KSZTAŁTOWANIE DYNAMIKI MASZYN

Transkrypt

1 ...dobre rzeczy zawsze janiej w mroku... ROZDZIAŁ VII KSZAŁOWANIE DYNAMIKI MASZYN. WSP. SAN DYNAMICZNY MASZYNY 3. SPOSOBY MINIMALIZACJI DRGA MASZYN 4. MODYFIKACJA SRUKURALNA WŁASNOCI DYNAMICZNYCH 5. DOSRAJANIE MODELI ELEMENÓW SKOCZONYCH

2 . WSP W tym rozdziale wskazano na zadania główne kształtowania dynamiki maszyn i wynikajce z nich metodologiczne aspekty praktycznego stosowania rónych sposobów minimalizacji podstawowych charakterystyk podwyszonej dynamicznoci maszyn. W kolejnoci omówiono wic główne problemy stanu dynamicznego maszyn, sposoby minimalizacji drga uogólnione na zagadnienie modyfikacji własnoci dynamicznych metod zmian strukturalnych oraz dostrajanie modeli MES metodami analizy modalnej. Do podstawowych zada minimalizacji drga nale: - przedstawienie charakterystyk układów mechanicznych, jako modeli maszyn i urzdze, - przedstawienie i motywacja najwaniejszych metod minimalizacji drga. Zadania te dotycz opracowania skutecznych metod kształtowania dynamicznoci maszyn i obejmuj: - najwaniejsze przyczyny i skutki podwyszonej dynamicznoci maszyn i urzdze; - motywacj wyboru amplitudy drga jako miary tej dynamicznoci. Najdogodniejsz charakterystyk obiektu mechanicznego (zarówno dyskretnego, jak cigłego) jest jego podatno. Dziki tej wielkoci mona znale amplitud drga obiektu przy wymuszeniach zdeterminowanych i przypadkowych. Minimalizacja drga układu moe w zasadzie odbywa si poprzez: - zmian parametrów wymuszenia, - zmian parametrów samego obiektu, - zmian jego struktury. Kade realne wymuszenie ma charakter procesu czasowo-przestrzennego. Std te minimalizacj drga poprzez zmian parametrów wymuszenia mona uzyska przez tzw. kompensacje jego widma oraz ekspansj obszaru działania obcienia. Ostatni sposób moe niejednokrotnie całkowicie uniemoliwi wzbudzenie si drga własnych układu. Najbardziej efektywne zmiany parametrów obiektu z punktu widzenia minimum amplitudy drga to zwikszenie dyssypacji i odstrojenia zbioru czstoci własnych od czstoci wymuszenia, czyli tzw. odstrojenie. Pierwszy sposób dla konstrukcji powierzchniowych przybiera posta tzw. pokry głuszcych, za odstrojenie mona realizowa przez programow zmian warunków brzegowych oraz połcze wewntrznych w obiekcie. Dziki wprowadzeniu dodatkowego połczenia sprysto - dyssypatywnego mona jednoczenie uzyska efekt odstrojenia, jak i obnienia szczytów rezonansowych podatnoci obiektu. Zmiana struktury obiektu przez dołczenie układu dodatkowego, zwanego eliminatorem, daje czsto jedyn moliwo obnienia poziomu drga. W przypadku dołczenia eliminatora dynamicznego obnienia to moe mie miejsce dla dowolnej czstoci wymuszenia. Natomiast tzw. eliminatory rezonansowe daj jedynie obnienie wysokoci szczytów rezonansowych. Izolacja drga polega na przerwaniu cigłoci struktury i szeregowym włczeniu dodatkowego układu izolatora. Zarówno w przypadku izolacji sił, jak i przemieszcze efektywno izolacji jest tym wiksza, im wiksz podatno reprezentuje izolator w porównaniu do sumy podatnoci obiektu i fundamentu. Ponadto efektywno izolacji czstoci wysokich mona zwikszy przez zastosowanie izolatora z mas poredni [4]. Modyfikacja własnoci dynamicznych i dostrajanie modeli MES to ju zaawansowane sposoby praktycznego wykorzystywania analizy modalnej w praktyce inynierskiej.

3 . SAN DYNAMICZNY MASZYNY Stan dynamiczny maszyny opisuj zwizki, jakie zachodz midzy rodzajem wymuszenia, własnociami dynamicznymi układu mechanicznego, a amplitud drga, czyli ogólnie odpowiedzi układu na wymuszenie (rys.7.). wymuszenie BADANY amplituda drga UKŁAD p(t) MECHANICZNY w(t) w( t) ; w ( t) min? w dop Rys.7. Modelowy opis stanu dynamicznego maszyny [4]. Problem minimalizacji drga maszyn i konstrukcji moe by postawiony nastpujco. Istnieje pewien układ mechaniczny cigły, obrazujcy maszyn i cz współdziałajcego otoczenia (lub interesujcy element), w pewnym punkcie lub obszarze, na który działa obcienie dynamiczne (wymuszenie). Niech w innym punkcie lub obszarze tego układu amplituda drga (amplituda przemieszczenia, prdkoci lub przyspieszenia) przekracza wartoci dopuszczalne przez kryteria jakoci. Zadaniem jest obnienie amplitud drga do wartoci wystarczajcej w konkretnym przypadku [4,5]. Załoenia umoliwiajce zastosowanie prostego aparatu matematycznego do opisu stanu dynamicznego maszyn s nastpujce:. wymuszenie działajce na układ jest zdeterminowan funkcj czasu i przestrzeni lub te jest czasowo-przestrzennym stacjonarnym ergodycznym procesem losowym;. układ mechaniczny jest przyczynowym, liniowym, stacjonarnym i statecznym układem dynamicznym. Kierujc si przytoczonymi wyej załoeniami mona znale relacje midzy wymuszeniem a odpowiedzi układu, traktujc go jako układ dynamiczny o dyskretnym lub cigłym rozkładzie mas, dyssypacji i sztywnoci (m,c,k). Podatno jako funkcja opisujca własnoci dynamiczne układu Bazujc na mocy przyjtych załoe, zwłaszcza liniowoci i stacjonarnoci układu, mona obecnie szeroko korzysta z zasady superpozycji, gdy odpowied układu (skutek) jest sum odpowiedzi na wymuszenia składowe (przyczyny). Warto tu przypomnie, e dowoln funkcj okresow mona rozwin w szereg Fouriera: jnω ( ) ( ) t π x t x t + Σ α e, f n ω π, n / jnω t α n x( t) e dt, j, (7.) / Za dla funkcji nieokresowych, wydłuajc ich okres do nieskoczonoci ( ), mona otrzyma ich przedstawienie całkowe: j ( ) ( ω) ω t x t X e dω, (7.) π jωt gdzie: X ( ω) x( t) e dt, jest transformat Fouriera lub obrazem fourierowskim funkcji x(t). Dla funkcji okresowych jak w (7.) ich transformata przyjmuje szczególn posta cigu dystrybucji:

4 ( t + ) X ( ω) π α δ ( ω nω ), n ω n x( t) x π (7.3) Z powyszego wynika, e kade wymuszenie oraz odpowied mona przedstawi jako sum drga harmonicznych składowych. Std wniosek, e wymuszenie harmoniczne typu sinωt, cosωt, e jωt, (sinωt Im[e jωt ]) posiada szczególne znaczenie w dynamice liniowych układów mechanicznych. Dalszy wany wniosek to, e wymuszenie harmoniczne daje odpowied harmoniczn, to nastpstwo poprzednich. Działanie sił na dowolny układ mechaniczny (rys.7.) w dziedzinie czasu i czstoci, dla p k (t) mona opisa zalenoci: W i (ω) α ii (ω) P i (ω),w k (ω) α ki (ω) P i (ω), (7.4) Rys.7. Działanie sił na układ mechaniczny opisane w dziedzinie czasu i czstoci [5]. gdzie: α ii (ω), α ki (ω) s dla danego ω ω współczynnikami proporcjonalnoci midzy wymuszeniem i odpowiedzi. Jeli wymuszenie ma charakter siły [p(t)] N, za odpowied jest przemieszczeniem drga [w(t)] m, to α ki (ω ) przedstawia zespolon amplitud przemieszczenia w punkcie k. jω t Załómy, e pi ( t) Ai cosω t Re[ Ai e ], skd P i (ω)πa i δ(ω-ω o ). Obliczajc transformat odwrotn (7.4) według (7.) otrzymuje si: W k (ω) πa i α ki (ω)δ(ω - ω o ) W k (t) π Wprowadzajc amplitud zespolon odpowiedzi w k (t) według relacji: mona napisa: πa i α ki (ω)δ(ω - ω o )e jwt jw dt A i α ki (ω ) t e. (7.5) o Re W ( ω) e W ω cosω t (7.6) jω t w k (t) [ k ] k ( ) W ( ω ) α ( ), std ( ω ) k A i ki ω W podobny sposób mona wykaza, e: ( ). W ω k α ki (7.7) Ai W ω i (7.8) α ω. ii A i Zatem podatno jest stosunkiem amplitudy przemieszcze przy drganiach harmonicznych do odpowiedniej amplitudy siły wymuszajcej, przy czym jednostka tej wielkoci ma posta m [ α ki ( ω )]. ak zdefiniowana podatno dynamiczna ma prost interpretacj mechaniczn N typu przyczynowo-skutkowego, a ponadto jest funkcj dogodn do operacji w dziedzinie przedstawie Fouriera. Postpujc zgodnie z zasad superpozycji mona napisa rozszerzone relacje (7.4): W i (ω) α ii (ω)p i (ω) + α ik (ω)p k (ω), W k (ω) α ki (ω)p i (ω) + α kk (ω)p k (ω), (7.9)

5 przy czym α ki (ω) α ik (ω), zgodnie z zasad o wzajemnoci przemieszcze. Dalsza korzy z podatnociowego opisu własnoci dynamicznych układów mechanicznych to łatwo syntezy i znajdowania właciwoci układów złoonych z elementów prostych o znanych podatnociach. Podatno układów dyskretnych i cigłych Zgodnie z teori drga, kady liniowy układ mechaniczny o cigłym rozkładzie mas mona zastpi jego modelem przyblionym. W najprostszym przypadku układu o sprzeniu bliskim mona przy układaniu równa ruchu skorzysta z zasady d Alemberta lub równa Lagrange a II rodzaju [4,5]. Po wykonaniu załoonej dyskretyzacji układu mechanicznego, w jego ogólnym przypadku otrzymamy układ n równa liniowych drugiego rzdu postaci: L ( m w + c w + k w ) p ( t), (7.) lk k lk k lk k k k,,...,n W równaniach tych n oznacza liczb elementów podziału układu cigłego, co jest równowane liczbie stopni swobody. Wielkoci m lk, c lk, k lk maj charakter uogólnionej masy, tłumienia lub sztywnoci, zwizanych z oddziaływaniami wzajemnymi we współrzdnych l, k; w k (t) jest przemieszczeniem danej współrzdnej, za p k (t) działajc tu sił wymuszajc. Załómy, e w układzie jedyn sił czynn jest p i (t), gdy p k (t), k i, oraz e interesuje nas przemieszczenie dynamiczne we współrzdnej k. Wtedy wychodzc z równa (7.) przy zerowych warunkach pocztkowych i załoeniu: mona uzyska: p i (t) A i e jωt, w k (t) W k (ω)e jωt, (7.) ki W k (ω) (-) k + ( ω ) ki ( ω ). A i α A i (7.) Jak wida z powyszego, znajc równania róniczkowe układu i zakładajc w interesujcej nas współrzdnej wymuszenie harmoniczne, mona w prosty algebraiczny sposób uzyska wyraenie podatnoci w funkcji parametrów układu wyjciowego. Przy rozpatrywaniu zagadnie izolacji drga maszyn najprostszym modelem dynamicznym jest układ o jednym stopniu swobody i parametrach m, k, c. Rys.7.3 Najprostszy model izolacji drga maszyny [4].

6 Rozwamy wic pierwszy wariant z rys.7.3, tzw. wibroizolacji siłowej obliczajc podatno układu maszyna-amortyzator (izolator) na wymuszenie p(t). Równanie ruchu ma posta: m w + cw + kw p( t). (7.3) Podstawiajc zgodnie z (7.6) p(t) Ae jωt po przekształceniach mamy: A W ( ω ) αmm( ω )A mω + jcw + k α ( ω ) mm mω + jcw + k m[ ω + jξω ω + ω ] (7.4) c k gdzie: ξω, ω. m m Analogicznie do podatnoci na wymuszenie siłowe mona zdefiniowa podatno na wymuszenie typu przemieszczeniowego, wielko bardzo przydatn przy zagadnieniach izolacji przemieszczeniowej czułych maszyn i urzdze. Dla okrelenia tej wielkoci rozwamy wariant na rysunku 7.4. Z warunku równowagi sił działajcych na mas maszyny mamy (p(t) ): mw + c( w z ) + ( w z). (7.5) Jeli przyjmiemy z Be jωt, w W(ω)e jωt to znajdziemy: jcω + k W ( ω ) B αmz ( ω )B mω + jcw + k jcω + k jξω ω + w αmz ( ω ). (7.6) mω + jcw + k ω + jξω ω + ω Z powyszych przykładów wynika, e znajc równanie ruchu dowolnego układu dyskretnego mona w prosty sposób okreli podatno w interesujcych nas współrzdnych. Podatnoci układu o jednym stopniu swobody wraz ze zmian czstoci wymuszenia ω zaley c od wielkoci czstoci drga własnych, ω k / m, oraz stopnia tłumienia ξ. mk Ogólna posta wyraenia na podatno dla układów o cigłym rozkładzie mas i sztywnoci mona wyprowadzi analogicznie jak dla układów dyskretnych. Jednak obecnie zamiast równa róniczkowych zwyczajnych mamy do czynienia z równaniami czstkowymi i nalenymi warunkami brzegowymi [4,5]. Odpowied układu mechanicznego na dowolne wymuszenie Charakter wymusze w funkcji czasu, które mog wystpowa w realnych przypadkach obcie dynamicznych układów sprystych, przedstawiono na rys.7.4. Zasadniczo wymuszenia te mona podzieli na: procesy zdeterminowane, gdzie nastpstwo wartoci siły w czasie jest cile okrelone jedn funkcj p(t) f(t), oraz procesy przypadkowe, gdzie opis wymuszenia ujmuje cały zbiór oddzielnych realizacji p(t) {f i (t)}. W tym ostatnim przypadku, opierajc si na załoeniu stacjonarnoci i ergodycznoci procesu, mona równie do oblicze zastosowa aparat pojciowy zwizany z obrazami fourierowskimi wymuszenia i własnoci układu (podatnoci). Wikszo wymusze wystpujcych w dynamice maszyn da si przy pewnych załoeniach sprowadzi do procesów przypadkowych stacjonarnych i ergodycznych lub w najprostszym przypadku do zdeterminowanych. Odpowied układu mechanicznego na zadane wymuszenie mona uzyska za pomoc odwrotnej transformacji Fouriera, czyli:

7 [ ( ) ] j ( ) τ ω α ( ω ) ( ω ) ω t wk t W k ki Pi e dω. π (7.7) Wyraenie powysze opisuje histori czasow odpowiedzi, przy czym jej amplituda wystpuje w sposób wyrany jedynie dla wymusze harmonicznych, które zgodnie z rys.7.5 s zawarte w klasie wymusze okresowych. Przyjmijmy, e obserwujemy odpowied układu mechanicznego w przedziale czasu t(,). Mona zatem zdefiniowa redni kwadrat amplitudy nastpujco: wk wk ( t) dt, ( w k ) ( wk ) wr wk ( t) dt, (7.8) sk RMs przy czym druga definicja uywana jest przede wszystkim w zagadnieniach pomiarowych, gdzie wyznaczamy zawsze warto skuteczn amplitudy. / Rys.7.4 Klasyfikacja sygnałów wymuszajcych Poniewa znamy obraz fourierowski w k (t) i funkcja ta nie istnieje poza podziałem (, ), mona do powyszej definicji zastosowa twierdzenie Parsevala, uzyskujc:

8 w k w ( t) dt W ( ω ) dω. k k π (7.9) Wyraajc warto podcałkow poprzez podatno i widmo wymuszenia mona znale: ( ω ) P( ω ) dω. wk αki i (7.) π Wyraenie powysze w prosty sposób wie redniokwadratow amplitud odpowiedzi z podatnoci układu mechanicznego i fourierowskim obrazem wymuszenia. Wyraenie P ( ω ) E ( ω ) i ii nosi specjaln nazw gstoci widmowej energii wymuszenia. Dla procesów zdeterminowanych długotrwałych, zwłaszcza okresowych, oraz przypadkowych ergodycznych, definiuje si za pomoc funkcji korelacji tzw. gsto widmow mocy wymuszenia, oznaczon zwykle jako G ii (ω). Łatwo pokaza za pomoc dowodu heurystycznego, e gsto widmow mocy wymuszenia mona wyrazi nastpujco: Gii ( ω ) lim. Pi ( ω ) Pi ( ω ) lim Pi ( ω ), (7.) czyli ostatecznie dla procesów długotrwałych: wk α ki ( ω ) Gii ( ω ) dω. (7.) π ak wic dla wikszoci wymusze spotykanych w technice, redniokwadratowa amplituda drga ustroju sprystego moe by znaleziona ze wzoru: ( ) ( ) α ki ω Eii ω dω, π w (7.3a,b) k ( ) ( ) α ki ω Gii ω dω, π - dla wymusze krótkotrwałych zdeterminowanych (7.3a), - dla wymusze długotrwałych zdeterminowanych i przypadkowych ergodycznych (7.3b). gdzie : E G G ii ii ii ( ω ) P( ω ) ii lub (7.4) ii Jak wida z powyszego, tak zdefiniowana odpowied układu mechanicznego ( ω ) P ( ω ) i ( ω ) lin P ( ω )., zwizana jest jedynie z własnociami układu α ( ω ) ki i wymuszenia E ii (ω) lub G ii (ω). Std wniosek, e moe by ona dobr miar dynamicznoci układu, a przede wszystkim maszyn i urzdze, gdzie siły wymuszajce wynikaj na ogół z ruchu (pracy) samej maszyny. W pewnych przypadkach badania drga maszyn dynamiczno mierzona w jednej współrzdnej moe nie by adekwatna do dynamicznoci całego układu. Jednak na podstawie (7.3) mona zdefiniowa inne miary dynamicznoci, np.

9 w. (7.5) k w k Analizujc pod ktem minimalizacji drga wzory (7.4) na redni kwadrat amplitudy drga i nie wynikajc w szczegóły szacowania gstoci widmowej wymuszenia, mona ogólnie napisa [4]: wk αki( ω ) Pi ( ω ) dω. π (7.6) Nadajc ostatniej całce interpretacje geometryczn mona powiedzie, e jej warto zaley od iloczynu wspólnych pól wykresu kwadratu modułu podatnoci i gstoci widmowej wymuszenia. Sytuacj t ilustruj rys.7.5 i 7.6. Rys.7.5 Ilustracja obliczenia amplitudy redniokwadratowej dla wymuszenia o szerokim widmie [4]. Jak wida z rysunków, minimalizacja amplitudy drga moe polega głównie na:. zmniejszeniu pola pod krzywa gstoci widmowej wymuszenia (rys.7.5),. zmniejszenia pola pod krzyw kwadratu modułu podatnoci (rys.7.5), 3. zmniejszeniu iloczynu pól drog przesunicia wzajemnego krzywych (rys.7.6). Rys.7.6 Obliczenia amplitudy redniokwadratowej dla wymusze wskopasmowych [4]. Jeli przez a {a l } oznaczy zbiór parametrów, od których zale własnoci układu, czyli α ki α ki (ω, a) oraz wymuszenia P i P i (ω, a), to opisan wyej sytuacj mona wyrazi analitycznie za pomoc twierdzenia o wartoci redniej całki. Wychodzc z (7.6) mona napisa:

10 gdzie: Min a ( w k ) π π α P Min π a i ki ( ω o, a ) Min P ( ω, a ) ( ω, a ) Min α ki ( ω, a ) α ki a a ( ω, a ) P ( ω, a ) i d ω,, d ω, d ω, 3,, (7.7) ki ( ω ) α ( ω ) α dla wszystkich ω., a ki,a P i ( ω ) P( ω, ),, a i a 3. SPOSOBY MINIMALIZACJI DRGA 3. Zmiana parametrów wymuszania Charakter wymusze wystpujcych w maszynach zwizany jest z rodzajem ruchu organu roboczego. Mona tu wyróni dwie klasy: ruch skokowo-przerywany (np. w młotach i prasach), oraz ruch cigły obrotowy lub posuwisto-zwrotny. Std te wynika podział obcie na krótkotrwałe i długotrwałe. Za krótkotrwałe uwaa si takie obcienia impulsowe (nawet cig impulsów), dla których odpowied układu zmaleje do wielkoci pomijalnej przed nadejciem kolejnego impulsu. Widma Fouriera impulsów, uderze itp. maj charakter szerokopasmowy, czego przykłady przedstawiono na rys.7.7. Rys.7.7 Podstawowe relacje midzy dziedzin czasu i widma dla wymusze krótkotrwałych Z punktu widzenia minimalizacji drga bardzo wana jest relacja, jaka zachodzi dla procesów krótkotrwałych midzy dziedzin czasu i dziedzin widma. Otó, jeli czas trwania wymuszenia ronie, to jego obraz widmowy zwa si [4,5]. Z zamieszczonych wykresów wypływa wniosek, e chcc zmniejszy amplitud drga przy obcieniach krótkotrwałych naley zwikszy czas trwania obcienia. ym samym zwa si widmo obcienia, w zwizku, z czym maleje liczba rezonansów, które mog by wzbudzone tym wymuszeniem. Poniewa praca wykonana przez siły chwilowe proporcjonalna jest do ich impulsu, S ƒp(t) dt, to wydłuenie czasu trwania impulsu dla S const da jednoczenie obnienie jego

11 amplitudy szczytowej. ak wic w dziedzinie widmowej otrzymamy zwenia (zmniejszenie szerokoci) widma i jednoczenie obnienia amplitud poszczególnych jego składowych. Opisana wyej metoda kompensacji widma impulsu stosowana jest z powodzeniem w prasach przy wykrywaniu zarówno pojedynczych, jak i grupowych detali. W tym przypadku zwikszenie czasu trwania impulsu osignite jest przez odpowiednie ukształtowanie matrycy i wykrojnika, tak e ten ostatni wykonuje prac cicia stopniowo, a nie jednoczenie (rys.7.8). Rys.7.8 Kompresja widma sił impulsowych dziki stopniowemu wykrawaniu detali [4,5]. W przypadkach, gdy to jest moliwe, naley zatem zmniejszy masy zderzajcych si ciał, ich prdkoci wzgldne i współczynnik restytucji. en ostatni parametr w istotny sposób zmienia warto siły szczytowej i czas trwania impulsu. Mona go zmniejszy zmniejszajc zastpcz sztywno i zwikszajc dyssypacj energii w parach zderzeniowych, np. poprzez instalacj podkładek gumowych itp. Zatem, wycinanie detali na prasach w gumie daje zwenie widma wymusze i obnienie jego amplitud (rys.7.9). Podobn rol spełniaj opakowania anty-udarowe, elastyczne zderzaki pocigów i pojazdów drogowych. Rys.7.9 Wydłuanie czasu trwania obcienia przez zastosowanie podkładki elastycznej w wykrojniku prasy [4]. Obcienia impulsowe powtarzajce si okresowo, np. w prasach automatycznych szybkobienych, impulsy cinienia w cylindrach silników, uderzenie midzyzbne w przekładniach itp, maja nieco odmienne widmo wymuszenia. Łatwo to pokaza przedstawiajc obcienie jako cig impulsów krótkotrwałych nastpujcych po sobie co odstp czasu : ( t n ) p ( t) ( t ), p( t) p δ n (7.8) n p (t), t (,), n

12 gdzie oznacza operacj splotu pojedynczego obcienia p (t) z okresowym cigiem deltowym. Obliczajc widmo obcienia mona, dziki własnociom splotu, otrzyma od razu: π πn πn πn πn ( ) ( ) P ω P ω δ ω P δ ω, (7.9) n n P (ω) τ[p (t)]. Jak wida, otrzymane widmo nie ma ju charakteru cigłego, lecz przedstawia cig π składowych harmonicznych, odległych o czstoci repetycji ω. Amplitudy tych składowych wyznacza obwiednia widma obcienia pierwotnego P ( ω ), tak jak na rys.7.. Jak wida z przytoczonego wzoru (7.9) i rysunku 7., wskazane poprzednio sposoby minimalizacji amplitud i szerokoci widma pojedynczego impulsu zachowuj swoj moc i w tym przypadku. Rys.7. Widmo obcienia typu okresowego cigu impulsów Ponadto dochodzi dodatkowo moliwo zmiany amplitudy odpowiedzi układu mechanicznego drog niewielkiej zmiany czstoci repetycji. Sytuacj t ilustruje rys.7.. Rys.7. Widmowy obraz rezonansowego obcienia układu mechanicznego cigiem impulsów okresowych [4]. Jak wida z rysunku, mona uzyska istotne zmniejszenie amplitudy układu mechanicznego wyprowadzajc go z rezonansu poprzez niewielk zmian czstoci repetycji. Projektujc np. wibroizolacj prasy automatycznej, naley zwróci baczn uwag na moliwo niekorzystnego rezonansowego pobudzenia układu: maszyna amortyzator, tak jak na rys.7.. Podobne sytuacje mog si czsto zdarza w reduktorach, gdzie kolejne czstoci drga gitych i skrtnych wałków mog by pobudzone przez cig harmonicznych, pochodzcych od uderze midzyzbnych. Drogi wyjcia z tej niekorzystnej sytuacji s dwie: odstrojenia czstoci rezonansowych, przez np. istotne podwyszenie sztywnoci układu,

13 oraz kompresja pojedynczego widma zazbienia, przez ustalenie optymalnego modułu, kta przyporu i stopnia pokrycia przekładni. Przejdmy obecnie do analizy wymusze pochodzcych od ruchu cigłego maszyn, czyli posuwisto-zwrotnego i obrotowego. W obu tych przypadkach mamy na ogół do czynienia z niewywaonymi siłami bezwładnoci o czstoci podstawowej ω, wynikajcej z obrotów maszyny. ak wic widmo wymuszenia w tych przypadkach bdzie miało posta: ( ω ) πmω α δ ( ω n ), P n ω (7.3) n gdzie m ma charakter niewywaonej masy. Minimalizacja widma wymuszenia bdzie tu polegała na zmniejszaniu wartoci masy niewywaonej m (wywaanie dynamiczne i statyczne) oraz na zmniejszeniu bd likwidacji pewnych harmonicznych α n. Pełne widmo, jak w formule (7.3), wystpuje jedynie przy zmianie ruchu postpowego zwrotnego na obrotowy. Wtedy wielkoci współczynników α n zale od długoci wykorbienia i korbowodu, za drog odpowiedniego ustawienia wykorbie mona uzyska zerowanie si niektórych α n (parzystych, nieparzystych itp.). Wikszo współczesnych maszyn wyposaona jest w łoyska toczne. Łoyska te, w istotny sposób zmniejszajc opory ruchu, s jednak dodatkowym ródłem wymusze. Jak si okazuje, oprócz wymusze przypadkowych o cigłym widmie mona tu wyróni szereg istotnych składowych prawie harmonicznych o czstociach zwizanych z czstoci obrotow wału oraz defektami geometrii elementów ruchomych i nieruchomych łoyska. Std te w precyzyjnych maszynach i urzdzeniach łoyska toczne zastpuje si niejednokrotnie lizgowymi oraz pneumatycznymi. 3. Wpływ rozkładu przestrzennego wymuszenia Definiujc podatno układu rozcigłego wprowadzono tzw. stałe wzbudzenia κ r u r (F)/u r (A), które w prostym przypadku siły skupionej zale jedynie od miejsca przyłoenia siły i punktu odbioru. W ogólnym przypadku sił wymuszajcych z separowaln czci czasow i przestrzenn, stał wzbudzenia mona wyrazi nastpujco [4]: κ r p( x, y, z) ur ( x, y, z) dδ, p u A (7.3) gdzie: p r ( ) ( x, y, z) d. p δ Jak wida z powyszego, wielkoci decydujc o wartoci κ r jest wyraenie podcałkowe p(x, y, z), czyli rozkład intensywnoci obcienia jakie działa na układ sprysty. Postacie własne s okresowymi lub prawie okresowymi funkcjami zmiennej przestrzennej, wic mona je wyrazi w funkcji tzw. wektora własnego falowego K r, czyli słuszne jest przekształcenie: P K p r u ( ) ( ) ( K r ) dδ r Postacie własne ( r ) u r r r (7.3) ustrojów cigłych wystpujcych w dynamice maszyn w wikszoci przypadków to układy jednowymiarowe (prty, wały, liny, belki) i dwuwymiarowe (membrany, płyty, powłoki), bd ustroje złoone z tych układów. Okazuje si, e dla tych układów postacie własne mog by aproksymowane funkcjami typu sin ( r ) lub cos ( r ) K r K r, w zalenoci od typu warunków brzegowych. Wpływ warunków brzegowych (efekty brzegowe) maleje w miar wzrostu czstoci drga oraz w miar

14 oddalania si od brzegu. ak wic, wikszo postaci własnych ustrojów sprystych moe by wyraona nastpujco: jk r r cos Kr r Re ( ) [ e ] jk r r U r Kr r e. (7.33) jk r r sin Kr r Im[ e ] W zwizku z tym transformacja całkowa (6.3) przyjmuje posta: jk r r P K p r e dδ (7.34) ( ) ( ). r jeli oprócz tego obcienie ustroju sprystego zdefiniujemy jak niej:, r δ p( r ), (7.35), r δ to obszar całkowania mona rozszerzy do nieskoczonoci otrzymujc: P ( K ) P( K ) r p( r ) e K K r jk r dδ K K r. (7.36) Przy drganiach układów rozcigłych jednorodnych istnieje moliwo separacji zmiennych przestrzennych, np. metod Fouriera. W zwizku z tym dalsze rozwaania szczegółowe wynikajce z (7.36) przeprowadzono dla jednej zmiennej, czyli: ( x) jkx p e dx P ( Kr ) P( K ) K K r. K K P jkx ( K ) p( x) e dx. r (7.37) W zagadnieniach jednowymiarowych istnieje prosta relacja midzy liczb falow K a długoci fali - λ, czstoci drga - ω i prdkoci propagacji fali c, gdy: π ω ωr π K, K r. (7.38) λ c c λr ak wic transformacja fourierowska w dziedzin liczb falowych jest współliniowa z transformacj w dziedzin czstoci. Jeli wic dla danego obcienia p(x) warto transformaty (7.37) dla KK rr, (ω ω r ), bdzie mała lub zerowa, to e czsto t (lub czstoci) nie zostanie wzbudzona przez to obcienie, niezalenie od zawartoci widmowej członu czasowego obcienia. Wynik ten jest bardzo obiecujcy z punktu widzenia minimalizacji drga ustrojów cigłych, zwłaszcza konstrukcji wsporczych. W dynamice maszyn mamy najczciej do czynienia z drganiami gitnymi belek, płyt, powłok itp. Poniewa powłoki dla czstoci wyszych zachowuj si podobnie jak płyty, moemy ograniczy si do rozpatrzenia prdkoci propagacji fali gitnej w belkach i płytach. Jak wiadomo, mona je znale ze wzorów: EI C 4 belki πf, qa C pyty Eh π f 4 (7.39) ( ), v q przy czym słuszne s one w granicach teorii klasycznej, tzn. dla h <, λ. Wstawiajc przytoczone wzory do nierównoci (7.38) moemy uzyska ogólne oszacowanie czstoci własnych, które zostan wzbudzone do drga. Dla płyt i belek stalowych słuszny jest przybliony wzór w postaci: C 95 hf, cm/s, h cm, f Hz. (7.4)

15 Podstawiajc ten rezultat do nierównoci (7.38) po przekształceniu otrzymamy: f > (95) d / f gr, (7.4) h co oznacza, e jeli czstoci własne f r konstrukcji s wiksze ni wyznaczona w ten sposób czsto graniczna f gr, to w ramach naszych załoe nie nastpi wzbudzanie drga. Z przeprowadzonych rozwaa wynika, i minimalizacja drga ustrojów rozcigłych wymaga by działajce obcienie było rozłoone na duej przestrzeni układu sprystego oraz by intensywno tego rozkładu była zmienna symetrycznie wokół maksimum, najlepiej według prawa cosinus kwadrat. Uproszczone wnioski, jakie płyn z powyszych rozwaa w odniesieniu do wibroizolacji maszyn od konstrukcji wsporczych, przedstawia rysunek 7.. Rys.7. Szkic wadliwego i poprawnego wibroizolowania maszyny [4]. 3.3 Zmiana parametrów obiektu Podane minimum amplitudy drga odpowiedzi przez zmian własnoci obiektu mona w ogólnoci uzyska dwiema drogami: przy niezmienionej strukturze obiektu oraz drog zmiany struktury obiektu. Przez zmian struktury obiektu rozumie si zmian wzajemnych połcze midzy układami czciowymi, co narusza cigło wyjciowej struktury, lub tez dołczenie dodatkowego układu. Nie jest zmian struktury dodanie dodatkowej dyssypacji lub te niewielkie lokalne zmniejszenie albo zwikszenie masy bd sztywnoci obiektu. W tym sensie np. zmiana warunków brzegowych nie jest zmian struktury, a daje niejednokrotnie istotn zmian parametrów dynamicznych układów [4]. Istnieje zawsze przeliczalny zbiór struktury, któremu odpowiada tylko jeden układ parametrów dynamicznych, masa, sztywno oraz wielko tłumienia. Dla układu o jednym stopniu swobody z wymuszenia harmonicznym i przypadkowym typu białego szumu gstoci widmowe tych procesów maj posta: - wymuszenia harmonicznego o amplitudzie A i czstoci ω : A π G (ω) [δ(ω - ω ) + δ(ω + ω )], (7.4) - wymuszenia przypadkowego typu białego szumu: S G (ω) const. (7.43) Uwzgldniajc obecnie podatno układu oraz amplitud redniokwadratow mona otrzyma odpowiednio:

16 w A r α 4 π mm m 4ξ ω S S sz α ω ( ω) ω 3 π mm G d m 4ξω o m A m 4 8ξ ω ( ω ) G ( ω) dω, (7.44) w ( ), 3 8ξ ω Jak wida z otrzymanych rezultatów, w obu skrajnych przypadkach rezonansowego wymuszenia zdeterminowanego harmonicznego i wymuszenia przypadkowego o maksymalnym stopniu nie uporzdkowania (biały szum), amplituda odpowiedzi zaley od stopnia tłumienia w układzie ξ, masy obiektu m, czstoci własnej ω. Przekształcajc obie amplitudy, rezonansow i szumow, do postaci zalenej tylko od parametrów wymiarowych mona otrzyma: A m S w r, w sz. (7.45) ck ck Z powyszego łatwo wywnioskowa, e zwikszenie tłumienia c i sztywnoci k w obu przypadkach obnia amplitud drga, natomiast zwikszenie masy w przypadku rezonansowym daje podwyszenie amplitudy drga. Zatem, w przypadku rezonansu przy sile wymuszajcej o stałej czstoci drga ω kada zmiana masy bd sztywnoci oznacza zmian czstoci rezonansowej obiektu i wielokrotny spadek jego amplitudy drga. Zagadnienie minimalizacji drga poprzez zmian parametrów obiektu mona właciwie umownie podzieli na dwa przypadki: - odstrojenie czstoci rezonansowej obiektu poprzez zmian masy bd sztywnoci dla wymuszenia zdeterminowanego harmonicznego; - zwikszenie tłumienia bd sztywnoci dla wymuszenia przypadkowego. 3.4 Zwi kszenie dyssypacji w obiekcie Poniewa w wikszoci konstrukcji stalowych, zawłaszcza prostych, typu belka, płyta, powłoka dominuje dyssypacja niezalena od czstoci, załómy przy tym, e ξ β, η η r. ak wic bdziemy mieli : κ rik α ik + κ rik κ r ( i,k). (7.46) M ω + jη ω ω r r [ ], r r r Przyjmujc, e układ znajduje si w rezonansie, tzn. ω ω s, poniewa wtedy na ogół η sc <<, mona pomin prawie wszystkie składniki sumy (7.46), otrzymujc przyblione wyraenie podatnoci rezonansowej: ( ) ~ κ sik κ sik α ik ω ωs αiks. (7.47) M s[ ω + jηsω s + ωs ] ω ωs jηsω s M s Załómy, e powikszono dyssypacj w obiekcie do nowej wartoci współczynnika η sd, przy czym powikszenie dyssypacji nie wpływa istotnie na sztywno i mas konstrukcji, tak e jej czstoci własne pozostały niezmienione. Obliczajc ponownie amplitud redniokwadratow w i biorc iloraz tych dwu wielkoci otrzymuje si: ksd wks ηsd. (7.48) wksd ηs Powysze wyraenie przedstawia stopie obnienia kwadratu amplitudy drga ustroju sprystego. Dla przykładu, jeli ustrój pierwotny posiadał η s,, a po dodaniu dyssypacji η sd,, to stopie obnienia wynosi, za sama amplituda skuteczna (RMS) obniy si dziesiciokrotnie.

17 Do celów zastosowa technicznych bardzo czsto wprowadza si róne miary logarytmiczne liczone w decybelach (db). W tym wypadku obnienie poziomu amplitudy drga wyniesie: w ks ηsd Lw lg lg, db. w (7.49) ksd ηs Zwikszenie dyssypacji bez zmiany czstoci własnych, moliwe jest dla ustrojów powierzchniowych przez nałoenie na ich powierzchni warstwy specjalnych materiałów na podłou bitumicznym, zwanych materiałami głuszcymi. Cechuj si one du przyczepnoci powierzchniow i duym współ czynnikiem strat η. Z polskich wyrobów godn polecenia jest pasta typu MAK, za najlepsze pasty radzieckie nosz nazw Atiwibrit A- oraz A-. Analizujc otrzymany wzór (7.49) w wietle jego moliwych zastosowa, zwłaszcza proporcjonalnoci amplitud napre i prdkoci drga ustrojów sprystych, mona doj do wniosku, e obrazuje on jednoczenie stopie zmniejszenia napre dynamicznych w ustroju. Jak wspomniano we wstpie, poziom hałasu mechanicznego promieniowanego przez drgajcy ustrój jest proporcjonalny do jego skutecznej prdkoci drga. Std równie dalszy wniosek, e formuła (7.49) moe równie przedstawi obnik poziomu hałasu z tytułu wytłumienia ustroju powierzchniowego. ak wic, jeli poziom napre mierzony w db oznaczymy przez L δ, poziom hałasu przez L p, poziom prdkoci przez L v, tona podstawie powyszego oraz formuły (7.49) moemy napisa: ηsd L w L v L δ L p lg, db. (7.5) ηs Powierzchniowe naniesienie pokrycia głuszcego na ustrój sprysty ma jeszcze jeden dodatni aspekt, mianowicie utrudnia propagacj drga od ródła do dalszych elementów konstrukcji. Jeli ograniczymy si do najwaniejszego rodzaju fal zginania, to spadek amplitudy tej daje na odległoci m, na skutek wprowadzenia pokrycia o współczynniku strat η wyraony w decybelach, bdzie wynosił: L fg 3,6η sd, db, (7.5) λ g gdzie λ g długo fali zginania w ustroju sprystym. ak wic zastosowanie odpowiedniego pokrycia głuszcego, oprócz lokalnego zmniejszenia poziomu amplitud drga, napre promieniowanego hałasu, daje nam dodatkowy spadek amplitud drga na rozpitoci ustroju, przy czym, spadek ten wzrasta w miar wzrostu czstoci drga. Interesujca jest z punktu widzenia zastosowa zaleno całkowitego współczynnika strat ustroju η sd w zalenoci od współczynnika strat pokrycia η p. Zaleno ta jest stosunkowo najlepiej przebadana dla płyt drgajcych gitnie i mona j przedstawi wyraaniem: 3 E p hp η sd η p, (7.5) E pl hpl gdzie: η p, E p, h p współczynnik strat, moduł Younga, grubo dla pokrycia głuszcego, E pł, h pł - moduł Younga i grubo płyty (η pł << η p ). Jak wida ze wzoru, wielko sumarycznego współczynnika strat η sd zaley przede wszystkim od ilorazów h p /h pł oraz E p /E pł, to znaczy od ilorazów gruboci i modułu Younga pokrycia oraz płyty. ak wic w zastosowaniach gruboci pokrycia winna by moliwie najwiksza (od do 3 razy), za pokrycie po wyschniciu winno by sztywne (due E p ).

18 Opisana wyej metoda zwikszenia dyssypacji ustroju sprystego daje bardzo dobre efekty dla konstrukcji powierzchniowych, szczególnie przy obcieniach szerokopasmowych. W przypadku prtów, belek i konstrukcji złoonych z tych elementów, ta metoda zmiany parametrów (dyssypacji) nie daje w pełni zadawalajcych efektów. Stosujc jednak bardziej złoone konstrukcje, np. wielowarstwowe typu sandwich, mona równie uzyska znaczne podwyszenie współczynnika strat. 3.5 Zmiana cz stoci własnych odstrojenie Proste nanoszenie pokry głuszcych w przypadku konstrukcji belkowo prtowych jest mało efektywne, za dla wymusze zdeterminowanych typu harmonicznego lub poliharmonicznego zupełnie niecelowe. W tym przypadku znacznie łatwiej jest uzyska efekt obnienia amplitudy drga przez odstrojenie zbioru czstoci własnych ω r układu od zbioru czstoci wymuszajcych ω w obcienia dynamicznego. Uproszczony schemat widma wartoci własnych i widma obcienia dla tego przypadku przedstawia rysunek 7.3. Rys.7.3 Ilustracja zasady odstrojenia zbioru czstoci własnych od zbioru czstoci wymusze [4]. Jest oczywiste, e w skrajnym przypadku widmo czstoci własnych, jak i widmo wymuszenia moe zawiera po jednej składowej. Wtedy wzajemne nie pokrywanie si tych czstoci zabezpiecza dostatecznie układ przed duymi amplitudami drga. Odstrojenie układu drog zmiany sztywnoci najłatwiej zilustrowa na przykładzie zmiany warunków brzegowych. Przyjmujemy, e w punkcie i układu mechanicznego dołczono element sprysty k z jednym kocem nieruchomym, nas za interesuje zmiana podatnoci układu w punkcie. Rys.7.4 Dołczenie układu mechanicznego do bazy poprzez element sprysty k. Oznaczajc pierwotne podatnoci układu przez β zgodnie z rysunkiem 7.4 mona otrzyma: β + kβiiβll kβli w fl αll fl. (7.53) + kβii Jak wiadomo, czstoci rezonansowe układu otrzymuje si kładc α ll. Korzystajc z tego w obu skrajnych przypadkach k, k, mamy: dla k α ll, jeli β ll, co zachodzi dla ω ω r, r,,...,

19 dla k : α ll, jeli β ii, co zachodzi dla ω ω ra, r,,..., Jak wida z ostatniego rezultatu, unieruchomienie i-tej współrzdnej w układzie mechanicznym powoduje, e otrzymane w ten sposób czstoci rezonansowe s antyrezonansowymi układu pierwotnego; tzn. jeli k to ω r ω ra, przy czym oczywicie dla wszystkich r mamy ω ra > ω r. Sytuacj t ilustruje pogldowo rysunek 7.5. Rys.7.5 Ilustracja zmiany czstoci antyrezonansowych na rezonansowe dla k [4]. Obnienie czstoci rezonansowych mona uzyska z kolei przez dołczenie masy o wielkoci m w interesujcej nas współrzdnej. Zastpujc we wzorze (7.53) podatno spryst k podatnoci masy m, czyli, zgodnie z rys. 7.6 mona otrzyma: K mω Rys.7.6 Pogldowy szkic zwikszenia masy [4]. β mω βiiβll + mω βli w f. l αll fl (7.54) mω βii Jeli przez ω r oznaczymy czstoci rezonansowe układu wyjciowego β, (m ), za przez ω rm czstoci rezonansowe układu zmodyfikowano (m ), to łatwo pokaza, e : ω r > ω rm, dla m, (7.55) przy czym ilustracja graficzna tego faktu jest podobna do rysunku 7.5a (m ) oraz 7.5b (m ). Analizujc uwanie formuły (7.5) i (7.53) łatwo si przekona, e najwiksze odstrojenie uzyskuje si, jeli: β ii Max s β ss ; dla wszystkich s. (7.56) Jako ilustracj moliwych zastosowa technicznych zasady odstrojenia od rezonansu dla obnienia amplitudy drga, niej przytoczmy trzy typowe rozwizania. Pierwsze z nich

20 polega na skokowej zmianie sztywnoci od k do k i moliwe jest do zrealizowania za pomoc tzw. opory z tarciem suchym. Rys.7.7 Odstrojenie wału maszyny wirnikowej od czstoci krytycznej przez zastosowanie oporu z tarciem suchym [4]. Na rysunku 7.7a pokazano schematycznie wał dwupodporowy z wirnikiem po stronie zewntrznej i podpor z tarciem suchym w rodku przelotu midzy podporami. Działanie układu jest nastpujce: dla małych prdkoci obrotowych wału siły bezwładnoci niewywaenia układu s mniejsze od siły tarcia w oporze i układ zachowuje si jak trójpodporowy. Przy wikszych obrotach siła niewywaenia B przewysza sił tarcia F t w oporze i nastpuje zmiana układu na dwupodporowy, co wie si z przejciem charakterystyki amplitudowej na gał opadajc, tak jak na rysunku 7.7b. Jak si okazuje, jednym z istotnych ródeł drga na statkach s podłune drgania wału napdowego ruby spowodowane koincydencj czstoci własnych wału z czstoci wynikajc z obrotów i iloci łopat ruby. Skutecznym sposobem odstrojenia si jest zastosowanie tzw. przetwornika rezonansowego, którego idea polega na stworzeniu warstwy oleju midzy tłokowym zakoczeniem wału a łoyskiem oporowym. Rys.7.8. Schemat przetwornika rezonansowego (a) i idea jego działania (b). Regulujc cinienie w tej warstwie, czyli sztywno oporu i ilo (mas) współ drgajcego oleju, mona uzyska istotn zmian czci rezonansowych drga podłunych wału. Ide tego rozwizania przedstawiono na rys.7.8. Z przytoczonych wyej przykładów wida, e idea odstrojenia, zwłaszcza przez zmian warunków brzegowych, jest stosunkowo łatwa w realizacji i bardzo efektywna przy