Fraktale. i Rachunek Prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Fraktale i Rachunek Prawdopodobieństwa

2 Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi, przedstawiającemu coś,, co kształtem tem przypomina drzewo o bardzo regularnej strukturze

3 W jaki sposób b najłatwiej atwiej narysować takie drzewo?

4

5

6

7

8

9

10

11 Fraktal (łac. fractus złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny, tzn. taki, którego częś ęści sąs podobne do całości ci albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Krzywa Kocha

12 W otaczającym cym nas świecie możemy spotkać bardzo wiele przedmiotów w i zjawisk posiadających charakter fraktalny Przykłady?

13 Płatek śniegu

14 rośliny

15 Kalafior Romanesco

16 Fraktale w grafice komputerowej

17

18

19

20

21

22 Benoit Mandelbrot Pojecie fraktala zostało wprowadzone do matematyki w latach siedemdziesiątych XX wieku przez francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia, Benoita Mandelbrota

23 Pierwsze konstrukcje fraktali Pierwsze matematyczne konstrukcje fraktali podano na przełomie XIX i XX wieku. Ich twórcami byli słynni s dziś matematycy: Georg Cantor, David Hilbert, Helge von Koch oraz Wacław aw Sierpiński.

24 Jednym z najprostszych, a zarazem najciekawszych przykład adów w jest trójk jkąt Sierpińskiego skiego,, skonstruowany przez słynnego polskiego matematyka, Wacława awa Sierpińskiego, w 1915 roku.

25 Prześled ledźmy konstrukcję Rozważmy trójk jkąt równoboczny o boku długości 1. Podzielmy go na cztery mniejsze trójk jkąty o boku długości ½.. Usuńmy środkowy.

26 Prześled ledźmy konstrukcję W oczywisty sposób otrzymujemy zbiór, jak na rysunku. Wykonując c te same czynności ci dla każdego z trzech mniejszych trójk jkątów, otrzymujemy nowy zbiór

27 Prześled ledźmy konstrukcję Wykonując c tęt samą czynność dla coraz mniejszych trójk jkątów otrzymujemy coraz subtelniejszą strukturę.

28 Prześled ledźmy konstrukcję Wykonując c tęt samą czynność dla coraz mniejszych trójk jkątów otrzymujemy coraz subtelniejszą strukturę.

29 Prześled ledźmy konstrukcję Wykonując c tęt samą operację wycinania dla coraz mniejszych trójk jkątów nieskończenie wiele razy, otrzymujemy trójk jkąt Sierpińskiego skiego.

30 Popatrzmy na wycinek trójk jkąta w powiększeniu Każdy trójkątny fragment skonstruowanego zbioru, przypominający swoim kształtem tem jego pomniejszoną wersję, nazywamy komórk rką (czarny zbiór r na rysunku).

31 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Wyobraźmy sobie cząstk stkę poruszającą się po sąsiednich s siednich wierzchołkach małych trójk jkątów, z których składa się duży podziurawiony trójk jkąt otrzymany w wyniku operacji wycinania trójk jkątów w (na rysunku widzimy przykład dla 5 iteracji wycinania).

32 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 1

33 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 2

34 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 3

35 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa krok 4

36 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa 12 kroków

37 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Zakładamy, adamy, że e w każdym kroku cząstka może przemieści cić się do jednego z czterech sąsiednich siednich wierzchołków z jednakowym prawdopodobieństwem ¼.. Nie dotyczy to sytuacji, gdy znajdzie się w jednym z trzech wierzchołków brzegowych. Wówczas W kończy swój j ruch.

38 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Wybór r wierzchołka w każdym następnym kroku, nie zależy y od poprzednich. Dla przykładu: nietrudno policzyć, że prawdopodobieństwo wyboru trajektorii o długości 12 wierzchołków takiej jak na rysunku wynosi 1/ (1/4 do potęgi 12).

39 Związek z Rachunkiem Prawdopodobieństwa Taki ruch cząstki nazywamy błąb łądzeniem przypadkowym lub spacerem losowym. Możemy tez rozważać błądzenie po wierzchołkach dowolnie małych trójk jkątów powstających w kolejnych iteracjach wycinania.

40

41 W bardzo podobny sposób b rozważać możemy ruch cząstki po wierzchołkach dwuwymiarowej kraty, która stanowi tło t naszej prezentacji, albo jej trójwymiarowego odpowiednika. Takie błąb łądzenia losowe prowadzą do klasycznych zagadnień fizycznych, choćby takich, jak transport ciepła.

42 Błądzenie losowe na fraktalach daje szanse na badanie głęg łębokich zagadnień analitycznych, probabilistycznych i geometrycznych!

43 Badanie procesów w losowych (procesów stochastycznych), których przykładami sąs błądzenia przypadkowe, jest jednym z przedmiotów w zainteresowań współczesnego Rachunku Prawdopodobieństwa. Modelują one wiele zjawisk fizycznych i ekonomicznych, mają istotne zastosowania w elektronice i telekomunikacji.

44 Tego typu problemy naukowe należą do obszaru zainteresowań zespołu badawczego skupiającego pracowników, w, doktorantów w i studentów w Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej, zajmującego się TEORIĄ POTENCJAŁU U PROCESÓW MARKOWA. W każdy piątek odbywają się seminaria zespołu, w czasie których prezentowane są aktualne problemy i wyniki badań w tej dziedzinie. Ty również możesz zostać zaproszony (-a) do uczestnictwa w naszych badaniach, jeśli wybierzesz studia matematyczne na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej!

45 Zachęcam cam do kontaktu mailowego i zadawania pytań! Kamil Kaleta kamil.kaleta@pwr.wroc.pl