Fraktale w matematyce

Transkrypt

1 Zeszyty Koła Naukowego Młodych sekcja matematyczno naukowo - techniczna Fraktale w matematyce Zeszyt I 009/00r.

2 Spis treści:. Definicja fraktala. Przykłady fraktali 4. Zbiór Cantora.4. Dywan Sierpińskiego. Trójkąt Sierpińskiego.6.4 Krzywa Kocha 7. Inne przykłady...8. Fraktale w matematyce..9. Ułamki łańcuchowe 9. Trójkąt Pascala. Pierwiastkowe fraktale...4 Drzewko Pitagorejskie Wymiar Fraktalny.8. Redakcja 9

3 .DEFINICJA FRAKTALA Co to jest fraktal? Fraktal (łac. fractus złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji. Ciekawostka Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu Ile wynosi długość brzegu Wielkiej Brytanii? To zależy od tego, jak dokładnie się ją mierzy. Ian Stewart

4 .PRZYKŁADY FRAKTALI. ZBIÓR CANTORA Jak skonstruować Zbiór Cantora? Zbiór Cantora powstaje poprzez podzielenie odcinka na równe części i wyrzucenie środkowego odcinka. Krok powtarzamy z wszystkimi nowo powstałymi odcinkami. Zbiór ten jest nieskończony. Ciekawostka W drugiej połowie XIX wieku Georg Cantor badał zbiory i utworzył podstawy działu topologii zwanego topologią mnogościową. Opisał przy ty specyficzny zbiór, znany obecnie wszystkim matematykom jako zbiór Cantora. Był to najwcześniej znany obiekt frakalny. Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda, Bezmiar matematycznej wyobraźni, Wiedza Powszechna, Warszawa 99 4

5 . DYWAN SIERPIŃSKIEGO Jak skonstruować Dywan Sierpińskiego? Krok pierwszy Najpierw rysujemy kwadrat, który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy kwadrat. Krok drugi Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy środkowe kwadraciki. Kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Rysunek poniżej pokazuje dywan po krokach konstrukcji. Ile będzie miał białych kwadratów po n krokach konstrukcji?

6 . TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO Jak skonstruować Trójkąt Sierpińskiego? Krok pierwszy Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np.. Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku. Usuwamy środkowy trójkąt. Krok drugi Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty. Kolejne kroki Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po krokach konstrukcji. Ile będzie miał białych trójkątów n krokach konstrukcji? 6

7 .4 KRZYWA KOCHA Jak skonstruować Krzywą Kocha? Zaczynamy od linii prostej. Dzielimy ją na części i usuwamy środkową. W jej miejsce wstawiamy trójkąt równoboczny o boku takim jak usunięta część. Tak samo postępujemy z każdym z powstałych odcinków. Jakiej długości są boki rysowanego trójkąta w każdym etapie konstrukcji? Ciekawostka W 994 roku włoski matematyk Ernesto Cesaro zachwycony wewnętrzną nieskończonością krzywej Kocha napisał o niej: Gdyby była obdarzona życiem, można by się jej pozbyć tylko niszcząc ją w całości. W przeciwnym razie odżywałaby znowu i znowu, z głębi swych trójkątów, tak jak czyni to życie we Wszechświecie. Matematyka 00, Gimnazjum. Klasa WSIP, Warszawa 007 7

8 . INNE PRZYKŁADY Kostka Mengera trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i Dywanu Sierpińkiego origami.art.pl Anty - Kostka Mengera Jest to dopełnienie kostki Mengera, wszędzie gdzie w kostce jest dziura, to w antykostce jest sześcian. origami.friko.pl Piramida Sierpińskiego Piramida Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego w wymiarach. Zbiór Mandelbrota Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Zbiór Julii Zbiór Julii fraktal, będący także podzbiorem płaszczyzny zespolonej. Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. alef-0.host47.pl/julia/ 8

9 9.FRAKTALE W MATEMATYCE. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE Co to jest ułamek łańcuchowy? Niech a 0 0 i a, a,..., a n >0 będą liczbami całkowitymi. Ułamek postaci: O 0 a a a nazywamy ułamkiem łańcuchowym. Takim jest na przykład ułamek: 4. Obliczmy jego wartość: Jak zapisać ułamek zwykły w postaci ułamka łańcuchowego? Przepis jest prosty: wyłącz całości, to, co Ci zostało, odwróć do góry nogami, znów wyłącz całości, odwróć do góry nogami i dalej powtarzaj to (być może bez końca). Spróbujmy:

10 Co mają wspólnego ułamki łańcuchowe z prostokątami? Narysuj prostokąt o wymiarach np. 7 x. W tym prostokącie zamaluj dwa kwadraty x. W pozostałym prostokącie x zamaluj kwadraty x. W pozostałym prostokącie x mieści się dokładnie kwadratów x. Teraz sprawdź, że 7 Sprawdzenie: 7 Spróbujmy z innym przykładem. Weźmy prostokąt o wymiarach 9 x 8. Zamalujmy najpierw jeden kwadrat 9 x 9. Zostaje nam prostokąt 9 X 9, więc zamalujmy kwadraty 9 x 9. Zostaje prostokąt x 9, więc możemy zamalować 4 kwadraty x i został prostokąt x, w którym mieszczą się dokładnie kwadraty x. 0

11 Sprawdź teraz, że Sprawdzenie: Wypróbujcie tę metodę np. dla ułamków,. Rysujcie prostokąty na papierze w kratkę. 4 Jakiemu prostokątowi odpowiada ułamek:? Ciekawostka Spróbujmy przekształcić ten ułamek z prawej na lewo: Jak widać, wykonując tę operację tam i z powrotem, skróciliśmy ułamek. To przez co się skrócił się ułamek przy rozwijaniu w ułamek łańcuchowy (czyli 7) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 7 i 07. Tak będzie się działo zawsze pierwszy dostrzegł to Teajtetos z Aten w czasach Peryklesa, czyli 400 lat temu. Marek Kordos, Lepsze ułamki

12 Korzystając z metody Teajtetosa z Aten skróć ułamek Ciekawostka Ciekawostka Ciekawostka Ciekawostka Szczególnie ciekawe są rozwinięcia pierwiastków. W poniższym rozwinięciu wykorzystujemy fakt, że ( )( ) co oznacza, ż liczba jest odwrotnością liczby. ( ) ( ) ( ) I tak w nieskończoność. Możemy więc zapisać, że: O Rozwinięcie jest trochę bardziej skomplikowane.: O

13 . TRÓJKĄT PASCALA Co to jest Trójkąt Pascala? Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której w pierwszy wiersz jest wpisana liczba.każdy następny wiersz powstaje w ten sposób, że pod dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się sumę tych wyrazów. Na początku i na końcu nowego wiersza dopisuje się jedynki. I tak w nieskończoność. Zamaluj wszystkie pola z liczbami nieparzystymi, a pozostałe (z liczbami parzystymi) pozostaw puste. Wynik tego postępowania zaskoczy Cię i zadziwi symetrią.

14 Co ma wspólnego Trójkąt Pascala z fraktalami? Jeżeli wykonałeś poprawnie powyższe zadanie to zabarwione pola utworzyły trójkąt Sierpińskiego. Ciekawostka Oto trójkąty Pascala z zamalowanymi polami liczb podzielnych przez podzielnych prze 7 podzielnych przez 6. Gdy intuicja zawodzi, czyli szkolne zmagania z nieskończonością, GWO 4

15 . PIERWIASTKOWE FRAKTALE Co to jest pierwiastkowy fraktal? Wyrażenie typu... można nazwać pierwiastkowym fraktalem, powtarzającą się cząstką jest w naszym przypadku Jeżeli cały nasz fraktal oznaczymy jako niewiadomą x i ponownie dodamy powtarzający się element, powinniśmy dalej otrzymać x (jeśli od nieskończoności odejmiemy lub dodamy dalej mamy nieskończoność). W dalszej części równania, stosując proste przekształcenia i wzory skróconego mnożenia, dochodzimy do ostatniego rozwiązania: x. Jednak w rzeczywistości nasz fraktal jedynie dąży do liczby tzn. po każdym kolejnym przekształceniu zbliża się do niej coraz bardziej, ale nigdy jej nie osiągnie. x x x x x x ( x ) x x x 6 Jak stworzyć swój własny pierwiastkowy fraktal? Możemy też stworzyć własny pierwiastkowy fraktal liczbowy. Chcemy, żeby nasz fraktal dążył do pewnej liczby, powiedzmy, do liczby 6. Musimy więc utworzyć równanie kwadratowe np. takie, jak przedstawione poniżej: x 6 ( x ) x x x (6 ) x 4 4 x 4 x I oto nasz fraktal:

16 .4 DRZEWKO PITAGOREJSKIE Jak skonstruować Drzewko Pitagorejskie? Konstrukcja, która prowadzi do rodziny drzew pitagorejskich i związanych z nimi pojęć, ma ścisły związek z konstrukcją spirali pierwiastków kwadratowych czyli tak zwanego Ślimaka Pitagorasa. Konstrukcja ta składa się z następujących kroków Krok : Narysuj kwadrat. Krok : Dołącz trójkąt prostokątny do jednego z boków tak, by bok kwadratu był jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta (w tym przykładzie trójkąt jest równoramienny). Krok : Dołącz kwadraty do wolnych boków trójkąta. Krok 4: Dołącz trójkąty prostokątne. Krok : Dołącz 4 kwadraty. Krok 6: Dołącz 4 trójkąty prostokątne. Krok 7: Dołącz 8 kwadratów. 6

17 Ciekawostka Trójkąty prostokątne mogą być dołączone w danej orientacji lub możemy je odwrócić po każdym kroku. Poniższe rysuneki przedstawiają figury powstałe w wyniku takich konstrukcji, po wykonaniu około 0 kroków. Zadziwiające jest, że zmieniliśmy jedynie orieintację trójkątów, a nie ich rozmiar. Otrzymaliśmy dwie bardzo różne figury. W pierwszym przypadku widzimy rodzaj spiralnego liścia, podczas gdy drugi przypomina liść paproci lub choinkę. Granice chaosu FRAKTALE H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saute 7

18 . WYMIAR FRAKTALY Jak określić wymiar znanych fraktali? Rozważamy figury samo-podobne to znaczy takie, które można przedstawić jako sumę mniejszych (jednakowych) kawałków, podobnych do siebie w skali s. Przypuśćmy, że kawałków jest n. Figura Ilustracja Skala s Liczba kawałków n Liczba d, taka że n s d d log s n Kwadrat 4 4 d d d log 4 Sześcian 8 8 d d log 8 Zbiór Cantora d d 0,609 d log Krzywa Kocha 4 4 d d,68 d log 4 Co to jest wymiar fraktalny? Liczbę d log s n, gdzie s odpowiednia skala podobieństwa, a n liczba kawałków na jakie dzielimy figurę, nazywamy wymiarem fraktalnym figury. Określ wymiar fraktalny Dywanu Sierpińskiego. 8

19 Redakcja: Od lewej stoją: Maciej Bonk, Bartłomiej Majewski, Adam Mikuła, Grzegorz Kotysz, Alicja Długosz. Od prawej siedzą: Wiktoria Nowak, Agnieszka Paul, Żaklina Osmenda, Katarzyna Wrona. Opiekun: pani Joanna Olesińska 9