
Bardziej szczegółowoDynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ
Bardziej szczegółowoNie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 3 gimnazjum
Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny P podstawowy R rozszerzający D dopełniający W wykraczający Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 3 gimnazjum Statystyka opisowa i elementy rachunku prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRozdział. Metody badania źródeł informacji. 1. Wprowadzenie
Rozdział Metody badania źródeł informacji Zbigniew OMIOTEK Wyższa Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu, Katedra Informatyki i Inżynierii Wiedzy zomiotek@wszia.edu.pl Franciszek GRABOWSKI Politechnika
Bardziej szczegółowoWłasności transportowe niejednorodnych nanodrutów półprzewodnikowych
Własności transportowe niejednorodnych nanodrutów półprzewodnikowych Maciej Wołoszyn współpraca: Janusz Adamowski Bartłomiej Spisak Paweł Wójcik Seminarium WFiIS AGH 13 stycznia 2017 Streszczenie nanodruty
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 3. Agregacja kontrolowana przez dyfuzję: przykład fraktala. Andrzej Molski, Teresa Łuczak. Wstęp. Teoria L, (1)
Andrzej Molski, Teresa Łuczak ĆWICZENIE 3 Agregacja kontrolowana przez dyfuzję: przykład fraktala Podstawowe pojęcia: fraktal, wymiar fraktalny, trójkąt Sierpińskiego, agregacja kontrolowana przez dyfuzję,
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoSymulacje komputerowe w fizyce. Ćwiczenia X S.O.C.
Symulacje komputerowe w fizyce Ćwiczenia X S.O.C. Wiele zjawisk w przyrodzie (i nie tylko w przyrodzie) charakteryzuje się rozkładem potęgowym: Liczba trzęsień rocznie Trzęsienia ziemi: prawo Gutenberga-
Bardziej szczegółowoKrzysztof Borowski Katedra Bankowości. Zastosowanie fraktalnej, adaptacyjnej średniej ruchomej w analizie technicznej (FRAMA 1 )
Krzysztof Borowski Katedra Bankowości Zastosowanie fraktalnej, adaptacyjnej średniej ruchomej w analizie technicznej (FRAMA 1 ) Wprowadzenie Podstawowym zadaniem, jakie stawiają analitycy róŝnego rodzaju
Bardziej szczegółowoIlustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]
Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte
Bardziej szczegółowoGraficzne opracowanie wyników pomiarów 1
GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas
Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas klasa I 1)Działania na liczbach: dopuszczający: uczeń potrafi poprawnie wykonać cztery podstawowe działania na ułamkach
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Geometria analityczna (GAN010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA DO ZADAŃ
TURNIRJ MATEMATYCZNY ELIPSA dla klas LO ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ Zadanie. (2 pkt.) Dla jakich wartości parametru m (m R), część wspólna przedziałów A = (, m m i B = 2m 2, + ) jest zbiorem pustym? / Jeśli A
Bardziej szczegółowoAlgorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych
Algorytm Genetyczny zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych Dlaczego Algorytmy Inspirowane Naturą? Rozwój nowych technologii: złożone problemy obliczeniowe w
Bardziej szczegółowoStała w przedsionku chaosu
36 Stała w przedsionku chaosu Mateusz Denys Student V roku fizyki na Uniwersytecie Warszawskim Liczba π, pierwiastek z dwóch, podstawa logarytmów naturalnych to stałe matematyczne znane od wieków. Każda
Bardziej szczegółowo